HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  atabsi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atabsi 30170
Description: Absorption of an incomparable atom. Similar to Exercise 7.1 of [MaedaMaeda] p. 34. (Contributed by NM, 15-Jul-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
atabs.1 𝐴C
atabs.2 𝐵C
Assertion
Ref Expression
atabsi (𝐶 ∈ HAtoms → (¬ 𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) → ((𝐴 𝐶) ∩ 𝐵) = (𝐴𝐵)))

Proof of Theorem atabsi
StepHypRef Expression
1 inass 4194 . . . 4 (((𝐴 𝐶) ∩ (𝐴 𝐵)) ∩ 𝐵) = ((𝐴 𝐶) ∩ ((𝐴 𝐵) ∩ 𝐵))
2 atabs.1 . . . . . . . 8 𝐴C
3 atabs.2 . . . . . . . 8 𝐵C
42, 3chjcomi 29237 . . . . . . 7 (𝐴 𝐵) = (𝐵 𝐴)
54ineq1i 4183 . . . . . 6 ((𝐴 𝐵) ∩ 𝐵) = ((𝐵 𝐴) ∩ 𝐵)
6 incom 4176 . . . . . 6 ((𝐵 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝐵 ∩ (𝐵 𝐴))
73, 2chabs2i 29288 . . . . . 6 (𝐵 ∩ (𝐵 𝐴)) = 𝐵
85, 6, 73eqtri 2846 . . . . 5 ((𝐴 𝐵) ∩ 𝐵) = 𝐵
98ineq2i 4184 . . . 4 ((𝐴 𝐶) ∩ ((𝐴 𝐵) ∩ 𝐵)) = ((𝐴 𝐶) ∩ 𝐵)
101, 9eqtr2i 2843 . . 3 ((𝐴 𝐶) ∩ 𝐵) = (((𝐴 𝐶) ∩ (𝐴 𝐵)) ∩ 𝐵)
112, 3chub1i 29238 . . . . . . 7 𝐴 ⊆ (𝐴 𝐵)
12 atelch 30113 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ HAtoms → 𝐶C )
132, 3chjcli 29226 . . . . . . . . 9 (𝐴 𝐵) ∈ C
14 atmd 30168 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ HAtoms ∧ (𝐴 𝐵) ∈ C ) → 𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵))
1513, 14mpan2 689 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ HAtoms → 𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵))
16 mdi 30064 . . . . . . . . . 10 (((𝐶C ∧ (𝐴 𝐵) ∈ C𝐴C ) ∧ (𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) ∧ 𝐴 ⊆ (𝐴 𝐵))) → ((𝐴 𝐶) ∩ (𝐴 𝐵)) = (𝐴 (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵))))
1716exp32 423 . . . . . . . . 9 ((𝐶C ∧ (𝐴 𝐵) ∈ C𝐴C ) → (𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) → (𝐴 ⊆ (𝐴 𝐵) → ((𝐴 𝐶) ∩ (𝐴 𝐵)) = (𝐴 (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵))))))
1813, 2, 17mp3an23 1447 . . . . . . . 8 (𝐶C → (𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) → (𝐴 ⊆ (𝐴 𝐵) → ((𝐴 𝐶) ∩ (𝐴 𝐵)) = (𝐴 (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵))))))
1912, 15, 18sylc 65 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ HAtoms → (𝐴 ⊆ (𝐴 𝐵) → ((𝐴 𝐶) ∩ (𝐴 𝐵)) = (𝐴 (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)))))
2011, 19mpi 20 . . . . . 6 (𝐶 ∈ HAtoms → ((𝐴 𝐶) ∩ (𝐴 𝐵)) = (𝐴 (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵))))
2120adantr 483 . . . . 5 ((𝐶 ∈ HAtoms ∧ ¬ 𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵)) → ((𝐴 𝐶) ∩ (𝐴 𝐵)) = (𝐴 (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵))))
22 incom 4176 . . . . . . . 8 (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) = ((𝐴 𝐵) ∩ 𝐶)
23 atnssm0 30145 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 𝐵) ∈ C𝐶 ∈ HAtoms) → (¬ 𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ↔ ((𝐴 𝐵) ∩ 𝐶) = 0))
2413, 23mpan 688 . . . . . . . . 9 (𝐶 ∈ HAtoms → (¬ 𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ↔ ((𝐴 𝐵) ∩ 𝐶) = 0))
2524biimpa 479 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ HAtoms ∧ ¬ 𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵)) → ((𝐴 𝐵) ∩ 𝐶) = 0)
2622, 25syl5eq 2866 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ HAtoms ∧ ¬ 𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵)) → (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) = 0)
2726oveq2d 7164 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ HAtoms ∧ ¬ 𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵)) → (𝐴 (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵))) = (𝐴 0))
