Theorem cpmidg2sum 22824

Description: Equality of two sums representing the identity matrix multiplied with the characteristic polynomial of a matrix. (Contributed by AV, 11-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cpmadugsum.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
cpmadugsum.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
cpmadugsum.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
cpmadugsum.y	⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
cpmadugsum.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
cpmadugsum.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
cpmadugsum.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
cpmadugsum.m	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
cpmadugsum.r	⊢ × = (.r‘𝑌)
cpmadugsum.1	⊢ 1 = (1r‘𝑌)
cpmadugsum.g	⊢ + = (+g‘𝑌)
cpmadugsum.s	⊢ − = (-g‘𝑌)
cpmadugsum.i	⊢ 𝐼 = ((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀))
cpmadugsum.j	⊢ 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑃)
cpmadugsum.0	⊢ 0 = (0g‘𝑌)
cpmadugsum.g2	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( 0 − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏‘𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑛))))))))
cpmidgsum2.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
cpmidgsum2.k	⊢ 𝐾 = (𝐶‘𝑀)
cpmidg2sum.u	⊢ 𝑈 = (algSc‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
cpmidg2sum	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))(𝑌 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑈‘((coe1‘𝐾)‘𝑖)) · 1 )))) = (𝑌 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝐺‘𝑖)))))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑖   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑅,𝑖   𝑖,𝑋   𝑖,𝑌   × ,𝑖   · ,𝑖   1 ,𝑖   𝑖,𝑏,𝑠,𝑇   ↑ ,𝑖   − ,𝑖   𝐴,𝑏,𝑛,𝑠   𝐵,𝑏,𝑛,𝑠   𝐼,𝑏,𝑖,𝑛,𝑠   𝐽,𝑏,𝑖,𝑛,𝑠   𝑀,𝑏,𝑛,𝑠   𝑁,𝑏,𝑛,𝑠   𝑃,𝑖,𝑛   𝑅,𝑏,𝑛,𝑠   𝑇,𝑏,𝑛,𝑠   𝑋,𝑏,𝑛,𝑠   𝑌,𝑏,𝑛,𝑠   ↑ ,𝑛,𝑠,𝑏   · ,𝑏,𝑛,𝑠   𝑖,𝐺   × ,𝑛   0 ,𝑛   − ,𝑛   𝐴,𝑖   𝑖,𝐾

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑖,𝑛,𝑠,𝑏)   𝑃(𝑠,𝑏)   + (𝑖,𝑛,𝑠,𝑏)   × (𝑠,𝑏)   𝑈(𝑖,𝑛,𝑠,𝑏)   1 (𝑛,𝑠,𝑏)   𝐺(𝑛,𝑠,𝑏)   𝐾(𝑛,𝑠,𝑏)   − (𝑠,𝑏)   0 (𝑖,𝑠,𝑏)

