MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ajfuni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ajfuni 28628
Description: The adjoint function is a function. (Contributed by NM, 25-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ajfuni.5 𝐴 = (𝑈adj𝑊)
ajfuni.u 𝑈 ∈ CPreHilOLD
ajfuni.w 𝑊 ∈ NrmCVec
Assertion
Ref Expression
ajfuni Fun 𝐴

Proof of Theorem ajfuni
Dummy variables 𝑡 𝑠 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 funopab 6383 . . 3 (Fun {⟨𝑡, 𝑠⟩ ∣ (𝑡:(BaseSet‘𝑈)⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑠:(BaseSet‘𝑊)⟶(BaseSet‘𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑊)((𝑡𝑥)(·𝑖OLD𝑊)𝑦) = (𝑥(·𝑖OLD𝑈)(𝑠𝑦)))} ↔ ∀𝑡∃*𝑠(𝑡:(BaseSet‘𝑈)⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑠:(BaseSet‘𝑊)⟶(BaseSet‘𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑊)((𝑡𝑥)(·𝑖OLD𝑊)𝑦) = (𝑥(·𝑖OLD𝑈)(𝑠𝑦))))
2 eqid 2819 . . . . 5 (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘𝑈)
3 eqid 2819 . . . . 5 (·𝑖OLD𝑈) = (·𝑖OLD𝑈)
4 ajfuni.u . . . . 5 𝑈 ∈ CPreHilOLD
52, 3, 4ajmoi 28627 . . . 4 ∃*𝑠(𝑠:(BaseSet‘𝑊)⟶(BaseSet‘𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑊)((𝑡𝑥)(·𝑖OLD𝑊)𝑦) = (𝑥(·𝑖OLD𝑈)(𝑠𝑦)))
6 3simpc 1144 . . . . 5 ((𝑡:(BaseSet‘𝑈)⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑠:(BaseSet‘𝑊)⟶(BaseSet‘𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑊)((𝑡𝑥)(·𝑖OLD𝑊)𝑦) = (𝑥(·𝑖OLD𝑈)(𝑠𝑦))) → (𝑠:(BaseSet‘𝑊)⟶(BaseSet‘𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑊)((𝑡𝑥)(·𝑖OLD𝑊)𝑦) = (𝑥(·𝑖OLD𝑈)(𝑠𝑦))))
76moimi 2621 . . . 4 (∃*𝑠(𝑠:(BaseSet‘𝑊)⟶(BaseSet‘𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑊)((𝑡𝑥)(·𝑖OLD𝑊)𝑦) = (𝑥(·𝑖OLD𝑈)(𝑠𝑦))) → ∃*𝑠(𝑡:(BaseSet‘𝑈)⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑠:(BaseSet‘𝑊)⟶(BaseSet‘𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑊)((𝑡𝑥)(·𝑖OLD𝑊)𝑦) = (𝑥(·𝑖OLD𝑈)(𝑠𝑦))))
85, 7ax-mp 5 . . 3 ∃*𝑠(𝑡:(BaseSet‘𝑈)⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑠:(BaseSet‘𝑊)⟶(BaseSet‘𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑊)((𝑡𝑥)(·𝑖OLD𝑊)𝑦) = (𝑥(·𝑖OLD𝑈)(𝑠𝑦)))
91, 8mpgbir 1793 . 2 Fun {⟨𝑡, 𝑠⟩ ∣ (𝑡:(BaseSet‘𝑈)⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑠:(BaseSet‘𝑊)⟶(BaseSet‘𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑊)((𝑡𝑥)(·𝑖OLD𝑊)𝑦) = (𝑥(·𝑖OLD𝑈)(𝑠𝑦)))}
104phnvi 28585 . . . 4 𝑈 ∈ NrmCVec
11 ajfuni.w . . . 4 𝑊 ∈ NrmCVec
12 eqid 2819 . . . . 5 (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
13 eqid 2819 . . . . 5 (·𝑖OLD𝑊) = (·𝑖OLD𝑊)
14 ajfuni.5 . . . . 5 𝐴 = (𝑈adj𝑊)
152, 12, 3, 13, 14ajfval 28578 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → 𝐴 = {⟨𝑡, 𝑠⟩ ∣ (𝑡:(BaseSet‘𝑈)⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑠:(BaseSet‘𝑊)⟶(BaseSet‘𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑊)((𝑡𝑥)(·𝑖OLD𝑊)𝑦) = (𝑥(·𝑖OLD𝑈)(𝑠𝑦)))})
1610, 11, 15mp2an 690 . . 3 𝐴 = {⟨𝑡, 𝑠⟩ ∣ (𝑡:(BaseSet‘𝑈)⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑠:(BaseSet‘𝑊)⟶(BaseSet‘𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑊)((𝑡𝑥)(·𝑖OLD𝑊)𝑦) = (𝑥(·𝑖OLD𝑈)(𝑠𝑦)))}
1716funeqi 6369 . 2 (Fun 𝐴 ↔ Fun {⟨𝑡, 𝑠⟩ ∣ (𝑡:(BaseSet‘𝑈)⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑠:(BaseSet‘𝑊)⟶(BaseSet‘𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑊)((𝑡𝑥)(·𝑖OLD𝑊)𝑦) = (𝑥(·𝑖OLD𝑈)(𝑠𝑦)))})
189, 17mpbir 233 1 Fun 𝐴
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 398  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  ∃*wmo 2614  wral 3136  {copab 5119  Fun wfun 6342  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7148  NrmCVeccnv 28353  BaseSetcba 28355  ·𝑖OLDcdip 28469  adjcaj 28517  CPreHilOLDccphlo 28581
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-inf2 9096  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7401  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-supp 7823  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-2o 8095  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8826  df-fi 8867  df-sup 8898  df-inf 8899  df-oi 8966  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ioo 12734  df-icc 12737  df-fz 12885  df-fzo 13026  df-seq 13362  df-exp 13422  df-hash 13683  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837  df-sum 15035  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-rest 16688  df-topn 16689  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-topgen 16709  df-pt 16710  df-prds 16713  df-xrs 16767  df-qtop 16772  df-imas 16773  df-xps 16775  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-mulg 18217  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-psmet 20529  df-xmet 20530  df-met 20531  df-bl 20532  df-mopn 20533  df-cnfld 20538  df-top 21494  df-topon 21511  df-topsp 21533  df-bases 21546  df-cld 21619  df-ntr 21620  df-cls 21621  df-cn 21827  df-cnp 21828  df-t1 21914  df-haus 21915  df-tx 22162  df-hmeo 22355  df-xms 22922  df-ms 22923  df-tms 22924  df-grpo 28262  df-gid 28263  df-ginv 28264  df-gdiv 28265  df-ablo 28314  df-vc 28328  df-nv 28361  df-va 28364  df-ba 28365  df-sm 28366  df-0v 28367  df-vs 28368  df-nmcv 28369  df-ims 28370  df-dip 28470  df-aj 28519  df-ph 28582
This theorem is referenced by:  ajfun  28629
  Copyright terms: Public domain W3C validator