Theorem pjclii 32035

Description: Closure of a projection in its subspace. (Contributed by NM, 30-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pjcli.1	⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
pjcli.2	⊢ 𝐴 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
pjclii	⊢ ((projℎ‘𝐻)‘𝐴) ∈ 𝐻

Proof of Theorem pjclii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjcli.2	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
2		pjcli.1	. . 3 ⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
3	2	pjcli 32031	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((projℎ‘𝐻)‘𝐴) ∈ 𝐻)
4	1, 3	ax-mp 5	1 ⊢ ((projℎ‘𝐻)‘𝐴) ∈ 𝐻

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6546   ℋchba 31533   C_ℋ cch 31543  proj_ℎcpjh 31551

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-inf2 9652  ax-cc 10523  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287  ax-pre-sup 11288  ax-addf 11289  ax-mulf 11290  ax-hilex 31613  ax-hfvadd 31614  ax-hvcom 31615  ax-hvass 31616  ax-hv0cl 31617  ax-hvaddid 31618  ax-hfvmul 31619  ax-hvmulid 31620  ax-hvmulass 31621  ax-hvdistr1 31622  ax-hvdistr2 31623  ax-hvmul0 31624  ax-hfi 31693  ax-his1 31696  ax-his2 31697  ax-his3 31698  ax-his4 31699  ax-hcompl 31816

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-int 4910  df-iun 4955  df-iin 4956  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-se 5608  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-isom 6555  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7885  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8487  df-2o 8488  df-oadd 8491  df-omul 8492  df-er 8728  df-map 8860  df-pm 8861  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fi 9413  df-sup 9444  df-inf 9445  df-oi 9514  df-card 10030  df-acn 10033  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-div 11984  df-nn 12346  df-2 12415  df-3 12416  df-4 12417  df-n0 12617  df-z 12704  df-uz 12976  df-q 13086  df-rp 13131  df-xneg 13251  df-xadd 13252  df-xmul 13253  df-ico 13492  df-icc 13493  df-fz 13650  df-fl 13942  df-seq 14155  df-exp 14215  df-cj 15278  df-re 15279  df-im 15280  df-sqrt 15414  df-abs 15415  df-clim 15667  df-rlim 15668  df-rest 17605  df-topgen 17626  df-psmet 21682  df-xmet 21683  df-met 21684  df-bl 21685  df-mopn 21686  df-fbas 21687  df-fg 21688  df-top 23224  df-topon 23241  df-bases 23276  df-cld 23349  df-ntr 23350  df-cls 23351  df-nei 23428  df-lm 23559  df-haus 23645  df-fil 24177  df-fm 24269  df-flim 24270  df-flf 24271  df-cfil 25588  df-cau 25589  df-cmet 25590  df-grpo 31107  df-gid 31108  df-ginv 31109  df-gdiv 31110  df-ablo 31159  df-vc 31173  df-nv 31206  df-va 31209  df-ba 31210  df-sm 31211  df-0v 31212  df-vs 31213  df-nmcv 31214  df-ims 31215  df-ssp 31336  df-ph 31427  df-cbn 31477  df-hnorm 31582  df-hba 31583  df-hvsub 31585  df-hlim 31586  df-hcau 31587  df-sh 31821  df-ch 31835  df-oc 31866  df-ch0 31867  df-shs 31922  df-pjh 32009

This theorem is used by:  pjoc1i  32045  pjchi  32046  spansnpji  32192  spanunsni  32193  pjidmi  32287  pjaddii  32289  pjmulii  32291  pjsslem  32293  pjss2i  32294  pjssmii  32295