Theorem axpjcl 31158

Description: Closure of a projection in its subspace. If we consider this together with axpjpj 31178 to be axioms, the need for the ax-hcompl 30960 can often be avoided for the kinds of theorems we are interested in here. An interesting project is to see how far we can go by using them in place of it. In particular, we can prove the orthomodular law pjomli 31193.) (Contributed by NM, 23-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axpjcl	⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((projℎ‘𝐻)‘𝐴) ∈ 𝐻)

Proof of Theorem axpjcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2726	. . 3 ⊢ ((projℎ‘𝐻)‘𝐴) = ((projℎ‘𝐻)‘𝐴)
2		pjeq 31157	. . 3 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) = ((projℎ‘𝐻)‘𝐴) ↔ (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) ∈ 𝐻 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) +ℎ 𝑥))))
3	1, 2	mpbii 232	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) ∈ 𝐻 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) +ℎ 𝑥)))
4	3	simpld 494	1 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((projℎ‘𝐻)‘𝐴) ∈ 𝐻)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∃wrex 3064  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404   ℋchba 30677   +_ℎ cva 30678   C_ℋ cch 30687  ⊥cort 30688  proj_ℎcpjh 30695

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cc 10429  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189  ax-hilex 30757  ax-hfvadd 30758  ax-hvcom 30759  ax-hvass 30760  ax-hv0cl 30761  ax-hvaddid 30762  ax-hfvmul 30763  ax-hvmulid 30764  ax-hvmulass 30765  ax-hvdistr1 30766  ax-hvdistr2 30767  ax-hvmul0 30768  ax-hfi 30837  ax-his1 30840  ax-his2 30841  ax-his3 30842  ax-his4 30843  ax-hcompl 30960

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-oadd 8468  df-omul 8469  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-acn 9936  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-xmul 13097  df-ico 13333  df-icc 13334  df-fz 13488  df-fl 13760  df-seq 13970  df-exp 14031  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-rest 17375  df-topgen 17396  df-psmet 21228  df-xmet 21229  df-met 21230  df-bl 21231  df-mopn 21232  df-fbas 21233  df-fg 21234  df-top 22747  df-topon 22764  df-bases 22800  df-cld 22874  df-ntr 22875  df-cls 22876  df-nei 22953  df-lm 23084  df-haus 23170  df-fil 23701  df-fm 23793  df-flim 23794  df-flf 23795  df-cfil 25134  df-cau 25135  df-cmet 25136  df-grpo 30251  df-gid 30252  df-ginv 30253  df-gdiv 30254  df-ablo 30303  df-vc 30317  df-nv 30350  df-va 30353  df-ba 30354  df-sm 30355  df-0v 30356  df-vs 30357  df-nmcv 30358  df-ims 30359  df-ssp 30480  df-ph 30571  df-cbn 30621  df-hnorm 30726  df-hba 30727  df-hvsub 30729  df-hlim 30730  df-hcau 30731  df-sh 30965  df-ch 30979  df-oc 31010  df-ch0 31011  df-shs 31066  df-pjh 31153

This theorem is referenced by:  pjhcl  31159  pjcli  31175  pjpjhth  31183  pjoccl  31191  pjspansn  31335  pjorthi  31427  pjcompi  31430