Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hoimbl2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hoimbl2 46680
Description: Any n-dimensional half-open interval is Lebesgue measurable. This is a substep of Proposition 115G (a) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
hoimbl2.k 𝑘𝜑
hoimbl2.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
hoimbl2.s 𝑆 = dom (voln‘𝑋)
hoimbl2.a ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
hoimbl2.b ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
hoimbl2 (𝜑X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵) ∈ 𝑆)
Distinct variable group:   𝑘,𝑋
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝑆(𝑘)

Proof of Theorem hoimbl2
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑋) → 𝑗𝑋)
2 hoimbl2.k . . . . . . . . 9 𝑘𝜑
3 nfv 1914 . . . . . . . . 9 𝑘 𝑗𝑋
42, 3nfan 1899 . . . . . . . 8 𝑘(𝜑𝑗𝑋)
5 nfcsb1v 3923 . . . . . . . . 9 𝑘𝑗 / 𝑘𝐴
6 nfcv 2905 . . . . . . . . 9 𝑘
75, 6nfel 2920 . . . . . . . 8 𝑘𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℝ
84, 7nfim 1896 . . . . . . 7 𝑘((𝜑𝑗𝑋) → 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℝ)
9 eleq1w 2824 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝑋𝑗𝑋))
109anbi2d 630 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘𝑋) ↔ (𝜑𝑗𝑋)))
11 csbeq1a 3913 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗𝐴 = 𝑗 / 𝑘𝐴)
1211eleq1d 2826 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑗 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℝ))
1310, 12imbi12d 344 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ) ↔ ((𝜑𝑗𝑋) → 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℝ)))
14 hoimbl2.a . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
158, 13, 14chvarfv 2240 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑋) → 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℝ)
16 nfcv 2905 . . . . . . 7 𝑘𝑗
1716nfcsb1 3922 . . . . . . 7 𝑘𝑗 / 𝑘𝐴
18 eqid 2737 . . . . . . 7 (𝑘𝑋𝐴) = (𝑘𝑋𝐴)
1916, 17, 11, 18fvmptf 7037 . . . . . 6 ((𝑗𝑋𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐴)
201, 15, 19syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑋) → ((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐴)
2116nfcsb1 3922 . . . . . . . . 9 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵
2221, 6nfel 2920 . . . . . . . 8 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ
234, 22nfim 1896 . . . . . . 7 𝑘((𝜑𝑗𝑋) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)
24 csbeq1a 3913 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐵)
2524eleq1d 2826 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ))
2610, 25imbi12d 344 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ) ↔ ((𝜑𝑗𝑋) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)))
27 hoimbl2.b . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)
2823, 26, 27chvarfv 2240 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑋) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)
29 eqid 2737 . . . . . . 7 (𝑘𝑋𝐵) = (𝑘𝑋𝐵)
3016, 21, 24, 29fvmptf 7037 . . . . . 6 ((𝑗𝑋𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐵)
311, 28, 30syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑋) → ((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐵)
3220, 31oveq12d 7449 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑋) → (((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗)) = (𝑗 / 𝑘𝐴[,)𝑗 / 𝑘𝐵))
3332ixpeq2dva 8952 . . 3 (𝜑X𝑗𝑋 (((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗)) = X𝑗𝑋 (𝑗 / 𝑘𝐴[,)𝑗 / 𝑘𝐵))
34 nfcv 2905 . . . . . 6 𝑗(𝐴[,)𝐵)
35 nfcv 2905 . . . . . . 7 𝑘[,)
365, 35, 21nfov 7461 . . . . . 6 𝑘(𝑗 / 𝑘𝐴[,)𝑗 / 𝑘𝐵)
3711, 24oveq12d 7449 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗 → (𝐴[,)𝐵) = (𝑗 / 𝑘𝐴[,)𝑗 / 𝑘𝐵))
3834, 36, 37cbvixp 8954 . . . . 5 X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵) = X𝑗𝑋 (𝑗 / 𝑘𝐴[,)𝑗 / 𝑘𝐵)
3938eqcomi 2746 . . . 4 X𝑗𝑋 (𝑗 / 𝑘𝐴[,)𝑗 / 𝑘𝐵) = X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵)
4039a1i 11 . . 3 (𝜑X𝑗𝑋 (𝑗 / 𝑘𝐴[,)𝑗 / 𝑘𝐵) = X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵))
4133, 40eqtr2d 2778 . 2 (𝜑X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵) = X𝑗𝑋 (((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗)))
42 hoimbl2.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
43 hoimbl2.s . . 3 𝑆 = dom (voln‘𝑋)
442, 14, 18fmptdf 7137 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝑋𝐴):𝑋⟶ℝ)
452, 27, 29fmptdf 7137 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝑋𝐵):𝑋⟶ℝ)
4642, 43, 44, 45hoimbl 46646 . 2 (𝜑X𝑗𝑋 (((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗)) ∈ 𝑆)
4741, 46eqeltrd 2841 1 (𝜑X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wnf 1783  wcel 2108  csb 3899  cmpt 5225  dom cdm 5685  cfv 6561  (class class class)co 7431  Xcixp 8937  Fincfn 8985  cr 11154  [,)cico 13389  volncvoln 46553
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cc 10475  ax-ac2 10503  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-acn 9982  df-ac 10156  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-prod 15940  df-rest 17467  df-topgen 17488  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-top 22900  df-topon 22917  df-bases 22953  df-cmp 23395  df-ovol 25499  df-vol 25500  df-salg 46324  df-sumge0 46378  df-mea 46465  df-ome 46505  df-caragen 46507  df-ovoln 46552  df-voln 46554
This theorem is referenced by:  vonhoire  46687
  Copyright terms: Public domain W3C validator