Theorem constrcon 34195

Description: Contradiction of constructibility: If a complex number 𝐴 has minimal polynomial 𝐹 over ℚ of a degree that is not a power of 2, then 𝐴 is not constructible. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
constrcon.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘(ℂfld ↾s ℚ))
constrcon.m	⊢ 𝑀 = (ℂfld minPoly ℚ)
constrcon.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
constrcon.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑀‘𝐴))
constrcon.1	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)
constrcon.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐷‘𝐹) ≠ (2↑𝑛))

Assertion

Ref	Expression
constrcon	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ Constr)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝜑,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑛)   𝐹(𝑛)   𝑀(𝑛)

Proof of Theorem constrcon

Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		constrcon.2	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐷‘𝐹) ≠ (2↑𝑛))
2	1	neneqd 2966	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ¬ (𝐷‘𝐹) = (2↑𝑛))
3		eqid 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂfld ↾s ℚ) = (ℂfld ↾s ℚ)
4		eqid 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂfld ↾s (ℂfld fldGen (ℚ ∪ {𝐴}))) = (ℂfld ↾s (ℂfld fldGen (ℚ ∪ {𝐴})))
5		eqid 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (deg1‘ℂfld) = (deg1‘ℂfld)
6		constrcon.m	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 = (ℂfld minPoly ℚ)
7		cnfldfld 33693	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂfld ∈ Field
8	7	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℂfld ∈ Field)
9		cndrng 21588	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂfld ∈ DivRing
10		qsubdrg 21606	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℚ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (ℂfld ↾s ℚ) ∈ DivRing)
11	10	simpli 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℚ ∈ (SubRing‘ℂfld)
12	3	qdrng 27821	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℂfld ↾s ℚ) ∈ DivRing
13		issdrg 20928	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℚ ∈ (SubDRing‘ℂfld) ↔ (ℂfld ∈ DivRing ∧ ℚ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (ℂfld ↾s ℚ) ∈ DivRing))
14	9, 11, 12, 13	mpbir3an 1360	. . . . . . . . 9 ⊢ ℚ ∈ (SubDRing‘ℂfld)
15	14	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℚ ∈ (SubDRing‘ℂfld))
16		cnfldbas 21563	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
17		constrcon.d	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = (deg1‘(ℂfld ↾s ℚ))
18		constrcon.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
19		eqidd 2767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = 𝐷)
20		constrcon.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑀‘𝐴))
21	19, 20	fveq12d 6895	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) = (𝐷‘(𝑀‘𝐴)))
22		constrcon.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)
23	21, 22	eqeltrrd 2867	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑀‘𝐴)) ∈ ℕ0)
24	16, 6, 17, 8, 15, 18, 23	minplyelirng 34136	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℂfld IntgRing ℚ))
25	3, 4, 5, 6, 8, 15, 24	algextdeg 34146	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℂfld ↾s (ℂfld fldGen (ℚ ∪ {𝐴})))[:](ℂfld ↾s ℚ)) = ((deg1‘ℂfld)‘(𝑀‘𝐴)))
26		eqid 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ)) = (Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ))
27		eqid 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ))) = (Base‘(Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ)))
28		eqid 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℂfld evalSub1 ℚ) = (ℂfld evalSub1 ℚ)
29		eqid 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘ℂfld) = (0g‘ℂfld)
30		eqid 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑞 ∈ dom (ℂfld evalSub1 ℚ) ∣ (((ℂfld evalSub1 ℚ)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘ℂfld)} = {𝑞 ∈ dom (ℂfld evalSub1 ℚ) ∣ (((ℂfld evalSub1 ℚ)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘ℂfld)}
31		eqid 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (RSpan‘(Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ))) = (RSpan‘(Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ)))
32		eqid 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (idlGen1p‘(ℂfld ↾s ℚ)) = (idlGen1p‘(ℂfld ↾s ℚ))
33	28, 26, 16, 8, 15, 18, 29, 30, 31, 32, 6	minplycl 34127	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ (Base‘(Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ))))
34	11	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℚ ∈ (SubRing‘ℂfld))
35	3, 5, 26, 27, 33, 34	ressdeg1 33887	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘ℂfld)‘(𝑀‘𝐴)) = ((deg1‘(ℂfld ↾s ℚ))‘(𝑀‘𝐴)))
36	17, 19	eqtr3id 2815	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (deg1‘(ℂfld ↾s ℚ)) = 𝐷)
37	20	eqcomd 2772	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) = 𝐹)
38	36, 37	fveq12d 6895	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘(ℂfld ↾s ℚ))‘(𝑀‘𝐴)) = (𝐷‘𝐹))
39	25, 35, 38	3eqtrd 2805	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℂfld ↾s (ℂfld fldGen (ℚ ∪ {𝐴})))[:](ℂfld ↾s ℚ)) = (𝐷‘𝐹))
40	39	eqeq1d 2768	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((ℂfld ↾s (ℂfld fldGen (ℚ ∪ {𝐴})))[:](ℂfld ↾s ℚ)) = (2↑𝑛) ↔ (𝐷‘𝐹) = (2↑𝑛)))
41	40	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((ℂfld ↾s (ℂfld fldGen (ℚ ∪ {𝐴})))[:](ℂfld ↾s ℚ)) = (2↑𝑛) ↔ (𝐷‘𝐹) = (2↑𝑛)))
42	2, 41	mtbird 328	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ¬ ((ℂfld ↾s (ℂfld fldGen (ℚ ∪ {𝐴})))[:](ℂfld ↾s ℚ)) = (2↑𝑛))
43	42	nrexdv 3163	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((ℂfld ↾s (ℂfld fldGen (ℚ ∪ {𝐴})))[:](ℂfld ↾s ℚ)) = (2↑𝑛))
44		eqid 2766	. . 3 ⊢ (ℂfld fldGen (ℚ ∪ {𝐴})) = (ℂfld fldGen (ℚ ∪ {𝐴}))
45		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ Constr) → 𝐴 ∈ Constr)
46	3, 4, 44, 45	constrext2chn 34180	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ Constr) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((ℂfld ↾s (ℂfld fldGen (ℚ ∪ {𝐴})))[:](ℂfld ↾s ℚ)) = (2↑𝑛))
47	43, 46	mtand 828	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ Constr)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  ∃wrex 3092  {crab 3419   ∪ cun 3906  {csn 4594  dom cdm 5666  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  ℂcc 11116  2c2 12313  ℕ₀cn0 12522  ℚcq 12990  ↑cexp 14117  Basecbs 17294   ↾_s cress 17315  0_gc0g 17517  SubRingcsubrg 20705  DivRingcdr 20864  Fieldcfield 20865  SubDRingcsdrg 20926  RSpancrsp 21368  ℂ_fldccnfld 21559  Poly₁cpl1 22374   evalSub₁ ces1 22510  deg₁cdg1 26248  idlGen_1pcig1p 26324   fldGen cfldgen 33662  [:]cextdg 34061   minPoly cminply 34120  Constrcconstr 34150

