Theorem relogcl 26631

Description: Closure of the natural logarithm function on positive reals. (Contributed by Steve Rodriguez, 25-Nov-2007.)

Assertion

Ref	Expression
relogcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem relogcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvres 6925	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((log ↾ ℝ+)‘𝐴) = (log‘𝐴))
2		relogf1o 26622	. . . 4 ⊢ (log ↾ ℝ+):ℝ+–1-1-onto→ℝ
3		f1of 6848	. . . 4 ⊢ ((log ↾ ℝ+):ℝ+–1-1-onto→ℝ → (log ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ)
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (log ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ
5	4	ffvelcdmi 7102	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((log ↾ ℝ+)‘𝐴) ∈ ℝ)
6	1, 5	eqeltrrd 2839	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2105   ↾ cres 5690  ⟶wf 6558  –1-1-onto→wf1o 6561  ‘cfv 6562  ℝcr 11151  ℝ⁺crp 13031  logclog 26610

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-ioc 13388  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14039  df-exp 14099  df-fac 14309  df-bc 14338  df-hash 14366  df-shft 15102  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-limsup 15503  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719  df-ef 16099  df-sin 16101  df-cos 16102  df-pi 16104  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19098  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-cnfld 21382  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121  df-lp 23159  df-perf 23160  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-haus 23338  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-fil 23869  df-fm 23961  df-flim 23962  df-flf 23963  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347  df-cncf 24917  df-limc 25915  df-dv 25916  df-log 26612

This theorem is referenced by:  logneg  26644  lognegb  26646  relogoprlem  26647  reexplog  26651  relogexp  26652  logfac  26657  logleb  26659  rplogcl  26660  logmul2  26672  logdiv2  26673  abslogle  26674  logdivlti  26676  logdivlt  26677  logdivle  26678  relogcld  26679  advlog  26710  advlogexp  26711  logccv  26719  logcxp  26725  rpcxpcl  26732  cxpmul  26744  abscxp  26748  cxple2  26753  logsqrt  26760  dvcxp1  26796  dvcxp2  26797  loglesqrt  26818  relogbcl  26830  relogbmul  26834  logbgt0b  26850  log2ub  27006  log2le1  27007  birthday  27011  cxploglim  27035  cxploglim2  27036  amgmlem  27047  logdifbnd  27051  emcllem7  27059  emre  27063  emgt0  27064  harmonicbnd3  27065  harmoniclbnd  27066  harmonicbnd4  27068  relgamcl  27119  cht2  27229  chtleppi  27268  chtublem  27269  chtub  27270  logfacubnd  27279  logfaclbnd  27280  logfacbnd3  27281  logfacrlim  27282  logexprlim  27283  efexple  27339  bposlem6  27347  bposlem7  27348  bposlem8  27349  bposlem9  27350  chebbnd1lem3  27529  chebbnd1  27530  chto1ub  27534  vmadivsum  27540  rpvmasumlem  27545  dchrvmasumlem2  27556  dchrvmasumlema  27558  dchrvmasumiflem1  27559  dchrvmasumiflem2  27560  dchrisum0fno1  27569  rpvmasum2  27570  dchrisum0re  27571  rpvmasum  27584  rplogsum  27585  dirith2  27586  logdivsum  27591  mulog2sumlem2  27593  mulog2sumlem3  27594  logsqvma  27600  log2sumbnd  27602  selberglem1  27603  selberglem2  27604  selberglem3  27605  selberg  27606  selberg2lem  27608  selberg2  27609  pntrsumo1  27623  selbergr  27626  pntrlog2bndlem4  27638  pntibndlem3  27650  xrge0iifiso  33895  logdivsqrle  34643  hgt750lem  34644  hgt750lemb  34649  reglogcl  42877  reglogltb  42878  reglogleb  42879  reglogmul  42880  reglogexp  42881  reglogbas  42882  reglog1  42883  stirlinglem12  46040  stirlinglem13  46041  stirlinglem14  46042  lighneallem2  47530  logbge0b  48412  logblt1b  48413