Theorem hoimbl2 44459

Description: Any n-dimensional half-open interval is Lebesgue measurable. This is a substep of Proposition 115G (a) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
hoimbl2.k	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
hoimbl2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
hoimbl2.s	⊢ 𝑆 = dom (voln‘𝑋)
hoimbl2.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
hoimbl2.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
hoimbl2	⊢ (𝜑 → X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵) ∈ 𝑆)

Distinct variable group:   𝑘,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝑆(𝑘)

Proof of Theorem hoimbl2

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → 𝑗 ∈ 𝑋)
2		hoimbl2.k	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
3		nfv 1916	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑗 ∈ 𝑋
4	2, 3	nfan 1901	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋)
5		nfcsb1v 3866	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴
6		nfcv 2904	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘ℝ
7	5, 6	nfel 2918	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℝ
8	4, 7	nfim 1898	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℝ)
9		eleq1w 2819	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ 𝑋 ↔ 𝑗 ∈ 𝑋))
10	9	anbi2d 629	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋)))
11		csbeq1a 3855	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐴 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴)
12	11	eleq1d 2821	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℝ))
13	10, 12	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℝ)))
14		hoimbl2.a	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
15	8, 13, 14	chvarfv 2232	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℝ)
16		nfcv 2904	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝑗
17	16	nfcsb1 3865	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴
18		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) = (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)
19	16, 17, 11, 18	fvmptf 6935	. . . . . 6 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑋 ∧ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴)
20	1, 15, 19	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → ((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴)
21	16	nfcsb1 3865	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵
22	21, 6	nfel 2918	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ
23	4, 22	nfim 1898	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ)
24		csbeq1a 3855	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
25	24	eleq1d 2821	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ))
26	10, 25	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ)))
27		hoimbl2.b	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)
28	23, 26, 27	chvarfv 2232	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ)
29		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)
30	16, 21, 24, 29	fvmptf 6935	. . . . . 6 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑋 ∧ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
31	1, 28, 30	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → ((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
32	20, 31	oveq12d 7334	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → (((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗)) = (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴[,)⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵))
33	32	ixpeq2dva 8749	. . 3 ⊢ (𝜑 → X𝑗 ∈ 𝑋 (((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗)) = X𝑗 ∈ 𝑋 (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴[,)⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵))
34		nfcv 2904	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐴[,)𝐵)
35		nfcv 2904	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘[,)
36	5, 35, 21	nfov 7346	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴[,)⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
37	11, 24	oveq12d 7334	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐴[,)𝐵) = (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴[,)⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵))
38	34, 36, 37	cbvixp 8751	. . . . 5 ⊢ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵) = X𝑗 ∈ 𝑋 (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴[,)⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
39	38	eqcomi 2745	. . . 4 ⊢ X𝑗 ∈ 𝑋 (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴[,)⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵) = X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵)
40	39	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → X𝑗 ∈ 𝑋 (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴[,)⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵) = X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵))
41	33, 40	eqtr2d 2777	. 2 ⊢ (𝜑 → X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵) = X𝑗 ∈ 𝑋 (((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗)))
42		hoimbl2.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
43		hoimbl2.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = dom (voln‘𝑋)
44	2, 14, 18	fmptdf 7030	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):𝑋⟶ℝ)
45	2, 27, 29	fmptdf 7030	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵):𝑋⟶ℝ)
46	42, 43, 44, 45	hoimbl 44425	. 2 ⊢ (𝜑 → X𝑗 ∈ 𝑋 (((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗)) ∈ 𝑆)
47	41, 46	eqeltrd 2837	1 ⊢ (𝜑 → X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1540  Ⅎwnf 1784   ∈ wcel 2105  ⦋csb 3841   ↦ cmpt 5169  dom cdm 5607  ‘cfv 6465  (class class class)co 7316  Xcixp 8734  Fincfn 8782  ℝcr 10949  [,)cico 13160  volncvoln 44332

