Theorem cpmidg2sum 21103

Description: Equality of two sums representing the identity matrix multiplied with the characteristic polynomial of a matrix. (Contributed by AV, 11-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cpmadugsum.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
cpmadugsum.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
cpmadugsum.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
cpmadugsum.y	⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
cpmadugsum.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
cpmadugsum.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
cpmadugsum.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
cpmadugsum.m	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
cpmadugsum.r	⊢ × = (.r‘𝑌)
cpmadugsum.1	⊢ 1 = (1r‘𝑌)
cpmadugsum.g	⊢ + = (+g‘𝑌)
cpmadugsum.s	⊢ − = (-g‘𝑌)
cpmadugsum.i	⊢ 𝐼 = ((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀))
cpmadugsum.j	⊢ 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑃)
cpmadugsum.0	⊢ 0 = (0g‘𝑌)
cpmadugsum.g2	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( 0 − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏‘𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑛))))))))
cpmidgsum2.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
cpmidgsum2.k	⊢ 𝐾 = (𝐶‘𝑀)
cpmidg2sum.u	⊢ 𝑈 = (algSc‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
cpmidg2sum	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (0...𝑠))(𝑌 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑈‘((coe1‘𝐾)‘𝑖)) · 1 )))) = (𝑌 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝐺‘𝑖)))))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑖   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑅,𝑖   𝑖,𝑋   𝑖,𝑌   × ,𝑖   · ,𝑖   1 ,𝑖   𝑖,𝑏,𝑠,𝑇   ↑ ,𝑖   − ,𝑖   𝐴,𝑏,𝑛,𝑠   𝐵,𝑏,𝑛,𝑠   𝐼,𝑏,𝑖,𝑛,𝑠   𝐽,𝑏,𝑖,𝑛,𝑠   𝑀,𝑏,𝑛,𝑠   𝑁,𝑏,𝑛,𝑠   𝑃,𝑖,𝑛   𝑅,𝑏,𝑛,𝑠   𝑇,𝑏,𝑛,𝑠   𝑋,𝑏,𝑛,𝑠   𝑌,𝑏,𝑛,𝑠   ↑ ,𝑛,𝑠,𝑏   · ,𝑏,𝑛,𝑠   𝑖,𝐺   × ,𝑛   0 ,𝑛   − ,𝑛   𝐴,𝑖   𝑖,𝐾

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑖,𝑛,𝑠,𝑏)   𝑃(𝑠,𝑏)   + (𝑖,𝑛,𝑠,𝑏)   × (𝑠,𝑏)   𝑈(𝑖,𝑛,𝑠,𝑏)   1 (𝑛,𝑠,𝑏)   𝐺(𝑛,𝑠,𝑏)   𝐾(𝑛,𝑠,𝑏)   − (𝑠,𝑏)   0 (𝑖,𝑠,𝑏)

Proof of Theorem cpmidg2sum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cpmadugsum.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		cpmadugsum.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
3		cpmadugsum.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		cpmadugsum.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
5		cpmadugsum.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
6		cpmadugsum.e	. . . . . 6 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
7		cpmadugsum.m	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
8		cpmadugsum.1	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘𝑌)
9		cpmidg2sum.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (algSc‘𝑃)
10		cpmidgsum2.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
11		cpmidgsum2.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (𝐶‘𝑀)
12		eqid 2778	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 · 1 ) = (𝐾 · 1 )
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	cpmidgsum 21091	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐾 · 1 ) = (𝑌 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑈‘((coe1‘𝐾)‘𝑖)) · 1 )))))
14	13	eqcomd 2784	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑌 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑈‘((coe1‘𝐾)‘𝑖)) · 1 )))) = (𝐾 · 1 ))
15	14	ad3antrrr 720	. . 3 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (0...𝑠))) ∧ (𝐾 · 1 ) = (𝑌 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝐺‘𝑖))))) → (𝑌 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑈‘((coe1‘𝐾)‘𝑖)) · 1 )))) = (𝐾 · 1 ))
16		simpr 479	. . 3 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (0...𝑠))) ∧ (𝐾 · 1 ) = (𝑌 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝐺‘𝑖))))) → (𝐾 · 1 ) = (𝑌 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝐺‘𝑖)))))
17	15, 16	eqtrd 2814	. 2 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (0...𝑠))) ∧ (𝐾 · 1 ) = (𝑌 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝐺‘𝑖))))) → (𝑌 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑈‘((coe1‘𝐾)‘𝑖)) · 1 )))) = (𝑌 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝐺‘𝑖)))))
18		cpmadugsum.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
19		cpmadugsum.r	. . 3 ⊢ × = (.r‘𝑌)
20		cpmadugsum.g	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑌)
21		cpmadugsum.s	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝑌)
22		cpmadugsum.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = ((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀))
23		cpmadugsum.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑃)
24		cpmadugsum.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑌)
25		cpmadugsum.g2	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( 0 − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏‘𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑛))))))))
26	1, 2, 3, 4, 18, 5, 6, 7, 19, 8, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 10, 11, 12	cpmidgsum2 21102	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (0...𝑠))(𝐾 · 1 ) = (𝑌 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝐺‘𝑖)))))
27	17, 26	reximddv2 3202	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (0...𝑠))(𝑌 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑈‘((coe1‘𝐾)‘𝑖)) · 1 )))) = (𝑌 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝐺‘𝑖)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∧ w3a 1071   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  ∃wrex 3091  ifcif 4307   class class class wbr 4888   ↦ cmpt 4967  ‘cfv 6137  (class class class)co 6924   ↑_𝑚 cmap 8142  Fincfn 8243  0cc0 10274  1c1 10275   + caddc 10277   < clt 10413   − cmin 10608  ℕcn 11379  ℕ₀cn0 11647  ...cfz 12648  Basecbs 16266  +_gcplusg 16349  ._rcmulr 16350   ·_𝑠 cvsca 16353  0_gc0g 16497   Σ_g cgsu 16498  -_gcsg 17822  ._gcmg 17938  mulGrpcmgp 18887  1_rcur 18899  CRingccrg 18946  algSccascl 19719  var₁cv1 19953  Poly₁cpl1 19954  coe₁cco1 19955   Mat cmat 20628   maAdju cmadu 20854   matToPolyMat cmat2pmat 20927   CharPlyMat cchpmat 21049

