Theorem evls1degle1 34232

Description: Evaluation of a univariate polynomial of degree at most 1. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Nov-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
evls1degle1.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))
evls1degle1.q	⊢ 𝑄 = (𝑅 evalSub1 𝑆)
evls1degle1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑅)
evls1degle1.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
evls1degle1.m	⊢ · = (.r‘𝑅)
evls1degle1.t	⊢ + = (+g‘𝑅)
evls1degle1.c	⊢ 𝐶 = (coe1‘𝐹)
evls1degle1.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
evls1degle1.a	⊢ 𝐴 = (𝐶‘1)
evls1degle1.b	⊢ 𝐵 = (𝐶‘0)
evls1degle1.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
evls1degle1.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
evls1degle1.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑈)
evls1degle1.1	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ≤ 1)
evls1degle1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
evls1degle1	⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝐹)‘𝑋) = ((𝐴 · 𝑋) + 𝐵))

Proof of Theorem evls1degle1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evls1degle1.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑅)
2		evls1degle1.t	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑅)
3		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
4		evls1degle1.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
5	4	crngringd 20515	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
6	5	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐹) ≤ 0) → 𝑅 ∈ Ring)
7	6	ringgrpd 20511	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐹) ≤ 0) → 𝑅 ∈ Grp)
8		evls1degle1.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
9	1	subrgss 20866	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ⊆ 𝑉)
10	8, 9	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑉)
11		evls1degle1.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (𝐶‘0)
12		evls1degle1.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑈)
13		0nn0 12659	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℕ0
14		evls1degle1.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐶 = (coe1‘𝐹)
15		evls1degle1.u	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
16		evls1degle1.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))
17		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆)) = (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))
18	14, 15, 16, 17	coe1fvalcl 22574	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑈 ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝐶‘0) ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
19	12, 13, 18	sylancl 598	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘0) ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
20		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ↾s 𝑆) = (𝑅 ↾s 𝑆)
21	20	subrgbas 20875	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 = (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
22	8, 21	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
23	19, 22	eleqtrrd 2867	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘0) ∈ 𝑆)
24	11, 23	eqeltrid 2868	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
25	10, 24	sseldd 3914	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
26	25	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐹) ≤ 0) → 𝐵 ∈ 𝑉)
27	1, 2, 3, 7, 26	grplidd 19221	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐹) ≤ 0) → ((0g‘𝑅) + 𝐵) = 𝐵)
28		evls1degle1.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (𝐶‘1)
29		eqid 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘𝑅)
30	29, 20, 16, 15	subrgply1 22594	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑈 ∈ (SubRing‘(Poly1‘𝑅)))
31		eqid 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑅)) = (Base‘(Poly1‘𝑅))
32	31	subrgss 20866	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑈 ∈ (SubRing‘(Poly1‘𝑅)) → 𝑈 ⊆ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
33	8, 30, 32	3syl 19	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
34	33, 12	sseldd 3914	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
35	34	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐹) ≤ 0) → 𝐹 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
36		1nn0 12660	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ0
37	36	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐹) ≤ 0) → 1 ∈ ℕ0)
38		evls1degle1.d	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
39	38, 29, 31	deg1xrcl 26444	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ*)
40	34, 39	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ*)
