Theorem hlathil 41926

Description: Construction of a Hilbert space (df-hil 21662) 𝑈 from a Hilbert lattice (df-hlat 39315) 𝐾, where 𝑊 is a fixed but arbitrary hyperplane (co-atom) in 𝐾.

The Hilbert space 𝑈 is identical to the vector space ((DVecH‘𝐾)‘𝑊) (see dvhlvec 41074) except that it is extended with involution and inner product components. The construction of these two components is provided by Theorem 3.6 in [Holland95] p. 13, whose proof we follow loosely.

An example of involution is the complex conjugate when the division ring is the field of complex numbers. The nature of the division ring we constructed is indeterminate, however, until we specialize the initial Hilbert lattice with additional conditions found by Maria Solèr in 1995 and refined by René Mayet in 1998 that result in a division ring isomorphic to ℂ. See additional discussion at https://us.metamath.org/qlegif/mmql.html#what 41074.

𝑊 corresponds to the w in the proof of Theorem 13.4 of [Crawley] p. 111. Such a 𝑊 always exists since HL has lattice rank of at least 4 by df-hil 21662. It can be eliminated if we just want to show the existence of a Hilbert space, as is done in the literature. (Contributed by NM, 23-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlhilphl.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hlhilphllem.u	⊢ 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
hlhilphl.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
hlathil	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Hil)

Proof of Theorem hlathil

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlhilphl.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hlhilphllem.u	. 2 ⊢ 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
3		hlhilphl.k	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4		eqid 2735	. 2 ⊢ (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
5		eqid 2735	. 2 ⊢ ((DVecH‘𝐾)‘𝑊) = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6		eqid 2735	. 2 ⊢ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))
7		eqid 2735	. 2 ⊢ (+g‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (+g‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))
8		eqid 2735	. 2 ⊢ ( ·𝑠 ‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = ( ·𝑠 ‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))
9		eqid 2735	. 2 ⊢ (Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))
10		eqid 2735	. 2 ⊢ (Base‘(Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))) = (Base‘(Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
11		eqid 2735	. 2 ⊢ (+g‘(Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))) = (+g‘(Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
12		eqid 2735	. 2 ⊢ (.r‘(Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))) = (.r‘(Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
13		eqid 2735	. 2 ⊢ (0g‘(Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))) = (0g‘(Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
14		eqid 2735	. 2 ⊢ (0g‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (0g‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))
15		eqid 2735	. 2 ⊢ (·𝑖‘𝑈) = (·𝑖‘𝑈)
16		eqid 2735	. 2 ⊢ ((HDMap‘𝐾)‘𝑊) = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
17		eqid 2735	. 2 ⊢ ((HGMap‘𝐾)‘𝑊) = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
18		eqid 2735	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)), 𝑦 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) ↦ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑦)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)), 𝑦 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) ↦ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑦)‘𝑥))
19		eqid 2735	. 2 ⊢ (ocv‘𝑈) = (ocv‘𝑈)
20		eqid 2735	. 2 ⊢ (ClSubSp‘𝑈) = (ClSubSp‘𝑈)
21	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20	hlhilhillem 41925	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Hil)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6530   ∈ cmpo 7405  Basecbs 17226  +_gcplusg 17269  ._rcmulr 17270  Scalarcsca 17272   ·_𝑠 cvsca 17273  ·_𝑖cip 17274  0_gc0g 17451  ocvcocv 21618  ClSubSpccss 21619  Hilchil 21659  HLchlt 39314  LHypclh 39949  DVecHcdvh 41043  HDMapchdma 41757  HGMapchg 41848  HLHilchlh 41897

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-riotaBAD 38917

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-ot 4610  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-iin 4970  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-of 7669  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-tpos 8223  df-undef 8270  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-2o 8479  df-er 8717  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-nn 12239  df-2 12301  df-3 12302  df-4 12303  df-5 12304  df-6 12305  df-7 12306  df-8 12307  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12851  df-fz 13523  df-struct 17164  df-sets 17181  df-slot 17199  df-ndx 17211  df-base 17227  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-starv 17284  df-sca 17285  df-vsca 17286  df-ip 17287  df-0g 17453  df-mre 17596  df-mrc 17597  df-acs 17599  df-proset 18304  df-poset 18323  df-plt 18338  df-lub 18354  df-glb 18355  df-join 18356  df-meet 18357  df-p0 18433  df-p1 18434  df-lat 18440  df-clat 18507  df-mgm 18616  df-sgrp 18695  df-mnd 18711  df-mhm 18759  df-submnd 18760  df-grp 18917  df-minusg 18918  df-sbg 18919  df-subg 19104  df-ghm 19194  df-cntz 19298  df-oppg 19327  df-lsm 19615  df-pj1 19616  df-cmn 19761  df-abl 19762  df-mgp 20099  df-rng 20111  df-ur 20140  df-ring 20193  df-oppr 20295  df-dvdsr 20315  df-unit 20316  df-invr 20346  df-dvr 20359  df-rhm 20430  df-nzr 20471  df-subrg 20528  df-rlreg 20652  df-domn 20653  df-drng 20689  df-staf 20797  df-srng 20798  df-lmod 20817  df-lss 20887  df-lsp 20927  df-lmhm 20978  df-lvec 21059  df-sra 21129  df-rgmod 21130  df-phl 21584  df-ocv 21621  df-css 21622  df-pj 21661  df-hil 21662  df-lsatoms 38940  df-lshyp 38941  df-lcv 38983  df-lfl 39022  df-lkr 39050  df-ldual 39088  df-oposet 39140  df-ol 39142  df-oml 39143  df-covers 39230  df-ats 39231  df-atl 39262  df-cvlat 39286  df-hlat 39315  df-llines 39463  df-lplanes 39464  df-lvols 39465  df-lines 39466  df-psubsp 39468  df-pmap 39469  df-padd 39761  df-lhyp 39953  df-laut 39954  df-ldil 40069  df-ltrn 40070  df-trl 40124  df-tgrp 40708  df-tendo 40720  df-edring 40722  df-dveca 40968  df-disoa 40994  df-dvech 41044  df-dib 41104  df-dic 41138  df-dih 41194  df-doch 41313  df-djh 41360  df-lcdual 41552  df-mapd 41590  df-hvmap 41722  df-hdmap1 41758  df-hdmap 41759  df-hgmap 41849  df-hlhil 41898

This theorem is referenced by: (None)