Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  r1pid2OLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem r1pid2OLD 33609
Description: Obsolete version of r1pid2 26216 as of 21-Jun-2025. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
r1padd1.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
r1padd1.u 𝑈 = (Base‘𝑃)
r1padd1.n 𝑁 = (Unic1p𝑅)
r1padd1.e 𝐸 = (rem1p𝑅)
r1pid2OLD.r (𝜑𝑅 ∈ IDomn)
r1pid2OLD.d 𝐷 = (deg1𝑅)
r1pid2OLD.p (𝜑𝐴𝑈)
r1pid2OLD.q (𝜑𝐵𝑁)
Assertion
Ref Expression
r1pid2OLD (𝜑 → ((𝐴𝐸𝐵) = 𝐴 ↔ (𝐷𝐴) < (𝐷𝐵)))

Proof of Theorem r1pid2OLD
StepHypRef Expression
1 r1pid2OLD.r . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ IDomn)
21idomringd 20745 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
3 r1pid2OLD.p . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑈)
4 r1pid2OLD.q . . . . . . 7 (𝜑𝐵𝑁)
5 r1padd1.p . . . . . . . 8 𝑃 = (Poly1𝑅)
6 r1padd1.u . . . . . . . 8 𝑈 = (Base‘𝑃)
7 r1padd1.n . . . . . . . 8 𝑁 = (Unic1p𝑅)
8 eqid 2735 . . . . . . . 8 (quot1p𝑅) = (quot1p𝑅)
9 r1padd1.e . . . . . . . 8 𝐸 = (rem1p𝑅)
10 eqid 2735 . . . . . . . 8 (.r𝑃) = (.r𝑃)
11 eqid 2735 . . . . . . . 8 (+g𝑃) = (+g𝑃)
125, 6, 7, 8, 9, 10, 11r1pid 26215 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝑈𝐵𝑁) → 𝐴 = (((𝐴(quot1p𝑅)𝐵)(.r𝑃)𝐵)(+g𝑃)(𝐴𝐸𝐵)))
132, 3, 4, 12syl3anc 1370 . . . . . 6 (𝜑𝐴 = (((𝐴(quot1p𝑅)𝐵)(.r𝑃)𝐵)(+g𝑃)(𝐴𝐸𝐵)))
1413eqeq2d 2746 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴𝐸𝐵) = 𝐴 ↔ (𝐴𝐸𝐵) = (((𝐴(quot1p𝑅)𝐵)(.r𝑃)𝐵)(+g𝑃)(𝐴𝐸𝐵))))
15 eqcom 2742 . . . . 5 ((((𝐴(quot1p𝑅)𝐵)(.r𝑃)𝐵)(+g𝑃)(𝐴𝐸𝐵)) = (𝐴𝐸𝐵) ↔ (𝐴𝐸𝐵) = (((𝐴(quot1p𝑅)𝐵)(.r𝑃)𝐵)(+g𝑃)(𝐴𝐸𝐵)))
1614, 15bitr4di 289 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴𝐸𝐵) = 𝐴 ↔ (((𝐴(quot1p𝑅)𝐵)(.r𝑃)𝐵)(+g𝑃)(𝐴𝐸𝐵)) = (𝐴𝐸𝐵)))
17 eqid 2735 . . . . . 6 (0g𝑃) = (0g𝑃)
185ply1ring 22265 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
192, 18syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ Ring)
2019ringgrpd 20260 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ Grp)
219, 5, 6, 7r1pcl 26213 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝑈𝐵𝑁) → (𝐴𝐸𝐵) ∈ 𝑈)
222, 3, 4, 21syl3anc 1370 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝐸𝐵) ∈ 𝑈)
236, 11, 17, 20, 22grplidd 19000 . . . . 5 (𝜑 → ((0g𝑃)(+g𝑃)(𝐴𝐸𝐵)) = (𝐴𝐸𝐵))
2423eqeq2d 2746 . . . 4 (𝜑 → ((((𝐴(quot1p𝑅)𝐵)(.r𝑃)𝐵)(+g𝑃)(𝐴𝐸𝐵)) = ((0g𝑃)(+g𝑃)(𝐴𝐸𝐵)) ↔ (((𝐴(quot1p𝑅)𝐵)(.r𝑃)𝐵)(+g𝑃)(𝐴𝐸𝐵)) = (𝐴𝐸𝐵)))
