Theorem axpjcl 29267

Description: Closure of a projection in its subspace. If we consider this together with axpjpj 29287 to be axioms, the need for the ax-hcompl 29069 can often be avoided for the kinds of theorems we are interested in here. An interesting project is to see how far we can go by using them in place of it. In particular, we can prove the orthomodular law pjomli 29302.) (Contributed by NM, 23-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axpjcl	⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((projℎ‘𝐻)‘𝐴) ∈ 𝐻)

Proof of Theorem axpjcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2759	. . 3 ⊢ ((projℎ‘𝐻)‘𝐴) = ((projℎ‘𝐻)‘𝐴)
2		pjeq 29266	. . 3 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) = ((projℎ‘𝐻)‘𝐴) ↔ (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) ∈ 𝐻 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) +ℎ 𝑥))))
3	1, 2	mpbii 236	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) ∈ 𝐻 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) +ℎ 𝑥)))
4	3	simpld 499	1 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((projℎ‘𝐻)‘𝐴) ∈ 𝐻)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  ∃wrex 3069  ‘cfv 6328  (class class class)co 7143   ℋchba 28786   +_ℎ cva 28787   C_ℋ cch 28796  ⊥cort 28797  proj_ℎcpjh 28804

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5149  ax-sep 5162  ax-nul 5169  ax-pow 5227  ax-pr 5291  ax-un 7452  ax-inf2 9122  ax-cc 9880  ax-cnex 10616  ax-resscn 10617  ax-1cn 10618  ax-icn 10619  ax-addcl 10620  ax-addrcl 10621  ax-mulcl 10622  ax-mulrcl 10623  ax-mulcom 10624  ax-addass 10625  ax-mulass 10626  ax-distr 10627  ax-i2m1 10628  ax-1ne0 10629  ax-1rid 10630  ax-rnegex 10631  ax-rrecex 10632  ax-cnre 10633  ax-pre-lttri 10634  ax-pre-lttrn 10635  ax-pre-ltadd 10636  ax-pre-mulgt0 10637  ax-pre-sup 10638  ax-addf 10639  ax-mulf 10640  ax-hilex 28866  ax-hfvadd 28867  ax-hvcom 28868  ax-hvass 28869  ax-hv0cl 28870  ax-hvaddid 28871  ax-hfvmul 28872  ax-hvmulid 28873  ax-hvmulass 28874  ax-hvdistr1 28875  ax-hvdistr2 28876  ax-hvmul0 28877  ax-hfi 28946  ax-his1 28949  ax-his2 28950  ax-his3 28951  ax-his4 28952  ax-hcompl 29069

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2899  df-ne 2950  df-nel 3054  df-ral 3073  df-rex 3074  df-reu 3075  df-rmo 3076  df-rab 3077  df-v 3409  df-sbc 3694  df-csb 3802  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3871  df-pss 3873  df-nul 4222  df-if 4414  df-pw 4489  df-sn 4516  df-pr 4518  df-tp 4520  df-op 4522  df-uni 4792  df-int 4832  df-iun 4878  df-iin 4879  df-br 5026  df-opab 5088  df-mpt 5106  df-tr 5132  df-id 5423  df-eprel 5428  df-po 5436  df-so 5437  df-fr 5476  df-se 5477  df-we 5478  df-xp 5523  df-rel 5524  df-cnv 5525  df-co 5526  df-dm 5527  df-rn 5528  df-res 5529  df-ima 5530  df-pred 6119  df-ord 6165  df-on 6166  df-lim 6167  df-suc 6168  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7101  df-ov 7146  df-oprab 7147  df-mpo 7148  df-om 7573  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-oadd 8109  df-omul 8110  df-er 8292  df-map 8411  df-pm 8412  df-en 8521  df-dom 8522  df-sdom 8523  df-fin 8524  df-fi 8893  df-sup 8924  df-inf 8925  df-oi 8992  df-card 9386  df-acn 9389  df-pnf 10700  df-mnf 10701  df-xr 10702  df-ltxr 10703  df-le 10704  df-sub 10895  df-neg 10896  df-div 11321  df-nn 11660  df-2 11722  df-3 11723  df-4 11724  df-n0 11920  df-z 12006  df-uz 12268  df-q 12374  df-rp 12416  df-xneg 12533  df-xadd 12534  df-xmul 12535  df-ico 12770  df-icc 12771  df-fz 12925  df-fl 13196  df-seq 13404  df-exp 13465  df-cj 14491  df-re 14492  df-im 14493  df-sqrt 14627  df-abs 14628  df-clim 14878  df-rlim 14879  df-rest 16739  df-topgen 16760  df-psmet 20143  df-xmet 20144  df-met 20145  df-bl 20146  df-mopn 20147  df-fbas 20148  df-fg 20149  df-top 21579  df-topon 21596  df-bases 21631  df-cld 21704  df-ntr 21705  df-cls 21706  df-nei 21783  df-lm 21914  df-haus 22000  df-fil 22531  df-fm 22623  df-flim 22624  df-flf 22625  df-cfil 23940  df-cau 23941  df-cmet 23942  df-grpo 28360  df-gid 28361  df-ginv 28362  df-gdiv 28363  df-ablo 28412  df-vc 28426  df-nv 28459  df-va 28462  df-ba 28463  df-sm 28464  df-0v 28465  df-vs 28466  df-nmcv 28467  df-ims 28468  df-ssp 28589  df-ph 28680  df-cbn 28730  df-hnorm 28835  df-hba 28836  df-hvsub 28838  df-hlim 28839  df-hcau 28840  df-sh 29074  df-ch 29088  df-oc 29119  df-ch0 29120  df-shs 29175  df-pjh 29262

This theorem is referenced by:  pjhcl  29268  pjcli  29284  pjpjhth  29292  pjoccl  29300  pjspansn  29444  pjorthi  29536  pjcompi  29539