Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hoimbl2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hoimbl2 41396
Description: Any n-dimensional half-open interval is Lebesgue measurable. This is a substep of Proposition 115G (a) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
hoimbl2.k 𝑘𝜑
hoimbl2.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
hoimbl2.s 𝑆 = dom (voln‘𝑋)
hoimbl2.a ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
hoimbl2.b ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
hoimbl2 (𝜑X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵) ∈ 𝑆)
Distinct variable group:   𝑘,𝑋
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝑆(𝑘)

Proof of Theorem hoimbl2
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 471 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑋) → 𝑗𝑋)
2 hoimbl2.k . . . . . . . . 9 𝑘𝜑
3 nfv 1995 . . . . . . . . 9 𝑘 𝑗𝑋
42, 3nfan 1980 . . . . . . . 8 𝑘(𝜑𝑗𝑋)
5 nfcsb1v 3698 . . . . . . . . 9 𝑘𝑗 / 𝑘𝐴
6 nfcv 2913 . . . . . . . . 9 𝑘
75, 6nfel 2926 . . . . . . . 8 𝑘𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℝ
84, 7nfim 1977 . . . . . . 7 𝑘((𝜑𝑗𝑋) → 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℝ)
9 eleq1w 2833 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝑋𝑗𝑋))
109anbi2d 614 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘𝑋) ↔ (𝜑𝑗𝑋)))
11 csbeq1a 3691 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗𝐴 = 𝑗 / 𝑘𝐴)
1211eleq1d 2835 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑗 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℝ))
1310, 12imbi12d 333 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ) ↔ ((𝜑𝑗𝑋) → 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℝ)))
14 hoimbl2.a . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
158, 13, 14chvar 2424 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑋) → 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℝ)
16 nfcv 2913 . . . . . . 7 𝑘𝑗
1716nfcsb1 3697 . . . . . . 7 𝑘𝑗 / 𝑘𝐴
18 eqid 2771 . . . . . . 7 (𝑘𝑋𝐴) = (𝑘𝑋𝐴)
1916, 17, 11, 18fvmptf 6442 . . . . . 6 ((𝑗𝑋𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐴)
201, 15, 19syl2anc 573 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑋) → ((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐴)
2116nfcsb1 3697 . . . . . . . . 9 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵
2221, 6nfel 2926 . . . . . . . 8 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ
234, 22nfim 1977 . . . . . . 7 𝑘((𝜑𝑗𝑋) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)
24 csbeq1a 3691 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐵)
2524eleq1d 2835 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ))
2610, 25imbi12d 333 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ) ↔ ((𝜑𝑗𝑋) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)))
27 hoimbl2.b . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)
2823, 26, 27chvar 2424 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑋) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)
29 eqid 2771 . . . . . . 7 (𝑘𝑋𝐵) = (𝑘𝑋𝐵)
3016, 21, 24, 29fvmptf 6442 . . . . . 6 ((𝑗𝑋𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐵)
311, 28, 30syl2anc 573 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑋) → ((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐵)
3220, 31oveq12d 6810 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑋) → (((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗)) = (𝑗 / 𝑘𝐴[,)𝑗 / 𝑘𝐵))
3332ixpeq2dva 8077 . . 3 (𝜑X𝑗𝑋 (((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗)) = X𝑗𝑋 (𝑗 / 𝑘𝐴[,)𝑗 / 𝑘𝐵))
34 nfcv 2913 . . . . . 6 𝑗(𝐴[,)𝐵)
35 nfcv 2913 . . . . . . 7 𝑘[,)
365, 35, 21nfov 6821 . . . . . 6 𝑘(𝑗 / 𝑘𝐴[,)𝑗 / 𝑘𝐵)
3711, 24oveq12d 6810 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗 → (𝐴[,)𝐵) = (𝑗 / 𝑘𝐴[,)𝑗 / 𝑘𝐵))
3834, 36, 37cbvixp 8079 . . . . 5 X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵) = X𝑗𝑋 (𝑗 / 𝑘𝐴[,)𝑗 / 𝑘𝐵)
3938eqcomi 2780 . . . 4 X𝑗𝑋 (𝑗 / 𝑘𝐴[,)𝑗 / 𝑘𝐵) = X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵)
4039a1i 11 . . 3 (𝜑X𝑗𝑋 (𝑗 / 𝑘𝐴[,)𝑗 / 𝑘𝐵) = X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵))
4133, 40eqtr2d 2806 . 2 (𝜑X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵) = X𝑗𝑋 (((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗)))
42 hoimbl2.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
43 hoimbl2.s . . 3 𝑆 = dom (voln‘𝑋)
442, 14, 18fmptdf 6528 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝑋𝐴):𝑋⟶ℝ)
452, 27, 29fmptdf 6528 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝑋𝐵):𝑋⟶ℝ)
4642, 43, 44, 45hoimbl 41362 . 2 (𝜑X𝑗𝑋 (((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗)) ∈ 𝑆)
4741, 46eqeltrd 2850 1 (𝜑X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wnf 1856  wcel 2145  csb 3682  cmpt 4863  dom cdm 5249  cfv 6029  (class class class)co 6792  Xcixp 8062  Fincfn 8109  cr 10137  [,)cico 12378  volncvoln 41269
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cc 9459  ax-ac2 9487  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216  ax-addf 10217  ax-mulf 10218
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-disj 4755  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-isom 6038  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-of 7044  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-tpos 7504  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-omul 7718  df-er 7896  df-map 8011  df-pm 8012  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fi 8473  df-sup 8504  df-inf 8505  df-oi 8571  df-card 8965  df-acn 8968  df-ac 9139  df-cda 9192  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11496  df-z 11581  df-dec 11697  df-uz 11890  df-q 11993  df-rp 12032  df-xneg 12147  df-xadd 12148  df-xmul 12149  df-ioo 12380  df-ico 12382  df-icc 12383  df-fz 12530  df-fzo 12670  df-fl 12797  df-seq 13005  df-exp 13064  df-hash 13318  df-cj 14043  df-re 14044  df-im 14045  df-sqrt 14179  df-abs 14180  df-clim 14423  df-rlim 14424  df-sum 14621  df-prod 14839  df-struct 16062  df-ndx 16063  df-slot 16064  df-base 16066  df-sets 16067  df-ress 16068  df-plusg 16158  df-mulr 16159  df-starv 16160  df-tset 16164  df-ple 16165  df-ds 16168  df-unif 16169  df-rest 16287  df-0g 16306  df-topgen 16308  df-mgm 17446  df-sgrp 17488  df-mnd 17499  df-grp 17629  df-minusg 17630  df-subg 17795  df-cmn 18398  df-abl 18399  df-mgp 18694  df-ur 18706  df-ring 18753  df-cring 18754  df-oppr 18827  df-dvdsr 18845  df-unit 18846  df-invr 18876  df-dvr 18887  df-drng 18955  df-psmet 19949  df-xmet 19950  df-met 19951  df-bl 19952  df-mopn 19953  df-cnfld 19958  df-top 20915  df-topon 20932  df-bases 20967  df-cmp 21407  df-ovol 23448  df-vol 23449  df-salg 41043  df-sumge0 41094  df-mea 41181  df-ome 41221  df-caragen 41223  df-ovoln 41268  df-voln 41270
This theorem is referenced by:  vonhoire  41403
  Copyright terms: Public domain W3C validator