Theorem relogcl 26912

Description: Closure of the natural logarithm function on positive reals. (Contributed by Steve Rodriguez, 25-Nov-2007.)

Assertion

Ref	Expression
relogcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem relogcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvres 6909	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((log ↾ ℝ+)‘𝐴) = (log‘𝐴))
2		relogf1o 26903	. . . 4 ⊢ (log ↾ ℝ+):ℝ+–1-1-onto→ℝ
3		f1of 6829	. . . 4 ⊢ ((log ↾ ℝ+):ℝ+–1-1-onto→ℝ → (log ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ)
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (log ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ
5	4	ffvelcdmi 7088	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((log ↾ ℝ+)‘𝐴) ∈ ℝ)
6	1, 5	eqeltrrd 2861	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144   ↾ cres 5653  ⟶wf 6539  –1-1-onto→wf1o 6542  ‘cfv 6543  ℝcr 11206  ℝ⁺crp 13127  logclog 26891

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-inf2 9649  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-pre-sup 11285  ax-addf 11286

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7697  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-supp 8185  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-1o 8484  df-2o 8485  df-er 8725  df-map 8857  df-pm 8858  df-ixp 8934  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-fsupp 9362  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9511  df-card 10027  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-5 12415  df-6 12416  df-7 12417  df-8 12418  df-9 12419  df-n0 12614  df-z 12701  df-dec 12822  df-uz 12973  df-q 13083  df-rp 13128  df-xneg 13248  df-xadd 13249  df-xmul 13250  df-ioo 13487  df-ioc 13488  df-ico 13489  df-icc 13490  df-fz 13647  df-fzo 13796  df-fl 13939  df-mod 14017  df-seq 14152  df-exp 14212  df-fac 14425  df-bc 14454  df-hash 14482  df-shft 15229  df-cj 15275  df-re 15276  df-im 15277  df-sqrt 15411  df-abs 15412  df-limsup 15647  df-clim 15664  df-rlim 15665  df-sum 15863  df-ef 16242  df-sin 16244  df-cos 16245  df-pi 16247  df-struct 17334  df-sets 17351  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-ress 17418  df-plusg 17450  df-mulr 17451  df-starv 17452  df-sca 17453  df-vsca 17454  df-ip 17455  df-tset 17456  df-ple 17457  df-ds 17459  df-unif 17460  df-hom 17461  df-cco 17462  df-rest 17602  df-topn 17603  df-0g 17621  df-gsum 17622  df-topgen 17623  df-pt 17624  df-prds 17627  df-xrs 17683  df-qtop 17688  df-imas 17689  df-xps 17691  df-mre 17765  df-mrc 17766  df-acs 17768  df-mgm 18825  df-sgrp 18917  df-mnd 18933  df-submnd 18988  df-mulg 19287  df-cntz 19540  df-cmn 20005  df-psmet 21679  df-xmet 21680  df-met 21681  df-bl 21682  df-mopn 21683  df-fbas 21684  df-fg 21685  df-cnfld 21688  df-top 23221  df-topon 23238  df-topsp 23260  df-bases 23273  df-cld 23346  df-ntr 23347  df-cls 23348  df-nei 23425  df-lp 23463  df-perf 23464  df-cn 23554  df-cnp 23555  df-haus 23642  df-tx 23890  df-hmeo 24083  df-fil 24174  df-fm 24266  df-flim 24267  df-flf 24268  df-xms 24648  df-ms 24649  df-tms 24650  df-cncf 25208  df-limc 26195  df-dv 26196  df-log 26893

This theorem is used by:  logneg  26925  lognegb  26927  relogoprlem  26928  reexplog  26932  relogexp  26933  logfac  26938  logleb  26940  rplogcl  26941  logmul2  26953  logdiv2  26954  abslogle  26955  logdivlti  26957  logdivlt  26958  logdivle  26959  relogcld  26960  advlog  26991  advlogexp  26992  logccv  27000  logcxp  27006  rpcxpcl  27013  cxpmul  27025  abscxp  27029  cxple2  27034  logsqrt  27041  dvcxp1  27077  dvcxp2  27078  loglesqrt  27098  relogbcl  27110  relogbmul  27114  logbgt0b  27130  log2ub  27286  log2le1  27287  birthday  27291  cxploglim  27314  cxploglim2  27315  amgmlem  27326  logdifbnd  27330  emcllem7  27338  emre  27342  emgt0  27343  harmonicbnd3  27344  harmoniclbnd  27345  harmonicbnd4  27347  relgamcl  27398  cht2  27508  chtleppi  27546  chtublem  27547  chtub  27548  logfacubnd  27557  logfaclbnd  27558  logfacbnd3  27559  logfacrlim  27560  logexprlim  27561  efexple  27617  bposlem6  27625  bposlem7  27626  bposlem8  27627  bposlem9  27628  chebbnd1lem3  27807  chebbnd1  27808  chto1ub  27812  vmadivsum  27818  rpvmasumlem  27823  dchrvmasumlem2  27834  dchrvmasumlema  27836  dchrvmasumiflem1  27837  dchrvmasumiflem2  27838  dchrisum0fno1  27847  rpvmasum2  27848  dchrisum0re  27849  rpvmasum  27862  rplogsum  27863  dirith2  27864  logdivsum  27869  mulog2sumlem2  27871  mulog2sumlem3  27872  logsqvma  27878  log2sumbnd  27880  selberglem1  27881  selberglem2  27882  selberglem3  27883  selberg  27884  selberg2lem  27886  selberg2  27887  pntrsumo1  27901  selbergr  27904  pntrlog2bndlem4  27916  pntibndlem3  27928  xrge0iifiso  34617  logdivsqrle  35329  hgt750lem  35330  hgt750lemb  35335  reglogcl  44034  reglogltb  44035  reglogleb  44036  reglogmul  44037  reglogexp  44038  reglogbas  44039  reglog1  44040  stirlinglem12  47231  stirlinglem13  47232  stirlinglem14  47233  lighneallem2  48827  logbge0b  49811  logblt1b  49812