Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  aks5lem4a Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem aks5lem4a 42151
Description: Lemma for AKS section 5, reduce hypotheses. (Contributed by metakunt, 17-Jun-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
aks5lema.1 (𝜑 → 𝐾 ∈ Field)
aks5lema.2 𝑃 = (chr‘𝐾)
aks5lema.3 (𝜑 → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∥ 𝑁))
aks5lema.9 𝐵 = (𝑆 /s (𝑆 ~QG 𝐿))
aks5lema.10 𝐿 = ((RSpan‘𝑆)‘{((𝑅(.g‘(mulGrp‘𝑆))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(-g‘𝑆)(1r‘𝑆))})
aks5lema.11 (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
aks5lema.14 ∼ = {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ (𝑒 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑦)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦)))}
aks5lema.15 𝑆 = (Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
aks5lem4a.7 (𝜑 → 𝑀 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅))
aks5lem4a.12 (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
aks5lem4a.13 (𝜑 → [(𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))((var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(+g‘𝑆)((algSc‘𝑆)‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴))))](𝑆 ~QG 𝐿) = [((𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(+g‘𝑆)((algSc‘𝑆)‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴)))](𝑆 ~QG 𝐿))
Assertion
Ref Expression
aks5lem4a (𝜑 → (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴))))‘𝑀)) = (((eval1‘𝐾)‘((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴))))‘(𝑁(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀)))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑒   𝑒,𝐾   𝑒,𝑀   𝑒,𝑁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑒,𝑓)   𝐴(𝑦,𝑒,𝑓)   𝐵(𝑦,𝑓)   𝑃(𝑦,𝑒,𝑓)   ∼ (𝑦,𝑒,𝑓)   𝑅(𝑦,𝑒,𝑓)   𝑆(𝑦,𝑒,𝑓)   𝐾(𝑦,𝑓)   𝐿(𝑦,𝑒,𝑓)   𝑀(𝑦,𝑓)   𝑁(𝑦,𝑓)
Proof of Theorem aks5lem4a
Dummy variables 𝑐 𝑑 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 aks5lema.1 . 2 (𝜑 → 𝐾 ∈ Field)
2 aks5lema.2 . 2 𝑃 = (chr‘𝐾)
3 aks5lema.3 . 2 (𝜑 → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∥ 𝑁))
4 aks5lema.9 . 2 𝐵 = (𝑆 /s (𝑆 ~QG 𝐿))
5 aks5lema.10 . 2 𝐿 = ((RSpan‘𝑆)‘{((𝑅(.g‘(mulGrp‘𝑆))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(-g‘𝑆)(1r‘𝑆))})
6 aks5lema.11 . 2 (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
7 aks5lema.14 . 2 ∼ = {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ (𝑒 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑦)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦)))}
8 aks5lema.15 . 2 𝑆 = (Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
9 eqid 2729 . 2 (𝑏 ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ↦ ((𝑎 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ ∪ ((ℤRHom‘𝐾) “ 𝑎)) ∘ 𝑏)) = (𝑏 ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ↦ ((𝑎 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ ∪ ((ℤRHom‘𝐾) “ 𝑎)) ∘ 𝑏))
10 eqid 2729 . 2 (𝑎 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ ∪ ((ℤRHom‘𝐾) “ 𝑎)) = (𝑎 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ ∪ ((ℤRHom‘𝐾) “ 𝑎))
11 eqid 2729 . 2 (𝑐 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((eval1‘𝐾)‘𝑐)‘𝑀)) = (𝑐 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((eval1‘𝐾)‘𝑐)‘𝑀))
12 aks5lem4a.7 . 2 (𝜑 → 𝑀 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅))
13 nfcv 2891 . . 3 Ⅎ𝑑∪ (((𝑐 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((eval1‘𝐾)‘𝑐)‘𝑀)) ∘ (𝑏 ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ↦ ((𝑎 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ ∪ ((ℤRHom‘𝐾) “ 𝑎)) ∘ 𝑏))) “ 𝑒)
14 nfcv 2891 . . 3 Ⅎ𝑒∪ (((𝑐 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((eval1‘𝐾)‘𝑐)‘𝑀)) ∘ (𝑏 ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ↦ ((𝑎 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ ∪ ((ℤRHom‘𝐾) “ 𝑎)) ∘ 𝑏))) “ 𝑑)
15 imaeq2 6016 . . . 4 (𝑒 = 𝑑 → (((𝑐 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((eval1‘𝐾)‘𝑐)‘𝑀)) ∘ (𝑏 ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ↦ ((𝑎 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ ∪ ((ℤRHom‘𝐾) “ 𝑎)) ∘ 𝑏))) “ 𝑒) = (((𝑐 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((eval1‘𝐾)‘𝑐)‘𝑀)) ∘ (𝑏 ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ↦ ((𝑎 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ ∪ ((ℤRHom‘𝐾) “ 𝑎)) ∘ 𝑏))) “ 𝑑))
