Theorem jm2.19lem3 43718

Description: Lemma for jm2.19 43720. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
jm2.19lem3	⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝐼 · 𝑀)))))

Proof of Theorem jm2.19lem3

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7417	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝑎 · 𝑀) = (0 · 𝑀))
2	1	oveq2d 7426	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝑁 + (𝑎 · 𝑀)) = (𝑁 + (0 · 𝑀)))
3	2	oveq2d 7426	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝑎 · 𝑀))) = (𝐴 Yrm (𝑁 + (0 · 𝑀))))
4	3	breq2d 5121	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝑎 · 𝑀))) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (0 · 𝑀)))))
5	4	bibi2d 345	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 0 → (((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝑎 · 𝑀)))) ↔ ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (0 · 𝑀))))))
6	5	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 0 → (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝑎 · 𝑀))))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (0 · 𝑀)))))))
7		oveq1 7417	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑎 · 𝑀) = (𝑏 · 𝑀))
8	7	oveq2d 7426	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑁 + (𝑎 · 𝑀)) = (𝑁 + (𝑏 · 𝑀)))
9	8	oveq2d 7426	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝑎 · 𝑀))) = (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝑏 · 𝑀))))
10	9	breq2d 5121	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝑎 · 𝑀))) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝑏 · 𝑀)))))
11	10	bibi2d 345	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝑎 · 𝑀)))) ↔ ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝑏 · 𝑀))))))
12	11	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝑎 · 𝑀))))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝑏 · 𝑀)))))))
13		oveq1 7417	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝑎 · 𝑀) = ((𝑏 + 1) · 𝑀))
14	13	oveq2d 7426	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝑁 + (𝑎 · 𝑀)) = (𝑁 + ((𝑏 + 1) · 𝑀)))
15	14	oveq2d 7426	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝑎 · 𝑀))) = (𝐴 Yrm (𝑁 + ((𝑏 + 1) · 𝑀))))
16	15	breq2d 5121	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝑎 · 𝑀))) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + ((𝑏 + 1) · 𝑀)))))
17	16	bibi2d 345	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝑎 · 𝑀)))) ↔ ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + ((𝑏 + 1) · 𝑀))))))
18	17	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝑎 · 𝑀))))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + ((𝑏 + 1) · 𝑀)))))))
19		oveq1 7417	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → (𝑎 · 𝑀) = (𝐼 · 𝑀))
20	19	oveq2d 7426	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → (𝑁 + (𝑎 · 𝑀)) = (𝑁 + (𝐼 · 𝑀)))
21	20	oveq2d 7426	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝑎 · 𝑀))) = (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝐼 · 𝑀))))
22	21	breq2d 5121	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝑎 · 𝑀))) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝐼 · 𝑀)))))
23	22	bibi2d 345	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → (((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝑎 · 𝑀)))) ↔ ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝐼 · 𝑀))))))
24	23	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝑎 · 𝑀))))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝐼 · 𝑀)))))))
25		zcn 12591	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
26	25	ad2antrl 740	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℂ)
27	26	mul02d 11403	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (0 · 𝑀) = 0)
28	27	oveq2d 7426	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑁 + (0 · 𝑀)) = (𝑁 + 0))
29		zcn 12591	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
30	29	ad2antll 741	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℂ)
31	30	addridd 11405	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑁 + 0) = 𝑁)
32	28, 31	eqtr2d 2799	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑁 = (𝑁 + (0 · 𝑀)))
33	32	oveq2d 7426	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝐴 Yrm 𝑁) = (𝐴 Yrm (𝑁 + (0 · 𝑀))))
34	33	breq2d 5121	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (0 · 𝑀)))))
35		simp3 1156	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝑏 · 𝑀))))) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝑏 · 𝑀)))))
36		simprl 782	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
37		simprrl 792	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 𝑀 ∈ ℤ)
38		simprrr 793	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 𝑁 ∈ ℤ)
39		nn0z 12610	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → 𝑏 ∈ ℤ)
40	39	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 𝑏 ∈ ℤ)
41	40, 37	zmulcld 12701	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝑏 · 𝑀) ∈ ℤ)
42	38, 41	zaddcld 12699	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝑁 + (𝑏 · 𝑀)) ∈ ℤ)
43		jm2.19lem2 43717	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + (𝑏 · 𝑀)) ∈ ℤ) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝑏 · 𝑀))) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm ((𝑁 + (𝑏 · 𝑀)) + 𝑀))))
44	36, 37, 42, 43	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝑏 · 𝑀))) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm ((𝑁 + (𝑏 · 𝑀)) + 𝑀))))
45	38	zcnd 12696	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 𝑁 ∈ ℂ)
46	41	zcnd 12696	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝑏 · 𝑀) ∈ ℂ)
47	37	zcnd 12696	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 𝑀 ∈ ℂ)
48	45, 46, 47	addassd 11226	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝑁 + (𝑏 · 𝑀)) + 𝑀) = (𝑁 + ((𝑏 · 𝑀) + 𝑀)))
49		nn0cn 12509	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → 𝑏 ∈ ℂ)
50	49	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 𝑏 ∈ ℂ)
51		1cnd 11197	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 1 ∈ ℂ)
52	50, 51, 47	adddird 11229	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝑏 + 1) · 𝑀) = ((𝑏 · 𝑀) + (1 · 𝑀)))
53	47	mullidd 11222	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (1 · 𝑀) = 𝑀)
54	53	oveq2d 7426	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝑏 · 𝑀) + (1 · 𝑀)) = ((𝑏 · 𝑀) + 𝑀))
55	52, 54	eqtr2d 2799	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝑏 · 𝑀) + 𝑀) = ((𝑏 + 1) · 𝑀))
56	55	oveq2d 7426	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝑁 + ((𝑏 · 𝑀) + 𝑀)) = (𝑁 + ((𝑏 + 1) · 𝑀)))
57	48, 56	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝑁 + (𝑏 · 𝑀)) + 𝑀) = (𝑁 + ((𝑏 + 1) · 𝑀)))
58	57	oveq2d 7426	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Yrm ((𝑁 + (𝑏 · 𝑀)) + 𝑀)) = (𝐴 Yrm (𝑁 + ((𝑏 + 1) · 𝑀))))
59	58	breq2d 5121	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm ((𝑁 + (𝑏 · 𝑀)) + 𝑀)) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + ((𝑏 + 1) · 𝑀)))))
60	44, 59	bitrd 282	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝑏 · 𝑀))) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + ((𝑏 + 1) · 𝑀)))))
61	60	3adant3 1150	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝑏 · 𝑀))))) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝑏 · 𝑀))) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + ((𝑏 + 1) · 𝑀)))))
62	35, 61	bitrd 282	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝑏 · 𝑀))))) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + ((𝑏 + 1) · 𝑀)))))
63	62	3exp 1137	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝑏 · 𝑀)))) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + ((𝑏 + 1) · 𝑀)))))))
64	63	a2d 30	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝑏 · 𝑀))))) → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + ((𝑏 + 1) · 𝑀)))))))
65	6, 12, 18, 24, 34, 64	nn0ind 12686	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝐼 · 𝑀))))))
66	65	com12 33	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝐼 ∈ ℕ0 → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝐼 · 𝑀))))))
67	66	3impia 1135	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝐼 · 𝑀)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11093  0cc0 11095  1c1 11096   + caddc 11098   · cmul 11100  2c2 12290  ℕ₀cn0 12499  ℤcz 12586  ℤ_≥cuz 12857   ∥ cdvds 16305   Y_rm crmy 43628