258, 5, 6, 7q1pcl 26211 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝑈𝐵𝑁) → (𝐴(quot1p𝑅)𝐵) ∈ 𝑈)
262, 3, 4, 25syl3anc 1370 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴(quot1p𝑅)𝐵) ∈ 𝑈)
275, 6, 7uc1pcl 26198 . . . . . . 7 (𝐵𝑁𝐵𝑈)
284, 27syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐵𝑈)
296, 10, 19, 26, 28ringcld 20277 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴(quot1p𝑅)𝐵)(.r𝑃)𝐵) ∈ 𝑈)
306, 17ring0cl 20281 . . . . . 6 (𝑃 ∈ Ring → (0g𝑃) ∈ 𝑈)
312, 18, 303syl 18 . . . . 5 (𝜑 → (0g𝑃) ∈ 𝑈)
326, 11grprcan 19004 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Grp ∧ (((𝐴(quot1p𝑅)𝐵)(.r𝑃)𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (0g𝑃) ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐸𝐵) ∈ 𝑈)) → ((((𝐴(quot1p𝑅)𝐵)(.r𝑃)𝐵)(+g𝑃)(𝐴𝐸𝐵)) = ((0g𝑃)(+g𝑃)(𝐴𝐸𝐵)) ↔ ((𝐴(quot1p𝑅)𝐵)(.r𝑃)𝐵) = (0g𝑃)))
3320, 29, 31, 22, 32syl13anc 1371 . . . 4 (𝜑 → ((((𝐴(quot1p𝑅)𝐵)(.r𝑃)𝐵)(+g𝑃)(𝐴𝐸𝐵)) = ((0g𝑃)(+g𝑃)(𝐴𝐸𝐵)) ↔ ((𝐴(quot1p𝑅)𝐵)(.r𝑃)𝐵) = (0g𝑃)))
3416, 24, 333bitr2d 307 . . 3 (𝜑 → ((𝐴𝐸𝐵) = 𝐴 ↔ ((𝐴(quot1p𝑅)𝐵)(.r𝑃)𝐵) = (0g𝑃)))
35 isidom 20742 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
361, 35sylib 218 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
3736simpld 494 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
385ply1crng 22216 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ CRing)
3937, 38syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ CRing)
406, 10crngcom 20269 . . . . 5 ((𝑃 ∈ CRing ∧ 𝐵𝑈 ∧ (𝐴(quot1p𝑅)𝐵) ∈ 𝑈) → (𝐵(.r𝑃)(𝐴(quot1p𝑅)𝐵)) = ((𝐴(quot1p𝑅)𝐵)(.r𝑃)𝐵))
4139, 28, 26, 40syl3anc 1370 . . . 4 (𝜑 → (𝐵(.r𝑃)(𝐴(quot1p𝑅)𝐵)) = ((𝐴(quot1p𝑅)𝐵)(.r𝑃)𝐵))
4241eqeq1d 2737 . . 3 (𝜑 → ((𝐵(.r𝑃)(𝐴(quot1p𝑅)𝐵)) = (0g𝑃) ↔ ((𝐴(quot1p𝑅)𝐵)(.r𝑃)𝐵) = (0g𝑃)))
431idomdomd 20743 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ Domn)
445ply1domn 26178 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Domn → 𝑃 ∈ Domn)
4543, 44syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ Domn)
465, 17, 7uc1pn0 26200 . . . . . 6 (𝐵𝑁𝐵 ≠ (0g𝑃))
474, 46syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐵 ≠ (0g𝑃))
48 eqid 2735 . . . . . 6 (RLReg‘𝑃) = (RLReg‘𝑃)
496, 48, 17domnrrg 20730 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Domn ∧ 𝐵𝑈𝐵 ≠ (0g𝑃)) → 𝐵 ∈ (RLReg‘𝑃))
5045, 28, 47, 49syl3anc 1370 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ (RLReg‘𝑃))
