Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  aks5lem4a Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem aks5lem4a 42163
Description: Lemma for AKS section 5, reduce hypotheses. (Contributed by metakunt, 17-Jun-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
aks5lema.1 (𝜑 → 𝐾 ∈ Field)
aks5lema.2 𝑃 = (chr‘𝐾)
aks5lema.3 (𝜑 → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∥ 𝑁))
aks5lema.9 𝐵 = (𝑆 /s (𝑆 ~QG 𝐿))
aks5lema.10 𝐿 = ((RSpan‘𝑆)‘{((𝑅(.g‘(mulGrp‘𝑆))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(-g‘𝑆)(1r‘𝑆))})
aks5lema.11 (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
aks5lema.14 ∼ = {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ (𝑒 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑦)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦)))}
aks5lema.15 𝑆 = (Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
aks5lem4a.7 (𝜑 → 𝑀 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅))
aks5lem4a.12 (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
aks5lem4a.13 (𝜑 → [(𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))((var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(+g‘𝑆)((algSc‘𝑆)‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴))))](𝑆 ~QG 𝐿) = [((𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(+g‘𝑆)((algSc‘𝑆)‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴)))](𝑆 ~QG 𝐿))
Assertion
Ref Expression
aks5lem4a (𝜑 → (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴))))‘𝑀)) = (((eval1‘𝐾)‘((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴))))‘(𝑁(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀)))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑒   𝑒,𝐾   𝑒,𝑀   𝑒,𝑁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑒,𝑓)   𝐴(𝑦,𝑒,𝑓)   𝐵(𝑦,𝑓)   𝑃(𝑦,𝑒,𝑓)   ∼ (𝑦,𝑒,𝑓)   𝑅(𝑦,𝑒,𝑓)   𝑆(𝑦,𝑒,𝑓)   𝐾(𝑦,𝑓)   𝐿(𝑦,𝑒,𝑓)   𝑀(𝑦,𝑓)   𝑁(𝑦,𝑓)
Proof of Theorem aks5lem4a
Dummy variables 𝑐 𝑑 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 aks5lema.1 . 2 (𝜑 → 𝐾 ∈ Field)
2 aks5lema.2 . 2 𝑃 = (chr‘𝐾)
3 aks5lema.3 . 2 (𝜑 → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∥ 𝑁))
4 aks5lema.9 . 2 𝐵 = (𝑆 /s (𝑆 ~QG 𝐿))
5 aks5lema.10 . 2 𝐿 = ((RSpan‘𝑆)‘{((𝑅(.g‘(mulGrp‘𝑆))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(-g‘𝑆)(1r‘𝑆))})
6 aks5lema.11 . 2 (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
7 aks5lema.14 . 2 ∼ = {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ (𝑒 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑦)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦)))}
8 aks5lema.15 . 2 𝑆 = (Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
9 eqid 2729 . 2 (𝑏 ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ↦ ((𝑎 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ ∪ ((ℤRHom‘𝐾) “ 𝑎)) ∘ 𝑏)) = (𝑏 ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ↦ ((𝑎 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ ∪ ((ℤRHom‘𝐾) “ 𝑎)) ∘ 𝑏))
10 eqid 2729 . 2 (𝑎 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ ∪ ((ℤRHom‘𝐾) “ 𝑎)) = (𝑎 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ ∪ ((ℤRHom‘𝐾) “ 𝑎))
11 eqid 2729 . 2 (𝑐 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((eval1‘𝐾)‘𝑐)‘𝑀)) = (𝑐 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((eval1‘𝐾)‘𝑐)‘𝑀))
12 aks5lem4a.7 . 2 (𝜑 → 𝑀 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅))
13 nfcv 2891 . . 3 Ⅎ𝑑∪ (((𝑐 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((eval1‘𝐾)‘𝑐)‘𝑀)) ∘ (𝑏 ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ↦ ((𝑎 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ ∪ ((ℤRHom‘𝐾) “ 𝑎)) ∘ 𝑏))) “ 𝑒)
14 nfcv 2891 . . 3 Ⅎ𝑒∪ (((𝑐 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((eval1‘𝐾)‘𝑐)‘𝑀)) ∘ (𝑏 ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ↦ ((𝑎 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ ∪ ((ℤRHom‘𝐾) “ 𝑎)) ∘ 𝑏))) “ 𝑑)
15 imaeq2 6007 . . . 4 (𝑒 = 𝑑 → (((𝑐 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((eval1‘𝐾)‘𝑐)‘𝑀)) ∘ (𝑏 ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ↦ ((𝑎 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ ∪ ((ℤRHom‘𝐾) “ 𝑎)) ∘ 𝑏))) “ 𝑒) = (((𝑐 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((eval1‘𝐾)‘𝑐)‘𝑀)) ∘ (𝑏 ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ↦ ((𝑎 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ ∪ ((ℤRHom‘𝐾) “ 𝑎)) ∘ 𝑏))) “ 𝑑))
