Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  aks5lem4a Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem aks5lem4a 42807
Description: Lemma for AKS section 5, reduce hypotheses. (Contributed by metakunt, 17-Jun-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
aks5lema.1 (𝜑 → 𝐾 ∈ Field)
aks5lema.2 𝑃 = (chr‘𝐾)
aks5lema.3 (𝜑 → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∥ 𝑁))
aks5lema.9 𝐵 = (𝑆 /s (𝑆 ~QG 𝐿))
aks5lema.10 𝐿 = ((RSpan‘𝑆)‘{((𝑅(.g‘(mulGrp‘𝑆))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(-g‘𝑆)(1r‘𝑆))})
aks5lema.11 (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
aks5lema.14 ∼ = {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ (𝑒 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑦)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦)))}
aks5lema.15 𝑆 = (Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
aks5lem4a.7 (𝜑 → 𝑀 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅))
aks5lem4a.12 (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
aks5lem4a.13 (𝜑 → [(𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))((var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(+g‘𝑆)((algSc‘𝑆)‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴))))](𝑆 ~QG 𝐿) = [((𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(+g‘𝑆)((algSc‘𝑆)‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴)))](𝑆 ~QG 𝐿))
Assertion
Ref Expression
aks5lem4a (𝜑 → (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴))))‘𝑀)) = (((eval1‘𝐾)‘((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴))))‘(𝑁(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀)))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑒   𝑒,𝐾   𝑒,𝑀   𝑒,𝑁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑒,𝑓)   𝐴(𝑦,𝑒,𝑓)   𝐵(𝑦,𝑓)   𝑃(𝑦,𝑒,𝑓)   ∼ (𝑦,𝑒,𝑓)   𝑅(𝑦,𝑒,𝑓)   𝑆(𝑦,𝑒,𝑓)   𝐾(𝑦,𝑓)   𝐿(𝑦,𝑒,𝑓)   𝑀(𝑦,𝑓)   𝑁(𝑦,𝑓)
Proof of Theorem aks5lem4a
Dummy variables 𝑐 𝑑 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 aks5lema.1 . 2 (𝜑 → 𝐾 ∈ Field)
2 aks5lema.2 . 2 𝑃 = (chr‘𝐾)
3 aks5lema.3 . 2 (𝜑 → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∥ 𝑁))
4 aks5lema.9 . 2 𝐵 = (𝑆 /s (𝑆 ~QG 𝐿))
5 aks5lema.10 . 2 𝐿 = ((RSpan‘𝑆)‘{((𝑅(.g‘(mulGrp‘𝑆))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(-g‘𝑆)(1r‘𝑆))})
6 aks5lema.11 . 2 (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
7 aks5lema.14 . 2 ∼ = {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ (𝑒 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑦)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦)))}
8 aks5lema.15 . 2 𝑆 = (Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
9 eqid 2762 . 2 (𝑏 ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ↦ ((𝑎 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ ∪ ((ℤRHom‘𝐾) “ 𝑎)) ∘ 𝑏)) = (𝑏 ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ↦ ((𝑎 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ ∪ ((ℤRHom‘𝐾) “ 𝑎)) ∘ 𝑏))
10 eqid 2762 . 2 (𝑎 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ ∪ ((ℤRHom‘𝐾) “ 𝑎)) = (𝑎 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ ∪ ((ℤRHom‘𝐾) “ 𝑎))
11 eqid 2762 . 2 (𝑐 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((eval1‘𝐾)‘𝑐)‘𝑀)) = (𝑐 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((eval1‘𝐾)‘𝑐)‘𝑀))
12 aks5lem4a.7 . 2 (𝜑 → 𝑀 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅))
13 nfcv 2924 . . 3 Ⅎ𝑑∪ (((𝑐 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((eval1‘𝐾)‘𝑐)‘𝑀)) ∘ (𝑏 ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ↦ ((𝑎 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ ∪ ((ℤRHom‘𝐾) “ 𝑎)) ∘ 𝑏))) “ 𝑒)
14 nfcv 2924 . . 3 Ⅎ𝑒∪ (((𝑐 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((eval1‘𝐾)‘𝑐)‘𝑀)) ∘ (𝑏 ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ↦ ((𝑎 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ ∪ ((ℤRHom‘𝐾) “ 𝑎)) ∘ 𝑏))) “ 𝑑)
15 imaeq2 6045 . . . 4 (𝑒 = 𝑑 → (((𝑐 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((eval1‘𝐾)‘𝑐)‘𝑀)) ∘ (𝑏 ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ↦ ((𝑎 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ ∪ ((ℤRHom‘𝐾) “ 𝑎)) ∘ 𝑏))) “ 𝑒) = (((𝑐 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((eval1‘𝐾)‘𝑐)‘𝑀)) ∘ (𝑏 ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ↦ ((𝑎 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ ∪ ((ℤRHom‘𝐾) “ 𝑎)) ∘ 𝑏))) “ 𝑑))
