Theorem ajfun 28787

Description: The adjoint function is a function. This is not immediately apparent from df-aj 28677 but results from the uniqueness shown by ajmoi 28785. (Contributed by NM, 26-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
ajfun.5	⊢ 𝐴 = (𝑈adj𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ajfun	⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → Fun 𝐴)

Proof of Theorem ajfun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ajfun.5	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑈adj𝑊)
2		oveq1 7171	. . . 4 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (𝑈adj𝑊) = (if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)adj𝑊))
3	1, 2	syl5eq 2785	. . 3 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → 𝐴 = (if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)adj𝑊))
4	3	funeqd 6355	. 2 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (Fun 𝐴 ↔ Fun (if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)adj𝑊)))
5		oveq2 7172	. . 3 ⊢ (𝑊 = if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)adj𝑊) = (if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)adjif(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))
6	5	funeqd 6355	. 2 ⊢ (𝑊 = if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (Fun (if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)adj𝑊) ↔ Fun (if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)adjif(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))))
7		eqid 2738	. . 3 ⊢ (if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)adjif(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) = (if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)adjif(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))
8		elimphu 28748	. . 3 ⊢ if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) ∈ CPreHilOLD
9		elimnvu 28611	. . 3 ⊢ if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) ∈ NrmCVec
10	7, 8, 9	ajfuni 28786	. 2 ⊢ Fun (if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)adjif(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))
11	4, 6, 10	dedth2h 4470	1 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → Fun 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1542   ∈ wcel 2113  ifcif 4411  ⟨cop 4519  Fun wfun 6327  (class class class)co 7164   + caddc 10611   · cmul 10613  abscabs 14676  NrmCVeccnv 28511  adjcaj 28675  CPreHil_OLDccphlo 28739

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5151  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-inf2 9170  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685  ax-pre-sup 10686  ax-addf 10687  ax-mulf 10688

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-int 4834  df-iun 4880  df-iin 4881  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-isom 6342  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-of 7419  df-om 7594  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-supp 7850  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-1o 8124  df-2o 8125  df-er 8313  df-map 8432  df-ixp 8501  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-fin 8552  df-fsupp 8900  df-fi 8941  df-sup 8972  df-inf 8973  df-oi 9040  df-card 9434  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-div 11369  df-nn 11710  df-2 11772  df-3 11773  df-4 11774  df-5 11775  df-6 11776  df-7 11777  df-8 11778  df-9 11779  df-n0 11970  df-z 12056  df-dec 12173  df-uz 12318  df-q 12424  df-rp 12466  df-xneg 12583  df-xadd 12584  df-xmul 12585  df-ioo 12818  df-icc 12821  df-fz 12975  df-fzo 13118  df-seq 13454  df-exp 13515  df-hash 13776  df-cj 14541  df-re 14542  df-im 14543  df-sqrt 14677  df-abs 14678  df-clim 14928  df-sum 15129  df-struct 16581  df-ndx 16582  df-slot 16583  df-base 16585  df-sets 16586  df-ress 16587  df-plusg 16674  df-mulr 16675  df-starv 16676  df-sca 16677  df-vsca 16678  df-ip 16679  df-tset 16680  df-ple 16681  df-ds 16683  df-unif 16684  df-hom 16685  df-cco 16686  df-rest 16792  df-topn 16793  df-0g 16811  df-gsum 16812  df-topgen 16813  df-pt 16814  df-prds 16817  df-xrs 16871  df-qtop 16876  df-imas 16877  df-xps 16879  df-mre 16953  df-mrc 16954  df-acs 16956  df-mgm 17961  df-sgrp 18010  df-mnd 18021  df-submnd 18066  df-mulg 18336  df-cntz 18558  df-cmn 19019  df-psmet 20202  df-xmet 20203  df-met 20204  df-bl 20205  df-mopn 20206  df-cnfld 20211  df-top 21638  df-topon 21655  df-topsp 21677  df-bases 21690  df-cld 21763  df-ntr 21764  df-cls 21765  df-cn 21971  df-cnp 21972  df-t1 22058  df-haus 22059  df-tx 22306  df-hmeo 22499  df-xms 23066  df-ms 23067  df-tms 23068  df-grpo 28420  df-gid 28421  df-ginv 28422  df-gdiv 28423  df-ablo 28472  df-vc 28486  df-nv 28519  df-va 28522  df-ba 28523  df-sm 28524  df-0v 28525  df-vs 28526  df-nmcv 28527  df-ims 28528  df-dip 28628  df-aj 28677  df-ph 28740

This theorem is referenced by: (None)