Theorem constrcon 34032

Description: Contradiction of constructibility: If a complex number 𝐴 has minimal polynomial 𝐹 over ℚ of a degree that is not a power of 2, then 𝐴 is not constructible. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
constrcon.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘(ℂfld ↾s ℚ))
constrcon.m	⊢ 𝑀 = (ℂfld minPoly ℚ)
constrcon.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
constrcon.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑀‘𝐴))
constrcon.1	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)
constrcon.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐷‘𝐹) ≠ (2↑𝑛))

Assertion

Ref	Expression
constrcon	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ Constr)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝜑,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑛)   𝐹(𝑛)   𝑀(𝑛)

Proof of Theorem constrcon

Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		constrcon.2	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐷‘𝐹) ≠ (2↑𝑛))
2	1	neneqd 2961	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ¬ (𝐷‘𝐹) = (2↑𝑛))
3		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂfld ↾s ℚ) = (ℂfld ↾s ℚ)
4		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂfld ↾s (ℂfld fldGen (ℚ ∪ {𝐴}))) = (ℂfld ↾s (ℂfld fldGen (ℚ ∪ {𝐴})))
5		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (deg1‘ℂfld) = (deg1‘ℂfld)
6		constrcon.m	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 = (ℂfld minPoly ℚ)
7		cnfldfld 33489	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂfld ∈ Field
8	7	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℂfld ∈ Field)
9		cndrng 21433	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂfld ∈ DivRing
10		qsubdrg 21451	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℚ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (ℂfld ↾s ℚ) ∈ DivRing)
11	10	simpli 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℚ ∈ (SubRing‘ℂfld)
12	3	qdrng 27661	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℂfld ↾s ℚ) ∈ DivRing
13		issdrg 20817	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℚ ∈ (SubDRing‘ℂfld) ↔ (ℂfld ∈ DivRing ∧ ℚ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (ℂfld ↾s ℚ) ∈ DivRing))
14	9, 11, 12, 13	mpbir3an 1354	. . . . . . . . 9 ⊢ ℚ ∈ (SubDRing‘ℂfld)
15	14	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℚ ∈ (SubDRing‘ℂfld))
16		cnfldbas 21408	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
17		constrcon.d	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = (deg1‘(ℂfld ↾s ℚ))
18		constrcon.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
19		eqidd 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = 𝐷)
20		constrcon.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑀‘𝐴))
21	19, 20	fveq12d 6870	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) = (𝐷‘(𝑀‘𝐴)))
22		constrcon.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)
23	21, 22	eqeltrrd 2862	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑀‘𝐴)) ∈ ℕ0)
24	16, 6, 17, 8, 15, 18, 23	minplyelirng 33973	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℂfld IntgRing ℚ))
25	3, 4, 5, 6, 8, 15, 24	algextdeg 33983	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℂfld ↾s (ℂfld fldGen (ℚ ∪ {𝐴})))[:](ℂfld ↾s ℚ)) = ((deg1‘ℂfld)‘(𝑀‘𝐴)))
26		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ)) = (Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ))
27		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ))) = (Base‘(Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ)))
28		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℂfld evalSub1 ℚ) = (ℂfld evalSub1 ℚ)
29		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘ℂfld) = (0g‘ℂfld)
30		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑞 ∈ dom (ℂfld evalSub1 ℚ) ∣ (((ℂfld evalSub1 ℚ)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘ℂfld)} = {𝑞 ∈ dom (ℂfld evalSub1 ℚ) ∣ (((ℂfld evalSub1 ℚ)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘ℂfld)}
31		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (RSpan‘(Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ))) = (RSpan‘(Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ)))
32		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (idlGen1p‘(ℂfld ↾s ℚ)) = (idlGen1p‘(ℂfld ↾s ℚ))
33	28, 26, 16, 8, 15, 18, 29, 30, 31, 32, 6	minplycl 33964	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ (Base‘(Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ))))
34	11	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℚ ∈ (SubRing‘ℂfld))
35	3, 5, 26, 27, 33, 34	ressdeg1 33723	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘ℂfld)‘(𝑀‘𝐴)) = ((deg1‘(ℂfld ↾s ℚ))‘(𝑀‘𝐴)))
36	17, 19	eqtr3id 2810	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (deg1‘(ℂfld ↾s ℚ)) = 𝐷)
37	20	eqcomd 2767	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) = 𝐹)
38	36, 37	fveq12d 6870	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘(ℂfld ↾s ℚ))‘(𝑀‘𝐴)) = (𝐷‘𝐹))
39	25, 35, 38	3eqtrd 2800	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℂfld ↾s (ℂfld fldGen (ℚ ∪ {𝐴})))[:](ℂfld ↾s ℚ)) = (𝐷‘𝐹))
40	39	eqeq1d 2763	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((ℂfld ↾s (ℂfld fldGen (ℚ ∪ {𝐴})))[:](ℂfld ↾s ℚ)) = (2↑𝑛) ↔ (𝐷‘𝐹) = (2↑𝑛)))
41	40	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((ℂfld ↾s (ℂfld fldGen (ℚ ∪ {𝐴})))[:](ℂfld ↾s ℚ)) = (2↑𝑛) ↔ (𝐷‘𝐹) = (2↑𝑛)))
42	2, 41	mtbird 327	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ¬ ((ℂfld ↾s (ℂfld fldGen (ℚ ∪ {𝐴})))[:](ℂfld ↾s ℚ)) = (2↑𝑛))
43	42	nrexdv 3156	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((ℂfld ↾s (ℂfld fldGen (ℚ ∪ {𝐴})))[:](ℂfld ↾s ℚ)) = (2↑𝑛))
44		eqid 2761	. . 3 ⊢ (ℂfld fldGen (ℚ ∪ {𝐴})) = (ℂfld fldGen (ℚ ∪ {𝐴}))
45		simpr 488	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ Constr) → 𝐴 ∈ Constr)
46	3, 4, 44, 45	constrext2chn 34017	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ Constr) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((ℂfld ↾s (ℂfld fldGen (ℚ ∪ {𝐴})))[:](ℂfld ↾s ℚ)) = (2↑𝑛))
47	43, 46	mtand 825	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ Constr)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∃wrex 3085  {crab 3413   ∪ cun 3902  {csn 4581  dom cdm 5645  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  ℂcc 11068  2c2 12269  ℕ₀cn0 12478  ℚcq 12946  ↑cexp 14071  Basecbs 17228   ↾_s cress 17249  0_gc0g 17451  SubRingcsubrg 20598  DivRingcdr 20758  Fieldcfield 20759  SubDRingcsdrg 20815  RSpancrsp 21257  ℂ_fldccnfld 21404  Poly₁cpl1 22219   evalSub₁ ces1 22356  deg₁cdg1 26094  idlGen_1pcig1p 26170   fldGen cfldgen 33458  [:]cextdg 33898   minPoly cminply 33957  Constrcconstr 33987

