Theorem hlathil 38035

Description: Construction of a Hilbert space (df-hil 20418) 𝑈 from a Hilbert lattice (df-hlat 35425) 𝐾, where 𝑊 is a fixed but arbitrary hyperplane (co-atom) in 𝐾.

The Hilbert space 𝑈 is identical to the vector space ((DVecH‘𝐾)‘𝑊) (see dvhlvec 37183) except that it is extended with involution and inner product components. The construction of these two components is provided by Theorem 3.6 in [Holland95] p. 13, whose proof we follow loosely.

An example of involution is the complex conjugate when the division ring is the field of complex numbers. The nature of the division ring we constructed is indeterminate, however, until we specialize the initial Hilbert lattice with additional conditions found by Maria Solèr in 1995 and refined by René Mayet in 1998 that result in a division ring isomorphic to ℂ. See additional discussion at http://us.metamath.org/qlegif/mmql.html#what.

𝑊 corresponds to the w in the proof of Theorem 13.4 of [Crawley] p. 111. Such a 𝑊 always exists since HL has lattice rank of at least 4 by df-hil 20418. It can be eliminated if we just want to show the existence of a Hilbert space, as is done in the literature. (Contributed by NM, 23-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlhilphl.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hlhilphllem.u	⊢ 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
hlhilphl.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
hlathil	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Hil)

Proof of Theorem hlathil

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlhilphl.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hlhilphllem.u	. 2 ⊢ 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
3		hlhilphl.k	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4		eqid 2825	. 2 ⊢ (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
5		eqid 2825	. 2 ⊢ ((DVecH‘𝐾)‘𝑊) = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6		eqid 2825	. 2 ⊢ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))
7		eqid 2825	. 2 ⊢ (+g‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (+g‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))
8		eqid 2825	. 2 ⊢ ( ·𝑠 ‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = ( ·𝑠 ‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))
9		eqid 2825	. 2 ⊢ (Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))
10		eqid 2825	. 2 ⊢ (Base‘(Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))) = (Base‘(Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
11		eqid 2825	. 2 ⊢ (+g‘(Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))) = (+g‘(Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
12		eqid 2825	. 2 ⊢ (.r‘(Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))) = (.r‘(Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
13		eqid 2825	. 2 ⊢ (0g‘(Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))) = (0g‘(Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
14		eqid 2825	. 2 ⊢ (0g‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (0g‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))
15		eqid 2825	. 2 ⊢ (·𝑖‘𝑈) = (·𝑖‘𝑈)
16		eqid 2825	. 2 ⊢ ((HDMap‘𝐾)‘𝑊) = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
17		eqid 2825	. 2 ⊢ ((HGMap‘𝐾)‘𝑊) = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
18		eqid 2825	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)), 𝑦 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) ↦ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑦)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)), 𝑦 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) ↦ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑦)‘𝑥))
19		eqid 2825	. 2 ⊢ (ocv‘𝑈) = (ocv‘𝑈)
20		eqid 2825	. 2 ⊢ (ClSubSp‘𝑈) = (ClSubSp‘𝑈)
21	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20	hlhilhillem 38034	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Hil)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1656   ∈ wcel 2164  ‘cfv 6127   ↦ cmpt2 6912  Basecbs 16229  +_gcplusg 16312  ._rcmulr 16313  Scalarcsca 16315   ·_𝑠 cvsca 16316  ·_𝑖cip 16317  0_gc0g 16460  ocvcocv 20374  ClSubSpccss 20375  Hilchil 20415  HLchlt 35424  LHypclh 36058  DVecHcdvh 37152  HDMapchdma 37866  HGMapchg 37957  HLHilchlh 38006

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-riotaBAD 35027

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-fal 1670  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-ot 4408  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-iin 4745  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-of 7162  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-tpos 7622  df-undef 7669  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-oadd 7835  df-er 8014  df-map 8129  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-4 11423  df-5 11424  df-6 11425  df-7 11426  df-8 11427  df-n0 11626  df-z 11712  df-uz 11976  df-fz 12627  df-struct 16231  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-sets 16236  df-ress 16237  df-plusg 16325  df-mulr 16326  df-starv 16327  df-sca 16328  df-vsca 16329  df-ip 16330  df-0g 16462  df-mre 16606  df-mrc 16607  df-acs 16609  df-proset 17288  df-poset 17306  df-plt 17318  df-lub 17334  df-glb 17335  df-join 17336  df-meet 17337  df-p0 17399  df-p1 17400  df-lat 17406  df-clat 17468  df-mgm 17602  df-sgrp 17644  df-mnd 17655  df-mhm 17695  df-submnd 17696  df-grp 17786  df-minusg 17787  df-sbg 17788  df-subg 17949  df-ghm 18016  df-cntz 18107  df-oppg 18133  df-lsm 18409  df-pj1 18410  df-cmn 18555  df-abl 18556  df-mgp 18851  df-ur 18863  df-ring 18910  df-oppr 18984  df-dvdsr 19002  df-unit 19003  df-invr 19033  df-dvr 19044  df-rnghom 19078  df-drng 19112  df-subrg 19141  df-staf 19208  df-srng 19209  df-lmod 19228  df-lss 19296  df-lsp 19338  df-lmhm 19388  df-lvec 19469  df-sra 19540  df-rgmod 19541  df-phl 20340  df-ocv 20377  df-css 20378  df-pj 20417  df-hil 20418  df-lsatoms 35050  df-lshyp 35051  df-lcv 35093  df-lfl 35132  df-lkr 35160  df-ldual 35198  df-oposet 35250  df-ol 35252  df-oml 35253  df-covers 35340  df-ats 35341  df-atl 35372  df-cvlat 35396  df-hlat 35425  df-llines 35572  df-lplanes 35573  df-lvols 35574  df-lines 35575  df-psubsp 35577  df-pmap 35578  df-padd 35870  df-lhyp 36062  df-laut 36063  df-ldil 36178  df-ltrn 36179  df-trl 36233  df-tgrp 36817  df-tendo 36829  df-edring 36831  df-dveca 37077  df-disoa 37103  df-dvech 37153  df-dib 37213  df-dic 37247  df-dih 37303  df-doch 37422  df-djh 37469  df-lcdual 37661  df-mapd 37699  df-hvmap 37831  df-hdmap1 37867  df-hdmap 37868  df-hgmap 37958  df-hlhil 38007

This theorem is referenced by: (None)