1615unieqd 4871 . . 3 (𝑒 = 𝑑 → ∪ (((𝑐 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((eval1‘𝐾)‘𝑐)‘𝑀)) ∘ (𝑏 ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ↦ ((𝑎 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ ∪ ((ℤRHom‘𝐾) “ 𝑎)) ∘ 𝑏))) “ 𝑒) = ∪ (((𝑐 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((eval1‘𝐾)‘𝑐)‘𝑀)) ∘ (𝑏 ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ↦ ((𝑎 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ ∪ ((ℤRHom‘𝐾) “ 𝑎)) ∘ 𝑏))) “ 𝑑))
1713, 14, 16cbvmpt 5194 . 2 (𝑒 ∈ (Base‘𝐵) ↦ ∪ (((𝑐 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((eval1‘𝐾)‘𝑐)‘𝑀)) ∘ (𝑏 ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ↦ ((𝑎 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ ∪ ((ℤRHom‘𝐾) “ 𝑎)) ∘ 𝑏))) “ 𝑒)) = (𝑑 ∈ (Base‘𝐵) ↦ ∪ (((𝑐 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((eval1‘𝐾)‘𝑐)‘𝑀)) ∘ (𝑏 ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ↦ ((𝑎 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ ∪ ((ℤRHom‘𝐾) “ 𝑎)) ∘ 𝑏))) “ 𝑑))
18 aks5lem4a.12 . 2 (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
19 aks5lem4a.13 . 2 (𝜑 → [(𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))((var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(+g‘𝑆)((algSc‘𝑆)‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴))))](𝑆 ~QG 𝐿) = [((𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(+g‘𝑆)((algSc‘𝑆)‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴)))](𝑆 ~QG 𝐿))
201, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 17, 18, 19aks5lem3a 42162 1 (𝜑 → (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴))))‘𝑀)) = (((eval1‘𝐾)‘((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴))))‘(𝑁(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  {csn 4577  ∪ cuni 4858   class class class wbr 5092  {copab 5154   ↦ cmpt 5173   “ cima 5622   ∘ ccom 5623  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  [cec 8623  ℕcn 12128  ℤcz 12471   ∥ cdvds 16163  ℙcprime 16582  Basecbs 17120  +gcplusg 17161   /s cqus 17409  -gcsg 18814  .gcmg 18946   ~QG cqg 19001  mulGrpcmgp 20025  1rcur 20066  Fieldcfield 20615  RSpancrsp 21114  ℤRHomczrh 21406  chrcchr 21408  ℤ/nℤczn 21409  algSccascl 21759  var1cv1 22058  Poly1cpl1 22059  eval1ce1 22199   PrimRoots cprimroots 42064
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087  ax-addf 11088  ax-mulf 11089
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-of 7613  df-ofr 7614  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-supp 8094  df-tpos 8159  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-er 8625  df-ec 8627  df-qs 8631  df-map 8755  df-pm 8756  df-ixp 8825  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-fsupp 9252  df-sup 9332  df-inf 9333  df-oi 9402  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-rp 12894  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-fl 13696  df-mod 13774  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-dvds 16164  df-prm 16583  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-hom 17185  df-cco 17186  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-prds 17351  df-pws 17353  df-imas 17412  df-qus 17413  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-mhm 18657  df-submnd 18658  df-grp 18815  df-minusg 18816  df-sbg 18817  df-mulg 18947  df-subg 19002  df-nsg 19003  df-eqg 19004  df-ghm 19092  df-cntz 19196  df-od 19407  df-cmn 19661  df-abl 19662  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-srg 20072  df-ring 20120  df-cring 20121  df-oppr 20222  df-dvdsr 20242  df-rhm 20357  df-subrng 20431  df-subrg 20455  df-field 20617  df-lmod 20765  df-lss 20835  df-lsp 20875  df-sra 21077  df-rgmod 21078  df-lidl 21115  df-rsp 21116  df-2idl 21157  df-cnfld 21262  df-zring 21354  df-zrh 21410  df-chr 21412  df-zn 21413  df-assa 21760  df-asp 21761  df-ascl 21762  df-psr 21816  df-mvr 21817  df-mpl 21818  df-opsr 21820  df-evls 21979  df-evl 21980  df-psr1 22062  df-vr1 22063  df-ply1 22064  df-coe1 22065  df-evls1 22200  df-evl1 22201  df-primroots 42065
This theorem is referenced by:  aks5lem5a  42164
  Copyright terms: Public domain W3C validator