Theorem constrcon 33918

Description: Contradiction of constructibility: If a complex number 𝐴 has minimal polynomial 𝐹 over ℚ of a degree that is not a power of 2, then 𝐴 is not constructible. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
constrcon.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘(ℂfld ↾s ℚ))
constrcon.m	⊢ 𝑀 = (ℂfld minPoly ℚ)
constrcon.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
constrcon.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑀‘𝐴))
constrcon.1	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)
constrcon.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐷‘𝐹) ≠ (2↑𝑛))

Assertion

Ref	Expression
constrcon	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ Constr)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝜑,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑛)   𝐹(𝑛)   𝑀(𝑛)

Proof of Theorem constrcon

Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		constrcon.2	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐷‘𝐹) ≠ (2↑𝑛))
2	1	neneqd 2937	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ¬ (𝐷‘𝐹) = (2↑𝑛))
3		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂfld ↾s ℚ) = (ℂfld ↾s ℚ)
4		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂfld ↾s (ℂfld fldGen (ℚ ∪ {𝐴}))) = (ℂfld ↾s (ℂfld fldGen (ℚ ∪ {𝐴})))
5		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (deg1‘ℂfld) = (deg1‘ℂfld)
6		constrcon.m	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 = (ℂfld minPoly ℚ)
7		cnfldfld 33402	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂfld ∈ Field
8	7	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℂfld ∈ Field)
9		cndrng 21381	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂfld ∈ DivRing
10		qsubdrg 21399	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℚ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (ℂfld ↾s ℚ) ∈ DivRing)
11	10	simpli 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℚ ∈ (SubRing‘ℂfld)
12	3	qdrng 27583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℂfld ↾s ℚ) ∈ DivRing
13		issdrg 20765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℚ ∈ (SubDRing‘ℂfld) ↔ (ℂfld ∈ DivRing ∧ ℚ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (ℂfld ↾s ℚ) ∈ DivRing))
14	9, 11, 12, 13	mpbir3an 1343	. . . . . . . . 9 ⊢ ℚ ∈ (SubDRing‘ℂfld)
15	14	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℚ ∈ (SubDRing‘ℂfld))
16		cnfldbas 21356	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
17		constrcon.d	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = (deg1‘(ℂfld ↾s ℚ))
18		constrcon.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
19		eqidd 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = 𝐷)
20		constrcon.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑀‘𝐴))
21	19, 20	fveq12d 6847	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) = (𝐷‘(𝑀‘𝐴)))
22		constrcon.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)
23	21, 22	eqeltrrd 2837	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑀‘𝐴)) ∈ ℕ0)
24	16, 6, 17, 8, 15, 18, 23	minplyelirng 33859	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℂfld IntgRing ℚ))
25	3, 4, 5, 6, 8, 15, 24	algextdeg 33869	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℂfld ↾s (ℂfld fldGen (ℚ ∪ {𝐴})))[:](ℂfld ↾s ℚ)) = ((deg1‘ℂfld)‘(𝑀‘𝐴)))
26		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ)) = (Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ))
27		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ))) = (Base‘(Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ)))
28		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℂfld evalSub1 ℚ) = (ℂfld evalSub1 ℚ)
29		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘ℂfld) = (0g‘ℂfld)
30		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑞 ∈ dom (ℂfld evalSub1 ℚ) ∣ (((ℂfld evalSub1 ℚ)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘ℂfld)} = {𝑞 ∈ dom (ℂfld evalSub1 ℚ) ∣ (((ℂfld evalSub1 ℚ)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘ℂfld)}
31		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (RSpan‘(Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ))) = (RSpan‘(Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ)))
32		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (idlGen1p‘(ℂfld ↾s ℚ)) = (idlGen1p‘(ℂfld ↾s ℚ))
33	28, 26, 16, 8, 15, 18, 29, 30, 31, 32, 6	minplycl 33850	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ (Base‘(Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ))))
34	11	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℚ ∈ (SubRing‘ℂfld))
35	3, 5, 26, 27, 33, 34	ressdeg1 33626	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘ℂfld)‘(𝑀‘𝐴)) = ((deg1‘(ℂfld ↾s ℚ))‘(𝑀‘𝐴)))
36	17, 19	eqtr3id 2785	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (deg1‘(ℂfld ↾s ℚ)) = 𝐷)
37	20	eqcomd 2742	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) = 𝐹)
38	36, 37	fveq12d 6847	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘(ℂfld ↾s ℚ))‘(𝑀‘𝐴)) = (𝐷‘𝐹))
39	25, 35, 38	3eqtrd 2775	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℂfld ↾s (ℂfld fldGen (ℚ ∪ {𝐴})))[:](ℂfld ↾s ℚ)) = (𝐷‘𝐹))
40	39	eqeq1d 2738	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((ℂfld ↾s (ℂfld fldGen (ℚ ∪ {𝐴})))[:](ℂfld ↾s ℚ)) = (2↑𝑛) ↔ (𝐷‘𝐹) = (2↑𝑛)))
41	40	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((ℂfld ↾s (ℂfld fldGen (ℚ ∪ {𝐴})))[:](ℂfld ↾s ℚ)) = (2↑𝑛) ↔ (𝐷‘𝐹) = (2↑𝑛)))
42	2, 41	mtbird 325	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ¬ ((ℂfld ↾s (ℂfld fldGen (ℚ ∪ {𝐴})))[:](ℂfld ↾s ℚ)) = (2↑𝑛))
43	42	nrexdv 3132	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((ℂfld ↾s (ℂfld fldGen (ℚ ∪ {𝐴})))[:](ℂfld ↾s ℚ)) = (2↑𝑛))
44		eqid 2736	. . 3 ⊢ (ℂfld fldGen (ℚ ∪ {𝐴})) = (ℂfld fldGen (ℚ ∪ {𝐴}))
45		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ Constr) → 𝐴 ∈ Constr)
46	3, 4, 44, 45	constrext2chn 33903	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ Constr) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((ℂfld ↾s (ℂfld fldGen (ℚ ∪ {𝐴})))[:](ℂfld ↾s ℚ)) = (2↑𝑛))
47	43, 46	mtand 816	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ Constr)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ∃wrex 3061  {crab 3389   ∪ cun 3887  {csn 4567  dom cdm 5631  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  2c2 12236  ℕ₀cn0 12437  ℚcq 12898  ↑cexp 14023  Basecbs 17179   ↾_s cress 17200  0_gc0g 17402  SubRingcsubrg 20546  DivRingcdr 20706  Fieldcfield 20707  SubDRingcsdrg 20763  RSpancrsp 21205  ℂ_fldccnfld 21352  Poly₁cpl1 22140   evalSub₁ ces1 22278  deg₁cdg1 26019  idlGen_1pcig1p 26095   fldGen cfldgen 33371  [:]cextdg 33784   minPoly cminply 33843  Constrcconstr 33873

