Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cayleyhamilton Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cayleyhamilton 21102
 Description: The Cayley-Hamilton theorem: A matrix over a commutative ring "satisfies its own characteristic equation", see theorem 7.8 in [Roman] p. 170 (without proof!), or theorem 3.1 in [Lang] p. 561. In other words, a matrix over a commutative ring "inserted" into its characteristic polynomial results in zero. This is Metamath 100 proof #49. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cayleyhamilton.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
cayleyhamilton.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
cayleyhamilton.0 0 = (0g𝐴)
cayleyhamilton.c 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
cayleyhamilton.k 𝐾 = (coe1‘(𝐶𝑀))
cayleyhamilton.m = ( ·𝑠𝐴)
cayleyhamilton.e = (.g‘(mulGrp‘𝐴))
Assertion
Ref Expression
cayleyhamilton ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (𝐴 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐾𝑛) (𝑛 𝑀)))) = 0 )
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝐶,𝑛   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑅,𝑛   ,𝑛   ,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐾(𝑛)   0 (𝑛)

Proof of Theorem cayleyhamilton
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cayleyhamilton.a . 2 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2 cayleyhamilton.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐴)
3 cayleyhamilton.0 . 2 0 = (0g𝐴)
4 eqid 2778 . 2 (1r𝐴) = (1r𝐴)
5 cayleyhamilton.m . 2 = ( ·𝑠𝐴)
6 cayleyhamilton.e . 2 = (.g‘(mulGrp‘𝐴))
7 cayleyhamilton.c . 2 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
8 cayleyhamilton.k . 2 𝐾 = (coe1‘(𝐶𝑀))
9 eqid 2778 . 2 (Poly1𝑅) = (Poly1𝑅)
10 eqid 2778 . 2 (𝑁 Mat (Poly1𝑅)) = (𝑁 Mat (Poly1𝑅))
11 eqid 2778 . 2 (.r‘(𝑁 Mat (Poly1𝑅))) = (.r‘(𝑁 Mat (Poly1𝑅)))
12 eqid 2778 . 2 (-g‘(𝑁 Mat (Poly1𝑅))) = (-g‘(𝑁 Mat (Poly1𝑅)))
13 eqid 2778 . 2 (0g‘(𝑁 Mat (Poly1𝑅))) = (0g‘(𝑁 Mat (Poly1𝑅)))
14 eqid 2778 . 2 (Base‘(𝑁 Mat (Poly1𝑅))) = (Base‘(𝑁 Mat (Poly1𝑅)))
15 eqid 2778 . 2 (.g‘(mulGrp‘(𝑁 Mat (Poly1𝑅)))) = (.g‘(mulGrp‘(𝑁 Mat (Poly1𝑅))))
16 eqid 2778 . 2 (𝑁 matToPolyMat 𝑅) = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
17 eqeq1 2782 . . . 4 (𝑙 = 𝑛 → (𝑙 = 0 ↔ 𝑛 = 0))
18 eqeq1 2782 . . . . 5 (𝑙 = 𝑛 → (𝑙 = (𝑥 + 1) ↔ 𝑛 = (𝑥 + 1)))
19 breq2 4890 . . . . . 6 (𝑙 = 𝑛 → ((𝑥 + 1) < 𝑙 ↔ (𝑥 + 1) < 𝑛))
20 fvoveq1 6945 . . . . . . . 8 (𝑙 = 𝑛 → (𝑦‘(𝑙 − 1)) = (𝑦‘(𝑛 − 1)))
2120fveq2d 6450 . . . . . . 7 (𝑙 = 𝑛 → ((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘(𝑦‘(𝑙 − 1))) = ((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘(𝑦‘(𝑛 − 1))))
22 2fveq3 6451 . . . . . . . 8 (𝑙 = 𝑛 → ((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘(𝑦𝑙)) = ((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘(𝑦𝑛)))
2322oveq2d 6938 . . . . . . 7 (𝑙 = 𝑛 → (((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀)(.r‘(𝑁 Mat (Poly1𝑅)))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘(𝑦𝑙))) = (((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀)(.r‘(𝑁 Mat (Poly1𝑅)))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘(𝑦𝑛))))
2421, 23oveq12d 6940 . . . . . 6 (𝑙 = 𝑛 → (((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘(𝑦‘(𝑙 − 1)))(-g‘(𝑁 Mat (Poly1𝑅)))(((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀)(.r‘(𝑁 Mat (Poly1𝑅)))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘(𝑦𝑙)))) = (((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘(𝑦‘(𝑛 − 1)))(-g‘(𝑁 Mat (Poly1𝑅)))(((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀)(.r‘(𝑁 Mat (Poly1𝑅)))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘(𝑦𝑛)))))
