Theorem hlathil 42421

Description: Construction of a Hilbert space (df-hil 21694) 𝑈 from a Hilbert lattice (df-hlat 39811) 𝐾, where 𝑊 is a fixed but arbitrary hyperplane (co-atom) in 𝐾.

The Hilbert space 𝑈 is identical to the vector space ((DVecH‘𝐾)‘𝑊) (see dvhlvec 41569) except that it is extended with involution and inner product components. The construction of these two components is provided by Theorem 3.6 in [Holland95] p. 13, whose proof we follow loosely.

An example of involution is the complex conjugate when the division ring is the field of complex numbers. The nature of the division ring we constructed is indeterminate, however, until we specialize the initial Hilbert lattice with additional conditions found by Maria Solèr in 1995 and refined by René Mayet in 1998 that result in a division ring isomorphic to ℂ. See additional discussion at https://us.metamath.org/qlegif/mmql.html#what 41569.

𝑊 corresponds to the w in the proof of Theorem 13.4 of [Crawley] p. 111. Such a 𝑊 always exists since HL has lattice rank of at least 4 by df-hil 21694. It can be eliminated if we just want to show the existence of a Hilbert space, as is done in the literature. (Contributed by NM, 23-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlhilphl.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hlhilphllem.u	⊢ 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
hlhilphl.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
hlathil	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Hil)

Proof of Theorem hlathil

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlhilphl.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hlhilphllem.u	. 2 ⊢ 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
3		hlhilphl.k	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4		eqid 2737	. 2 ⊢ (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
5		eqid 2737	. 2 ⊢ ((DVecH‘𝐾)‘𝑊) = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6		eqid 2737	. 2 ⊢ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))
7		eqid 2737	. 2 ⊢ (+g‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (+g‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))
8		eqid 2737	. 2 ⊢ ( ·𝑠 ‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = ( ·𝑠 ‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))
9		eqid 2737	. 2 ⊢ (Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))
10		eqid 2737	. 2 ⊢ (Base‘(Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))) = (Base‘(Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
11		eqid 2737	. 2 ⊢ (+g‘(Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))) = (+g‘(Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
12		eqid 2737	. 2 ⊢ (.r‘(Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))) = (.r‘(Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
13		eqid 2737	. 2 ⊢ (0g‘(Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))) = (0g‘(Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
14		eqid 2737	. 2 ⊢ (0g‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (0g‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))
15		eqid 2737	. 2 ⊢ (·𝑖‘𝑈) = (·𝑖‘𝑈)
16		eqid 2737	. 2 ⊢ ((HDMap‘𝐾)‘𝑊) = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
17		eqid 2737	. 2 ⊢ ((HGMap‘𝐾)‘𝑊) = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
18		eqid 2737	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)), 𝑦 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) ↦ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑦)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)), 𝑦 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) ↦ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑦)‘𝑥))
19		eqid 2737	. 2 ⊢ (ocv‘𝑈) = (ocv‘𝑈)
20		eqid 2737	. 2 ⊢ (ClSubSp‘𝑈) = (ClSubSp‘𝑈)
21	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20	hlhilhillem 42420	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Hil)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6492   ∈ cmpo 7362  Basecbs 17170  +_gcplusg 17211  ._rcmulr 17212  Scalarcsca 17214   ·_𝑠 cvsca 17215  ·_𝑖cip 17216  0_gc0g 17393  ocvcocv 21650  ClSubSpccss 21651  Hilchil 21691  HLchlt 39810  LHypclh 40444  DVecHcdvh 41538  HDMapchdma 42252  HGMapchg 42343  HLHilchlh 42392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-riotaBAD 39413

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-ot 4577  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-tpos 8169  df-undef 8216  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-er 8636  df-map 8768  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-0g 17395  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-proset 18251  df-poset 18270  df-plt 18285  df-lub 18301  df-glb 18302  df-join 18303  df-meet 18304  df-p0 18380  df-p1 18381  df-lat 18389  df-clat 18456  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18742  df-submnd 18743  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-subg 19090  df-ghm 19179  df-cntz 19283  df-oppg 19312  df-lsm 19602  df-pj1 19603  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-oppr 20308  df-dvdsr 20328  df-unit 20329  df-invr 20359  df-dvr 20372  df-rhm 20443  df-nzr 20481  df-subrg 20538  df-rlreg 20662  df-domn 20663  df-drng 20699  df-staf 20807  df-srng 20808  df-lmod 20848  df-lss 20918  df-lsp 20958  df-lmhm 21009  df-lvec 21090  df-sra 21160  df-rgmod 21161  df-phl 21616  df-ocv 21653  df-css 21654  df-pj 21693  df-hil 21694  df-lsatoms 39436  df-lshyp 39437  df-lcv 39479  df-lfl 39518  df-lkr 39546  df-ldual 39584  df-oposet 39636  df-ol 39638  df-oml 39639  df-covers 39726  df-ats 39727  df-atl 39758  df-cvlat 39782  df-hlat 39811  df-llines 39958  df-lplanes 39959  df-lvols 39960  df-lines 39961  df-psubsp 39963  df-pmap 39964  df-padd 40256  df-lhyp 40448  df-laut 40449  df-ldil 40564  df-ltrn 40565  df-trl 40619  df-tgrp 41203  df-tendo 41215  df-edring 41217  df-dveca 41463  df-disoa 41489  df-dvech 41539  df-dib 41599  df-dic 41633  df-dih 41689  df-doch 41808  df-djh 41855  df-lcdual 42047  df-mapd 42085  df-hvmap 42217  df-hdmap1 42253  df-hdmap 42254  df-hgmap 42344  df-hlhil 42393

This theorem is referenced by: (None)