282chj0i 29224 . . . . . 6 (𝐴 0) = 𝐴
2927, 28syl6eq 2870 . . . . 5 ((𝐶 ∈ HAtoms ∧ ¬ 𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵)) → (𝐴 (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵))) = 𝐴)
3021, 29eqtrd 2854 . . . 4 ((𝐶 ∈ HAtoms ∧ ¬ 𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵)) → ((𝐴 𝐶) ∩ (𝐴 𝐵)) = 𝐴)
3130ineq1d 4186 . . 3 ((𝐶 ∈ HAtoms ∧ ¬ 𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵)) → (((𝐴 𝐶) ∩ (𝐴 𝐵)) ∩ 𝐵) = (𝐴𝐵))
3210, 31syl5eq 2866 . 2 ((𝐶 ∈ HAtoms ∧ ¬ 𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵)) → ((𝐴 𝐶) ∩ 𝐵) = (𝐴𝐵))
3332ex 415 1 (𝐶 ∈ HAtoms → (¬ 𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) → ((𝐴 𝐶) ∩ 𝐵) = (𝐴𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 208  wa 398  w3a 1082   = wceq 1531  wcel 2108  cin 3933  wss 3934   class class class wbr 5057  (class class class)co 7148   C cch 28698   chj 28702  0c0h 28704  HAtomscat 28734   𝑀 cmd 28735
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-inf2 9096  ax-cc 9849  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609  ax-hilex 28768  ax-hfvadd 28769  ax-hvcom 28770  ax-hvass 28771  ax-hv0cl 28772  ax-hvaddid 28773  ax-hfvmul 28774  ax-hvmulid 28775  ax-hvmulass 28776  ax-hvdistr1 28777  ax-hvdistr2 28778  ax-hvmul0 28779  ax-hfi 28848  ax-his1 28851  ax-his2 28852  ax-his3 28853  ax-his4 28854  ax-hcompl 28971
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-fal 1544  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7401  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-supp 7823  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-2o 8095  df-oadd 8098  df-omul 8099  df-er 8281  df-map 8400  df-pm 8401  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8826  df-fi 8867  df-sup 8898  df-inf 8899  df-oi 8966  df-card 9360  df-acn 9363  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ioo 12734  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12885  df-fzo 13026  df-fl 13154  df-seq 13362  df-exp 13422  df-hash 13683  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837  df-rlim 14838  df-sum 15035  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-rest 16688  df-topn 16689  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-topgen 16709  df-pt 16710  df-prds 16713  df-xrs 16767  df-qtop 16772  df-imas 16773  df-xps 16775  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-mulg 18217  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-psmet 20529  df-xmet 20530  df-met 20531  df-bl 20532  df-mopn 20533  df-fbas 20534  df-fg 20535  df-cnfld 20538  df-top 21494  df-topon 21511  df-topsp 21533  df-bases 21546  df-cld 21619  df-ntr 21620  df-cls 21621  df-nei 21698  df-cn 21827  df-cnp 21828  df-lm 21829  df-haus 21915  df-tx 22162  df-hmeo 22355  df-fil 22446  df-fm 22538  df-flim 22539  df-flf 22540  df-xms 22922  df-ms 22923  df-tms 22924  df-cfil 23850  df-cau 23851  df-cmet 23852  df-grpo 28262  df-gid 28263  df-ginv 28264  df-gdiv 28265  df-ablo 28314  df-vc 28328  df-nv 28361  df-va 28364  df-ba 28365  df-sm 28366  df-0v 28367  df-vs 28368  df-nmcv 28369  df-ims 28370  df-dip 28470  df-ssp 28491  df-ph 28582  df-cbn 28632  df-hnorm 28737  df-hba 28738  df-hvsub 28740  df-hlim 28741  df-hcau 28742  df-sh 28976  df-ch 28990  df-oc 29021  df-ch0 29022  df-shs 29077  df-span 29078  df-chj 29079  df-chsup 29080  df-pjh 29164  df-cv 30048  df-md 30049  df-dmd 30050  df-at 30107
This theorem is referenced by:  atabs2i  30171
  Copyright terms: Public domain W3C validator