2519, 24ifbieq2d 4332 . . . . 5 (𝑙 = 𝑛 → if((𝑥 + 1) < 𝑙, (0g‘(𝑁 Mat (Poly1𝑅))), (((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘(𝑦‘(𝑙 − 1)))(-g‘(𝑁 Mat (Poly1𝑅)))(((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀)(.r‘(𝑁 Mat (Poly1𝑅)))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘(𝑦𝑙))))) = if((𝑥 + 1) < 𝑛, (0g‘(𝑁 Mat (Poly1𝑅))), (((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘(𝑦‘(𝑛 − 1)))(-g‘(𝑁 Mat (Poly1𝑅)))(((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀)(.r‘(𝑁 Mat (Poly1𝑅)))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘(𝑦𝑛))))))
2618, 25ifbieq2d 4332 . . . 4 (𝑙 = 𝑛 → if(𝑙 = (𝑥 + 1), ((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘(𝑦𝑥)), if((𝑥 + 1) < 𝑙, (0g‘(𝑁 Mat (Poly1𝑅))), (((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘(𝑦‘(𝑙 − 1)))(-g‘(𝑁 Mat (Poly1𝑅)))(((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀)(.r‘(𝑁 Mat (Poly1𝑅)))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘(𝑦𝑙)))))) = if(𝑛 = (𝑥 + 1), ((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘(𝑦𝑥)), if((𝑥 + 1) < 𝑛, (0g‘(𝑁 Mat (Poly1𝑅))), (((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘(𝑦‘(𝑛 − 1)))(-g‘(𝑁 Mat (Poly1𝑅)))(((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀)(.r‘(𝑁 Mat (Poly1𝑅)))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘(𝑦𝑛)))))))
2717, 26ifbieq2d 4332 . . 3 (𝑙 = 𝑛 → if(𝑙 = 0, ((0g‘(𝑁 Mat (Poly1𝑅)))(-g‘(𝑁 Mat (Poly1𝑅)))(((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀)(.r‘(𝑁 Mat (Poly1𝑅)))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘(𝑦‘0)))), if(𝑙 = (𝑥 + 1), ((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘(𝑦𝑥)), if((𝑥 + 1) < 𝑙, (0g‘(𝑁 Mat (Poly1𝑅))), (((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘(𝑦‘(𝑙 − 1)))(-g‘(𝑁 Mat (Poly1𝑅)))(((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀)(.r‘(𝑁 Mat (Poly1𝑅)))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘(𝑦𝑙))))))) = if(𝑛 = 0, ((0g‘(𝑁 Mat (Poly1𝑅)))(-g‘(𝑁 Mat (Poly1𝑅)))(((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀)(.r‘(𝑁 Mat (Poly1𝑅)))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘(𝑦‘0)))), if(𝑛 = (𝑥 + 1), ((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘(𝑦𝑥)), if((𝑥 + 1) < 𝑛, (0g‘(𝑁 Mat (Poly1𝑅))), (((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘(𝑦‘(𝑛 − 1)))(-g‘(𝑁 Mat (Poly1𝑅)))(((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀)(.r‘(𝑁 Mat (Poly1𝑅)))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘(𝑦𝑛))))))))
2827cbvmptv 4985 . 2 (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑙 = 0, ((0g‘(𝑁 Mat (Poly1𝑅)))(-g‘(𝑁 Mat (Poly1𝑅)))(((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀)(.r‘(𝑁 Mat (Poly1𝑅)))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘(𝑦‘0)))), if(𝑙 = (𝑥 + 1), ((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘(𝑦𝑥)), if((𝑥 + 1) < 𝑙, (0g‘(𝑁 Mat (Poly1𝑅))), (((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘(𝑦‘(𝑙 − 1)))(-g‘(𝑁 Mat (Poly1𝑅)))(((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀)(.r‘(𝑁 Mat (Poly1𝑅)))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘(𝑦𝑙)))))))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ((0g‘(𝑁 Mat (Poly1𝑅)))(-g‘(𝑁 Mat (Poly1𝑅)))(((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀)(.r‘(𝑁 Mat (Poly1𝑅)))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘(𝑦‘0)))), if(𝑛 = (𝑥 + 1), ((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘(𝑦𝑥)), if((𝑥 + 1) < 𝑛, (0g‘(𝑁 Mat (Poly1𝑅))), (((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘(𝑦‘(𝑛 − 1)))(-g‘(𝑁 Mat (Poly1𝑅)))(((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀)(.r‘(𝑁 Mat (Poly1𝑅)))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘(𝑦𝑛))))))))
