Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hoimbl2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hoimbl2 45935
Description: Any n-dimensional half-open interval is Lebesgue measurable. This is a substep of Proposition 115G (a) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
hoimbl2.k β„²π‘˜πœ‘
hoimbl2.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
hoimbl2.s 𝑆 = dom (volnβ€˜π‘‹)
hoimbl2.a ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
hoimbl2.b ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
hoimbl2 (πœ‘ β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐡) ∈ 𝑆)
Distinct variable group:   π‘˜,𝑋
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘˜)   𝐴(π‘˜)   𝐡(π‘˜)   𝑆(π‘˜)

Proof of Theorem hoimbl2
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ 𝑗 ∈ 𝑋)
2 hoimbl2.k . . . . . . . . 9 β„²π‘˜πœ‘
3 nfv 1909 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜ 𝑗 ∈ 𝑋
42, 3nfan 1894 . . . . . . . 8 β„²π‘˜(πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋)
5 nfcsb1v 3913 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜β¦‹π‘— / π‘˜β¦Œπ΄
6 nfcv 2897 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜β„
75, 6nfel 2911 . . . . . . . 8 β„²π‘˜β¦‹π‘— / π‘˜β¦Œπ΄ ∈ ℝ
84, 7nfim 1891 . . . . . . 7 β„²π‘˜((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄ ∈ ℝ)
9 eleq1w 2810 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↔ 𝑗 ∈ 𝑋))
109anbi2d 628 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑗 β†’ ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋)))
11 csbeq1a 3902 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝑗 β†’ 𝐴 = ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄)
1211eleq1d 2812 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (𝐴 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄ ∈ ℝ))
1310, 12imbi12d 344 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ ℝ) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄ ∈ ℝ)))
14 hoimbl2.a . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
158, 13, 14chvarfv 2225 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄ ∈ ℝ)
16 nfcv 2897 . . . . . . 7 β„²π‘˜π‘—
1716nfcsb1 3912 . . . . . . 7 β„²π‘˜β¦‹π‘— / π‘˜β¦Œπ΄
18 eqid 2726 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) = (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)
1916, 17, 11, 18fvmptf 7012 . . . . . 6 ((𝑗 ∈ 𝑋 ∧ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄ ∈ ℝ) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—) = ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄)
201, 15, 19syl2anc 583 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—) = ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄)
2116nfcsb1 3912 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜β¦‹π‘— / π‘˜β¦Œπ΅
2221, 6nfel 2911 . . . . . . . 8 β„²π‘˜β¦‹π‘— / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ ℝ
234, 22nfim 1891 . . . . . . 7 β„²π‘˜((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ ℝ)
24 csbeq1a 3902 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝑗 β†’ 𝐡 = ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅)
2524eleq1d 2812 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (𝐡 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ ℝ))
2610, 25imbi12d 344 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐡 ∈ ℝ) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ ℝ)))
27 hoimbl2.b . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
2823, 26, 27chvarfv 2225 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ ℝ)
29 eqid 2726 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) = (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)
3016, 21, 24, 29fvmptf 7012 . . . . . 6 ((𝑗 ∈ 𝑋 ∧ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ ℝ) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—) = ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅)
311, 28, 30syl2anc 583 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—) = ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅)
3220, 31oveq12d 7422 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)[,)((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—)) = (⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄[,)⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅))
3332ixpeq2dva 8905 . . 3 (πœ‘ β†’ X𝑗 ∈ 𝑋 (((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)[,)((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—)) = X𝑗 ∈ 𝑋 (⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄[,)⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅))
34 nfcv 2897 . . . . . 6 Ⅎ𝑗(𝐴[,)𝐡)
35 nfcv 2897 . . . . . . 7 β„²π‘˜[,)
365, 35, 21nfov 7434 . . . . . 6 β„²π‘˜(⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄[,)⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅)
3711, 24oveq12d 7422 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (𝐴[,)𝐡) = (⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄[,)⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅))
3834, 36, 37cbvixp 8907 . . . . 5 Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐡) = X𝑗 ∈ 𝑋 (⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄[,)⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅)
3938eqcomi 2735 . . . 4 X𝑗 ∈ 𝑋 (⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄[,)⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅) = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐡)
4039a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ X𝑗 ∈ 𝑋 (⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄[,)⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅) = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐡))
4133, 40eqtr2d 2767 . 2 (πœ‘ β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐡) = X𝑗 ∈ 𝑋 (((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)[,)((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—)))
42 hoimbl2.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
43 hoimbl2.s . . 3 𝑆 = dom (volnβ€˜π‘‹)
442, 14, 18fmptdf 7111 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):π‘‹βŸΆβ„)
452, 27, 29fmptdf 7111 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡):π‘‹βŸΆβ„)
4642, 43, 44, 45hoimbl 45901 . 2 (πœ‘ β†’ X𝑗 ∈ 𝑋 (((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)[,)((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—)) ∈ 𝑆)
4741, 46eqeltrd 2827 1 (πœ‘ β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐡) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533  β„²wnf 1777   ∈ wcel 2098  β¦‹csb 3888   ↦ cmpt 5224  dom cdm 5669  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Xcixp 8890  Fincfn 8938  β„cr 11108  [,)cico 13329  volncvoln 45808
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cc 10429  ax-ac2 10457  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-disj 5107  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8209  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-oadd 8468  df-omul 8469  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-dju 9895  df-card 9933  df-acn 9936  df-ac 10110  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-xmul 13097  df-ioo 13331  df-ico 13333  df-icc 13334  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-seq 13970  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-clim 15435  df-rlim 15436  df-sum 15636  df-prod 15853  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-starv 17218  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-unif 17226  df-rest 17374  df-0g 17393  df-topgen 17395  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-grp 18863  df-minusg 18864  df-subg 19047  df-cmn 19699  df-abl 19700  df-mgp 20037  df-rng 20055  df-ur 20084  df-ring 20137  df-cring 20138  df-oppr 20233  df-dvdsr 20256  df-unit 20257  df-invr 20287  df-dvr 20300  df-drng 20586  df-psmet 21227  df-xmet 21228  df-met 21229  df-bl 21230  df-mopn 21231  df-cnfld 21236  df-top 22746  df-topon 22763  df-bases 22799  df-cmp 23241  df-ovol 25343  df-vol 25344  df-salg 45579  df-sumge0 45633  df-mea 45720  df-ome 45760  df-caragen 45762  df-ovoln 45807  df-voln 45809
This theorem is referenced by:  vonhoire  45942
  Copyright terms: Public domain W3C validator