5148, 6, 10, 17rrgeq0 20717 . . . 4 ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐵 ∈ (RLReg‘𝑃) ∧ (𝐴(quot1p𝑅)𝐵) ∈ 𝑈) → ((𝐵(.r𝑃)(𝐴(quot1p𝑅)𝐵)) = (0g𝑃) ↔ (𝐴(quot1p𝑅)𝐵) = (0g𝑃)))
5219, 50, 26, 51syl3anc 1370 . . 3 (𝜑 → ((𝐵(.r𝑃)(𝐴(quot1p𝑅)𝐵)) = (0g𝑃) ↔ (𝐴(quot1p𝑅)𝐵) = (0g𝑃)))
5334, 42, 523bitr2d 307 . 2 (𝜑 → ((𝐴𝐸𝐵) = 𝐴 ↔ (𝐴(quot1p𝑅)𝐵) = (0g𝑃)))
546, 10, 17, 19, 28ringlzd 20309 . . . . . . 7 (𝜑 → ((0g𝑃)(.r𝑃)𝐵) = (0g𝑃))
5554oveq2d 7447 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴(-g𝑃)((0g𝑃)(.r𝑃)𝐵)) = (𝐴(-g𝑃)(0g𝑃)))
56 eqid 2735 . . . . . . . 8 (-g𝑃) = (-g𝑃)
576, 17, 56grpsubid1 19056 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑈) → (𝐴(-g𝑃)(0g𝑃)) = 𝐴)
5820, 3, 57syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴(-g𝑃)(0g𝑃)) = 𝐴)
5955, 58eqtr2d 2776 . . . . 5 (𝜑𝐴 = (𝐴(-g𝑃)((0g𝑃)(.r𝑃)𝐵)))
6059fveq2d 6911 . . . 4 (𝜑 → (𝐷𝐴) = (𝐷‘(𝐴(-g𝑃)((0g𝑃)(.r𝑃)𝐵))))
6160breq1d 5158 . . 3 (𝜑 → ((𝐷𝐴) < (𝐷𝐵) ↔ (𝐷‘(𝐴(-g𝑃)((0g𝑃)(.r𝑃)𝐵))) < (𝐷𝐵)))
6231biantrurd 532 . . 3 (𝜑 → ((𝐷‘(𝐴(-g𝑃)((0g𝑃)(.r𝑃)𝐵))) < (𝐷𝐵) ↔ ((0g𝑃) ∈ 𝑈 ∧ (𝐷‘(𝐴(-g𝑃)((0g𝑃)(.r𝑃)𝐵))) < (𝐷𝐵))))
63 r1pid2OLD.d . . . . 5 𝐷 = (deg1𝑅)
648, 5, 6, 63, 56, 10, 7q1peqb 26210 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝑈𝐵𝑁) → (((0g𝑃) ∈ 𝑈 ∧ (𝐷‘(𝐴(-g𝑃)((0g𝑃)(.r𝑃)𝐵))) < (𝐷𝐵)) ↔ (𝐴(quot1p𝑅)𝐵) = (0g𝑃)))
652, 3, 4, 64syl3anc 1370 . . 3 (𝜑 → (((0g𝑃) ∈ 𝑈 ∧ (𝐷‘(𝐴(-g𝑃)((0g𝑃)(.r𝑃)𝐵))) < (𝐷𝐵)) ↔ (𝐴(quot1p𝑅)𝐵) = (0g𝑃)))
6661, 62, 653bitrd 305 . 2 (𝜑 → ((𝐷𝐴) < (𝐷𝐵) ↔ (𝐴(quot1p𝑅)𝐵) = (0g𝑃)))
6753, 66bitr4d 282 1 (𝜑 → ((𝐴𝐸𝐵) = 𝐴 ↔ (𝐷𝐴) < (𝐷𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431   < clt 11293  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  .rcmulr 17299  0gc0g 17486  Grpcgrp 18964  -gcsg 18966  Ringcrg 20251  CRingccrg 20252  RLRegcrlreg 20708  Domncdomn 20709  IDomncidom 20710  Poly1cpl1 22194  deg1cdg1 26108  Unic1pcuc1p 26181  quot1pcq1p 26182  rem1pcr1p 26183
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-prds 17494  df-pws 17496  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-nzr 20530  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-rlreg 20711  df-domn 20712  df-idom 20713  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-cnfld 21383  df-ascl 21893  df-psr 21947  df-mvr 21948  df-mpl 21949  df-opsr 21951  df-psr1 22197  df-vr1 22198  df-ply1 22199  df-coe1 22200  df-mdeg 26109  df-deg1 26110  df-uc1p 26186  df-q1p 26187  df-r1p 26188
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator