Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hoimbl2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hoimbl2 46196
Description: Any n-dimensional half-open interval is Lebesgue measurable. This is a substep of Proposition 115G (a) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
hoimbl2.k 𝑘𝜑
hoimbl2.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
hoimbl2.s 𝑆 = dom (voln‘𝑋)
hoimbl2.a ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
hoimbl2.b ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
hoimbl2 (𝜑X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵) ∈ 𝑆)
Distinct variable group:   𝑘,𝑋
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝑆(𝑘)

Proof of Theorem hoimbl2
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 483 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑋) → 𝑗𝑋)
2 hoimbl2.k . . . . . . . . 9 𝑘𝜑
3 nfv 1909 . . . . . . . . 9 𝑘 𝑗𝑋
42, 3nfan 1894 . . . . . . . 8 𝑘(𝜑𝑗𝑋)
5 nfcsb1v 3914 . . . . . . . . 9 𝑘𝑗 / 𝑘𝐴
6 nfcv 2891 . . . . . . . . 9 𝑘
75, 6nfel 2906 . . . . . . . 8 𝑘𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℝ
84, 7nfim 1891 . . . . . . 7 𝑘((𝜑𝑗𝑋) → 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℝ)
9 eleq1w 2808 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝑋𝑗𝑋))
109anbi2d 628 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘𝑋) ↔ (𝜑𝑗𝑋)))
11 csbeq1a 3903 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗𝐴 = 𝑗 / 𝑘𝐴)
1211eleq1d 2810 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑗 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℝ))
1310, 12imbi12d 343 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ) ↔ ((𝜑𝑗𝑋) → 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℝ)))
14 hoimbl2.a . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
158, 13, 14chvarfv 2228 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑋) → 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℝ)
16 nfcv 2891 . . . . . . 7 𝑘𝑗
1716nfcsb1 3913 . . . . . . 7 𝑘𝑗 / 𝑘𝐴
18 eqid 2725 . . . . . . 7 (𝑘𝑋𝐴) = (𝑘𝑋𝐴)
1916, 17, 11, 18fvmptf 7025 . . . . . 6 ((𝑗𝑋𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐴)
201, 15, 19syl2anc 582 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑋) → ((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐴)
2116nfcsb1 3913 . . . . . . . . 9 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵
2221, 6nfel 2906 . . . . . . . 8 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ
234, 22nfim 1891 . . . . . . 7 𝑘((𝜑𝑗𝑋) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)
24 csbeq1a 3903 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐵)
2524eleq1d 2810 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ))
2610, 25imbi12d 343 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ) ↔ ((𝜑𝑗𝑋) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)))
27 hoimbl2.b . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)
2823, 26, 27chvarfv 2228 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑋) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)
29 eqid 2725 . . . . . . 7 (𝑘𝑋𝐵) = (𝑘𝑋𝐵)
3016, 21, 24, 29fvmptf 7025 . . . . . 6 ((𝑗𝑋𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐵)
311, 28, 30syl2anc 582 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑋) → ((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐵)
3220, 31oveq12d 7437 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑋) → (((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗)) = (𝑗 / 𝑘𝐴[,)𝑗 / 𝑘𝐵))
3332ixpeq2dva 8931 . . 3 (𝜑X𝑗𝑋 (((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗)) = X𝑗𝑋 (𝑗 / 𝑘𝐴[,)𝑗 / 𝑘𝐵))
34 nfcv 2891 . . . . . 6 𝑗(𝐴[,)𝐵)
35 nfcv 2891 . . . . . . 7 𝑘[,)
365, 35, 21nfov 7449 . . . . . 6 𝑘(𝑗 / 𝑘𝐴[,)𝑗 / 𝑘𝐵)
3711, 24oveq12d 7437 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗 → (𝐴[,)𝐵) = (𝑗 / 𝑘𝐴[,)𝑗 / 𝑘𝐵))
3834, 36, 37cbvixp 8933 . . . . 5 X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵) = X𝑗𝑋 (𝑗 / 𝑘𝐴[,)𝑗 / 𝑘𝐵)
3938eqcomi 2734 . . . 4 X𝑗𝑋 (𝑗 / 𝑘𝐴[,)𝑗 / 𝑘𝐵) = X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵)
4039a1i 11 . . 3 (𝜑X𝑗𝑋 (𝑗 / 𝑘𝐴[,)𝑗 / 𝑘𝐵) = X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵))
4133, 40eqtr2d 2766 . 2 (𝜑X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵) = X𝑗𝑋 (((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗)))
42 hoimbl2.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
43 hoimbl2.s . . 3 𝑆 = dom (voln‘𝑋)
442, 14, 18fmptdf 7126 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝑋𝐴):𝑋⟶ℝ)
452, 27, 29fmptdf 7126 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝑋𝐵):𝑋⟶ℝ)
4642, 43, 44, 45hoimbl 46162 . 2 (𝜑X𝑗𝑋 (((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗)) ∈ 𝑆)
4741, 46eqeltrd 2825 1 (𝜑X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wnf 1777  wcel 2098  csb 3889  cmpt 5232  dom cdm 5678  cfv 6549  (class class class)co 7419  Xcixp 8916  Fincfn 8964  cr 11144  [,)cico 13366  volncvoln 46069
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9671  ax-cc 10465  ax-ac2 10493  ax-cnex 11201  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221  ax-pre-mulgt0 11222  ax-pre-sup 11223  ax-addf 11224  ax-mulf 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-tpos 8232  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-oadd 8491  df-omul 8492  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fi 9441  df-sup 9472  df-inf 9473  df-oi 9540  df-dju 9931  df-card 9969  df-acn 9972  df-ac 10146  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-sub 11483  df-neg 11484  df-div 11909  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13368  df-ico 13370  df-icc 13371  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13798  df-seq 14008  df-exp 14068  df-hash 14334  df-cj 15090  df-re 15091  df-im 15092  df-sqrt 15226  df-abs 15227  df-clim 15476  df-rlim 15477  df-sum 15677  df-prod 15894  df-struct 17135  df-sets 17152  df-slot 17170  df-ndx 17182  df-base 17200  df-ress 17229  df-plusg 17265  df-mulr 17266  df-starv 17267  df-tset 17271  df-ple 17272  df-ds 17274  df-unif 17275  df-rest 17423  df-0g 17442  df-topgen 17444  df-mgm 18619  df-sgrp 18698  df-mnd 18714  df-grp 18917  df-minusg 18918  df-subg 19103  df-cmn 19766  df-abl 19767  df-mgp 20104  df-rng 20122  df-ur 20151  df-ring 20204  df-cring 20205  df-oppr 20302  df-dvdsr 20325  df-unit 20326  df-invr 20356  df-dvr 20369  df-drng 20655  df-psmet 21305  df-xmet 21306  df-met 21307  df-bl 21308  df-mopn 21309  df-cnfld 21314  df-top 22857  df-topon 22874  df-bases 22910  df-cmp 23352  df-ovol 25454  df-vol 25455  df-salg 45840  df-sumge0 45894  df-mea 45981  df-ome 46021  df-caragen 46023  df-ovoln 46068  df-voln 46070
This theorem is referenced by:  vonhoire  46203
  Copyright terms: Public domain W3C validator