Theorem esumcvg2 34083

Description: Simpler version of esumcvg 34082. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Sep-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
esumcvg2.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
esumcvg2.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
esumcvg2.l	⊢ (𝑘 = 𝑙 → 𝐴 = 𝐵)
esumcvg2.m	⊢ (𝑘 = 𝑚 → 𝐴 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
esumcvg2	⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴)(⇝𝑡‘𝐽)Σ*𝑘 ∈ ℕ𝐴)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑙,𝑚,𝑛   𝐴,𝑙,𝑚,𝑛   𝐵,𝑘,𝑛   𝐶,𝑘,𝑙,𝑛   𝑘,𝐽,𝑛   𝜑,𝑘,𝑙,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑚,𝑙)   𝐶(𝑚)   𝐽(𝑚,𝑙)

Proof of Theorem esumcvg2

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		esumcvg2.m	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → 𝐴 = 𝐶)
2	1	cbvesumv 34039	. . . 4 ⊢ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑖)𝐴 = Σ*𝑚 ∈ (1...𝑖)𝐶
3		oveq2 7397	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → (1...𝑖) = (1...𝑛))
4		esumeq1 34030	. . . . 5 ⊢ ((1...𝑖) = (1...𝑛) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑖)𝐴 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴)
5	3, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑖)𝐴 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴)
6	2, 5	eqtr3id 2779	. . 3 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → Σ*𝑚 ∈ (1...𝑖)𝐶 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴)
7	6	cbvmptv 5213	. 2 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑚 ∈ (1...𝑖)𝐶) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴)
8		esumcvg2.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
9		esumcvg2.a	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
10		esumcvg2.l	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → 𝐴 = 𝐵)
11	8, 7, 9, 10	esumcvg 34082	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑚 ∈ (1...𝑖)𝐶)(⇝𝑡‘𝐽)Σ*𝑘 ∈ ℕ𝐴)
12	7, 11	eqbrtrrid 5145	1 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴)(⇝𝑡‘𝐽)Σ*𝑘 ∈ ℕ𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5190  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389  0cc0 11074  1c1 11075  +∞cpnf 11211  ℕcn 12187  [,]cicc 13315  ...cfz 13474   ↾_s cress 17206  TopOpenctopn 17390  ℝ^*_𝑠cxrs 17469  ⇝_𝑡clm 23119  Σ^*cesum 34023

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-inf2 9600  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-pre-sup 11152  ax-addf 11153  ax-mulf 11154

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4913  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-isom 6522  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-of 7655  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8142  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-1o 8436  df-2o 8437  df-oadd 8440  df-er 8673  df-map 8803  df-pm 8804  df-ixp 8873  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-fsupp 9319  df-fi 9368  df-sup 9399  df-inf 9400  df-oi 9469  df-card 9898  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12188  df-2 12250  df-3 12251  df-4 12252  df-5 12253  df-6 12254  df-7 12255  df-8 12256  df-9 12257  df-n0 12449  df-xnn0 12522  df-z 12536  df-dec 12656  df-uz 12800  df-q 12914  df-rp 12958  df-xneg 13078  df-xadd 13079  df-xmul 13080  df-ioo 13316  df-ioc 13317  df-ico 13318  df-icc 13319  df-fz 13475  df-fzo 13622  df-fl 13760  df-mod 13838  df-seq 13973  df-exp 14033  df-fac 14245  df-bc 14274  df-hash 14302  df-shft 15039  df-cj 15071  df-re 15072  df-im 15073  df-sqrt 15207  df-abs 15208  df-limsup 15443  df-clim 15460  df-rlim 15461  df-sum 15659  df-ef 16039  df-sin 16041  df-cos 16042  df-pi 16044  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17186  df-ress 17207  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-starv 17241  df-sca 17242  df-vsca 17243  df-ip 17244  df-tset 17245  df-ple 17246  df-ds 17248  df-unif 17249  df-hom 17250  df-cco 17251  df-rest 17391  df-topn 17392  df-0g 17410  df-gsum 17411  df-topgen 17412  df-pt 17413  df-prds 17416  df-ordt 17470  df-xrs 17471  df-qtop 17476  df-imas 17477  df-xps 17479  df-mre 17553  df-mrc 17554  df-acs 17556  df-ps 18531  df-tsr 18532  df-plusf 18572  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18716  df-submnd 18717  df-grp 18874  df-minusg 18875  df-sbg 18876  df-mulg 19006  df-subg 19061  df-cntz 19255  df-cmn 19718  df-abl 19719  df-mgp 20056  df-rng 20068  df-ur 20097  df-ring 20150  df-cring 20151  df-subrng 20461  df-subrg 20485  df-abv 20724  df-lmod 20774  df-scaf 20775  df-sra 21086  df-rgmod 21087  df-psmet 21262  df-xmet 21263  df-met 21264  df-bl 21265  df-mopn 21266  df-fbas 21267  df-fg 21268  df-cnfld 21271  df-top 22787  df-topon 22804  df-topsp 22826  df-bases 22839  df-cld 22912  df-ntr 22913  df-cls 22914  df-nei 22991  df-lp 23029  df-perf 23030  df-cn 23120  df-cnp 23121  df-lm 23122  df-haus 23208  df-tx 23455  df-hmeo 23648  df-fil 23739  df-fm 23831  df-flim 23832  df-flf 23833  df-tmd 23965  df-tgp 23966  df-tsms 24020  df-trg 24053  df-xms 24214  df-ms 24215  df-tms 24216  df-nm 24476  df-ngp 24477  df-nrg 24479  df-nlm 24480  df-ii 24776  df-cncf 24777  df-limc 25773  df-dv 25774  df-log 26471  df-esum 34024

This theorem is referenced by:  meascnbl  34215