Theorem atabsi 32126

Description: Absorption of an incomparable atom. Similar to Exercise 7.1 of [MaedaMaeda] p. 34. (Contributed by NM, 15-Jul-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
atabs.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
atabs.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
atabsi	⊢ (𝐶 ∈ HAtoms → (¬ 𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐵) = (𝐴 ∩ 𝐵)))

Proof of Theorem atabsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inass 4212	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∩ 𝐵) = ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∩ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐵))
2		atabs.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
3		atabs.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
4	2, 3	chjcomi 31193	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) = (𝐵 ∨ℋ 𝐴)
5	4	ineq1i 4201	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐵) = ((𝐵 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵)
6		incom 4194	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝐵 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐴))
7	3, 2	chabs2i 31244	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐴)) = 𝐵
8	5, 6, 7	3eqtri 2756	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐵) = 𝐵
9	8	ineq2i 4202	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∩ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐵)) = ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐵)
10	1, 9	eqtr2i 2753	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐵) = (((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∩ 𝐵)
11	2, 3	chub1i 31194	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)
12		atelch 32069	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ HAtoms → 𝐶 ∈ Cℋ )
13	2, 3	chjcli 31182	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ
14		atmd 32124	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ HAtoms ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ ) → 𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
15	13, 14	mpan2 688	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ HAtoms → 𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
16		mdi 32020	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐶 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = (𝐴 ∨ℋ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
17	16	exp32 420	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → (𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = (𝐴 ∨ℋ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))))
18	13, 2, 17	mp3an23 1449	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ Cℋ → (𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → (𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = (𝐴 ∨ℋ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))))
19	12, 15, 18	sylc 65	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ HAtoms → (𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = (𝐴 ∨ℋ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))))
20	11, 19	mpi 20	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ HAtoms → ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = (𝐴 ∨ℋ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
21	20	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ HAtoms ∧ ¬ 𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = (𝐴 ∨ℋ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
22		incom 4194	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐶)
23		atnssm0 32101	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (¬ 𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ↔ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐶) = 0ℋ))
24	13, 23	mpan 687	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ HAtoms → (¬ 𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ↔ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐶) = 0ℋ))
25	24	biimpa 476	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ HAtoms ∧ ¬ 𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐶) = 0ℋ)
26	22, 25	eqtrid 2776	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ HAtoms ∧ ¬ 𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = 0ℋ)
27	26	oveq2d 7418	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ HAtoms ∧ ¬ 𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → (𝐴 ∨ℋ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) = (𝐴 ∨ℋ 0ℋ))
28	2	chj0i 31180	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 0ℋ) = 𝐴
29	27, 28	eqtrdi 2780	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ HAtoms ∧ ¬ 𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → (𝐴 ∨ℋ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) = 𝐴)
30	21, 29	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ HAtoms ∧ ¬ 𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = 𝐴)
31	30	ineq1d 4204	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ HAtoms ∧ ¬ 𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → (((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∩ 𝐵) = (𝐴 ∩ 𝐵))
32	10, 31	eqtrid 2776	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ HAtoms ∧ ¬ 𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐵) = (𝐴 ∩ 𝐵))
33	32	ex 412	1 ⊢ (𝐶 ∈ HAtoms → (¬ 𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐵) = (𝐴 ∩ 𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∩ cin 3940   ⊆ wss 3941   class class class wbr 5139  (class class class)co 7402   C_ℋ cch 30654   ∨_ℋ chj 30658  0_ℋc0h 30660  HAtomscat 30690   𝑀_ℋ cmd 30691

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-inf2 9633  ax-cc 10427  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186  ax-mulf 11187  ax-hilex 30724  ax-hfvadd 30725  ax-hvcom 30726  ax-hvass 30727  ax-hv0cl 30728  ax-hvaddid 30729  ax-hfvmul 30730  ax-hvmulid 30731  ax-hvmulass 30732  ax-hvdistr1 30733  ax-hvdistr2 30734  ax-hvmul0 30735  ax-hfi 30804  ax-his1 30807  ax-his2 30808  ax-his3 30809  ax-his4 30810  ax-hcompl 30927

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-iin 4991  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-supp 8142  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-card 9931  df-acn 9934  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11870  df-nn 12211  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-5 12276  df-6 12277  df-7 12278  df-8 12279  df-9 12280  df-n0 12471  df-z 12557  df-dec 12676  df-uz 12821  df-q 12931  df-rp 12973  df-xneg 13090  df-xadd 13091  df-xmul 13092  df-ioo 13326  df-ico 13328  df-icc 13329  df-fz 13483  df-fzo 13626  df-fl 13755  df-seq 13965  df-exp 14026  df-hash 14289  df-cj 15044  df-re 15045  df-im 15046  df-sqrt 15180  df-abs 15181  df-clim 15430  df-rlim 15431  df-sum 15631  df-struct 17081  df-sets 17098  df-slot 17116  df-ndx 17128  df-base 17146  df-ress 17175  df-plusg 17211  df-mulr 17212  df-starv 17213  df-sca 17214  df-vsca 17215  df-ip 17216  df-tset 17217  df-ple 17218  df-ds 17220  df-unif 17221  df-hom 17222  df-cco 17223  df-rest 17369  df-topn 17370  df-0g 17388  df-gsum 17389  df-topgen 17390  df-pt 17391  df-prds 17394  df-xrs 17449  df-qtop 17454  df-imas 17455  df-xps 17457  df-mre 17531  df-mrc 17532  df-acs 17534  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18988  df-cntz 19225  df-cmn 19694  df-psmet 21222  df-xmet 21223  df-met 21224  df-bl 21225  df-mopn 21226  df-fbas 21227  df-fg 21228  df-cnfld 21231  df-top 22720  df-topon 22737  df-topsp 22759  df-bases 22773  df-cld 22847  df-ntr 22848  df-cls 22849  df-nei 22926  df-cn 23055  df-cnp 23056  df-lm 23057  df-haus 23143  df-tx 23390  df-hmeo 23583  df-fil 23674  df-fm 23766  df-flim 23767  df-flf 23768  df-xms 24150  df-ms 24151  df-tms 24152  df-cfil 25107  df-cau 25108  df-cmet 25109  df-grpo 30218  df-gid 30219  df-ginv 30220  df-gdiv 30221  df-ablo 30270  df-vc 30284  df-nv 30317  df-va 30320  df-ba 30321  df-sm 30322  df-0v 30323  df-vs 30324  df-nmcv 30325  df-ims 30326  df-dip 30426  df-ssp 30447  df-ph 30538  df-cbn 30588  df-hnorm 30693  df-hba 30694  df-hvsub 30696  df-hlim 30697  df-hcau 30698  df-sh 30932  df-ch 30946  df-oc 30977  df-ch0 30978  df-shs 31033  df-span 31034  df-chj 31035  df-chsup 31036  df-pjh 31120  df-cv 32004  df-md 32005  df-dmd 32006  df-at 32063

This theorem is referenced by:  atabs2i  32127