Proof of Theorem cpmidg2sum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cpmadugsum.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		cpmadugsum.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
3		cpmadugsum.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		cpmadugsum.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
5		cpmadugsum.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
6		cpmadugsum.e	. . . . . 6 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
7		cpmadugsum.m	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
8		cpmadugsum.1	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘𝑌)
9		cpmidg2sum.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (algSc‘𝑃)
10		cpmidgsum2.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
11		cpmidgsum2.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (𝐶‘𝑀)
12		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 · 1 ) = (𝐾 · 1 )
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	cpmidgsum 22812	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐾 · 1 ) = (𝑌 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑈‘((coe1‘𝐾)‘𝑖)) · 1 )))))
14	13	eqcomd 2742	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑌 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑈‘((coe1‘𝐾)‘𝑖)) · 1 )))) = (𝐾 · 1 ))
15	14	ad3antrrr 730	. . 3 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ (𝐾 · 1 ) = (𝑌 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝐺‘𝑖))))) → (𝑌 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑈‘((coe1‘𝐾)‘𝑖)) · 1 )))) = (𝐾 · 1 ))
16		simpr 484	. . 3 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ (𝐾 · 1 ) = (𝑌 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝐺‘𝑖))))) → (𝐾 · 1 ) = (𝑌 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝐺‘𝑖)))))
17	15, 16	eqtrd 2771	. 2 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ (𝐾 · 1 ) = (𝑌 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝐺‘𝑖))))) → (𝑌 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑈‘((coe1‘𝐾)‘𝑖)) · 1 )))) = (𝑌 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝐺‘𝑖)))))
18		cpmadugsum.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
19		cpmadugsum.r	. . 3 ⊢ × = (.r‘𝑌)
20		cpmadugsum.g	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑌)
21		cpmadugsum.s	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝑌)
22		cpmadugsum.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = ((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀))
23		cpmadugsum.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑃)
24		cpmadugsum.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑌)
25		cpmadugsum.g2	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( 0 − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏‘𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑛))))))))
26	1, 2, 3, 4, 18, 5, 6, 7, 19, 8, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 10, 11, 12	cpmidgsum2 22823	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))(𝐾 · 1 ) = (𝑌 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝐺‘𝑖)))))
27	17, 26	reximddv2 3195	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))(𝑌 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑈‘((coe1‘𝐾)‘𝑖)) · 1 )))) = (𝑌 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝐺‘𝑖)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3060  ifcif 4479   class class class wbr 5098   ↦ cmpt 5179  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   ↑_m cmap 8763  Fincfn 8883  0cc0 11026  1c1 11027   + caddc 11029   < clt 11166   − cmin 11364  ℕcn 12145  ℕ₀cn0 12401  ...cfz 13423  Basecbs 17136  +_gcplusg 17177  ._rcmulr 17178   ·_𝑠 cvsca 17181  0_gc0g 17359   Σ_g cgsu 17360  -_gcsg 18865  ._gcmg 18997  mulGrpcmgp 20075  1_rcur 20116  CRingccrg 20169  algSccascl 21807  var₁cv1 22116  Poly₁cpl1 22117  coe₁cco1 22118   Mat cmat 22351   maAdju cmadu 22576   matToPolyMat cmat2pmat 22648   CharPlyMat cchpmat 22770

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-addf 11105  ax-mulf 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1513  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-ot 4589  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-ofr 7623  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-tpos 8168  df-cur 8209  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-map 8765  df-pm 8766  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-sup 9345  df-oi 9415  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-xnn0 12475  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-rp 12906  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-seq 13925  df-exp 13985  df-hash 14254  df-word 14437  df-lsw 14486  df-concat 14494  df-s1 14520  df-substr 14565  df-pfx 14595  df-splice 14673  df-reverse 14682  df-s2 14771  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-starv 17192  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-ip 17195  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-unif 17200  df-hom 17201  df-cco 17202  df-0g 17361  df-gsum 17362  df-prds 17367  df-pws 17369  df-mre 17505  df-mrc 17506  df-acs 17508  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18708  df-submnd 18709  df-efmnd 18794  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18998  df-subg 19053  df-ghm 19142  df-gim 19188  df-cntz 19246  df-oppg 19275  df-symg 19299  df-pmtr 19371  df-psgn 19420  df-evpm 19421  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-rng 20088  df-ur 20117  df-srg 20122  df-ring 20170  df-cring 20171  df-oppr 20273  df-dvdsr 20293  df-unit 20294  df-invr 20324  df-dvr 20337  df-rhm 20408  df-subrng 20479  df-subrg 20503  df-drng 20664  df-lmod 20813  df-lss 20883  df-sra 21125  df-rgmod 21126  df-cnfld 21310  df-zring 21402  df-zrh 21458  df-dsmm 21687  df-frlm 21702  df-assa 21808  df-ascl 21810  df-psr 21865  df-mvr 21866  df-mpl 21867  df-opsr 21869  df-psr1 22120  df-vr1 22121  df-ply1 22122  df-coe1 22123  df-mamu 22335  df-mat 22352  df-mdet 22529  df-madu 22578  df-mat2pmat 22651  df-decpmat 22707  df-chpmat 22771

This theorem is referenced by: (None)