HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  axpjcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axpjcl 30147
Description: Closure of a projection in its subspace. If we consider this together with axpjpj 30167 to be axioms, the need for the ax-hcompl 29949 can often be avoided for the kinds of theorems we are interested in here. An interesting project is to see how far we can go by using them in place of it. In particular, we can prove the orthomodular law pjomli 30182.) (Contributed by NM, 23-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axpjcl ((𝐻C𝐴 ∈ ℋ) → ((proj𝐻)‘𝐴) ∈ 𝐻)

Proof of Theorem axpjcl
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2738 . . 3 ((proj𝐻)‘𝐴) = ((proj𝐻)‘𝐴)
2 pjeq 30146 . . 3 ((𝐻C𝐴 ∈ ℋ) → (((proj𝐻)‘𝐴) = ((proj𝐻)‘𝐴) ↔ (((proj𝐻)‘𝐴) ∈ 𝐻 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (((proj𝐻)‘𝐴) + 𝑥))))
31, 2mpbii 232 . 2 ((𝐻C𝐴 ∈ ℋ) → (((proj𝐻)‘𝐴) ∈ 𝐻 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (((proj𝐻)‘𝐴) + 𝑥)))
43simpld 496 1 ((𝐻C𝐴 ∈ ℋ) → ((proj𝐻)‘𝐴) ∈ 𝐻)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wrex 3072  cfv 6492  (class class class)co 7350  chba 29666   + cva 29667   C cch 29676  cort 29677  projcpjh 29684
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-inf2 9511  ax-cc 10305  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062  ax-pre-sup 11063  ax-addf 11064  ax-mulf 11065  ax-hilex 29746  ax-hfvadd 29747  ax-hvcom 29748  ax-hvass 29749  ax-hv0cl 29750  ax-hvaddid 29751  ax-hfvmul 29752  ax-hvmulid 29753  ax-hvmulass 29754  ax-hvdistr1 29755  ax-hvdistr2 29756  ax-hvmul0 29757  ax-hfi 29826  ax-his1 29829  ax-his2 29830  ax-his3 29831  ax-his4 29832  ax-hcompl 29949
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-iin 4956  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-om 7794  df-1st 7912  df-2nd 7913  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-oadd 8384  df-omul 8385  df-er 8582  df-map 8701  df-pm 8702  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-fin 8821  df-fi 9281  df-sup 9312  df-inf 9313  df-oi 9380  df-card 9809  df-acn 9812  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-div 11747  df-nn 12088  df-2 12150  df-3 12151  df-4 12152  df-n0 12348  df-z 12434  df-uz 12698  df-q 12804  df-rp 12846  df-xneg 12963  df-xadd 12964  df-xmul 12965  df-ico 13200  df-icc 13201  df-fz 13355  df-fl 13627  df-seq 13837  df-exp 13898  df-cj 14919  df-re 14920  df-im 14921  df-sqrt 15055  df-abs 15056  df-clim 15306  df-rlim 15307  df-rest 17240  df-topgen 17261  df-psmet 20717  df-xmet 20718  df-met 20719  df-bl 20720  df-mopn 20721  df-fbas 20722  df-fg 20723  df-top 22171  df-topon 22188  df-bases 22224  df-cld 22298  df-ntr 22299  df-cls 22300  df-nei 22377  df-lm 22508  df-haus 22594  df-fil 23125  df-fm 23217  df-flim 23218  df-flf 23219  df-cfil 24547  df-cau 24548  df-cmet 24549  df-grpo 29240  df-gid 29241  df-ginv 29242  df-gdiv 29243  df-ablo 29292  df-vc 29306  df-nv 29339  df-va 29342  df-ba 29343  df-sm 29344  df-0v 29345  df-vs 29346  df-nmcv 29347  df-ims 29348  df-ssp 29469  df-ph 29560  df-cbn 29610  df-hnorm 29715  df-hba 29716  df-hvsub 29718  df-hlim 29719  df-hcau 29720  df-sh 29954  df-ch 29968  df-oc 29999  df-ch0 30000  df-shs 30055  df-pjh 30142
This theorem is referenced by:  pjhcl  30148  pjcli  30164  pjpjhth  30172  pjoccl  30180  pjspansn  30324  pjorthi  30416  pjcompi  30419
  Copyright terms: Public domain W3C validator