41	40	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐹) ≤ 0) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ*)
42		0xr 11393	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ*
43	42	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐹) ≤ 0) → 0 ∈ ℝ*)
44		1xr 11405	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ*
45	44	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐹) ≤ 0) → 1 ∈ ℝ*)
46		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐹) ≤ 0) → (𝐷‘𝐹) ≤ 0)
47		0lt1 11876	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 1
48	47	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐹) ≤ 0) → 0 < 1)
49	41, 43, 45, 46, 48	xrlelttrd 13327	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐹) ≤ 0) → (𝐷‘𝐹) < 1)
50	38, 29, 31, 3, 14	deg1lt 26459	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)) ∧ 1 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷‘𝐹) < 1) → (𝐶‘1) = (0g‘𝑅))
51	35, 37, 49, 50	syl3anc 1399	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐹) ≤ 0) → (𝐶‘1) = (0g‘𝑅))
52	28, 51	eqtrid 2810	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐹) ≤ 0) → 𝐴 = (0g‘𝑅))
53	52	oveq1d 7464	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐹) ≤ 0) → (𝐴 · 𝑋) = ((0g‘𝑅) · 𝑋))
54		evls1degle1.m	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
55		evls1degle1.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
56	55	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐹) ≤ 0) → 𝑋 ∈ 𝑉)
57	1, 54, 3, 6, 56	ringlzd 20568	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐹) ≤ 0) → ((0g‘𝑅) · 𝑋) = (0g‘𝑅))
58	53, 57	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐹) ≤ 0) → (𝐴 · 𝑋) = (0g‘𝑅))
59	58	oveq1d 7464	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐹) ≤ 0) → ((𝐴 · 𝑋) + 𝐵) = ((0g‘𝑅) + 𝐵))
60		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (algSc‘(Poly1‘𝑅)) = (algSc‘(Poly1‘𝑅))
61	38, 29, 31, 60	deg1le0 26473	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅))) → ((𝐷‘𝐹) ≤ 0 ↔ 𝐹 = ((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘((coe1‘𝐹)‘0))))
62	61	biimpa 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅))) ∧ (𝐷‘𝐹) ≤ 0) → 𝐹 = ((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘((coe1‘𝐹)‘0)))
63	6, 35, 46, 62	syl21anc 851	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐹) ≤ 0) → 𝐹 = ((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘((coe1‘𝐹)‘0)))
64	14	fveq1i 6915	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶‘0) = ((coe1‘𝐹)‘0)
65	11, 64	eqtri 2786	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = ((coe1‘𝐹)‘0)
66	65	fveq2i 6917	. . . . . . 7 ⊢ ((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝐵) = ((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘((coe1‘𝐹)‘0))
67	63, 66	eqtr4di 2816	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐹) ≤ 0) → 𝐹 = ((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝐵))
68	67	fveq2d 6918	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐹) ≤ 0) → (𝑄‘𝐹) = (𝑄‘((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝐵)))
69	68	fveq1d 6916	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐹) ≤ 0) → ((𝑄‘𝐹)‘𝑋) = ((𝑄‘((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝐵))‘𝑋))
70	8	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐹) ≤ 0) → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
71		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
72	29, 60, 20, 16, 70, 71	subrg1ascl 22622	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐹) ≤ 0) → (algSc‘𝑃) = ((algSc‘(Poly1‘𝑅)) ↾ 𝑆))
73	72	fveq1d 6916	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐹) ≤ 0) → ((algSc‘𝑃)‘𝐵) = (((algSc‘(Poly1‘𝑅)) ↾ 𝑆)‘𝐵))
74	24	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐹) ≤ 0) → 𝐵 ∈ 𝑆)
75	74	fvresd 6934	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐹) ≤ 0) → (((algSc‘(Poly1‘𝑅)) ↾ 𝑆)‘𝐵) = ((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝐵))
76	73, 75	eqtr2d 2799	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐹) ≤ 0) → ((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝐵) = ((algSc‘𝑃)‘𝐵))
77	76	fveq2d 6918	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐹) ≤ 0) → (𝑄‘((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝐵)) = (𝑄‘((algSc‘𝑃)‘𝐵)))
78	77	fveq1d 6916	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐹) ≤ 0) → ((𝑄‘((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝐵))‘𝑋) = ((𝑄‘((algSc‘𝑃)‘𝐵))‘𝑋))
79		evls1degle1.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (𝑅 evalSub1 𝑆)
80	4	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐹) ≤ 0) → 𝑅 ∈ CRing)
81	79, 16, 20, 1, 71, 80, 70, 74, 56	evls1scafv 22728	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐹) ≤ 0) → ((𝑄‘((algSc‘𝑃)‘𝐵))‘𝑋) = 𝐵)