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-reg 9507  ax-inf2 9562  ax-ac2 10385  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117  ax-mulf 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-ofr 7632  df-rpss 7677  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-tpos 8176  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-oadd 8409  df-er 8643  df-ec 8645  df-qs 8649  df-map 8775  df-pm 8776  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-sup 9355  df-inf 9356  df-oi 9425  df-r1 9688  df-rank 9689  df-dju 9825  df-card 9863  df-acn 9866  df-ac 10038  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-xnn0 12511  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-xneg 13063  df-xmul 13065  df-ico 13304  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-fl 13751  df-mod 13829  df-seq 13964  df-exp 14024  df-hash 14293  df-word 14476  df-lsw 14525  df-concat 14533  df-s1 14559  df-substr 14604  df-pfx 14634  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-dvds 16222  df-gcd 16464  df-prm 16641  df-pc 16808  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ocomp 17241  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-prds 17410  df-pws 17412  df-imas 17472  df-qus 17473  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-mri 17550  df-acs 17551  df-proset 18260  df-drs 18261  df-poset 18279  df-ipo 18494  df-chn 18572  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-mhm 18751  df-submnd 18752  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-mulg 19044  df-subg 19099  df-nsg 19100  df-eqg 19101  df-ghm 19188  df-gim 19234  df-cntz 19292  df-oppg 19321  df-lsm 19611  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-srg 20168  df-ring 20216  df-cring 20217  df-oppr 20317  df-dvdsr 20337  df-unit 20338  df-irred 20339  df-invr 20368  df-dvr 20381  df-rhm 20452  df-nzr 20490  df-subrng 20523  df-subrg 20547  df-rlreg 20671  df-domn 20672  df-idom 20673  df-drng 20708  df-field 20709  df-sdrg 20764  df-lmod 20857  df-lss 20927  df-lsp 20967  df-lmhm 21017  df-lmim 21018  df-lmic 21019  df-lbs 21070  df-lvec 21098  df-sra 21168  df-rgmod 21169  df-lidl 21206  df-rsp 21207  df-2idl 21248  df-lpidl 21320  df-lpir 21321  df-pid 21335  df-cnfld 21353  df-dsmm 21712  df-frlm 21727  df-uvc 21763  df-lindf 21786  df-linds 21787  df-assa 21833  df-asp 21834  df-ascl 21835  df-psr 21889  df-mvr 21890  df-mpl 21891  df-opsr 21893  df-evls 22052  df-evl 22053  df-psr1 22143  df-vr1 22144  df-ply1 22145  df-coe1 22146  df-evls1 22280  df-evl1 22281  df-mdeg 26020  df-deg1 26021  df-mon1 26096  df-uc1p 26097  df-q1p 26098  df-r1p 26099  df-ig1p 26100  df-fldgen 33372  df-mxidl 33520  df-dim 33744  df-fldext 33785  df-extdg 33786  df-irng 33828  df-minply 33844  df-constr 33874

This theorem is referenced by:  2sqr3nconstr  33925  cos9thpinconstrlem2  33934