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173  ax-addf 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-oadd 8453  df-omul 8454  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-fi 9367  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-card 9921  df-acn 9924  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-q 12968  df-rp 13012  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13371  df-ioc 13372  df-ico 13373  df-icc 13374  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-fl 13821  df-mod 13899  df-seq 14034  df-exp 14094  df-fac 14306  df-bc 14335  df-hash 14363  df-shft 15100  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-limsup 15518  df-clim 15535  df-rlim 15536  df-sum 15734  df-ef 16116  df-sin 16118  df-cos 16119  df-pi 16121  df-dvds 16306  df-gcd 16548  df-numer 16789  df-denom 16790  df-struct 17202  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-starv 17320  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-ip 17323  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ds 17327  df-unif 17328  df-hom 17329  df-cco 17330  df-rest 17470  df-topn 17471  df-0g 17489  df-gsum 17490  df-topgen 17491  df-pt 17492  df-prds 17495  df-xrs 17551  df-qtop 17556  df-imas 17557  df-xps 17559  df-mre 17633  df-mrc 17634  df-acs 17636  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-submnd 18837  df-mulg 19129  df-cntz 19382  df-cmn 19847  df-psmet 21514  df-xmet 21515  df-met 21516  df-bl 21517  df-mopn 21518  df-fbas 21519  df-fg 21520  df-cnfld 21523  df-top 23051  df-topon 23068  df-topsp 23090  df-bases 23103  df-cld 23176  df-ntr 23177  df-cls 23178  df-nei 23255  df-lp 23293  df-perf 23294  df-cn 23384  df-cnp 23385  df-haus 23472  df-tx 23719  df-hmeo 23912  df-fil 24003  df-fm 24095  df-flim 24096  df-flf 24097  df-xms 24477  df-ms 24478  df-tms 24479  df-cncf 25037  df-limc 26025  df-dv 26026  df-log 26721  df-squarenn 43568  df-pell1qr 43569  df-pell14qr 43570  df-pell1234qr 43571  df-pellfund 43572  df-rmx 43629  df-rmy 43630

This theorem is referenced by:  jm2.19lem4  43719