Theorem pjhcli 31751

Description: Closure of a projection in Hilbert space. (Contributed by NM, 7-Oct-2000.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
pjcl.1	⊢ 𝐻 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
pjhcli	⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((projℎ‘𝐻)‘𝐴) ∈ ℋ)

Proof of Theorem pjhcli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjcl.1	. 2 ⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
2		pjhcl 31734	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((projℎ‘𝐻)‘𝐴) ∈ ℋ)
3	1, 2	mpan 702	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((projℎ‘𝐻)‘𝐴) ∈ ℋ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2143  ‘cfv 6538   ℋchba 31252   C_ℋ cch 31262  proj_ℎcpjh 31270

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-inf2 9611  ax-cc 10420  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179  ax-addf 11180  ax-mulf 11181  ax-hilex 31332  ax-hfvadd 31333  ax-hvcom 31334  ax-hvass 31335  ax-hv0cl 31336  ax-hvaddid 31337  ax-hfvmul 31338  ax-hvmulid 31339  ax-hvmulass 31340  ax-hvdistr1 31341  ax-hvdistr2 31342  ax-hvmul0 31343  ax-hfi 31412  ax-his1 31415  ax-his2 31416  ax-his3 31417  ax-his4 31418  ax-hcompl 31535

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-oadd 8458  df-omul 8459  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-fi 9372  df-sup 9403  df-inf 9404  df-oi 9473  df-card 9926  df-acn 9929  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-q 12974  df-rp 13018  df-xneg 13138  df-xadd 13139  df-xmul 13140  df-ico 13379  df-icc 13380  df-fz 13537  df-fl 13827  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-clim 15541  df-rlim 15542  df-rest 17476  df-topgen 17497  df-psmet 21495  df-xmet 21496  df-met 21497  df-bl 21498  df-mopn 21499  df-fbas 21500  df-fg 21501  df-top 23032  df-topon 23049  df-bases 23084  df-cld 23157  df-ntr 23158  df-cls 23159  df-nei 23236  df-lm 23367  df-haus 23453  df-fil 23984  df-fm 24076  df-flim 24077  df-flf 24078  df-cfil 25395  df-cau 25396  df-cmet 25397  df-grpo 30826  df-gid 30827  df-ginv 30828  df-gdiv 30829  df-ablo 30878  df-vc 30892  df-nv 30925  df-va 30928  df-ba 30929  df-sm 30930  df-0v 30931  df-vs 30932  df-nmcv 30933  df-ims 30934  df-ssp 31055  df-ph 31146  df-cbn 31196  df-hnorm 31301  df-hba 31302  df-hvsub 31304  df-hlim 31305  df-hcau 31306  df-sh 31540  df-ch 31554  df-oc 31585  df-ch0 31586  df-shs 31641  df-pjh 31728

This theorem is referenced by:  pjhclii  31755  pjige0i  32023  mayete3i  32061  ho0val  32083  pjnmopi  32481  pjcocli  32492  pjadjcoi  32494  pjss2coi  32497  pjnormssi  32501  pjorthcoi  32502  pjssposi  32505  pjadj2coi  32537  pj2cocli  32538  pjs14i  32543  strlem5  32588  jplem1  32601