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-inf2 8837  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351  ax-addf 10353  ax-mulf 10354

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-xor 1583  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-ot 4407  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-iin 4758  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-se 5317  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-isom 6146  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-of 7176  df-ofr 7177  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-supp 7579  df-tpos 7636  df-cur 7677  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-2o 7846  df-oadd 7849  df-er 8028  df-map 8144  df-pm 8145  df-ixp 8197  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-fsupp 8566  df-sup 8638  df-oi 8706  df-card 9100  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-div 11036  df-nn 11380  df-2 11443  df-3 11444  df-4 11445  df-5 11446  df-6 11447  df-7 11448  df-8 11449  df-9 11450  df-n0 11648  df-xnn0 11720  df-z 11734  df-dec 11851  df-uz 11998  df-rp 12143  df-fz 12649  df-fzo 12790  df-seq 13125  df-exp 13184  df-hash 13442  df-word 13606  df-lsw 13659  df-concat 13667  df-s1 13692  df-substr 13737  df-pfx 13786  df-splice 13893  df-reverse 13911  df-s2 14005  df-struct 16268  df-ndx 16269  df-slot 16270  df-base 16272  df-sets 16273  df-ress 16274  df-plusg 16362  df-mulr 16363  df-starv 16364  df-sca 16365  df-vsca 16366  df-ip 16367  df-tset 16368  df-ple 16369  df-ds 16371  df-unif 16372  df-hom 16373  df-cco 16374  df-0g 16499  df-gsum 16500  df-prds 16505  df-pws 16507  df-mre 16643  df-mrc 16644  df-acs 16646  df-mgm 17639  df-sgrp 17681  df-mnd 17692  df-mhm 17732  df-submnd 17733  df-grp 17823  df-minusg 17824  df-sbg 17825  df-mulg 17939  df-subg 17986  df-ghm 18053  df-gim 18096  df-cntz 18144  df-oppg 18170  df-symg 18192  df-pmtr 18256  df-psgn 18305  df-evpm 18306  df-cmn 18592  df-abl 18593  df-mgp 18888  df-ur 18900  df-srg 18904  df-ring 18947  df-cring 18948  df-oppr 19021  df-dvdsr 19039  df-unit 19040  df-invr 19070  df-dvr 19081  df-rnghom 19115  df-drng 19152  df-subrg 19181  df-lmod 19268  df-lss 19336  df-sra 19580  df-rgmod 19581  df-assa 19720  df-ascl 19722  df-psr 19764  df-mvr 19765  df-mpl 19766  df-opsr 19768  df-psr1 19957  df-vr1 19958  df-ply1 19959  df-coe1 19960  df-cnfld 20154  df-zring 20226  df-zrh 20259  df-dsmm 20486  df-frlm 20501  df-mamu 20605  df-mat 20629  df-mdet 20807  df-madu 20856  df-mat2pmat 20930  df-decpmat 20986  df-chpmat 21050

This theorem is referenced by: (None)