Theorem r1pid2OLD 33623

Description: Obsolete version of r1pid2 26124 as of 21-Jun-2025. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
r1padd1.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
r1padd1.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
r1padd1.n	⊢ 𝑁 = (Unic1p‘𝑅)
r1padd1.e	⊢ 𝐸 = (rem1p‘𝑅)
r1pid2OLD.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
r1pid2OLD.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
r1pid2OLD.p	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
r1pid2OLD.q	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
r1pid2OLD	⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐸𝐵) = 𝐴 ↔ (𝐷‘𝐴) < (𝐷‘𝐵)))

Proof of Theorem r1pid2OLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r1pid2OLD.r	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
2	1	idomringd 20693	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
3		r1pid2OLD.p	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
4		r1pid2OLD.q	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑁)
5		r1padd1.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
6		r1padd1.u	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
7		r1padd1.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (Unic1p‘𝑅)
8		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (quot1p‘𝑅) = (quot1p‘𝑅)
9		r1padd1.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (rem1p‘𝑅)
10		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
11		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
12	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	r1pid 26123	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑁) → 𝐴 = (((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵)(+g‘𝑃)(𝐴𝐸𝐵)))
13	2, 3, 4, 12	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵)(+g‘𝑃)(𝐴𝐸𝐵)))
14	13	eqeq2d 2747	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐸𝐵) = 𝐴 ↔ (𝐴𝐸𝐵) = (((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵)(+g‘𝑃)(𝐴𝐸𝐵))))
15		eqcom 2743	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵)(+g‘𝑃)(𝐴𝐸𝐵)) = (𝐴𝐸𝐵) ↔ (𝐴𝐸𝐵) = (((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵)(+g‘𝑃)(𝐴𝐸𝐵)))
16	14, 15	bitr4di 289	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐸𝐵) = 𝐴 ↔ (((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵)(+g‘𝑃)(𝐴𝐸𝐵)) = (𝐴𝐸𝐵)))
17		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
18	5	ply1ring 22188	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
19	2, 18	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
20	19	ringgrpd 20207	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
21	9, 5, 6, 7	r1pcl 26121	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑁) → (𝐴𝐸𝐵) ∈ 𝑈)
22	2, 3, 4, 21	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐸𝐵) ∈ 𝑈)
23	6, 11, 17, 20, 22	grplidd 18957	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑃)(+g‘𝑃)(𝐴𝐸𝐵)) = (𝐴𝐸𝐵))
24	23	eqeq2d 2747	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵)(+g‘𝑃)(𝐴𝐸𝐵)) = ((0g‘𝑃)(+g‘𝑃)(𝐴𝐸𝐵)) ↔ (((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵)(+g‘𝑃)(𝐴𝐸𝐵)) = (𝐴𝐸𝐵)))
25	8, 5, 6, 7	q1pcl 26119	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑁) → (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) ∈ 𝑈)
26	2, 3, 4, 25	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) ∈ 𝑈)
27	5, 6, 7	uc1pcl 26106	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑁 → 𝐵 ∈ 𝑈)
28	4, 27	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)
29	6, 10, 19, 26, 28	ringcld 20225	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵) ∈ 𝑈)
30	6, 17	ring0cl 20232	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → (0g‘𝑃) ∈ 𝑈)
31	2, 18, 30	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑃) ∈ 𝑈)
32	6, 11	grprcan 18961	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ (((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (0g‘𝑃) ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐸𝐵) ∈ 𝑈)) → ((((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵)(+g‘𝑃)(𝐴𝐸𝐵)) = ((0g‘𝑃)(+g‘𝑃)(𝐴𝐸𝐵)) ↔ ((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵) = (0g‘𝑃)))
33	20, 29, 31, 22, 32	syl13anc 1374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵)(+g‘𝑃)(𝐴𝐸𝐵)) = ((0g‘𝑃)(+g‘𝑃)(𝐴𝐸𝐵)) ↔ ((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵) = (0g‘𝑃)))
34	16, 24, 33	3bitr2d 307	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐸𝐵) = 𝐴 ↔ ((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵) = (0g‘𝑃)))
35		isidom 20690	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
36	1, 35	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
37	36	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
38	5	ply1crng 22139	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ CRing)
39	37, 38	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ CRing)
40	6, 10	crngcom 20216	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ CRing ∧ 𝐵 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) ∈ 𝑈) → (𝐵(.r‘𝑃)(𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)) = ((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵))
41	39, 28, 26, 40	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵(.r‘𝑃)(𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)) = ((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵))
42	41	eqeq1d 2738	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵(.r‘𝑃)(𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)) = (0g‘𝑃) ↔ ((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵) = (0g‘𝑃)))
43	1	idomdomd 20691	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
44	5	ply1domn 26086	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑃 ∈ Domn)
45	43, 44	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Domn)
46	5, 17, 7	uc1pn0 26108	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑁 → 𝐵 ≠ (0g‘𝑃))
47	4, 46	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ (0g‘𝑃))
48		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (RLReg‘𝑃) = (RLReg‘𝑃)
49	6, 48, 17	domnrrg 20678	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Domn ∧ 𝐵 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ≠ (0g‘𝑃)) → 𝐵 ∈ (RLReg‘𝑃))
50	45, 28, 47, 49	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (RLReg‘𝑃))
51	48, 6, 10, 17	rrgeq0 20665	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐵 ∈ (RLReg‘𝑃) ∧ (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) ∈ 𝑈) → ((𝐵(.r‘𝑃)(𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)) = (0g‘𝑃) ↔ (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) = (0g‘𝑃)))
52	19, 50, 26, 51	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵(.r‘𝑃)(𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)) = (0g‘𝑃) ↔ (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) = (0g‘𝑃)))
53	34, 42, 52	3bitr2d 307	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐸𝐵) = 𝐴 ↔ (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) = (0g‘𝑃)))
54	6, 10, 17, 19, 28	ringlzd 20260	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑃)(.r‘𝑃)𝐵) = (0g‘𝑃))
55	54	oveq2d 7426	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴(-g‘𝑃)((0g‘𝑃)(.r‘𝑃)𝐵)) = (𝐴(-g‘𝑃)(0g‘𝑃)))
56		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (-g‘𝑃) = (-g‘𝑃)
57	6, 17, 56	grpsubid1 19013	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝐴(-g‘𝑃)(0g‘𝑃)) = 𝐴)
58	20, 3, 57	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴(-g‘𝑃)(0g‘𝑃)) = 𝐴)
59	55, 58	eqtr2d 2772	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐴(-g‘𝑃)((0g‘𝑃)(.r‘𝑃)𝐵)))
60	59	fveq2d 6885	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐴) = (𝐷‘(𝐴(-g‘𝑃)((0g‘𝑃)(.r‘𝑃)𝐵))))
61	60	breq1d 5134	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝐴) < (𝐷‘𝐵) ↔ (𝐷‘(𝐴(-g‘𝑃)((0g‘𝑃)(.r‘𝑃)𝐵))) < (𝐷‘𝐵)))
62	31	biantrurd 532	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘(𝐴(-g‘𝑃)((0g‘𝑃)(.r‘𝑃)𝐵))) < (𝐷‘𝐵) ↔ ((0g‘𝑃) ∈ 𝑈 ∧ (𝐷‘(𝐴(-g‘𝑃)((0g‘𝑃)(.r‘𝑃)𝐵))) < (𝐷‘𝐵))))
63		r1pid2OLD.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
64	8, 5, 6, 63, 56, 10, 7	q1peqb 26118	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑁) → (((0g‘𝑃) ∈ 𝑈 ∧ (𝐷‘(𝐴(-g‘𝑃)((0g‘𝑃)(.r‘𝑃)𝐵))) < (𝐷‘𝐵)) ↔ (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) = (0g‘𝑃)))
65	2, 3, 4, 64	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((0g‘𝑃) ∈ 𝑈 ∧ (𝐷‘(𝐴(-g‘𝑃)((0g‘𝑃)(.r‘𝑃)𝐵))) < (𝐷‘𝐵)) ↔ (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) = (0g‘𝑃)))
66	61, 62, 65	3bitrd 305	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝐴) < (𝐷‘𝐵) ↔ (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) = (0g‘𝑃)))
67	53, 66	bitr4d 282	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐸𝐵) = 𝐴 ↔ (𝐷‘𝐴) < (𝐷‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933   class class class wbr 5124  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   < clt 11274  Basecbs 17233  +_gcplusg 17276  ._rcmulr 17277  0_gc0g 17458  Grpcgrp 18921  -_gcsg 18923  Ringcrg 20198  CRingccrg 20199  RLRegcrlreg 20656  Domncdomn 20657  IDomncidom 20658  Poly₁cpl1 22117  deg₁cdg1 26016  Unic_1pcuc1p 26089  quot_1pcq1p 26090  rem_1pcr1p 26091

