Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  aks5lem4a Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem aks5lem4a 43017
Description: Lemma for AKS section 5, reduce hypotheses. (Contributed by metakunt, 17-Jun-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
aks5lema.1 (𝜑 → 𝐾 ∈ Field)
aks5lema.2 𝑃 = (chr‘𝐾)
aks5lema.3 (𝜑 → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∥ 𝑁))
aks5lema.9 𝐵 = (𝑆 /s (𝑆 ~QG 𝐿))
aks5lema.10 𝐿 = ((RSpan‘𝑆)‘{((𝑅(.g‘(mulGrp‘𝑆))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(-g‘𝑆)(1r‘𝑆))})
aks5lema.11 (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
aks5lema.14 ∼ = {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ (𝑒 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑦)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦)))}
aks5lema.15 𝑆 = (Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
aks5lem4a.7 (𝜑 → 𝑀 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅))
aks5lem4a.12 (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
aks5lem4a.13 (𝜑 → [(𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))((var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(+g‘𝑆)((algSc‘𝑆)‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴))))](𝑆 ~QG 𝐿) = [((𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(+g‘𝑆)((algSc‘𝑆)‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴)))](𝑆 ~QG 𝐿))
Assertion
Ref Expression
aks5lem4a (𝜑 → (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴))))‘𝑀)) = (((eval1‘𝐾)‘((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴))))‘(𝑁(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀)))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑒   𝑒,𝐾   𝑒,𝑀   𝑒,𝑁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦, 𝑒, 𝑓)   𝐴(𝑦, 𝑒, 𝑓)   𝐵(𝑦, 𝑓)   𝑃(𝑦, 𝑒, 𝑓)   ∼ (𝑦, 𝑒, 𝑓)   𝑅(𝑦, 𝑒, 𝑓)   𝑆(𝑦, 𝑒, 𝑓)   𝐾(𝑦, 𝑓)   𝐿(𝑦, 𝑒, 𝑓)   𝑀(𝑦, 𝑓)   𝑁(𝑦, 𝑓)
Proof of Theorem aks5lem4a
Dummy variables 𝑐 𝑑 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 aks5lema.1 . 2 (𝜑 → 𝐾 ∈ Field)
2 aks5lema.2 . 2 𝑃 = (chr‘𝐾)
3 aks5lema.3 . 2 (𝜑 → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∥ 𝑁))
4 aks5lema.9 . 2 𝐵 = (𝑆 /s (𝑆 ~QG 𝐿))
5 aks5lema.10 . 2 𝐿 = ((RSpan‘𝑆)‘{((𝑅(.g‘(mulGrp‘𝑆))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(-g‘𝑆)(1r‘𝑆))})
6 aks5lema.11 . 2 (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
7 aks5lema.14 . 2 ∼ = {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ (𝑒 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑦)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦)))}
8 aks5lema.15 . 2 𝑆 = (Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
9 eqid 2765 . 2 (𝑏 ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ↦ ((𝑎 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ ∪ ((ℤRHom‘𝐾) “ 𝑎)) ∘ 𝑏)) = (𝑏 ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ↦ ((𝑎 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ ∪ ((ℤRHom‘𝐾) “ 𝑎)) ∘ 𝑏))
10 eqid 2765 . 2 (𝑎 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ ∪ ((ℤRHom‘𝐾) “ 𝑎)) = (𝑎 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ ∪ ((ℤRHom‘𝐾) “ 𝑎))
11 eqid 2765 . 2 (𝑐 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((eval1‘𝐾)‘𝑐)‘𝑀)) = (𝑐 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((eval1‘𝐾)‘𝑐)‘𝑀))
12 aks5lem4a.7 . 2 (𝜑 → 𝑀 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅))
13 nfcv 2927 . . 3 Ⅎ𝑑∪ (((𝑐 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((eval1‘𝐾)‘𝑐)‘𝑀)) ∘ (𝑏 ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ↦ ((𝑎 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ ∪ ((ℤRHom‘𝐾) “ 𝑎)) ∘ 𝑏))) “ 𝑒)
14 nfcv 2927 . . 3 Ⅎ𝑒∪ (((𝑐 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((eval1‘𝐾)‘𝑐)‘𝑀)) ∘ (𝑏 ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ↦ ((𝑎 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ ∪ ((ℤRHom‘𝐾) “ 𝑎)) ∘ 𝑏))) “ 𝑑)
15 imaeq2 6060 . . . 4 (𝑒 = 𝑑 → (((𝑐 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((eval1‘𝐾)‘𝑐)‘𝑀)) ∘ (𝑏 ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ↦ ((𝑎 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ ∪ ((ℤRHom‘𝐾) “ 𝑎)) ∘ 𝑏))) “ 𝑒) = (((𝑐 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((eval1‘𝐾)‘𝑐)‘𝑀)) ∘ (𝑏 ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ↦ ((𝑎 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ ∪ ((ℤRHom‘𝐾) “ 𝑎)) ∘ 𝑏))) “ 𝑑))