1615unieqd 4880 . . 3 (𝑒 = 𝑑 → ∪ (((𝑐 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((eval1‘𝐾)‘𝑐)‘𝑀)) ∘ (𝑏 ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ↦ ((𝑎 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ ∪ ((ℤRHom‘𝐾) “ 𝑎)) ∘ 𝑏))) “ 𝑒) = ∪ (((𝑐 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((eval1‘𝐾)‘𝑐)‘𝑀)) ∘ (𝑏 ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ↦ ((𝑎 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ ∪ ((ℤRHom‘𝐾) “ 𝑎)) ∘ 𝑏))) “ 𝑑))
1713, 14, 16cbvmpt 5204 . 2 (𝑒 ∈ (Base‘𝐵) ↦ ∪ (((𝑐 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((eval1‘𝐾)‘𝑐)‘𝑀)) ∘ (𝑏 ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ↦ ((𝑎 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ ∪ ((ℤRHom‘𝐾) “ 𝑎)) ∘ 𝑏))) “ 𝑒)) = (𝑑 ∈ (Base‘𝐵) ↦ ∪ (((𝑐 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((eval1‘𝐾)‘𝑐)‘𝑀)) ∘ (𝑏 ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ↦ ((𝑎 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ ∪ ((ℤRHom‘𝐾) “ 𝑎)) ∘ 𝑏))) “ 𝑑))
18 aks5lem4a.12 . 2 (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
19 aks5lem4a.13 . 2 (𝜑 → [(𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))((var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(+g‘𝑆)((algSc‘𝑆)‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴))))](𝑆 ~QG 𝐿) = [((𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(+g‘𝑆)((algSc‘𝑆)‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴)))](𝑆 ~QG 𝐿))
201, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 17, 18, 19aks5lem3a 42150 1 (𝜑 → (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴))))‘𝑀)) = (((eval1‘𝐾)‘((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴))))‘(𝑁(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  {csn 4585  ∪ cuni 4867   class class class wbr 5102  {copab 5164   ↦ cmpt 5183   “ cima 5634   ∘ ccom 5635  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  [cec 8646  ℕcn 12162  ℤcz 12505   ∥ cdvds 16198  ℙcprime 16617  Basecbs 17155  +gcplusg 17196   /s cqus 17444  -gcsg 18843  .gcmg 18975   ~QG cqg 19030  mulGrpcmgp 20025  1rcur 20066  Fieldcfield 20615  RSpancrsp 21093  ℤRHomczrh 21385  chrcchr 21387  ℤ/nℤczn 21388  algSccascl 21737  var1cv1 22036  Poly1cpl1 22037  eval1ce1 22177   PrimRoots cprimroots 42052
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122  ax-addf 11123  ax-mulf 11124
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-ofr 7634  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-supp 8117  df-tpos 8182  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-er 8648  df-ec 8650  df-qs 8654  df-map 8778  df-pm 8779  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9289  df-sup 9369  df-inf 9370  df-oi 9439  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-rp 12928  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-fl 13730  df-mod 13808  df-seq 13943  df-exp 14003  df-hash 14272  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-dvds 16199  df-prm 16618  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17380  df-gsum 17381  df-prds 17386  df-pws 17388  df-imas 17447  df-qus 17448  df-mre 17523  df-mrc 17524  df-acs 17526  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-mhm 18686  df-submnd 18687  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-sbg 18846  df-mulg 18976  df-subg 19031  df-nsg 19032  df-eqg 19033  df-ghm 19121  df-cntz 19225  df-od 19434  df-cmn 19688  df-abl 19689  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-srg 20072  df-ring 20120  df-cring 20121  df-oppr 20222  df-dvdsr 20242  df-rhm 20357  df-subrng 20431  df-subrg 20455  df-field 20617  df-lmod 20744  df-lss 20814  df-lsp 20854  df-sra 21056  df-rgmod 21057  df-lidl 21094  df-rsp 21095  df-2idl 21136  df-cnfld 21241  df-zring 21333  df-zrh 21389  df-chr 21391  df-zn 21392  df-assa 21738  df-asp 21739  df-ascl 21740  df-psr 21794  df-mvr 21795  df-mpl 21796  df-opsr 21798  df-evls 21957  df-evl 21958  df-psr1 22040  df-vr1 22041  df-ply1 22042  df-coe1 22043  df-evls1 22178  df-evl1 22179  df-primroots 42053
This theorem is referenced by:  aks5lem5a  42152
  Copyright terms: Public domain W3C validator