Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem19 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransclem19 44842
Description: The 𝑁-th derivative of 𝐻 is 0 if 𝑁 is large enough. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem19.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
etransclem19.x (𝜑𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
etransclem19.p (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
etransclem19.1 𝐻 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
etransclem19.J (𝜑𝐽 ∈ (0...𝑀))
etransclem19.n (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
etransclem19.7 (𝜑 → if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁)
Assertion
Ref Expression
etransclem19 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝐻𝐽))‘𝑁) = (𝑥𝑋 ↦ 0))
Distinct variable groups:   𝑗,𝐽,𝑥   𝑗,𝑀,𝑥   𝑥,𝑁   𝑃,𝑗,𝑥   𝑥,𝑆   𝑗,𝑋,𝑥   𝜑,𝑗,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑗)   𝐻(𝑥,𝑗)   𝑁(𝑗)

Proof of Theorem etransclem19
StepHypRef Expression
1 etransclem19.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2 etransclem19.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
3 etransclem19.p . . 3 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
4 etransclem19.1 . . 3 𝐻 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
5 etransclem19.J . . 3 (𝜑𝐽 ∈ (0...𝑀))
6 etransclem19.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
7 0red 11204 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
86zred 12653 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
9 nnm1nn0 12500 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
103, 9syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
1110nn0red 12520 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
123nnred 12214 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ ℝ)
1311, 12ifcld 4570 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) ∈ ℝ)
1410nn0ge0d 12522 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ (𝑃 − 1))
1514adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐽 = 0) → 0 ≤ (𝑃 − 1))
16 iftrue 4530 . . . . . . . . . 10 (𝐽 = 0 → if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) = (𝑃 − 1))
1716eqcomd 2739 . . . . . . . . 9 (𝐽 = 0 → (𝑃 − 1) = if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))
1817adantl 483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐽 = 0) → (𝑃 − 1) = if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))
1915, 18breqtrd 5170 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 = 0) → 0 ≤ if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))
203nnnn0d 12519 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 ∈ ℕ0)
2120nn0ge0d 12522 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ 𝑃)
2221adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0) → 0 ≤ 𝑃)
23 iffalse 4533 . . . . . . . . . 10 𝐽 = 0 → if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) = 𝑃)
2423eqcomd 2739 . . . . . . . . 9 𝐽 = 0 → 𝑃 = if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))
2524adantl 483 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0) → 𝑃 = if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))
2622, 25breqtrd 5170 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0) → 0 ≤ if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))
2719, 26pm2.61dan 812 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))
28 etransclem19.7 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁)
297, 13, 8, 27, 28lelttrd 11359 . . . . 5 (𝜑 → 0 < 𝑁)
307, 8, 29ltled 11349 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
31 elnn0z 12558 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))
326, 30, 31sylanbrc 584 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
331, 2, 3, 4, 5, 32etransclem17 44840 . 2 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝐻𝐽))‘𝑁) = (𝑥𝑋 ↦ if(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁, 0, (((!‘if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))) · ((𝑥𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))))))
3428iftrued 4532 . . 3 (𝜑 → if(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁, 0, (((!‘if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))) · ((𝑥𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁)))) = 0)
3534mpteq2dv 5246 . 2 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ if(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁, 0, (((!‘if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))) · ((𝑥𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))))) = (𝑥𝑋 ↦ 0))
3633, 35eqtrd 2773 1 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝐻𝐽))‘𝑁) = (𝑥𝑋 ↦ 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  ifcif 4524  {cpr 4626   class class class wbr 5144  cmpt 5227  cfv 6535  (class class class)co 7396  cc 11095  cr 11096  0cc0 11097  1c1 11098   · cmul 11102   < clt 11235  cle 11236  cmin 11431   / cdiv 11858  cn 12199  0cn0 12459  cz 12545  ...cfz 13471  cexp 14014  !cfa 14220  t crest 17353  TopOpenctopn 17354  fldccnfld 20918   D𝑛 cdvn 25350
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7712  ax-inf2 9623  ax-cnex 11153  ax-resscn 11154  ax-1cn 11155  ax-icn 11156  ax-addcl 11157  ax-addrcl 11158  ax-mulcl 11159  ax-mulrcl 11160  ax-mulcom 11161  ax-addass 11162  ax-mulass 11163  ax-distr 11164  ax-i2m1 11165  ax-1ne0 11166  ax-1rid 11167  ax-rnegex 11168  ax-rrecex 11169  ax-cnre 11170  ax-pre-lttri 11171  ax-pre-lttrn 11172  ax-pre-ltadd 11173  ax-pre-mulgt0 11174  ax-pre-sup 11175  ax-addf 11176  ax-mulf 11177
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4905  df-int 4947  df-iun 4995  df-iin 4996  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6292  df-ord 6359  df-on 6360  df-lim 6361  df-suc 6362  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-isom 6544  df-riota 7352  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-of 7657  df-om 7843  df-1st 7962  df-2nd 7963  df-supp 8134  df-frecs 8253  df-wrecs 8284  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-er 8691  df-map 8810  df-pm 8811  df-ixp 8880  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fsupp 9350  df-fi 9393  df-sup 9424  df-inf 9425  df-oi 9492  df-card 9921  df-pnf 11237  df-mnf 11238  df-xr 11239  df-ltxr 11240  df-le 11241  df-sub 11433  df-neg 11434  df-div 11859  df-nn 12200  df-2 12262  df-3 12263  df-4 12264  df-5 12265  df-6 12266  df-7 12267  df-8 12268  df-9 12269  df-n0 12460  df-z 12546  df-dec 12665  df-uz 12810  df-q 12920  df-rp 12962  df-xneg 13079  df-xadd 13080  df-xmul 13081  df-icc 13318  df-fz 13472  df-fzo 13615  df-seq 13954  df-exp 14015  df-fac 14221  df-hash 14278  df-cj 15033  df-re 15034  df-im 15035  df-sqrt 15169  df-abs 15170  df-struct 17067  df-sets 17084  df-slot 17102  df-ndx 17114  df-base 17132  df-ress 17161  df-plusg 17197  df-mulr 17198  df-starv 17199  df-sca 17200  df-vsca 17201  df-ip 17202  df-tset 17203  df-ple 17204  df-ds 17206  df-unif 17207  df-hom 17208  df-cco 17209  df-rest 17355  df-topn 17356  df-0g 17374  df-gsum 17375  df-topgen 17376  df-pt 17377  df-prds 17380  df-xrs 17435  df-qtop 17440  df-imas 17441  df-xps 17443  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-mgm 18548  df-sgrp 18597  df-mnd 18613  df-submnd 18659  df-mulg 18936  df-cntz 19166  df-cmn 19634  df-psmet 20910  df-xmet 20911  df-met 20912  df-bl 20913  df-mopn 20914  df-fbas 20915  df-fg 20916  df-cnfld 20919  df-top 22365  df-topon 22382  df-topsp 22404  df-bases 22418  df-cld 22492  df-ntr 22493  df-cls 22494  df-nei 22571  df-lp 22609  df-perf 22610  df-cn 22700  df-cnp 22701  df-haus 22788  df-tx 23035  df-hmeo 23228  df-fil 23319  df-fm 23411  df-flim 23412  df-flf 23413  df-xms 23795  df-ms 23796  df-tms 23797  df-cncf 24363  df-limc 25352  df-dv 25353  df-dvn 25354
This theorem is referenced by:  etransclem32  44855
  Copyright terms: Public domain W3C validator