82	69, 78, 81	3eqtrd 2802	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐹) ≤ 0) → ((𝑄‘𝐹)‘𝑋) = 𝐵)
83	27, 59, 82	3eqtr4rd 2809	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐹) ≤ 0) → ((𝑄‘𝐹)‘𝑋) = ((𝐴 · 𝑋) + 𝐵))
84		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (eval1‘𝑅) = (eval1‘𝑅)
85	79, 1, 16, 20, 15, 84, 4, 8	ressply1evl 22732	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = ((eval1‘𝑅) ↾ 𝑈))
86	85	fveq1d 6916	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐹) = (((eval1‘𝑅) ↾ 𝑈)‘𝐹))
87	12	fvresd 6934	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑅) ↾ 𝑈)‘𝐹) = ((eval1‘𝑅)‘𝐹))
88	86, 87	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐹) = ((eval1‘𝑅)‘𝐹))
89	88	fveq1d 6916	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝐹)‘𝑋) = (((eval1‘𝑅)‘𝐹)‘𝑋))
90	89	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐹) = 1) → ((𝑄‘𝐹)‘𝑋) = (((eval1‘𝑅)‘𝐹)‘𝑋))
91	4	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐹) = 1) → 𝑅 ∈ CRing)
92	34	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐹) = 1) → 𝐹 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
93		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐹) = 1) → (𝐷‘𝐹) = 1)
94	55	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐹) = 1) → 𝑋 ∈ 𝑉)
95	29, 84, 1, 31, 54, 2, 14, 38, 28, 11, 91, 92, 93, 94	evl1deg1 34204	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐹) = 1) → (((eval1‘𝑅)‘𝐹)‘𝑋) = ((𝐴 · 𝑋) + 𝐵))
96	90, 95	eqtrd 2798	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐹) = 1) → ((𝑄‘𝐹)‘𝑋) = ((𝐴 · 𝑋) + 𝐵))
97		evls1degle1.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ≤ 1)
98	38, 29, 31, 34, 97	deg1le1 34231	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝐹) ≤ 0 ∨ (𝐷‘𝐹) = 1))
99	83, 96, 98	mpjaodan 973	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝐹)‘𝑋) = ((𝐴 · 𝑋) + 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900   class class class wbr 5106   ↾ cres 5658  ‘cfv 6564  (class class class)co 7449  0cc0 11237  1c1 11238  ℝ^*cxr 11379   < clt 11380   ≤ cle 11381  ℕ₀cn0 12644  Basecbs 17428   ↾_s cress 17449  +_gcplusg 17469  ._rcmulr 17470  0_gc0g 17651  Ringcrg 20501  CRingccrg 20502  SubRingcsubrg 20863  algSccascl 22204  Poly₁cpl1 22539  coe₁cco1 22540   evalSub₁ ces1 22675  eval₁ce1 22676  deg₁cdg1 26416

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781  ax-cnex 11293  ax-resscn 11294  ax-1cn 11295  ax-icn 11296  ax-addcl 11297  ax-addrcl 11298  ax-mulcl 11299  ax-mulrcl 11300  ax-mulcom 11301  ax-addass 11302  ax-mulass 11303  ax-distr 11304  ax-i2m1 11305  ax-1ne0 11306  ax-1rid 11307  ax-rnegex 11308  ax-rrecex 11309  ax-cnre 11310  ax-pre-lttri 11311  ax-pre-lttrn 11312  ax-pre-ltadd 11313  ax-pre-mulgt0 11314  ax-pre-sup 11315  ax-addf 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6328  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-isom 6573  df-riota 7406  df-ov 7452  df-oprab 7453  df-mpo 7454  df-of 7723  df-ofr 7724  df-om 7910  df-1st 8033  df-2nd 8034  df-supp 8213  df-frecs 8335  df-wrecs 8366  df-recs 8415  df-rdg 8454  df-1o 8512  df-2o 8513  df-er 8753  df-map 8885  df-pm 8886  df-ixp 8962  df-en 9010  df-dom 9011  df-sdom 9012  df-fin 9013  df-fsupp 9390  df-sup 9469  df-oi 9539  df-card 10055  df-pnf 11382  df-mnf 11383  df-xr 11384  df-ltxr 11385  df-le 11386  df-sub 11580  df-neg 11581  df-nn 12374  df-2 12443  df-3 12444  df-4 12445  df-5 12446  df-6 12447  df-7 12448  df-8 12449  df-9 12450  df-n0 12645  df-z 12732  df-dec 12853  df-uz 13004  df-fz 13678  df-fzo 13827  df-seq 14183  df-hash 14514  df-struct 17366  df-sets 17383  df-slot 17401  df-ndx 17413  df-base 17429  df-ress 17450  df-plusg 17482  df-mulr 17483  df-starv 17484  df-sca 17485  df-vsca 17486  df-ip 17487  df-tset 17488  df-ple 17489  df-ds 17491  df-unif 17492  df-hom 17493  df-cco 17494  df-0g 17653  df-gsum 17654  df-prds 17659  df-pws 17661  df-mre 17797  df-mrc 17798  df-acs 17800  df-mgm 18857  df-sgrp 18949  df-mnd 18965  df-mhm 19019  df-submnd 19020  df-grp 19188  df-minusg 19189  df-sbg 19190  df-mulg 19319  df-subg 19374  df-ghm 19469  df-cntz 19573  df-cmn 20038  df-abl 20039  df-mgp 20403  df-rng 20417  df-ur 20450  df-srg 20455  df-ring 20503  df-cring 20504  df-rhm 20744  df-subrng 20840  df-subrg 20864  df-lmod 21179  df-lss 21249  df-lsp 21289  df-cnfld 21721  df-assa 22205  df-asp 22206  df-ascl 22207  df-psr 22261  df-mvr 22262  df-mpl 22263  df-opsr 22265  df-evls 22427  df-evl 22428  df-psr1 22542  df-vr1 22543  df-ply1 22544  df-coe1 22545  df-evls1 22677  df-evl1 22678  df-mdeg 26417  df-deg1 26418

This theorem is used by:  rngunsnply1chr2  34246