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-reg 9537  ax-inf2 9593  ax-ac2 10417  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-pre-sup 11148  ax-addf 11149  ax-mulf 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-se 5599  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-isom 6526  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-of 7656  df-ofr 7657  df-rpss 7702  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-supp 8136  df-tpos 8201  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-2o 8433  df-oadd 8436  df-er 8673  df-ec 8675  df-qs 8679  df-map 8805  df-pm 8806  df-ixp 8876  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-fsupp 9305  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9455  df-r1 9719  df-rank 9720  df-dju 9856  df-card 9894  df-acn 9897  df-ac 10069  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12479  df-xnn0 12552  df-z 12566  df-dec 12686  df-uz 12837  df-q 12947  df-rp 12991  df-xneg 13111  df-xmul 13113  df-ico 13352  df-fz 13510  df-fzo 13657  df-fl 13799  df-mod 13877  df-seq 14012  df-exp 14072  df-hash 14341  df-word 14524  df-lsw 14573  df-concat 14581  df-s1 14607  df-substr 14652  df-pfx 14682  df-cj 15109  df-re 15110  df-im 15111  df-sqrt 15245  df-abs 15246  df-dvds 16270  df-gcd 16512  df-prm 16689  df-pc 16856  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-starv 17284  df-sca 17285  df-vsca 17286  df-ip 17287  df-tset 17288  df-ple 17289  df-ocomp 17290  df-ds 17291  df-unif 17292  df-hom 17293  df-cco 17294  df-0g 17453  df-gsum 17454  df-prds 17459  df-pws 17461  df-imas 17521  df-qus 17522  df-mre 17597  df-mrc 17598  df-mri 17599  df-acs 17600  df-proset 18309  df-drs 18310  df-poset 18328  df-ipo 18543  df-chn 18621  df-mgm 18657  df-sgrp 18736  df-mnd 18752  df-mhm 18800  df-submnd 18801  df-grp 18961  df-minusg 18962  df-sbg 18963  df-mulg 19093  df-subg 19148  df-nsg 19149  df-eqg 19150  df-ghm 19237  df-gim 19282  df-cntz 19340  df-oppg 19369  df-lsm 19659  df-cmn 19805  df-abl 19806  df-mgp 20170  df-rng 20182  df-ur 20211  df-srg 20216  df-ring 20264  df-cring 20265  df-oppr 20365  df-dvdsr 20385  df-unit 20386  df-irred 20387  df-invr 20416  df-dvr 20429  df-rhm 20500  df-nzr 20542  df-subrng 20575  df-subrg 20599  df-rlreg 20723  df-domn 20724  df-idom 20725  df-drng 20760  df-field 20761  df-sdrg 20816  df-lmod 20909  df-lss 20979  df-lsp 21019  df-lmhm 21069  df-lmim 21070  df-lmic 21071  df-lbs 21122  df-lvec 21150  df-sra 21220  df-rgmod 21221  df-lidl 21258  df-rsp 21259  df-2idl 21300  df-lpidl 21372  df-lpir 21373  df-pid 21387  df-cnfld 21405  df-dsmm 21764  df-frlm 21779  df-uvc 21815  df-lindf 21838  df-linds 21839  df-assa 21885  df-asp 21886  df-ascl 21887  df-psr 21941  df-mvr 21942  df-mpl 21943  df-opsr 21945  df-evls 22107  df-evl 22108  df-psr1 22222  df-vr1 22223  df-ply1 22224  df-coe1 22225  df-evls1 22358  df-evl1 22359  df-mdeg 26095  df-deg1 26096  df-mon1 26171  df-uc1p 26172  df-q1p 26173  df-r1p 26174  df-ig1p 26175  df-fldgen 33459  df-mxidl 33609  df-dim 33858  df-fldext 33899  df-extdg 33900  df-irng 33942  df-minply 33958  df-constr 33988

This theorem is referenced by:  2sqr3nconstr  34039  cos9thpinconstrlem2  34048