Theorem constrcon 33808

Description: Contradiction of constructibility: If a complex number 𝐴 has minimal polynomial 𝐹 over ℚ of a degree that is not a power of 2, then 𝐴 is not constructible. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
constrcon.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘(ℂfld ↾s ℚ))
constrcon.m	⊢ 𝑀 = (ℂfld minPoly ℚ)
constrcon.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
constrcon.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑀‘𝐴))
constrcon.1	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)
constrcon.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐷‘𝐹) ≠ (2↑𝑛))

Assertion

Ref	Expression
constrcon	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ Constr)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝜑,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑛)   𝐹(𝑛)   𝑀(𝑛)

Proof of Theorem constrcon

Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		constrcon.2	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐷‘𝐹) ≠ (2↑𝑛))
2	1	neneqd 2934	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ¬ (𝐷‘𝐹) = (2↑𝑛))
3		eqid 2733	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂfld ↾s ℚ) = (ℂfld ↾s ℚ)
4		eqid 2733	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂfld ↾s (ℂfld fldGen (ℚ ∪ {𝐴}))) = (ℂfld ↾s (ℂfld fldGen (ℚ ∪ {𝐴})))
5		eqid 2733	. . . . . . . 8 ⊢ (deg1‘ℂfld) = (deg1‘ℂfld)
6		constrcon.m	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 = (ℂfld minPoly ℚ)
7		cnfldfld 33314	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂfld ∈ Field
8	7	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℂfld ∈ Field)
9		cndrng 21337	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂfld ∈ DivRing
10		qsubdrg 21358	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℚ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (ℂfld ↾s ℚ) ∈ DivRing)
11	10	simpli 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℚ ∈ (SubRing‘ℂfld)
12	3	qdrng 27559	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℂfld ↾s ℚ) ∈ DivRing
13		issdrg 20705	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℚ ∈ (SubDRing‘ℂfld) ↔ (ℂfld ∈ DivRing ∧ ℚ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (ℂfld ↾s ℚ) ∈ DivRing))
14	9, 11, 12, 13	mpbir3an 1342	. . . . . . . . 9 ⊢ ℚ ∈ (SubDRing‘ℂfld)
15	14	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℚ ∈ (SubDRing‘ℂfld))
16		cnfldbas 21297	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
17		constrcon.d	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = (deg1‘(ℂfld ↾s ℚ))
18		constrcon.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
19		eqidd 2734	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = 𝐷)
20		constrcon.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑀‘𝐴))
21	19, 20	fveq12d 6835	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) = (𝐷‘(𝑀‘𝐴)))
22		constrcon.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)
23	21, 22	eqeltrrd 2834	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑀‘𝐴)) ∈ ℕ0)
24	16, 6, 17, 8, 15, 18, 23	minplyelirng 33749	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℂfld IntgRing ℚ))
25	3, 4, 5, 6, 8, 15, 24	algextdeg 33759	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℂfld ↾s (ℂfld fldGen (ℚ ∪ {𝐴})))[:](ℂfld ↾s ℚ)) = ((deg1‘ℂfld)‘(𝑀‘𝐴)))
26		eqid 2733	. . . . . . . 8 ⊢ (Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ)) = (Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ))
27		eqid 2733	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ))) = (Base‘(Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ)))
28		eqid 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℂfld evalSub1 ℚ) = (ℂfld evalSub1 ℚ)
29		eqid 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘ℂfld) = (0g‘ℂfld)
30		eqid 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑞 ∈ dom (ℂfld evalSub1 ℚ) ∣ (((ℂfld evalSub1 ℚ)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘ℂfld)} = {𝑞 ∈ dom (ℂfld evalSub1 ℚ) ∣ (((ℂfld evalSub1 ℚ)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘ℂfld)}
31		eqid 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ (RSpan‘(Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ))) = (RSpan‘(Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ)))
32		eqid 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ (idlGen1p‘(ℂfld ↾s ℚ)) = (idlGen1p‘(ℂfld ↾s ℚ))
33	28, 26, 16, 8, 15, 18, 29, 30, 31, 32, 6	minplycl 33740	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ (Base‘(Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ))))
34	11	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℚ ∈ (SubRing‘ℂfld))
35	3, 5, 26, 27, 33, 34	ressdeg1 33536	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘ℂfld)‘(𝑀‘𝐴)) = ((deg1‘(ℂfld ↾s ℚ))‘(𝑀‘𝐴)))
36	17, 19	eqtr3id 2782	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (deg1‘(ℂfld ↾s ℚ)) = 𝐷)
37	20	eqcomd 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) = 𝐹)
38	36, 37	fveq12d 6835	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘(ℂfld ↾s ℚ))‘(𝑀‘𝐴)) = (𝐷‘𝐹))
39	25, 35, 38	3eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℂfld ↾s (ℂfld fldGen (ℚ ∪ {𝐴})))[:](ℂfld ↾s ℚ)) = (𝐷‘𝐹))
40	39	eqeq1d 2735	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((ℂfld ↾s (ℂfld fldGen (ℚ ∪ {𝐴})))[:](ℂfld ↾s ℚ)) = (2↑𝑛) ↔ (𝐷‘𝐹) = (2↑𝑛)))
41	40	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((ℂfld ↾s (ℂfld fldGen (ℚ ∪ {𝐴})))[:](ℂfld ↾s ℚ)) = (2↑𝑛) ↔ (𝐷‘𝐹) = (2↑𝑛)))
42	2, 41	mtbird 325	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ¬ ((ℂfld ↾s (ℂfld fldGen (ℚ ∪ {𝐴})))[:](ℂfld ↾s ℚ)) = (2↑𝑛))
43	42	nrexdv 3128	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((ℂfld ↾s (ℂfld fldGen (ℚ ∪ {𝐴})))[:](ℂfld ↾s ℚ)) = (2↑𝑛))
44		eqid 2733	. . 3 ⊢ (ℂfld fldGen (ℚ ∪ {𝐴})) = (ℂfld fldGen (ℚ ∪ {𝐴}))
45		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ Constr) → 𝐴 ∈ Constr)
46	3, 4, 44, 45	constrext2chn 33793	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ Constr) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((ℂfld ↾s (ℂfld fldGen (ℚ ∪ {𝐴})))[:](ℂfld ↾s ℚ)) = (2↑𝑛))
47	43, 46	mtand 815	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ Constr)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  ∃wrex 3057  {crab 3396   ∪ cun 3896  {csn 4575  dom cdm 5619  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  ℂcc 11011  2c2 12187  ℕ₀cn0 12388  ℚcq 12848  ↑cexp 13970  Basecbs 17122   ↾_s cress 17143  0_gc0g 17345  SubRingcsubrg 20486  DivRingcdr 20646  Fieldcfield 20647  SubDRingcsdrg 20703  RSpancrsp 21146  ℂ_fldccnfld 21293  Poly₁cpl1 22090   evalSub₁ ces1 22229  deg₁cdg1 25987  idlGen_1pcig1p 26063   fldGen cfldgen 33283  [:]cextdg 33674   minPoly cminply 33733  Constrcconstr 33763

