Theorem bj-iomnnom 36794

Description: The canonical bijection from (ω ∪ {ω}) onto (ℕ₀ ∪ {+∞}) maps ω to +∞. (Contributed by BJ, 18-Feb-2023.)

Assertion

Ref	Expression
bj-iomnnom	⊢ (iω↪ℕ‘ω) = +∞

Proof of Theorem bj-iomnnom

Dummy variables 𝑛 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-bj-iomnn 36785	. . . 4 ⊢ iω↪ℕ = ((𝑛 ∈ ω ↦ ⟨[⟨{𝑟 ∈ Q ∣ 𝑟 <Q ⟨suc 𝑛, 1o⟩}, 1P⟩] ~R , 0R⟩) ∪ {⟨ω, +∞⟩})
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → iω↪ℕ = ((𝑛 ∈ ω ↦ ⟨[⟨{𝑟 ∈ Q ∣ 𝑟 <Q ⟨suc 𝑛, 1o⟩}, 1P⟩] ~R , 0R⟩) ∪ {⟨ω, +∞⟩}))
3		elirr 9618	. . . 4 ⊢ ¬ ω ∈ ω
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ¬ ω ∈ ω)
5		omex 9664	. . . 4 ⊢ ω ∈ V
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ω ∈ V)
7		bj-pinftyccb 36756	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℂ̅
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → +∞ ∈ ℂ̅)
9	2, 4, 6, 8	bj-fvmptunsn1 36792	. 2 ⊢ (⊤ → (iω↪ℕ‘ω) = +∞)
10	9	mptru 1540	1 ⊢ (iω↪ℕ‘ω) = +∞

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1533  ⊤wtru 1534   ∈ wcel 2098  {crab 3419  Vcvv 3463   ∪ cun 3938  {csn 4624  ⟨cop 4630   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226  suc csuc 6366  ‘cfv 6542  ωcom 7867  1_oc1o 8476  [cec 8719  Qcnq 10873   <_Q cltq 10879  1_Pc1p 10881   ~_R cer 10885  0_Rc0r 10887  ℂ̅cccbar 36750  +∞cpinfty 36754  i_ω↪ℕciomnn 36784

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-reg 9613  ax-inf2 9662  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214  ax-addf 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7681  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-2o 8484  df-er 8721  df-map 8843  df-pm 8844  df-ixp 8913  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-fsupp 9384  df-fi 9432  df-sup 9463  df-inf 9464  df-oi 9531  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-z 12587  df-dec 12706  df-uz 12851  df-q 12961  df-rp 13005  df-xneg 13122  df-xadd 13123  df-xmul 13124  df-ioo 13358  df-ioc 13359  df-ico 13360  df-icc 13361  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-fl 13787  df-seq 13997  df-exp 14057  df-fac 14263  df-bc 14292  df-hash 14320  df-shft 15044  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-limsup 15445  df-clim 15462  df-rlim 15463  df-sum 15663  df-ef 16041  df-sin 16043  df-cos 16044  df-pi 16046  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-starv 17245  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-ip 17248  df-tset 17249  df-ple 17250  df-ds 17252  df-unif 17253  df-hom 17254  df-cco 17255  df-rest 17401  df-topn 17402  df-0g 17420  df-gsum 17421  df-topgen 17422  df-pt 17423  df-prds 17426  df-xrs 17481  df-qtop 17486  df-imas 17487  df-xps 17489  df-mre 17563  df-mrc 17564  df-acs 17566  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-submnd 18738  df-mulg 19026  df-cntz 19270  df-cmn 19739  df-psmet 21273  df-xmet 21274  df-met 21275  df-bl 21276  df-mopn 21277  df-fbas 21278  df-fg 21279  df-cnfld 21282  df-top 22812  df-topon 22829  df-topsp 22851  df-bases 22865  df-cld 22939  df-ntr 22940  df-cls 22941  df-nei 23018  df-lp 23056  df-perf 23057  df-cn 23147  df-cnp 23148  df-haus 23235  df-tx 23482  df-hmeo 23675  df-fil 23766  df-fm 23858  df-flim 23859  df-flf 23860  df-xms 24242  df-ms 24243  df-tms 24244  df-cncf 24814  df-limc 25811  df-dv 25812  df-bj-inftyexpi 36742  df-bj-ccinfty 36747  df-bj-ccbar 36751  df-bj-pinfty 36755  df-bj-iomnn 36785

This theorem is referenced by: (None)