1615unieqd 4878 . . 3 (𝑒 = 𝑑 → ∪ (((𝑐 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((eval1‘𝐾)‘𝑐)‘𝑀)) ∘ (𝑏 ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ↦ ((𝑎 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ ∪ ((ℤRHom‘𝐾) “ 𝑎)) ∘ 𝑏))) “ 𝑒) = ∪ (((𝑐 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((eval1‘𝐾)‘𝑐)‘𝑀)) ∘ (𝑏 ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ↦ ((𝑎 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ ∪ ((ℤRHom‘𝐾) “ 𝑎)) ∘ 𝑏))) “ 𝑑))
1713, 14, 16cbvmpt 5202 . 2 (𝑒 ∈ (Base‘𝐵) ↦ ∪ (((𝑐 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((eval1‘𝐾)‘𝑐)‘𝑀)) ∘ (𝑏 ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ↦ ((𝑎 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ ∪ ((ℤRHom‘𝐾) “ 𝑎)) ∘ 𝑏))) “ 𝑒)) = (𝑑 ∈ (Base‘𝐵) ↦ ∪ (((𝑐 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((eval1‘𝐾)‘𝑐)‘𝑀)) ∘ (𝑏 ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ↦ ((𝑎 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ ∪ ((ℤRHom‘𝐾) “ 𝑎)) ∘ 𝑏))) “ 𝑑))
18 aks5lem4a.12 . 2 (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
19 aks5lem4a.13 . 2 (𝜑 → [(𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))((var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(+g‘𝑆)((algSc‘𝑆)‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴))))](𝑆 ~QG 𝐿) = [((𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(+g‘𝑆)((algSc‘𝑆)‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴)))](𝑆 ~QG 𝐿))
201, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 17, 18, 19aks5lem3a 42806 1 (𝜑 → (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴))))‘𝑀)) = (((eval1‘𝐾)‘((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴))))‘(𝑁(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1098   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  ∀wral 3076  {csn 4582  ∪ cuni 4865   class class class wbr 5100  {copab 5162   ↦ cmpt 5181   “ cima 5650   ∘ ccom 5651  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  [cec 8676  ℕcn 12210  ℤcz 12568   ∥ cdvds 16286  ℙcprime 16705  Basecbs 17245  +gcplusg 17286   /s cqus 17535  -gcsg 18977  .gcmg 19109   ~QG cqg 19164  mulGrpcmgp 20186  1rcur 20231  Fieldcfield 20780  RSpancrsp 21277  ℤRHomczrh 21551  chrcchr 21553  ℤ/nℤczn 21554  algSccascl 21904  var1cv1 22238  Poly1cpl1 22239  eval1ce1 22377   PrimRoots cprimroots 42708
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151  ax-addf 11152  ax-mulf 11153
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-iin 4952  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-of 7660  df-ofr 7661  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8141  df-tpos 8206  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8678  df-ec 8680  df-qs 8684  df-map 8810  df-pm 8811  df-ixp 8880  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fsupp 9308  df-sup 9388  df-inf 9389  df-oi 9458  df-card 9897  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12482  df-z 12569  df-dec 12689  df-uz 12840  df-rp 12994  df-fz 13513  df-fzo 13660  df-fl 13802  df-mod 13880  df-seq 14015  df-exp 14075  df-hash 14344  df-cj 15126  df-re 15127  df-im 15128  df-sqrt 15262  df-abs 15263  df-dvds 16287  df-prm 16706  df-struct 17183  df-sets 17200  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-ress 17267  df-plusg 17299  df-mulr 17300  df-starv 17301  df-sca 17302  df-vsca 17303  df-ip 17304  df-tset 17305  df-ple 17306  df-ds 17308  df-unif 17309  df-hom 17310  df-cco 17311  df-0g 17470  df-gsum 17471  df-prds 17476  df-pws 17478  df-imas 17538  df-qus 17539  df-mre 17614  df-mrc 17615  df-acs 17617  df-mgm 18674  df-sgrp 18753  df-mnd 18769  df-mhm 18817  df-submnd 18818  df-grp 18978  df-minusg 18979  df-sbg 18980  df-mulg 19110  df-subg 19165  df-nsg 19166  df-eqg 19167  df-ghm 19254  df-cntz 19357  df-od 19568  df-cmn 19822  df-abl 19823  df-mgp 20187  df-rng 20199  df-ur 20232  df-srg 20237  df-ring 20285  df-cring 20286  df-oppr 20386  df-dvdsr 20406  df-rhm 20521  df-subrng 20596  df-subrg 20620  df-field 20782  df-lmod 20929  df-lss 20999  df-lsp 21039  df-sra 21240  df-rgmod 21241  df-lidl 21278  df-rsp 21279  df-2idl 21320  df-cnfld 21425  df-zring 21499  df-zrh 21555  df-chr 21557  df-zn 21558  df-assa 21905  df-asp 21906  df-ascl 21907  df-psr 21961  df-mvr 21962  df-mpl 21963  df-opsr 21965  df-evls 22127  df-evl 22128  df-psr1 22242  df-vr1 22243  df-ply1 22244  df-coe1 22245  df-evls1 22378  df-evl1 22379  df-primroots 42709
This theorem is referenced by:  aks5lem5a  42808
  Copyright terms: Public domain W3C validator