Theorem cpmidg2sum 21937

Description: Equality of two sums representing the identity matrix multiplied with the characteristic polynomial of a matrix. (Contributed by AV, 11-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cpmadugsum.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
cpmadugsum.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
cpmadugsum.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
cpmadugsum.y	⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
cpmadugsum.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
cpmadugsum.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
cpmadugsum.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
cpmadugsum.m	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
cpmadugsum.r	⊢ × = (.r‘𝑌)
cpmadugsum.1	⊢ 1 = (1r‘𝑌)
cpmadugsum.g	⊢ + = (+g‘𝑌)
cpmadugsum.s	⊢ − = (-g‘𝑌)
cpmadugsum.i	⊢ 𝐼 = ((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀))
cpmadugsum.j	⊢ 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑃)
cpmadugsum.0	⊢ 0 = (0g‘𝑌)
cpmadugsum.g2	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( 0 − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏‘𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑛))))))))
cpmidgsum2.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
cpmidgsum2.k	⊢ 𝐾 = (𝐶‘𝑀)
cpmidg2sum.u	⊢ 𝑈 = (algSc‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
cpmidg2sum	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))(𝑌 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑈‘((coe1‘𝐾)‘𝑖)) · 1 )))) = (𝑌 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝐺‘𝑖)))))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑖   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑅,𝑖   𝑖,𝑋   𝑖,𝑌   × ,𝑖   · ,𝑖   1 ,𝑖   𝑖,𝑏,𝑠,𝑇   ↑ ,𝑖   − ,𝑖   𝐴,𝑏,𝑛,𝑠   𝐵,𝑏,𝑛,𝑠   𝐼,𝑏,𝑖,𝑛,𝑠   𝐽,𝑏,𝑖,𝑛,𝑠   𝑀,𝑏,𝑛,𝑠   𝑁,𝑏,𝑛,𝑠   𝑃,𝑖,𝑛   𝑅,𝑏,𝑛,𝑠   𝑇,𝑏,𝑛,𝑠   𝑋,𝑏,𝑛,𝑠   𝑌,𝑏,𝑛,𝑠   ↑ ,𝑛,𝑠,𝑏   · ,𝑏,𝑛,𝑠   𝑖,𝐺   × ,𝑛   0 ,𝑛   − ,𝑛   𝐴,𝑖   𝑖,𝐾

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑖,𝑛,𝑠,𝑏)   𝑃(𝑠,𝑏)   + (𝑖,𝑛,𝑠,𝑏)   × (𝑠,𝑏)   𝑈(𝑖,𝑛,𝑠,𝑏)   1 (𝑛,𝑠,𝑏)   𝐺(𝑛,𝑠,𝑏)   𝐾(𝑛,𝑠,𝑏)   − (𝑠,𝑏)   0 (𝑖,𝑠,𝑏)

Proof of Theorem cpmidg2sum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cpmadugsum.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		cpmadugsum.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
3		cpmadugsum.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		cpmadugsum.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
5		cpmadugsum.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
6		cpmadugsum.e	. . . . . 6 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
7		cpmadugsum.m	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
8		cpmadugsum.1	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘𝑌)
9		cpmidg2sum.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (algSc‘𝑃)
10		cpmidgsum2.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
11		cpmidgsum2.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (𝐶‘𝑀)
12		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 · 1 ) = (𝐾 · 1 )
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	cpmidgsum 21925	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐾 · 1 ) = (𝑌 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑈‘((coe1‘𝐾)‘𝑖)) · 1 )))))
14	13	eqcomd 2744	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑌 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑈‘((coe1‘𝐾)‘𝑖)) · 1 )))) = (𝐾 · 1 ))
15	14	ad3antrrr 726	. . 3 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ (𝐾 · 1 ) = (𝑌 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝐺‘𝑖))))) → (𝑌 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑈‘((coe1‘𝐾)‘𝑖)) · 1 )))) = (𝐾 · 1 ))
16		simpr 484	. . 3 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ (𝐾 · 1 ) = (𝑌 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝐺‘𝑖))))) → (𝐾 · 1 ) = (𝑌 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝐺‘𝑖)))))
17	15, 16	eqtrd 2778	. 2 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ (𝐾 · 1 ) = (𝑌 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝐺‘𝑖))))) → (𝑌 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑈‘((coe1‘𝐾)‘𝑖)) · 1 )))) = (𝑌 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝐺‘𝑖)))))
18		cpmadugsum.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
19		cpmadugsum.r	. . 3 ⊢ × = (.r‘𝑌)
20		cpmadugsum.g	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑌)
21		cpmadugsum.s	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝑌)
22		cpmadugsum.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = ((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀))
23		cpmadugsum.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑃)
24		cpmadugsum.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑌)
25		cpmadugsum.g2	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( 0 − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏‘𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑛))))))))
26	1, 2, 3, 4, 18, 5, 6, 7, 19, 8, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 10, 11, 12	cpmidgsum2 21936	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))(𝐾 · 1 ) = (𝑌 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝐺‘𝑖)))))
27	17, 26	reximddv2 3206	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))(𝑌 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑈‘((coe1‘𝐾)‘𝑖)) · 1 )))) = (𝑌 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝐺‘𝑖)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3064  ifcif 4456   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ↑_m cmap 8573  Fincfn 8691  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   < clt 10940   − cmin 11135  ℕcn 11903  ℕ₀cn0 12163  ...cfz 13168  Basecbs 16840  +_gcplusg 16888  ._rcmulr 16889   ·_𝑠 cvsca 16892  0_gc0g 17067   Σ_g cgsu 17068  -_gcsg 18494  ._gcmg 18615  mulGrpcmgp 19635  1_rcur 19652  CRingccrg 19699  algSccascl 20969  var₁cv1 21257  Poly₁cpl1 21258  coe₁cco1 21259   Mat cmat 21464   maAdju cmadu 21689   matToPolyMat cmat2pmat 21761   CharPlyMat cchpmat 21883

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-addf 10881  ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-xor 1504  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-ot 4567  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-ofr 7512  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-tpos 8013  df-cur 8054  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-sup 9131  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-xnn0 12236  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-word 14146  df-lsw 14194  df-concat 14202  df-s1 14229  df-substr 14282  df-pfx 14312  df-splice 14391  df-reverse 14400  df-s2 14489  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-hom 16912  df-cco 16913  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-prds 17075  df-pws 17077  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-mhm 18345  df-submnd 18346  df-efmnd 18423  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-mulg 18616  df-subg 18667  df-ghm 18747  df-gim 18790  df-cntz 18838  df-oppg 18865  df-symg 18890  df-pmtr 18965  df-psgn 19014  df-evpm 19015  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-srg 19657  df-ring 19700  df-cring 19701  df-oppr 19777  df-dvdsr 19798  df-unit 19799  df-invr 19829  df-dvr 19840  df-rnghom 19874  df-drng 19908  df-subrg 19937  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-sra 20349  df-rgmod 20350  df-cnfld 20511  df-zring 20583  df-zrh 20617  df-dsmm 20849  df-frlm 20864  df-assa 20970  df-ascl 20972  df-psr 21022  df-mvr 21023  df-mpl 21024  df-opsr 21026  df-psr1 21261  df-vr1 21262  df-ply1 21263  df-coe1 21264  df-mamu 21443  df-mat 21465  df-mdet 21642  df-madu 21691  df-mat2pmat 21764  df-decpmat 21820  df-chpmat 21884

This theorem is referenced by: (None)