Theorem jm2.19lem3 38402

Description: Lemma for jm2.19 38404. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
jm2.19lem3	⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝐼 · 𝑀)))))

Proof of Theorem jm2.19lem3

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 6913	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝑎 · 𝑀) = (0 · 𝑀))
2	1	oveq2d 6922	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝑁 + (𝑎 · 𝑀)) = (𝑁 + (0 · 𝑀)))
3	2	oveq2d 6922	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝑎 · 𝑀))) = (𝐴 Yrm (𝑁 + (0 · 𝑀))))
4	3	breq2d 4886	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝑎 · 𝑀))) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (0 · 𝑀)))))
5	4	bibi2d 334	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 0 → (((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝑎 · 𝑀)))) ↔ ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (0 · 𝑀))))))
6	5	imbi2d 332	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 0 → (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝑎 · 𝑀))))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (0 · 𝑀)))))))
7		oveq1 6913	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑎 · 𝑀) = (𝑏 · 𝑀))
8	7	oveq2d 6922	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑁 + (𝑎 · 𝑀)) = (𝑁 + (𝑏 · 𝑀)))
9	8	oveq2d 6922	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝑎 · 𝑀))) = (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝑏 · 𝑀))))
10	9	breq2d 4886	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝑎 · 𝑀))) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝑏 · 𝑀)))))
11	10	bibi2d 334	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝑎 · 𝑀)))) ↔ ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝑏 · 𝑀))))))
12	11	imbi2d 332	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝑎 · 𝑀))))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝑏 · 𝑀)))))))
13		oveq1 6913	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝑎 · 𝑀) = ((𝑏 + 1) · 𝑀))
14	13	oveq2d 6922	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝑁 + (𝑎 · 𝑀)) = (𝑁 + ((𝑏 + 1) · 𝑀)))
15	14	oveq2d 6922	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝑎 · 𝑀))) = (𝐴 Yrm (𝑁 + ((𝑏 + 1) · 𝑀))))
16	15	breq2d 4886	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝑎 · 𝑀))) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + ((𝑏 + 1) · 𝑀)))))
17	16	bibi2d 334	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝑎 · 𝑀)))) ↔ ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + ((𝑏 + 1) · 𝑀))))))
18	17	imbi2d 332	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝑎 · 𝑀))))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + ((𝑏 + 1) · 𝑀)))))))
19		oveq1 6913	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → (𝑎 · 𝑀) = (𝐼 · 𝑀))
20	19	oveq2d 6922	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → (𝑁 + (𝑎 · 𝑀)) = (𝑁 + (𝐼 · 𝑀)))
21	20	oveq2d 6922	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝑎 · 𝑀))) = (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝐼 · 𝑀))))
22	21	breq2d 4886	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝑎 · 𝑀))) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝐼 · 𝑀)))))
23	22	bibi2d 334	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → (((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝑎 · 𝑀)))) ↔ ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝐼 · 𝑀))))))
24	23	imbi2d 332	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝑎 · 𝑀))))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝐼 · 𝑀)))))))
25		zcn 11710	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
26	25	ad2antrl 721	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℂ)
27	26	mul02d 10554	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (0 · 𝑀) = 0)
28	27	oveq2d 6922	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑁 + (0 · 𝑀)) = (𝑁 + 0))
29		zcn 11710	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
30	29	ad2antll 722	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℂ)
31	30	addid1d 10556	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑁 + 0) = 𝑁)
32	28, 31	eqtr2d 2863	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑁 = (𝑁 + (0 · 𝑀)))
33	32	oveq2d 6922	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝐴 Yrm 𝑁) = (𝐴 Yrm (𝑁 + (0 · 𝑀))))
34	33	breq2d 4886	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (0 · 𝑀)))))
35		simp3 1174	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝑏 · 𝑀))))) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝑏 · 𝑀)))))
36		simprl 789	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
37		simprrl 801	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 𝑀 ∈ ℤ)
38		simprrr 802	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 𝑁 ∈ ℤ)
39		nn0z 11729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → 𝑏 ∈ ℤ)
40	39	adantr 474	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 𝑏 ∈ ℤ)
41	40, 37	zmulcld 11817	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝑏 · 𝑀) ∈ ℤ)
42	38, 41	zaddcld 11815	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝑁 + (𝑏 · 𝑀)) ∈ ℤ)
43		jm2.19lem2 38401	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + (𝑏 · 𝑀)) ∈ ℤ) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝑏 · 𝑀))) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm ((𝑁 + (𝑏 · 𝑀)) + 𝑀))))
44	36, 37, 42, 43	syl3anc 1496	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝑏 · 𝑀))) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm ((𝑁 + (𝑏 · 𝑀)) + 𝑀))))
45	38	zcnd 11812	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 𝑁 ∈ ℂ)
46	41	zcnd 11812	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝑏 · 𝑀) ∈ ℂ)
47	37	zcnd 11812	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 𝑀 ∈ ℂ)
48	45, 46, 47	addassd 10380	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝑁 + (𝑏 · 𝑀)) + 𝑀) = (𝑁 + ((𝑏 · 𝑀) + 𝑀)))
49		nn0cn 11630	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → 𝑏 ∈ ℂ)
50	49	adantr 474	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 𝑏 ∈ ℂ)
51		1cnd 10352	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 1 ∈ ℂ)
52	50, 51, 47	adddird 10383	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝑏 + 1) · 𝑀) = ((𝑏 · 𝑀) + (1 · 𝑀)))
53	47	mulid2d 10376	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (1 · 𝑀) = 𝑀)
54	53	oveq2d 6922	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝑏 · 𝑀) + (1 · 𝑀)) = ((𝑏 · 𝑀) + 𝑀))
55	52, 54	eqtr2d 2863	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝑏 · 𝑀) + 𝑀) = ((𝑏 + 1) · 𝑀))
56	55	oveq2d 6922	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝑁 + ((𝑏 · 𝑀) + 𝑀)) = (𝑁 + ((𝑏 + 1) · 𝑀)))
57	48, 56	eqtrd 2862	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝑁 + (𝑏 · 𝑀)) + 𝑀) = (𝑁 + ((𝑏 + 1) · 𝑀)))
58	57	oveq2d 6922	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → (𝐴 Yrm ((𝑁 + (𝑏 · 𝑀)) + 𝑀)) = (𝐴 Yrm (𝑁 + ((𝑏 + 1) · 𝑀))))
59	58	breq2d 4886	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm ((𝑁 + (𝑏 · 𝑀)) + 𝑀)) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + ((𝑏 + 1) · 𝑀)))))
60	44, 59	bitrd 271	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝑏 · 𝑀))) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + ((𝑏 + 1) · 𝑀)))))
61	60	3adant3 1168	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝑏 · 𝑀))))) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝑏 · 𝑀))) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + ((𝑏 + 1) · 𝑀)))))
62	35, 61	bitrd 271	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝑏 · 𝑀))))) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + ((𝑏 + 1) · 𝑀)))))
63	62	3exp 1154	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝑏 · 𝑀)))) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + ((𝑏 + 1) · 𝑀)))))))
64	63	a2d 29	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝑏 · 𝑀))))) → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + ((𝑏 + 1) · 𝑀)))))))
65	6, 12, 18, 24, 34, 64	nn0ind 11801	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝐼 · 𝑀))))))
66	65	com12 32	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝐼 ∈ ℕ0 → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝐼 · 𝑀))))))
67	66	3impia 1151	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝐼 · 𝑀)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∧ w3a 1113   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   class class class wbr 4874  ‘cfv 6124  (class class class)co 6906  ℂcc 10251  0cc0 10253  1c1 10254   + caddc 10256   · cmul 10258  2c2 11407  ℕ₀cn0 11619  ℤcz 11705  ℤ_≥cuz 11969   ∥ cdvds 15358   Y_rm crmy 38310

