Theorem esumcvg2 31638

Description: Simpler version of esumcvg 31637. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Sep-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
esumcvg2.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
esumcvg2.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
esumcvg2.l	⊢ (𝑘 = 𝑙 → 𝐴 = 𝐵)
esumcvg2.m	⊢ (𝑘 = 𝑚 → 𝐴 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
esumcvg2	⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴)(⇝𝑡‘𝐽)Σ*𝑘 ∈ ℕ𝐴)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑙,𝑚,𝑛   𝐴,𝑙,𝑚,𝑛   𝐵,𝑘,𝑛   𝐶,𝑘,𝑙,𝑛   𝑘,𝐽,𝑛   𝜑,𝑘,𝑙,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑚,𝑙)   𝐶(𝑚)   𝐽(𝑚,𝑙)

Proof of Theorem esumcvg2

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		esumcvg2.m	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → 𝐴 = 𝐶)
2	1	cbvesumv 31594	. . . 4 ⊢ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑖)𝐴 = Σ*𝑚 ∈ (1...𝑖)𝐶
3		oveq2 7191	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → (1...𝑖) = (1...𝑛))
4		esumeq1 31585	. . . . 5 ⊢ ((1...𝑖) = (1...𝑛) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑖)𝐴 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴)
5	3, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑖)𝐴 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴)
6	2, 5	eqtr3id 2788	. . 3 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → Σ*𝑚 ∈ (1...𝑖)𝐶 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴)
7	6	cbvmptv 5143	. 2 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑚 ∈ (1...𝑖)𝐶) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴)
8		esumcvg2.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
9		esumcvg2.a	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
10		esumcvg2.l	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → 𝐴 = 𝐵)
11	8, 7, 9, 10	esumcvg 31637	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑚 ∈ (1...𝑖)𝐶)(⇝𝑡‘𝐽)Σ*𝑘 ∈ ℕ𝐴)
12	7, 11	eqbrtrrid 5076	1 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴)(⇝𝑡‘𝐽)Σ*𝑘 ∈ ℕ𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5040   ↦ cmpt 5120  ‘cfv 6350  (class class class)co 7183  0cc0 10628  1c1 10629  +∞cpnf 10763  ℕcn 11729  [,]cicc 12837  ...cfz 12994   ↾_s cress 16600  TopOpenctopn 16811  ℝ^*_𝑠cxrs 16889  ⇝_𝑡clm 21990  Σ^*cesum 31578

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7492  ax-inf2 9190  ax-cnex 10684  ax-resscn 10685  ax-1cn 10686  ax-icn 10687  ax-addcl 10688  ax-addrcl 10689  ax-mulcl 10690  ax-mulrcl 10691  ax-mulcom 10692  ax-addass 10693  ax-mulass 10694  ax-distr 10695  ax-i2m1 10696  ax-1ne0 10697  ax-1rid 10698  ax-rnegex 10699  ax-rrecex 10700  ax-cnre 10701  ax-pre-lttri 10702  ax-pre-lttrn 10703  ax-pre-ltadd 10704  ax-pre-mulgt0 10705  ax-pre-sup 10706  ax-addf 10707  ax-mulf 10708

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-int 4847  df-iun 4893  df-iin 4894  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-se 5494  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6186  df-on 6187  df-lim 6188  df-suc 6189  df-iota 6308  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-isom 6359  df-riota 7140  df-ov 7186  df-oprab 7187  df-mpo 7188  df-of 7438  df-om 7613  df-1st 7727  df-2nd 7728  df-supp 7870  df-wrecs 7989  df-recs 8050  df-rdg 8088  df-1o 8144  df-2o 8145  df-oadd 8148  df-er 8333  df-map 8452  df-pm 8453  df-ixp 8521  df-en 8569  df-dom 8570  df-sdom 8571  df-fin 8572  df-fsupp 8920  df-fi 8961  df-sup 8992  df-inf 8993  df-oi 9060  df-card 9454  df-pnf 10768  df-mnf 10769  df-xr 10770  df-ltxr 10771  df-le 10772  df-sub 10963  df-neg 10964  df-div 11389  df-nn 11730  df-2 11792  df-3 11793  df-4 11794  df-5 11795  df-6 11796  df-7 11797  df-8 11798  df-9 11799  df-n0 11990  df-xnn0 12062  df-z 12076  df-dec 12193  df-uz 12338  df-q 12444  df-rp 12486  df-xneg 12603  df-xadd 12604  df-xmul 12605  df-ioo 12838  df-ioc 12839  df-ico 12840  df-icc 12841  df-fz 12995  df-fzo 13138  df-fl 13266  df-mod 13342  df-seq 13474  df-exp 13535  df-fac 13739  df-bc 13768  df-hash 13796  df-shft 14529  df-cj 14561  df-re 14562  df-im 14563  df-sqrt 14697  df-abs 14698  df-limsup 14931  df-clim 14948  df-rlim 14949  df-sum 15149  df-ef 15526  df-sin 15528  df-cos 15529  df-pi 15531  df-struct 16601  df-ndx 16602  df-slot 16603  df-base 16605  df-sets 16606  df-ress 16607  df-plusg 16694  df-mulr 16695  df-starv 16696  df-sca 16697  df-vsca 16698  df-ip 16699  df-tset 16700  df-ple 16701  df-ds 16703  df-unif 16704  df-hom 16705  df-cco 16706  df-rest 16812  df-topn 16813  df-0g 16831  df-gsum 16832  df-topgen 16833  df-pt 16834  df-prds 16837  df-ordt 16890  df-xrs 16891  df-qtop 16896  df-imas 16897  df-xps 16899  df-mre 16973  df-mrc 16974  df-acs 16976  df-ps 17939  df-tsr 17940  df-plusf 17980  df-mgm 17981  df-sgrp 18030  df-mnd 18041  df-mhm 18085  df-submnd 18086  df-grp 18235  df-minusg 18236  df-sbg 18237  df-mulg 18356  df-subg 18407  df-cntz 18578  df-cmn 19039  df-abl 19040  df-mgp 19372  df-ur 19384  df-ring 19431  df-cring 19432  df-subrg 19665  df-abv 19720  df-lmod 19768  df-scaf 19769  df-sra 20076  df-rgmod 20077  df-psmet 20222  df-xmet 20223  df-met 20224  df-bl 20225  df-mopn 20226  df-fbas 20227  df-fg 20228  df-cnfld 20231  df-top 21658  df-topon 21675  df-topsp 21697  df-bases 21710  df-cld 21783  df-ntr 21784  df-cls 21785  df-nei 21862  df-lp 21900  df-perf 21901  df-cn 21991  df-cnp 21992  df-lm 21993  df-haus 22079  df-tx 22326  df-hmeo 22519  df-fil 22610  df-fm 22702  df-flim 22703  df-flf 22704  df-tmd 22836  df-tgp 22837  df-tsms 22891  df-trg 22924  df-xms 23086  df-ms 23087  df-tms 23088  df-nm 23348  df-ngp 23349  df-nrg 23351  df-nlm 23352  df-ii 23642  df-cncf 23643  df-limc 24631  df-dv 24632  df-log 25313  df-esum 31579

This theorem is referenced by:  meascnbl  31770