Theorem atabsi 32476

Description: Absorption of an incomparable atom. Similar to Exercise 7.1 of [MaedaMaeda] p. 34. (Contributed by NM, 15-Jul-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
atabs.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
atabs.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
atabsi	⊢ (𝐶 ∈ HAtoms → (¬ 𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐵) = (𝐴 ∩ 𝐵)))

Proof of Theorem atabsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inass 4180	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∩ 𝐵) = ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∩ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐵))
2		atabs.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
3		atabs.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
4	2, 3	chjcomi 31543	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) = (𝐵 ∨ℋ 𝐴)
5	4	ineq1i 4168	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐵) = ((𝐵 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵)
6		incom 4161	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝐵 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐴))
7	3, 2	chabs2i 31594	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐴)) = 𝐵
8	5, 6, 7	3eqtri 2763	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐵) = 𝐵
9	8	ineq2i 4169	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∩ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐵)) = ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐵)
10	1, 9	eqtr2i 2760	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐵) = (((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∩ 𝐵)
11	2, 3	chub1i 31544	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)
12		atelch 32419	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ HAtoms → 𝐶 ∈ Cℋ )
13	2, 3	chjcli 31532	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ
14		atmd 32474	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ HAtoms ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ ) → 𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
15	13, 14	mpan2 691	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ HAtoms → 𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
16		mdi 32370	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐶 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = (𝐴 ∨ℋ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
17	16	exp32 420	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → (𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = (𝐴 ∨ℋ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))))
18	13, 2, 17	mp3an23 1455	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ Cℋ → (𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → (𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = (𝐴 ∨ℋ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))))
19	12, 15, 18	sylc 65	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ HAtoms → (𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = (𝐴 ∨ℋ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))))
20	11, 19	mpi 20	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ HAtoms → ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = (𝐴 ∨ℋ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
21	20	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ HAtoms ∧ ¬ 𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = (𝐴 ∨ℋ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
22		incom 4161	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐶)
23		atnssm0 32451	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (¬ 𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ↔ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐶) = 0ℋ))
24	13, 23	mpan 690	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ HAtoms → (¬ 𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ↔ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐶) = 0ℋ))
25	24	biimpa 476	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ HAtoms ∧ ¬ 𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐶) = 0ℋ)
26	22, 25	eqtrid 2783	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ HAtoms ∧ ¬ 𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = 0ℋ)
27	26	oveq2d 7374	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ HAtoms ∧ ¬ 𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → (𝐴 ∨ℋ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) = (𝐴 ∨ℋ 0ℋ))
28	2	chj0i 31530	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 0ℋ) = 𝐴
29	27, 28	eqtrdi 2787	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ HAtoms ∧ ¬ 𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → (𝐴 ∨ℋ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) = 𝐴)
30	21, 29	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ HAtoms ∧ ¬ 𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = 𝐴)
31	30	ineq1d 4171	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ HAtoms ∧ ¬ 𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → (((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∩ 𝐵) = (𝐴 ∩ 𝐵))
32	10, 31	eqtrid 2783	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ HAtoms ∧ ¬ 𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐵) = (𝐴 ∩ 𝐵))
33	32	ex 412	1 ⊢ (𝐶 ∈ HAtoms → (¬ 𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐵) = (𝐴 ∩ 𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ∩ cin 3900   ⊆ wss 3901   class class class wbr 5098  (class class class)co 7358   C_ℋ cch 31004   ∨_ℋ chj 31008  0_ℋc0h 31010  HAtomscat 31040   𝑀_ℋ cmd 31041

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-inf2 9550  ax-cc 10345  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104  ax-addf 11105  ax-mulf 11106  ax-hilex 31074  ax-hfvadd 31075  ax-hvcom 31076  ax-hvass 31077  ax-hv0cl 31078  ax-hvaddid 31079  ax-hfvmul 31080  ax-hvmulid 31081  ax-hvmulass 31082  ax-hvdistr1 31083  ax-hvdistr2 31084  ax-hvmul0 31085  ax-hfi 31154  ax-his1 31157  ax-his2 31158  ax-his3 31159  ax-his4 31160  ax-hcompl 31277

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-oadd 8401  df-omul 8402  df-er 8635  df-map 8765  df-pm 8766  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-fi 9314  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-card 9851  df-acn 9854  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-q 12862  df-rp 12906  df-xneg 13026  df-xadd 13027  df-xmul 13028  df-ioo 13265  df-ico 13267  df-icc 13268  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-fl 13712  df-seq 13925  df-exp 13985  df-hash 14254  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-clim 15411  df-rlim 15412  df-sum 15610  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-starv 17192  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-ip 17195  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-unif 17200  df-hom 17201  df-cco 17202  df-rest 17342  df-topn 17343  df-0g 17361  df-gsum 17362  df-topgen 17363  df-pt 17364  df-prds 17367  df-xrs 17423  df-qtop 17428  df-imas 17429  df-xps 17431  df-mre 17505  df-mrc 17506  df-acs 17508  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18709  df-mulg 18998  df-cntz 19246  df-cmn 19711  df-psmet 21301  df-xmet 21302  df-met 21303  df-bl 21304  df-mopn 21305  df-fbas 21306  df-fg 21307  df-cnfld 21310  df-top 22838  df-topon 22855  df-topsp 22877  df-bases 22890  df-cld 22963  df-ntr 22964  df-cls 22965  df-nei 23042  df-cn 23171  df-cnp 23172  df-lm 23173  df-haus 23259  df-tx 23506  df-hmeo 23699  df-fil 23790  df-fm 23882  df-flim 23883  df-flf 23884  df-xms 24264  df-ms 24265  df-tms 24266  df-cfil 25211  df-cau 25212  df-cmet 25213  df-grpo 30568  df-gid 30569  df-ginv 30570  df-gdiv 30571  df-ablo 30620  df-vc 30634  df-nv 30667  df-va 30670  df-ba 30671  df-sm 30672  df-0v 30673  df-vs 30674  df-nmcv 30675  df-ims 30676  df-dip 30776  df-ssp 30797  df-ph 30888  df-cbn 30938  df-hnorm 31043  df-hba 31044  df-hvsub 31046  df-hlim 31047  df-hcau 31048  df-sh 31282  df-ch 31296  df-oc 31327  df-ch0 31328  df-shs 31383  df-span 31384  df-chj 31385  df-chsup 31386  df-pjh 31470  df-cv 32354  df-md 32355  df-dmd 32356  df-at 32413

This theorem is referenced by:  atabs2i  32477