Theorem relogcl 26705

Description: Closure of the natural logarithm function on positive reals. (Contributed by Steve Rodriguez, 25-Nov-2007.)

Assertion

Ref	Expression
relogcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem relogcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvres 6901	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((log ↾ ℝ+)‘𝐴) = (log‘𝐴))
2		relogf1o 26696	. . . 4 ⊢ (log ↾ ℝ+):ℝ+–1-1-onto→ℝ
3		f1of 6821	. . . 4 ⊢ ((log ↾ ℝ+):ℝ+–1-1-onto→ℝ → (log ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ)
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (log ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ
5	4	ffvelcdmi 7079	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((log ↾ ℝ+)‘𝐴) ∈ ℝ)
6	1, 5	eqeltrrd 2870	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2149   ↾ cres 5664  ⟶wf 6533  –1-1-onto→wf1o 6536  ‘cfv 6537  ℝcr 11098  ℝ⁺crp 13015  logclog 26684

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-inf2 9609  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177  ax-addf 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7675  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-er 8693  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9321  df-fi 9370  df-sup 9401  df-inf 9402  df-oi 9471  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-q 12972  df-rp 13016  df-xneg 13136  df-xadd 13137  df-xmul 13138  df-ioo 13375  df-ioc 13376  df-ico 13377  df-icc 13378  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-fl 13824  df-mod 13902  df-seq 14037  df-exp 14097  df-fac 14309  df-bc 14338  df-hash 14366  df-shft 15103  df-cj 15149  df-re 15150  df-im 15151  df-sqrt 15285  df-abs 15286  df-limsup 15521  df-clim 15538  df-rlim 15539  df-sum 15737  df-ef 16120  df-sin 16122  df-cos 16123  df-pi 16125  df-struct 17206  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-starv 17324  df-sca 17325  df-vsca 17326  df-ip 17327  df-tset 17328  df-ple 17329  df-ds 17331  df-unif 17332  df-hom 17333  df-cco 17334  df-rest 17474  df-topn 17475  df-0g 17493  df-gsum 17494  df-topgen 17495  df-pt 17496  df-prds 17499  df-xrs 17555  df-qtop 17560  df-imas 17561  df-xps 17563  df-mre 17637  df-mrc 17638  df-acs 17640  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-submnd 18841  df-mulg 19133  df-cntz 19386  df-cmn 19851  df-psmet 21482  df-xmet 21483  df-met 21484  df-bl 21485  df-mopn 21486  df-fbas 21487  df-fg 21488  df-cnfld 21491  df-top 23019  df-topon 23036  df-topsp 23058  df-bases 23071  df-cld 23144  df-ntr 23145  df-cls 23146  df-nei 23223  df-lp 23261  df-perf 23262  df-cn 23352  df-cnp 23353  df-haus 23440  df-tx 23687  df-hmeo 23880  df-fil 23971  df-fm 24063  df-flim 24064  df-flf 24065  df-xms 24445  df-ms 24446  df-tms 24447  df-cncf 25005  df-limc 25993  df-dv 25994  df-log 26686

This theorem is referenced by:  logneg  26718  lognegb  26720  relogoprlem  26721  reexplog  26725  relogexp  26726  logfac  26731  logleb  26733  rplogcl  26734  logmul2  26746  logdiv2  26747  abslogle  26748  logdivlti  26750  logdivlt  26751  logdivle  26752  relogcld  26753  advlog  26784  advlogexp  26785  logccv  26793  logcxp  26799  rpcxpcl  26806  cxpmul  26818  abscxp  26822  cxple2  26827  logsqrt  26834  dvcxp1  26870  dvcxp2  26871  loglesqrt  26891  relogbcl  26903  relogbmul  26907  logbgt0b  26923  log2ub  27079  log2le1  27080  birthday  27084  cxploglim  27107  cxploglim2  27108  amgmlem  27119  logdifbnd  27123  emcllem7  27131  emre  27135  emgt0  27136  harmonicbnd3  27137  harmoniclbnd  27138  harmonicbnd4  27140  relgamcl  27191  cht2  27301  chtleppi  27339  chtublem  27340  chtub  27341  logfacubnd  27350  logfaclbnd  27351  logfacbnd3  27352  logfacrlim  27353  logexprlim  27354  efexple  27410  bposlem6  27418  bposlem7  27419  bposlem8  27420  bposlem9  27421  chebbnd1lem3  27600  chebbnd1  27601  chto1ub  27605  vmadivsum  27611  rpvmasumlem  27616  dchrvmasumlem2  27627  dchrvmasumlema  27629  dchrvmasumiflem1  27630  dchrvmasumiflem2  27631  dchrisum0fno1  27640  rpvmasum2  27641  dchrisum0re  27642  rpvmasum  27655  rplogsum  27656  dirith2  27657  logdivsum  27662  mulog2sumlem2  27664  mulog2sumlem3  27665  logsqvma  27671  log2sumbnd  27673  selberglem1  27674  selberglem2  27675  selberglem3  27676  selberg  27677  selberg2lem  27679  selberg2  27680  pntrsumo1  27694  selbergr  27697  pntrlog2bndlem4  27709  pntibndlem3  27721  xrge0iifiso  34269  logdivsqrle  34981  hgt750lem  34982  hgt750lemb  34987  reglogcl  43508  reglogltb  43509  reglogleb  43510  reglogmul  43511  reglogexp  43512  reglogbas  43513  reglog1  43514  stirlinglem12  46690  stirlinglem13  46691  stirlinglem14  46692  lighneallem2  48246  logbge0b  49227  logblt1b  49228