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212  ax-addf 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-iin 4975  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7676  df-ofr 7677  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8165  df-tpos 8230  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8724  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9379  df-sup 9459  df-oi 9529  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12858  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-seq 14025  df-hash 14354  df-struct 17171  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-starv 17291  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-ip 17294  df-tset 17295  df-ple 17296  df-ds 17298  df-unif 17299  df-hom 17300  df-cco 17301  df-0g 17460  df-gsum 17461  df-prds 17466  df-pws 17468  df-mre 17603  df-mrc 17604  df-acs 17606  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-mhm 18766  df-submnd 18767  df-grp 18924  df-minusg 18925  df-sbg 18926  df-mulg 19056  df-subg 19111  df-ghm 19201  df-cntz 19305  df-cmn 19768  df-abl 19769  df-mgp 20106  df-rng 20118  df-ur 20147  df-ring 20200  df-cring 20201  df-oppr 20302  df-dvdsr 20322  df-unit 20323  df-invr 20353  df-nzr 20478  df-subrng 20511  df-subrg 20535  df-rlreg 20659  df-domn 20660  df-idom 20661  df-lmod 20824  df-lss 20894  df-cnfld 21321  df-ascl 21820  df-psr 21874  df-mvr 21875  df-mpl 21876  df-opsr 21878  df-psr1 22120  df-vr1 22121  df-ply1 22122  df-coe1 22123  df-mdeg 26017  df-deg1 26018  df-uc1p 26094  df-q1p 26095  df-r1p 26096

This theorem is referenced by: (None)