Theorem pjcli 31501

Description: Closure of a projection in its subspace. (Contributed by NM, 7-Oct-2000.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
pjcl.1	⊢ 𝐻 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
pjcli	⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((projℎ‘𝐻)‘𝐴) ∈ 𝐻)

Proof of Theorem pjcli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjcl.1	. 2 ⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
2		axpjcl 31484	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((projℎ‘𝐻)‘𝐴) ∈ 𝐻)
3	1, 2	mpan 691	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((projℎ‘𝐻)‘𝐴) ∈ 𝐻)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6490   ℋchba 31003   C_ℋ cch 31013  proj_ℎcpjh 31021

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-inf2 9551  ax-cc 10346  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105  ax-addf 11106  ax-mulf 11107  ax-hilex 31083  ax-hfvadd 31084  ax-hvcom 31085  ax-hvass 31086  ax-hv0cl 31087  ax-hvaddid 31088  ax-hfvmul 31089  ax-hvmulid 31090  ax-hvmulass 31091  ax-hvdistr1 31092  ax-hvdistr2 31093  ax-hvmul0 31094  ax-hfi 31163  ax-his1 31166  ax-his2 31167  ax-his3 31168  ax-his4 31169  ax-hcompl 31286

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-2o 8397  df-oadd 8400  df-omul 8401  df-er 8634  df-map 8766  df-pm 8767  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fi 9315  df-sup 9346  df-inf 9347  df-oi 9416  df-card 9852  df-acn 9855  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-4 12235  df-n0 12427  df-z 12514  df-uz 12778  df-q 12888  df-rp 12932  df-xneg 13052  df-xadd 13053  df-xmul 13054  df-ico 13293  df-icc 13294  df-fz 13451  df-fl 13740  df-seq 13953  df-exp 14013  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15439  df-rlim 15440  df-rest 17374  df-topgen 17395  df-psmet 21334  df-xmet 21335  df-met 21336  df-bl 21337  df-mopn 21338  df-fbas 21339  df-fg 21340  df-top 22867  df-topon 22884  df-bases 22919  df-cld 22992  df-ntr 22993  df-cls 22994  df-nei 23071  df-lm 23202  df-haus 23288  df-fil 23819  df-fm 23911  df-flim 23912  df-flf 23913  df-cfil 25230  df-cau 25231  df-cmet 25232  df-grpo 30577  df-gid 30578  df-ginv 30579  df-gdiv 30580  df-ablo 30629  df-vc 30643  df-nv 30676  df-va 30679  df-ba 30680  df-sm 30681  df-0v 30682  df-vs 30683  df-nmcv 30684  df-ims 30685  df-ssp 30806  df-ph 30897  df-cbn 30947  df-hnorm 31052  df-hba 31053  df-hvsub 31055  df-hlim 31056  df-hcau 31057  df-sh 31291  df-ch 31305  df-oc 31336  df-ch0 31337  df-shs 31392  df-pjh 31479

This theorem is referenced by:  pjclii  31505  pjo  31755  pjocini  31782  pjjsi  31784  pjrni  31786  mayete3i  31812  pjcocli  32243  pjss1coi  32247  pjorthcoi  32253  pjcohocli  32287  pj2cocli  32289