Theorem hdmap1cl 40978

Description: Convert closure theorem mapdhcl 40901 to use HDMap1 function. (Contributed by NM, 15-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmap1eq2.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmap1eq2.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1eq2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmap1eq2.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
hdmap1eq2.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmap1eq2.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1eq2.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
hdmap1eq2.l	⊢ 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
hdmap1eq2.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1eq2.i	⊢ 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1eq2.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmap1eq2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
hdmap1eq2.mn	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐿‘{𝐹}))
hdmap1cl.ne	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
hdmap1cl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmap1cl.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
hdmap1cl	⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ∈ 𝐷)

Proof of Theorem hdmap1cl

Dummy variables 𝑥 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmap1eq2.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hdmap1eq2.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		hdmap1eq2.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
4		eqid 2732	. . 3 ⊢ (-g‘𝑈) = (-g‘𝑈)
5		hdmap1eq2.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
6		hdmap1eq2.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
7		hdmap1eq2.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
8		hdmap1eq2.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
9		eqid 2732	. . 3 ⊢ (-g‘𝐶) = (-g‘𝐶)
10		eqid 2732	. . 3 ⊢ (0g‘𝐶) = (0g‘𝐶)
11		hdmap1eq2.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
12		hdmap1eq2.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
13		hdmap1eq2.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
14		hdmap1eq2.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
15		hdmap1cl.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
16		hdmap1eq2.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
17		hdmap1cl.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
18		eqid 2732	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , (0g‘𝐶), (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐿‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥))(-g‘𝑈)(2nd ‘𝑥))})) = (𝐿‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))(-g‘𝐶)ℎ)}))))) = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , (0g‘𝐶), (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐿‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥))(-g‘𝑈)(2nd ‘𝑥))})) = (𝐿‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))(-g‘𝐶)ℎ)})))))
19	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18	hdmap1valc 40977	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = ((𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , (0g‘𝐶), (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐿‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥))(-g‘𝑈)(2nd ‘𝑥))})) = (𝐿‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))(-g‘𝐶)ℎ)})))))‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩))
20		hdmap1eq2.mn	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐿‘{𝐹}))
21		hdmap1cl.ne	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
22	10, 18, 1, 12, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 14, 16, 20, 15, 17, 21	mapdhcl 40901	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , (0g‘𝐶), (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐿‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥))(-g‘𝑈)(2nd ‘𝑥))})) = (𝐿‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))(-g‘𝐶)ℎ)})))))‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ∈ 𝐷)
23	19, 22	eqeltrd 2833	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ∈ 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  Vcvv 3474   ∖ cdif 3945  ifcif 4528  {csn 4628  ⟨cotp 4636   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6543  ℩crio 7366  (class class class)co 7411  1^st c1st 7975  2^nd c2nd 7976  Basecbs 17148  0_gc0g 17389  -_gcsg 18857  LSpanclspn 20726  HLchlt 38523  LHypclh 39158  DVecHcdvh 40252  LCDualclcd 40760  mapdcmpd 40798  HDMap1chdma1 40965

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-riotaBAD 38126

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-ot 4637  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-tpos 8213  df-undef 8260  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-0g 17391  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-proset 18252  df-poset 18270  df-plt 18287  df-lub 18303  df-glb 18304  df-join 18305  df-meet 18306  df-p0 18382  df-p1 18383  df-lat 18389  df-clat 18456  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-subg 19039  df-cntz 19222  df-oppg 19251  df-lsm 19545  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-invr 20279  df-dvr 20292  df-drng 20502  df-lmod 20616  df-lss 20687  df-lsp 20727  df-lvec 20858  df-lsatoms 38149  df-lshyp 38150  df-lcv 38192  df-lfl 38231  df-lkr 38259  df-ldual 38297  df-oposet 38349  df-ol 38351  df-oml 38352  df-covers 38439  df-ats 38440  df-atl 38471  df-cvlat 38495  df-hlat 38524  df-llines 38672  df-lplanes 38673  df-lvols 38674  df-lines 38675  df-psubsp 38677  df-pmap 38678  df-padd 38970  df-lhyp 39162  df-laut 39163  df-ldil 39278  df-ltrn 39279  df-trl 39333  df-tgrp 39917  df-tendo 39929  df-edring 39931  df-dveca 40177  df-disoa 40203  df-dvech 40253  df-dib 40313  df-dic 40347  df-dih 40403  df-doch 40522  df-djh 40569  df-lcdual 40761  df-mapd 40799  df-hdmap1 40967

This theorem is referenced by:  hdmap1eq2  40979  hdmap1eq4N  40980  hdmap1l6lem1  40981  hdmap1l6lem2  40982  hdmap1l6a  40983  hdmap1l6b  40985  hdmap1l6c  40986  hdmap1l6d  40987  hdmap1l6h  40991  hdmapval0  41007  hdmapval3lemN  41011  hdmap10lem  41013  hdmap11lem1  41015