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-reg 9564  ax-inf2 9620  ax-ac2 10465  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196  ax-addf 11197  ax-mulf 11198

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-iin 4964  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-of 7687  df-ofr 7688  df-rpss 7733  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-supp 8166  df-tpos 8231  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-er 8703  df-ec 8705  df-qs 8709  df-map 8835  df-pm 8836  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-r1 9746  df-rank 9747  df-scott 9868  df-dju 9906  df-card 9944  df-acn 9947  df-ac 10119  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-xnn0 12596  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12881  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13155  df-xmul 13157  df-ico 13396  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-fl 13845  df-mod 13923  df-seq 14058  df-exp 14118  df-hash 14387  df-word 14571  df-lsw 14620  df-concat 14628  df-s1 14655  df-substr 14701  df-pfx 14733  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-dvds 16336  df-gcd 16578  df-prm 16755  df-pc 16922  df-struct 17232  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-starv 17350  df-sca 17351  df-vsca 17352  df-ip 17353  df-tset 17354  df-ple 17355  df-ocomp 17356  df-ds 17357  df-unif 17358  df-hom 17359  df-cco 17360  df-0g 17519  df-gsum 17520  df-prds 17525  df-pws 17527  df-imas 17587  df-qus 17588  df-mre 17663  df-mrc 17664  df-mri 17665  df-acs 17666  df-proset 18375  df-drs 18376  df-poset 18394  df-ipo 18609  df-chn 18687  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-mhm 18872  df-submnd 18873  df-grp 19034  df-minusg 19035  df-sbg 19036  df-mulg 19165  df-subg 19220  df-nsg 19221  df-eqg 19222  df-ghm 19315  df-gim 19360  df-cntz 19418  df-oppg 19447  df-lsm 19737  df-cmn 19883  df-abl 19884  df-mgp 20248  df-rng 20262  df-ur 20295  df-srg 20300  df-ring 20348  df-cring 20349  df-oppr 20452  df-dvdsr 20472  df-unit 20473  df-irred 20474  df-invr 20503  df-dvr 20516  df-rhm 20587  df-nzr 20647  df-subrng 20682  df-subrg 20706  df-rlreg 20830  df-domn 20831  df-idom 20832  df-drng 20866  df-field 20867  df-sdrg 20927  df-lmod 21020  df-lss 21090  df-lsp 21130  df-lmhm 21180  df-lmim 21181  df-lmic 21182  df-lbs 21233  df-lvec 21261  df-sra 21331  df-rgmod 21332  df-lidl 21369  df-rsp 21370  df-2idl 21426  df-lpidl 21527  df-lpir 21528  df-pid 21542  df-cnfld 21560  df-dsmm 21919  df-frlm 21934  df-uvc 21970  df-lindf 21993  df-linds 21994  df-assa 22040  df-asp 22041  df-ascl 22042  df-psr 22096  df-mvr 22097  df-mpl 22098  df-opsr 22100  df-evls 22262  df-evl 22263  df-psr1 22377  df-vr1 22378  df-ply1 22379  df-coe1 22380  df-evls1 22512  df-evl1 22513  df-mdeg 26249  df-deg1 26250  df-mon1 26325  df-uc1p 26326  df-q1p 26327  df-r1p 26328  df-ig1p 26329  df-fldgen 33663  df-mxidl 33774  df-dim 34021  df-fldext 34062  df-extdg 34063  df-irng 34105  df-minply 34121  df-constr 34151

This theorem is used by:  2sqr3nconstr  34202  cos9thpinconstrlem2  34211