MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ajfuni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ajfuni 28040
Description: The adjoint function is a function. (Contributed by NM, 25-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ajfuni.5 𝐴 = (𝑈adj𝑊)
ajfuni.u 𝑈 ∈ CPreHilOLD
ajfuni.w 𝑊 ∈ NrmCVec
Assertion
Ref Expression
ajfuni Fun 𝐴

Proof of Theorem ajfuni
Dummy variables 𝑡 𝑠 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 funopab 6133 . . 3 (Fun {⟨𝑡, 𝑠⟩ ∣ (𝑡:(BaseSet‘𝑈)⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑠:(BaseSet‘𝑊)⟶(BaseSet‘𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑊)((𝑡𝑥)(·𝑖OLD𝑊)𝑦) = (𝑥(·𝑖OLD𝑈)(𝑠𝑦)))} ↔ ∀𝑡∃*𝑠(𝑡:(BaseSet‘𝑈)⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑠:(BaseSet‘𝑊)⟶(BaseSet‘𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑊)((𝑡𝑥)(·𝑖OLD𝑊)𝑦) = (𝑥(·𝑖OLD𝑈)(𝑠𝑦))))
2 eqid 2805 . . . . 5 (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘𝑈)
3 eqid 2805 . . . . 5 (·𝑖OLD𝑈) = (·𝑖OLD𝑈)
4 ajfuni.u . . . . 5 𝑈 ∈ CPreHilOLD
52, 3, 4ajmoi 28039 . . . 4 ∃*𝑠(𝑠:(BaseSet‘𝑊)⟶(BaseSet‘𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑊)((𝑡𝑥)(·𝑖OLD𝑊)𝑦) = (𝑥(·𝑖OLD𝑈)(𝑠𝑦)))
6 3simpc 1175 . . . . 5 ((𝑡:(BaseSet‘𝑈)⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑠:(BaseSet‘𝑊)⟶(BaseSet‘𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑊)((𝑡𝑥)(·𝑖OLD𝑊)𝑦) = (𝑥(·𝑖OLD𝑈)(𝑠𝑦))) → (𝑠:(BaseSet‘𝑊)⟶(BaseSet‘𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑊)((𝑡𝑥)(·𝑖OLD𝑊)𝑦) = (𝑥(·𝑖OLD𝑈)(𝑠𝑦))))
76moimi 2683 . . . 4 (∃*𝑠(𝑠:(BaseSet‘𝑊)⟶(BaseSet‘𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑊)((𝑡𝑥)(·𝑖OLD𝑊)𝑦) = (𝑥(·𝑖OLD𝑈)(𝑠𝑦))) → ∃*𝑠(𝑡:(BaseSet‘𝑈)⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑠:(BaseSet‘𝑊)⟶(BaseSet‘𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑊)((𝑡𝑥)(·𝑖OLD𝑊)𝑦) = (𝑥(·𝑖OLD𝑈)(𝑠𝑦))))
85, 7ax-mp 5 . . 3 ∃*𝑠(𝑡:(BaseSet‘𝑈)⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑠:(BaseSet‘𝑊)⟶(BaseSet‘𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑊)((𝑡𝑥)(·𝑖OLD𝑊)𝑦) = (𝑥(·𝑖OLD𝑈)(𝑠𝑦)))
91, 8mpgbir 1884 . 2 Fun {⟨𝑡, 𝑠⟩ ∣ (𝑡:(BaseSet‘𝑈)⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑠:(BaseSet‘𝑊)⟶(BaseSet‘𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑊)((𝑡𝑥)(·𝑖OLD𝑊)𝑦) = (𝑥(·𝑖OLD𝑈)(𝑠𝑦)))}
104phnvi 27996 . . . 4 𝑈 ∈ NrmCVec
11 ajfuni.w . . . 4 𝑊 ∈ NrmCVec
12 eqid 2805 . . . . 5 (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
13 eqid 2805 . . . . 5 (·𝑖OLD𝑊) = (·𝑖OLD𝑊)
14 ajfuni.5 . . . . 5 𝐴 = (𝑈adj𝑊)
152, 12, 3, 13, 14ajfval 27989 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → 𝐴 = {⟨𝑡, 𝑠⟩ ∣ (𝑡:(BaseSet‘𝑈)⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑠:(BaseSet‘𝑊)⟶(BaseSet‘𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑊)((𝑡𝑥)(·𝑖OLD𝑊)𝑦) = (𝑥(·𝑖OLD𝑈)(𝑠𝑦)))})
1610, 11, 15mp2an 675 . . 3 𝐴 = {⟨𝑡, 𝑠⟩ ∣ (𝑡:(BaseSet‘𝑈)⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑠:(BaseSet‘𝑊)⟶(BaseSet‘𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑊)((𝑡𝑥)(·𝑖OLD𝑊)𝑦) = (𝑥(·𝑖OLD𝑈)(𝑠𝑦)))}
1716funeqi 6119 . 2 (Fun 𝐴 ↔ Fun {⟨𝑡, 𝑠⟩ ∣ (𝑡:(BaseSet‘𝑈)⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑠:(BaseSet‘𝑊)⟶(BaseSet‘𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑊)((𝑡𝑥)(·𝑖OLD𝑊)𝑦) = (𝑥(·𝑖OLD𝑈)(𝑠𝑦)))})
189, 17mpbir 222 1 Fun 𝐴
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 384  w3a 1100   = wceq 1637  wcel 2158  ∃*wmo 2633  wral 3095  {copab 4902  Fun wfun 6092  wf 6094  cfv 6098  (class class class)co 6871  NrmCVeccnv 27764  BaseSetcba 27766  ·𝑖OLDcdip 27880  adjcaj 27928  CPreHilOLDccphlo 27992
