Theorem r1pid2OLD 33671

Description: Obsolete version of r1pid2 26127 as of 21-Jun-2025. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
r1padd1.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
r1padd1.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
r1padd1.n	⊢ 𝑁 = (Unic1p‘𝑅)
r1padd1.e	⊢ 𝐸 = (rem1p‘𝑅)
r1pid2OLD.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
r1pid2OLD.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
r1pid2OLD.p	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
r1pid2OLD.q	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
r1pid2OLD	⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐸𝐵) = 𝐴 ↔ (𝐷‘𝐴) < (𝐷‘𝐵)))

Proof of Theorem r1pid2OLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r1pid2OLD.r	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
2	1	idomringd 20665	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
3		r1pid2OLD.p	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
4		r1pid2OLD.q	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑁)
5		r1padd1.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
6		r1padd1.u	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
7		r1padd1.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (Unic1p‘𝑅)
8		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (quot1p‘𝑅) = (quot1p‘𝑅)
9		r1padd1.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (rem1p‘𝑅)
10		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
11		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
12	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	r1pid 26126	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑁) → 𝐴 = (((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵)(+g‘𝑃)(𝐴𝐸𝐵)))
13	2, 3, 4, 12	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵)(+g‘𝑃)(𝐴𝐸𝐵)))
14	13	eqeq2d 2748	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐸𝐵) = 𝐴 ↔ (𝐴𝐸𝐵) = (((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵)(+g‘𝑃)(𝐴𝐸𝐵))))
15		eqcom 2744	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵)(+g‘𝑃)(𝐴𝐸𝐵)) = (𝐴𝐸𝐵) ↔ (𝐴𝐸𝐵) = (((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵)(+g‘𝑃)(𝐴𝐸𝐵)))
16	14, 15	bitr4di 289	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐸𝐵) = 𝐴 ↔ (((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵)(+g‘𝑃)(𝐴𝐸𝐵)) = (𝐴𝐸𝐵)))
17		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
18	5	ply1ring 22192	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
19	2, 18	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
20	19	ringgrpd 20181	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
21	9, 5, 6, 7	r1pcl 26124	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑁) → (𝐴𝐸𝐵) ∈ 𝑈)
22	2, 3, 4, 21	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐸𝐵) ∈ 𝑈)
23	6, 11, 17, 20, 22	grplidd 18903	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑃)(+g‘𝑃)(𝐴𝐸𝐵)) = (𝐴𝐸𝐵))
24	23	eqeq2d 2748	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵)(+g‘𝑃)(𝐴𝐸𝐵)) = ((0g‘𝑃)(+g‘𝑃)(𝐴𝐸𝐵)) ↔ (((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵)(+g‘𝑃)(𝐴𝐸𝐵)) = (𝐴𝐸𝐵)))
25	8, 5, 6, 7	q1pcl 26122	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑁) → (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) ∈ 𝑈)
26	2, 3, 4, 25	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) ∈ 𝑈)
27	5, 6, 7	uc1pcl 26109	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑁 → 𝐵 ∈ 𝑈)
28	4, 27	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)
29	6, 10, 19, 26, 28	ringcld 20199	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵) ∈ 𝑈)
30	6, 17	ring0cl 20206	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → (0g‘𝑃) ∈ 𝑈)
31	2, 18, 30	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑃) ∈ 𝑈)
32	6, 11	grprcan 18907	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ (((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (0g‘𝑃) ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐸𝐵) ∈ 𝑈)) → ((((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵)(+g‘𝑃)(𝐴𝐸𝐵)) = ((0g‘𝑃)(+g‘𝑃)(𝐴𝐸𝐵)) ↔ ((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵) = (0g‘𝑃)))
33	20, 29, 31, 22, 32	syl13anc 1375	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵)(+g‘𝑃)(𝐴𝐸𝐵)) = ((0g‘𝑃)(+g‘𝑃)(𝐴𝐸𝐵)) ↔ ((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵) = (0g‘𝑃)))
34	16, 24, 33	3bitr2d 307	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐸𝐵) = 𝐴 ↔ ((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵) = (0g‘𝑃)))
35		isidom 20662	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
36	1, 35	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
37	36	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
38	5	ply1crng 22143	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ CRing)
39	37, 38	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ CRing)
40	6, 10	crngcom 20190	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ CRing ∧ 𝐵 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) ∈ 𝑈) → (𝐵(.r‘𝑃)(𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)) = ((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵))
41	39, 28, 26, 40	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵(.r‘𝑃)(𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)) = ((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵))
42	41	eqeq1d 2739	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵(.r‘𝑃)(𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)) = (0g‘𝑃) ↔ ((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵) = (0g‘𝑃)))
43	1	idomdomd 20663	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
44	5	ply1domn 26089	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑃 ∈ Domn)
45	43, 44	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Domn)
46	5, 17, 7	uc1pn0 26111	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑁 → 𝐵 ≠ (0g‘𝑃))
47	4, 46	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ (0g‘𝑃))
48		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (RLReg‘𝑃) = (RLReg‘𝑃)
49	6, 48, 17	domnrrg 20650	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Domn ∧ 𝐵 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ≠ (0g‘𝑃)) → 𝐵 ∈ (RLReg‘𝑃))
50	45, 28, 47, 49	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (RLReg‘𝑃))
51	48, 6, 10, 17	rrgeq0 20637	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐵 ∈ (RLReg‘𝑃) ∧ (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) ∈ 𝑈) → ((𝐵(.r‘𝑃)(𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)) = (0g‘𝑃) ↔ (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) = (0g‘𝑃)))
52	19, 50, 26, 51	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵(.r‘𝑃)(𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)) = (0g‘𝑃) ↔ (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) = (0g‘𝑃)))
53	34, 42, 52	3bitr2d 307	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐸𝐵) = 𝐴 ↔ (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) = (0g‘𝑃)))
54	6, 10, 17, 19, 28	ringlzd 20234	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑃)(.r‘𝑃)𝐵) = (0g‘𝑃))
55	54	oveq2d 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴(-g‘𝑃)((0g‘𝑃)(.r‘𝑃)𝐵)) = (𝐴(-g‘𝑃)(0g‘𝑃)))
56		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (-g‘𝑃) = (-g‘𝑃)
57	6, 17, 56	grpsubid1 18959	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝐴(-g‘𝑃)(0g‘𝑃)) = 𝐴)
58	20, 3, 57	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴(-g‘𝑃)(0g‘𝑃)) = 𝐴)
59	55, 58	eqtr2d 2773	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐴(-g‘𝑃)((0g‘𝑃)(.r‘𝑃)𝐵)))
60	59	fveq2d 6839	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐴) = (𝐷‘(𝐴(-g‘𝑃)((0g‘𝑃)(.r‘𝑃)𝐵))))
61	60	breq1d 5109	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝐴) < (𝐷‘𝐵) ↔ (𝐷‘(𝐴(-g‘𝑃)((0g‘𝑃)(.r‘𝑃)𝐵))) < (𝐷‘𝐵)))
62	31	biantrurd 532	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘(𝐴(-g‘𝑃)((0g‘𝑃)(.r‘𝑃)𝐵))) < (𝐷‘𝐵) ↔ ((0g‘𝑃) ∈ 𝑈 ∧ (𝐷‘(𝐴(-g‘𝑃)((0g‘𝑃)(.r‘𝑃)𝐵))) < (𝐷‘𝐵))))
63		r1pid2OLD.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
64	8, 5, 6, 63, 56, 10, 7	q1peqb 26121	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑁) → (((0g‘𝑃) ∈ 𝑈 ∧ (𝐷‘(𝐴(-g‘𝑃)((0g‘𝑃)(.r‘𝑃)𝐵))) < (𝐷‘𝐵)) ↔ (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) = (0g‘𝑃)))
65	2, 3, 4, 64	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((0g‘𝑃) ∈ 𝑈 ∧ (𝐷‘(𝐴(-g‘𝑃)((0g‘𝑃)(.r‘𝑃)𝐵))) < (𝐷‘𝐵)) ↔ (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) = (0g‘𝑃)))
66	61, 62, 65	3bitrd 305	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝐴) < (𝐷‘𝐵) ↔ (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) = (0g‘𝑃)))
67	53, 66	bitr4d 282	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐸𝐵) = 𝐴 ↔ (𝐷‘𝐴) < (𝐷‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5099  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360   < clt 11170  Basecbs 17140  +_gcplusg 17181  ._rcmulr 17182  0_gc0g 17363  Grpcgrp 18867  -_gcsg 18869  Ringcrg 20172  CRingccrg 20173  RLRegcrlreg 20628  Domncdomn 20629  IDomncidom 20630  Poly₁cpl1 22121  deg₁cdg1 26019  Unic_1pcuc1p 26092  quot_1pcq1p 26093  rem_1pcr1p 26094