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5237  ax-nul 5244  ax-pow 5302  ax-pr 5366  ax-un 7629  ax-inf2 9476  ax-cc 10270  ax-ac2 10298  ax-cnex 11006  ax-resscn 11007  ax-1cn 11008  ax-icn 11009  ax-addcl 11010  ax-addrcl 11011  ax-mulcl 11012  ax-mulrcl 11013  ax-mulcom 11014  ax-addass 11015  ax-mulass 11016  ax-distr 11017  ax-i2m1 11018  ax-1ne0 11019  ax-1rid 11020  ax-rnegex 11021  ax-rrecex 11022  ax-cnre 11023  ax-pre-lttri 11024  ax-pre-lttrn 11025  ax-pre-ltadd 11026  ax-pre-mulgt0 11027  ax-pre-sup 11028  ax-addf 11029  ax-mulf 11030

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3442  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4471  df-pw 4546  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4850  df-int 4892  df-iun 4938  df-iin 4939  df-disj 5052  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5170  df-tr 5204  df-id 5506  df-eprel 5512  df-po 5520  df-so 5521  df-fr 5562  df-se 5563  df-we 5564  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-pred 6224  df-ord 6291  df-on 6292  df-lim 6293  df-suc 6294  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-isom 6474  df-riota 7273  df-ov 7319  df-oprab 7320  df-mpo 7321  df-of 7574  df-om 7759  df-1st 7877  df-2nd 7878  df-tpos 8090  df-frecs 8145  df-wrecs 8176  df-recs 8250  df-rdg 8289  df-1o 8345  df-2o 8346  df-oadd 8349  df-omul 8350  df-er 8547  df-map 8666  df-pm 8667  df-ixp 8735  df-en 8783  df-dom 8784  df-sdom 8785  df-fin 8786  df-fi 9246  df-sup 9277  df-inf 9278  df-oi 9345  df-dju 9736  df-card 9774  df-acn 9777  df-ac 9951  df-pnf 11090  df-mnf 11091  df-xr 11092  df-ltxr 11093  df-le 11094  df-sub 11286  df-neg 11287  df-div 11712  df-nn 12053  df-2 12115  df-3 12116  df-4 12117  df-5 12118  df-6 12119  df-7 12120  df-8 12121  df-9 12122  df-n0 12313  df-z 12399  df-dec 12517  df-uz 12662  df-q 12768  df-rp 12810  df-xneg 12927  df-xadd 12928  df-xmul 12929  df-ioo 13162  df-ico 13164  df-icc 13165  df-fz 13319  df-fzo 13462  df-fl 13591  df-seq 13801  df-exp 13862  df-hash 14124  df-cj 14886  df-re 14887  df-im 14888  df-sqrt 15022  df-abs 15023  df-clim 15273  df-rlim 15274  df-sum 15474  df-prod 15692  df-struct 16922  df-sets 16939  df-slot 16957  df-ndx 16969  df-base 16987  df-ress 17016  df-plusg 17049  df-mulr 17050  df-starv 17051  df-tset 17055  df-ple 17056  df-ds 17058  df-unif 17059  df-rest 17207  df-0g 17226  df-topgen 17228  df-mgm 18400  df-sgrp 18449  df-mnd 18460  df-grp 18653  df-minusg 18654  df-subg 18825  df-cmn 19460  df-abl 19461  df-mgp 19793  df-ur 19810  df-ring 19857  df-cring 19858  df-oppr 19934  df-dvdsr 19955  df-unit 19956  df-invr 19986  df-dvr 19997  df-drng 20069  df-psmet 20669  df-xmet 20670  df-met 20671  df-bl 20672  df-mopn 20673  df-cnfld 20678  df-top 22123  df-topon 22140  df-bases 22176  df-cmp 22618  df-ovol 24708  df-vol 24709  df-salg 44105  df-sumge0 44157  df-mea 44244  df-ome 44284  df-caragen 44286  df-ovoln 44331  df-voln 44333

This theorem is referenced by:  vonhoire  44466