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-reg 9485  ax-inf2 9538  ax-ac2 10361  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090  ax-pre-sup 11091  ax-addf 11092  ax-mulf 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-of 7616  df-ofr 7617  df-rpss 7662  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-supp 8097  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-2o 8392  df-oadd 8395  df-er 8628  df-ec 8630  df-qs 8634  df-map 8758  df-pm 8759  df-ixp 8828  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-fsupp 9253  df-sup 9333  df-inf 9334  df-oi 9403  df-r1 9664  df-rank 9665  df-dju 9801  df-card 9839  df-acn 9842  df-ac 10014  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-div 11782  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-4 12197  df-5 12198  df-6 12199  df-7 12200  df-8 12201  df-9 12202  df-n0 12389  df-xnn0 12462  df-z 12476  df-dec 12595  df-uz 12739  df-q 12849  df-rp 12893  df-xneg 13013  df-xmul 13015  df-ico 13253  df-fz 13410  df-fzo 13557  df-fl 13698  df-mod 13776  df-seq 13911  df-exp 13971  df-hash 14240  df-word 14423  df-lsw 14472  df-concat 14480  df-s1 14506  df-substr 14551  df-pfx 14581  df-cj 15008  df-re 15009  df-im 15010  df-sqrt 15144  df-abs 15145  df-dvds 16166  df-gcd 16408  df-prm 16585  df-pc 16751  df-struct 17060  df-sets 17077  df-slot 17095  df-ndx 17107  df-base 17123  df-ress 17144  df-plusg 17176  df-mulr 17177  df-starv 17178  df-sca 17179  df-vsca 17180  df-ip 17181  df-tset 17182  df-ple 17183  df-ocomp 17184  df-ds 17185  df-unif 17186  df-hom 17187  df-cco 17188  df-0g 17347  df-gsum 17348  df-prds 17353  df-pws 17355  df-imas 17414  df-qus 17415  df-mre 17490  df-mrc 17491  df-mri 17492  df-acs 17493  df-proset 18202  df-drs 18203  df-poset 18221  df-ipo 18436  df-chn 18514  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-mhm 18693  df-submnd 18694  df-grp 18851  df-minusg 18852  df-sbg 18853  df-mulg 18983  df-subg 19038  df-nsg 19039  df-eqg 19040  df-ghm 19127  df-gim 19173  df-cntz 19231  df-oppg 19260  df-lsm 19550  df-cmn 19696  df-abl 19697  df-mgp 20061  df-rng 20073  df-ur 20102  df-srg 20107  df-ring 20155  df-cring 20156  df-oppr 20257  df-dvdsr 20277  df-unit 20278  df-irred 20279  df-invr 20308  df-dvr 20321  df-rhm 20392  df-nzr 20430  df-subrng 20463  df-subrg 20487  df-rlreg 20611  df-domn 20612  df-idom 20613  df-drng 20648  df-field 20649  df-sdrg 20704  df-lmod 20797  df-lss 20867  df-lsp 20907  df-lmhm 20958  df-lmim 20959  df-lmic 20960  df-lbs 21011  df-lvec 21039  df-sra 21109  df-rgmod 21110  df-lidl 21147  df-rsp 21148  df-2idl 21189  df-lpidl 21261  df-lpir 21262  df-pid 21276  df-cnfld 21294  df-dsmm 21671  df-frlm 21686  df-uvc 21722  df-lindf 21745  df-linds 21746  df-assa 21792  df-asp 21793  df-ascl 21794  df-psr 21848  df-mvr 21849  df-mpl 21850  df-opsr 21852  df-evls 22010  df-evl 22011  df-psr1 22093  df-vr1 22094  df-ply1 22095  df-coe1 22096  df-evls1 22231  df-evl1 22232  df-mdeg 25988  df-deg1 25989  df-mon1 26064  df-uc1p 26065  df-q1p 26066  df-r1p 26067  df-ig1p 26068  df-fldgen 33284  df-mxidl 33432  df-dim 33633  df-fldext 33675  df-extdg 33676  df-irng 33718  df-minply 33734  df-constr 33764

This theorem is referenced by:  2sqr3nconstr  33815  cos9thpinconstrlem2  33824