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108  ax-addf 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-iin 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-ofr 7625  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8105  df-tpos 8170  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-sup 9349  df-oi 9419  df-card 9855  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12406  df-z 12493  df-dec 12612  df-uz 12756  df-fz 13428  df-fzo 13575  df-seq 13929  df-hash 14258  df-struct 17078  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17141  df-ress 17162  df-plusg 17194  df-mulr 17195  df-starv 17196  df-sca 17197  df-vsca 17198  df-ip 17199  df-tset 17200  df-ple 17201  df-ds 17203  df-unif 17204  df-hom 17205  df-cco 17206  df-0g 17365  df-gsum 17366  df-prds 17371  df-pws 17373  df-mre 17509  df-mrc 17510  df-acs 17512  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-mhm 18712  df-submnd 18713  df-grp 18870  df-minusg 18871  df-sbg 18872  df-mulg 19002  df-subg 19057  df-ghm 19146  df-cntz 19250  df-cmn 19715  df-abl 19716  df-mgp 20080  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-cring 20175  df-oppr 20277  df-dvdsr 20297  df-unit 20298  df-invr 20328  df-nzr 20450  df-subrng 20483  df-subrg 20507  df-rlreg 20631  df-domn 20632  df-idom 20633  df-lmod 20817  df-lss 20887  df-cnfld 21314  df-ascl 21814  df-psr 21869  df-mvr 21870  df-mpl 21871  df-opsr 21873  df-psr1 22124  df-vr1 22125  df-ply1 22126  df-coe1 22127  df-mdeg 26020  df-deg1 26021  df-uc1p 26097  df-q1p 26098  df-r1p 26099

This theorem is referenced by: (None)