29 eqid 2778 . 2 (𝑁 cPolyMatToMat 𝑅) = (𝑁 cPolyMatToMat 𝑅)
301, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 28, 29cayleyhamilton0 21101 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (𝐴 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐾𝑛) (𝑛 𝑀)))) = 0 )
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1071   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  ifcif 4307   class class class wbr 4886   ↦ cmpt 4965  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  Fincfn 8241  0cc0 10272  1c1 10273   + caddc 10275   < clt 10411   − cmin 10606  ℕ0cn0 11642  Basecbs 16255  .rcmulr 16339   ·𝑠 cvsca 16342  0gc0g 16486   Σg cgsu 16487  -gcsg 17811  .gcmg 17927  mulGrpcmgp 18876  1rcur 18888  CRingccrg 18935  Poly1cpl1 19943  coe1cco1 19944   Mat cmat 20617   matToPolyMat cmat2pmat 20916   cPolyMatToMat ccpmat2mat 20917   CharPlyMat cchpmat 21038 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-addf 10351  ax-mulf 10352 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-xor 1583  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-ot 4407  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-ofr 7175  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-supp 7577  df-tpos 7634  df-cur 7675  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-2o 7844  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-pm 8143  df-ixp 8195  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fsupp 8564  df-sup 8636  df-oi 8704  df-card 9098  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-xnn0 11715  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-rp 12138  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-seq 13120  df-exp 13179  df-hash 13436  df-word 13600  df-lsw 13653  df-concat 13661  df-s1 13686  df-substr 13731  df-pfx 13780  df-splice 13887  df-reverse 13905  df-s2 13999  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-starv 16353  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-ip 16356  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-unif 16361  df-hom 16362  df-cco 16363  df-0g 16488  df-gsum 16489  df-prds 16494  df-pws 16496  df-mre 16632  df-mrc 16633  df-acs 16635  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-mhm 17721  df-submnd 17722  df-grp 17812  df-minusg 17813  df-sbg 17814  df-mulg 17928  df-subg 17975  df-ghm 18042  df-gim 18085  df-cntz 18133  df-oppg 18159  df-symg 18181  df-pmtr 18245  df-psgn 18294  df-evpm 18295  df-cmn 18581  df-abl 18582  df-mgp 18877  df-ur 18889  df-srg 18893  df-ring 18936  df-cring 18937  df-oppr 19010  df-dvdsr 19028  df-unit 19029  df-invr 19059  df-dvr 19070  df-rnghom 19104  df-drng 19141  df-subrg 19170  df-lmod 19257  df-lss 19325  df-sra 19569  df-rgmod 19570  df-assa 19709  df-ascl 19711  df-psr 19753  df-mvr 19754  df-mpl 19755  df-opsr 19757  df-psr1 19946  df-vr1 19947  df-ply1 19948  df-coe1 19949  df-cnfld 20143  df-zring 20215  df-zrh 20248  df-dsmm 20475  df-frlm 20490  df-mamu 20594  df-mat 20618  df-mdet 20796  df-madu 20845  df-cpmat 20918  df-mat2pmat 20919  df-cpmat2mat 20920  df-decpmat 20975  df-pm2mp 21005  df-chpmat 21039 This theorem is referenced by:  cayleyhamilton1  21104
 Copyright terms: Public domain W3C validator