Theorem relogcl 26903

Description: Closure of the natural logarithm function on positive reals. (Contributed by Steve Rodriguez, 25-Nov-2007.)

Assertion

Ref	Expression
relogcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem relogcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvres 6904	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((log ↾ ℝ+)‘𝐴) = (log‘𝐴))
2		relogf1o 26894	. . . 4 ⊢ (log ↾ ℝ+):ℝ+–1-1-onto→ℝ
3		f1of 6824	. . . 4 ⊢ ((log ↾ ℝ+):ℝ+–1-1-onto→ℝ → (log ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ)
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (log ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ
5	4	ffvelcdmi 7083	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((log ↾ ℝ+)‘𝐴) ∈ ℝ)
6	1, 5	eqeltrrd 2862	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   ↾ cres 5653  ⟶wf 6534  –1-1-onto→wf1o 6537  ‘cfv 6538  ℝcr 11199  ℝ⁺crp 13120  logclog 26882

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278  ax-addf 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-xneg 13241  df-xadd 13242  df-xmul 13243  df-ioo 13480  df-ioc 13481  df-ico 13482  df-icc 13483  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-fl 13932  df-mod 14010  df-seq 14145  df-exp 14205  df-fac 14418  df-bc 14447  df-hash 14475  df-shft 15220  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-limsup 15638  df-clim 15655  df-rlim 15656  df-sum 15854  df-ef 16233  df-sin 16235  df-cos 16236  df-pi 16238  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-hom 17452  df-cco 17453  df-rest 17593  df-topn 17594  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-topgen 17614  df-pt 17615  df-prds 17618  df-xrs 17674  df-qtop 17679  df-imas 17680  df-xps 17682  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-submnd 18979  df-mulg 19278  df-cntz 19531  df-cmn 19996  df-psmet 21670  df-xmet 21671  df-met 21672  df-bl 21673  df-mopn 21674  df-fbas 21675  df-fg 21676  df-cnfld 21679  df-top 23212  df-topon 23229  df-topsp 23251  df-bases 23264  df-cld 23337  df-ntr 23338  df-cls 23339  df-nei 23416  df-lp 23454  df-perf 23455  df-cn 23545  df-cnp 23546  df-haus 23633  df-tx 23881  df-hmeo 24074  df-fil 24165  df-fm 24257  df-flim 24258  df-flf 24259  df-xms 24639  df-ms 24640  df-tms 24641  df-cncf 25199  df-limc 26186  df-dv 26187  df-log 26884

This theorem is used by:  logneg  26916  lognegb  26918  relogoprlem  26919  reexplog  26923  relogexp  26924  logfac  26929  logleb  26931  rplogcl  26932  logmul2  26944  logdiv2  26945  abslogle  26946  logdivlti  26948  logdivlt  26949  logdivle  26950  relogcld  26951  advlog  26982  advlogexp  26983  logccv  26991  logcxp  26997  rpcxpcl  27004  cxpmul  27016  abscxp  27020  cxple2  27025  logsqrt  27032  dvcxp1  27068  dvcxp2  27069  loglesqrt  27089  relogbcl  27101  relogbmul  27105  logbgt0b  27121  log2ub  27277  log2le1  27278  birthday  27282  cxploglim  27305  cxploglim2  27306  amgmlem  27317  logdifbnd  27321  emcllem7  27329  emre  27333  emgt0  27334  harmonicbnd3  27335  harmoniclbnd  27336  harmonicbnd4  27338  relgamcl  27389  cht2  27499  chtleppi  27537  chtublem  27538  chtub  27539  logfacubnd  27548  logfaclbnd  27549  logfacbnd3  27550  logfacrlim  27551  logexprlim  27552  efexple  27608  bposlem6  27616  bposlem7  27617  bposlem8  27618  bposlem9  27619  chebbnd1lem3  27798  chebbnd1  27799  chto1ub  27803  vmadivsum  27809  rpvmasumlem  27814  dchrvmasumlem2  27825  dchrvmasumlema  27827  dchrvmasumiflem1  27828  dchrvmasumiflem2  27829  dchrisum0fno1  27838  rpvmasum2  27839  dchrisum0re  27840  rpvmasum  27853  rplogsum  27854  dirith2  27855  logdivsum  27860  mulog2sumlem2  27862  mulog2sumlem3  27863  logsqvma  27869  log2sumbnd  27871  selberglem1  27872  selberglem2  27873  selberglem3  27874  selberg  27875  selberg2lem  27877  selberg2  27878  pntrsumo1  27892  selbergr  27895  pntrlog2bndlem4  27907  pntibndlem3  27919  xrge0iifiso  34567  logdivsqrle  35279  hgt750lem  35280  hgt750lemb  35285  reglogcl  43896  reglogltb  43897  reglogleb  43898  reglogmul  43899  reglogexp  43900  reglogbas  43901  reglog1  43902  stirlinglem12  47094  stirlinglem13  47095  stirlinglem14  47096  lighneallem2  48690  logbge0b  49674  logblt1b  49675