1615unieqd 4887 . . 3 (𝑒 = 𝑑 → ∪ (((𝑐 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((eval1‘𝐾)‘𝑐)‘𝑀)) ∘ (𝑏 ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ↦ ((𝑎 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ ∪ ((ℤRHom‘𝐾) “ 𝑎)) ∘ 𝑏))) “ 𝑒) = ∪ (((𝑐 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((eval1‘𝐾)‘𝑐)‘𝑀)) ∘ (𝑏 ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ↦ ((𝑎 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ ∪ ((ℤRHom‘𝐾) “ 𝑎)) ∘ 𝑏))) “ 𝑑))
1713, 14, 16cbvmpt 5215 . 2 (𝑒 ∈ (Base‘𝐵) ↦ ∪ (((𝑐 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((eval1‘𝐾)‘𝑐)‘𝑀)) ∘ (𝑏 ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ↦ ((𝑎 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ ∪ ((ℤRHom‘𝐾) “ 𝑎)) ∘ 𝑏))) “ 𝑒)) = (𝑑 ∈ (Base‘𝐵) ↦ ∪ (((𝑐 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((eval1‘𝐾)‘𝑐)‘𝑀)) ∘ (𝑏 ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ↦ ((𝑎 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ ∪ ((ℤRHom‘𝐾) “ 𝑎)) ∘ 𝑏))) “ 𝑑))
18 aks5lem4a.12 . 2 (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
19 aks5lem4a.13 . 2 (𝜑 → [(𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))((var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(+g‘𝑆)((algSc‘𝑆)‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴))))](𝑆 ~QG 𝐿) = [((𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(+g‘𝑆)((algSc‘𝑆)‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴)))](𝑆 ~QG 𝐿))
201, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 17, 18, 19aks5lem3a 43016 1 (𝜑 → (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴))))‘𝑀)) = (((eval1‘𝐾)‘((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴))))‘(𝑁(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀)))
Colors of variables:    wff setvar class
This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  {csn 4591  ∪ cuni 4874   class class class wbr 5111  {copab 5175   ↦ cmpt 5194   “ cima 5666   ∘ ccom 5667  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  [cec 8698  ℕcn 12250  ℤcz 12608   ∥ cdvds 16334  ℙcprime 16753  Basecbs 17293  +gcplusg 17334   /s cqus 17583  -gcsg 19048  .gcmg 19179   ~QG cqg 19234  mulGrpcmgp 20262  1rcur 20309  Fieldcfield 20880  RSpancrsp 21383  ℤRHomczrh 21701  chrcchr 21703  ℤ/nℤczn 21704  algSccascl 22054  var1cv1 22388  Poly1cpl1 22389  eval1ce1 22526   PrimRoots cprimroots 42918
This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194  ax-pre-sup 11195  ax-addf 11196  ax-mulf 11197
This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7684  df-ofr 7685  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8163  df-tpos 8228  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-ec 8702  df-qs 8706  df-map 8832  df-pm 8833  df-ixp 8902  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-fsupp 9329  df-sup 9409  df-inf 9410  df-oi 9479  df-card 9941  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11889  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-5 12323  df-6 12324  df-7 12325  df-8 12326  df-9 12327  df-n0 12522  df-z 12609  df-dec 12730  df-uz 12881  df-rp 13035  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-fl 13845  df-mod 13923  df-seq 14058  df-exp 14118  df-hash 14387  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-dvds 16335  df-prm 16754  df-struct 17231  df-sets 17248  df-slot 17266  df-ndx 17278  df-base 17294  df-ress 17315  df-plusg 17347  df-mulr 17348  df-starv 17349  df-sca 17350  df-vsca 17351  df-ip 17352  df-tset 17353  df-ple 17354  df-ds 17356  df-unif 17357  df-hom 17358  df-cco 17359  df-0g 17518  df-gsum 17519  df-prds 17524  df-pws 17526  df-imas 17586  df-qus 17587  df-mre 17662  df-mrc 17663  df-acs 17665  df-mgm 18722  df-sgrp 18811  df-mnd 18827  df-mhm 18880  df-submnd 18881  df-grp 19049  df-minusg 19050  df-sbg 19051  df-mulg 19180  df-subg 19235  df-nsg 19236  df-eqg 19237  df-ghm 19330  df-cntz 19433  df-od 19644  df-cmn 19898  df-abl 19899  df-mgp 20263  df-rng 20277  df-ur 20310  df-srg 20315  df-ring 20363  df-cring 20364  df-oppr 20467  df-dvdsr 20487  df-rhm 20602  df-subrng 20697  df-subrg 20721  df-field 20882  df-lmod 21035  df-lss 21105  df-lsp 21145  df-sra 21346  df-rgmod 21347  df-lidl 21384  df-rsp 21385  df-2idl 21441  df-cnfld 21575  df-zring 21649  df-zrh 21705  df-chr 21707  df-zn 21708  df-assa 22055  df-asp 22056  df-ascl 22057  df-psr 22111  df-mvr 22112  df-mpl 22113  df-opsr 22115  df-evls 22277  df-evl 22278  df-psr1 22392  df-vr1 22393  df-ply1 22394  df-coe1 22395  df-evls1 22527  df-evl1 22528  df-primroots 42919
This theorem is used by:  aks5lem5a  43018
  Copyright terms: Public domain W3C validator