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1880  ax-4 1897  ax-5 2004  ax-6 2070  ax-7 2106  ax-8 2160  ax-9 2167  ax-10 2187  ax-11 2203  ax-12 2216  ax-13 2422  ax-ext 2784  ax-rep 4960  ax-sep 4971  ax-nul 4980  ax-pow 5032  ax-pr 5093  ax-un 7176  ax-inf2 8782  ax-cnex 10274  ax-resscn 10275  ax-1cn 10276  ax-icn 10277  ax-addcl 10278  ax-addrcl 10279  ax-mulcl 10280  ax-mulrcl 10281  ax-mulcom 10282  ax-addass 10283  ax-mulass 10284  ax-distr 10285  ax-i2m1 10286  ax-1ne0 10287  ax-1rid 10288  ax-rnegex 10289  ax-rrecex 10290  ax-cnre 10291  ax-pre-lttri 10292  ax-pre-lttrn 10293  ax-pre-ltadd 10294  ax-pre-mulgt0 10295  ax-pre-sup 10296  ax-addf 10297  ax-mulf 10298
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1865  df-sb 2063  df-eu 2636  df-mo 2637  df-clab 2792  df-cleq 2798  df-clel 2801  df-nfc 2936  df-ne 2978  df-nel 3081  df-ral 3100  df-rex 3101  df-reu 3102  df-rmo 3103  df-rab 3104  df-v 3392  df-sbc 3631  df-csb 3726  df-dif 3769  df-un 3771  df-in 3773  df-ss 3780  df-pss 3782  df-nul 4114  df-if 4277  df-pw 4350  df-sn 4368  df-pr 4370  df-tp 4372  df-op 4374  df-uni 4627  df-int 4666  df-iun 4710  df-iin 4711  df-br 4841  df-opab 4903  df-mpt 4920  df-tr 4943  df-id 5216  df-eprel 5221  df-po 5229  df-so 5230  df-fr 5267  df-se 5268  df-we 5269  df-xp 5314  df-rel 5315  df-cnv 5316  df-co 5317  df-dm 5318  df-rn 5319  df-res 5320  df-ima 5321  df-pred 5890  df-ord 5936  df-on 5937  df-lim 5938  df-suc 5939  df-iota 6061  df-fun 6100  df-fn 6101  df-f 6102  df-f1 6103  df-fo 6104  df-f1o 6105  df-fv 6106  df-isom 6107  df-riota 6832  df-ov 6874  df-oprab 6875  df-mpt2 6876  df-of 7124  df-om 7293  df-1st 7395  df-2nd 7396  df-supp 7527  df-wrecs 7639  df-recs 7701  df-rdg 7739  df-1o 7793  df-2o 7794  df-oadd 7797  df-er 7976  df-map 8091  df-ixp 8143  df-en 8190  df-dom 8191  df-sdom 8192  df-fin 8193  df-fsupp 8512  df-fi 8553  df-sup 8584  df-inf 8585  df-oi 8651  df-card 9045  df-cda 9272  df-pnf 10358  df-mnf 10359  df-xr 10360  df-ltxr 10361  df-le 10362  df-sub 10550  df-neg 10551  df-div 10967  df-nn 11303  df-2 11360  df-3 11361  df-4 11362  df-5 11363  df-6 11364  df-7 11365  df-8 11366  df-9 11367  df-n0 11556  df-z 11640  df-dec 11756  df-uz 11901  df-q 12004  df-rp 12043  df-xneg 12158  df-xadd 12159  df-xmul 12160  df-ioo 12393  df-icc 12396  df-fz 12546  df-fzo 12686  df-seq 13021  df-exp 13080  df-hash 13334  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-clim 14438  df-sum 14636  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16171  df-unif 16172  df-hom 16173  df-cco 16174  df-rest 16284  df-topn 16285  df-0g 16303  df-gsum 16304  df-topgen 16305  df-pt 16306  df-prds 16309  df-xrs 16363  df-qtop 16368  df-imas 16369  df-xps 16371  df-mre 16447  df-mrc 16448  df-acs 16450  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-mulg 17742  df-cntz 17947  df-cmn 18392  df-psmet 19942  df-xmet 19943  df-met 19944  df-bl 19945  df-mopn 19946  df-cnfld 19951  df-top 20908  df-topon 20925  df-topsp 20947  df-bases 20960  df-cld 21033  df-ntr 21034  df-cls 21035  df-cn 21241  df-cnp 21242  df-t1 21328  df-haus 21329  df-tx 21575  df-hmeo 21768  df-xms 22334  df-ms 22335  df-tms 22336  df-grpo 27672  df-gid 27673  df-ginv 27674  df-gdiv 27675  df-ablo 27724  df-vc 27739  df-nv 27772  df-va 27775  df-ba 27776  df-sm 27777  df-0v 27778  df-vs 27779  df-nmcv 27780  df-ims 27781  df-dip 27881  df-aj 27930  df-ph 27993
This theorem is referenced by:  ajfun  28041
  Copyright terms: Public domain W3C validator