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-inf2 8816  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330  ax-pre-sup 10331  ax-addf 10332  ax-mulf 10333

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-fal 1672  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-int 4699  df-iun 4743  df-iin 4744  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-se 5303  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-isom 6133  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-of 7158  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-supp 7561  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-1o 7827  df-2o 7828  df-oadd 7831  df-omul 7832  df-er 8010  df-map 8125  df-pm 8126  df-ixp 8177  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-fin 8227  df-fsupp 8546  df-fi 8587  df-sup 8618  df-inf 8619  df-oi 8685  df-card 9079  df-acn 9082  df-cda 9306  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-div 11011  df-nn 11352  df-2 11415  df-3 11416  df-4 11417  df-5 11418  df-6 11419  df-7 11420  df-8 11421  df-9 11422  df-n0 11620  df-xnn0 11692  df-z 11706  df-dec 11823  df-uz 11970  df-q 12073  df-rp 12114  df-xneg 12233  df-xadd 12234  df-xmul 12235  df-ioo 12468  df-ioc 12469  df-ico 12470  df-icc 12471  df-fz 12621  df-fzo 12762  df-fl 12889  df-mod 12965  df-seq 13097  df-exp 13156  df-fac 13355  df-bc 13384  df-hash 13412  df-shft 14185  df-cj 14217  df-re 14218  df-im 14219  df-sqrt 14353  df-abs 14354  df-limsup 14580  df-clim 14597  df-rlim 14598  df-sum 14795  df-ef 15171  df-sin 15173  df-cos 15174  df-pi 15176  df-dvds 15359  df-gcd 15591  df-numer 15815  df-denom 15816  df-struct 16225  df-ndx 16226  df-slot 16227  df-base 16229  df-sets 16230  df-ress 16231  df-plusg 16319  df-mulr 16320  df-starv 16321  df-sca 16322  df-vsca 16323  df-ip 16324  df-tset 16325  df-ple 16326  df-ds 16328  df-unif 16329  df-hom 16330  df-cco 16331  df-rest 16437  df-topn 16438  df-0g 16456  df-gsum 16457  df-topgen 16458  df-pt 16459  df-prds 16462  df-xrs 16516  df-qtop 16521  df-imas 16522  df-xps 16524  df-mre 16600  df-mrc 16601  df-acs 16603  df-mgm 17596  df-sgrp 17638  df-mnd 17649  df-submnd 17690  df-mulg 17896  df-cntz 18101  df-cmn 18549  df-psmet 20099  df-xmet 20100  df-met 20101  df-bl 20102  df-mopn 20103  df-fbas 20104  df-fg 20105  df-cnfld 20108  df-top 21070  df-topon 21087  df-topsp 21109  df-bases 21122  df-cld 21195  df-ntr 21196  df-cls 21197  df-nei 21274  df-lp 21312  df-perf 21313  df-cn 21403  df-cnp 21404  df-haus 21491  df-tx 21737  df-hmeo 21930  df-fil 22021  df-fm 22113  df-flim 22114  df-flf 22115  df-xms 22496  df-ms 22497  df-tms 22498  df-cncf 23052  df-limc 24030  df-dv 24031  df-log 24703  df-squarenn 38250  df-pell1qr 38251  df-pell14qr 38252  df-pell1234qr 38253  df-pellfund 38254  df-rmx 38311  df-rmy 38312

This theorem is referenced by:  jm2.19lem4  38403