Theorem cayleyhamilton 23062

Description: The Cayley-Hamilton theorem: A matrix over a commutative ring "satisfies its own characteristic equation", see theorem 7.8 in [Roman] p. 170 (without proof!), or theorem 3.1 in [Lang] p. 561. In other words, a matrix over a commutative ring "inserted" into its characteristic polynomial results in zero. This is Metamath 100 proof #49. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cayleyhamilton.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
cayleyhamilton.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
cayleyhamilton.0	⊢ 0 = (0g‘𝐴)
cayleyhamilton.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
cayleyhamilton.k	⊢ 𝐾 = (coe1‘(𝐶‘𝑀))
cayleyhamilton.m	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴)
cayleyhamilton.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝐴))

Assertion

Ref	Expression
cayleyhamilton	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐴 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐾‘𝑛) ∗ (𝑛 ↑ 𝑀)))) = 0 )

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝐶,𝑛   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑅,𝑛   ∗ ,𝑛   ↑ ,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐾(𝑛)   0 (𝑛)

Proof of Theorem cayleyhamilton

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cayleyhamilton.a	. 2 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		cayleyhamilton.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
3		cayleyhamilton.0	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝐴)
4		eqid 2766	. 2 ⊢ (1r‘𝐴) = (1r‘𝐴)
5		cayleyhamilton.m	. 2 ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴)
6		cayleyhamilton.e	. 2 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝐴))
7		cayleyhamilton.c	. 2 ⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
8		cayleyhamilton.k	. 2 ⊢ 𝐾 = (coe1‘(𝐶‘𝑀))
9		eqid 2766	. 2 ⊢ (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘𝑅)
10		eqid 2766	. 2 ⊢ (𝑁 Mat (Poly1‘𝑅)) = (𝑁 Mat (Poly1‘𝑅))
11		eqid 2766	. 2 ⊢ (.r‘(𝑁 Mat (Poly1‘𝑅))) = (.r‘(𝑁 Mat (Poly1‘𝑅)))
12		eqid 2766	. 2 ⊢ (-g‘(𝑁 Mat (Poly1‘𝑅))) = (-g‘(𝑁 Mat (Poly1‘𝑅)))
13		eqid 2766	. 2 ⊢ (0g‘(𝑁 Mat (Poly1‘𝑅))) = (0g‘(𝑁 Mat (Poly1‘𝑅)))
14		eqid 2766	. 2 ⊢ (Base‘(𝑁 Mat (Poly1‘𝑅))) = (Base‘(𝑁 Mat (Poly1‘𝑅)))
15		eqid 2766	. 2 ⊢ (.g‘(mulGrp‘(𝑁 Mat (Poly1‘𝑅)))) = (.g‘(mulGrp‘(𝑁 Mat (Poly1‘𝑅))))
16		eqid 2766	. 2 ⊢ (𝑁 matToPolyMat 𝑅) = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
17		eqeq1 2770	. . . 4 ⊢ (𝑙 = 𝑛 → (𝑙 = 0 ↔ 𝑛 = 0))
18		eqeq1 2770	. . . . 5 ⊢ (𝑙 = 𝑛 → (𝑙 = (𝑥 + 1) ↔ 𝑛 = (𝑥 + 1)))
19		breq2 5116	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 = 𝑛 → ((𝑥 + 1) < 𝑙 ↔ (𝑥 + 1) < 𝑛))
20		fvoveq1 7439	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑙 = 𝑛 → (𝑦‘(𝑙 − 1)) = (𝑦‘(𝑛 − 1)))
21	20	fveq2d 6889	. . . . . . 7 ⊢ (𝑙 = 𝑛 → ((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘(𝑦‘(𝑙 − 1))) = ((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘(𝑦‘(𝑛 − 1))))
22		2fveq3 6890	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑙 = 𝑛 → ((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘(𝑦‘𝑙)) = ((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘(𝑦‘𝑛)))
23	22	oveq2d 7432	. . . . . . 7 ⊢ (𝑙 = 𝑛 → (((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀)(.r‘(𝑁 Mat (Poly1‘𝑅)))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘(𝑦‘𝑙))) = (((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀)(.r‘(𝑁 Mat (Poly1‘𝑅)))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘(𝑦‘𝑛))))
24	21, 23	oveq12d 7434	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 = 𝑛 → (((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘(𝑦‘(𝑙 − 1)))(-g‘(𝑁 Mat (Poly1‘𝑅)))(((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀)(.r‘(𝑁 Mat (Poly1‘𝑅)))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘(𝑦‘𝑙)))) = (((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘(𝑦‘(𝑛 − 1)))(-g‘(𝑁 Mat (Poly1‘𝑅)))(((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀)(.r‘(𝑁 Mat (Poly1‘𝑅)))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘(𝑦‘𝑛)))))
25	19, 24	ifbieq2d 4517	. . . . 5 ⊢ (𝑙 = 𝑛 → if((𝑥 + 1) < 𝑙, (0g‘(𝑁 Mat (Poly1‘𝑅))), (((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘(𝑦‘(𝑙 − 1)))(-g‘(𝑁 Mat (Poly1‘𝑅)))(((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀)(.r‘(𝑁 Mat (Poly1‘𝑅)))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘(𝑦‘𝑙))))) = if((𝑥 + 1) < 𝑛, (0g‘(𝑁 Mat (Poly1‘𝑅))), (((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘(𝑦‘(𝑛 − 1)))(-g‘(𝑁 Mat (Poly1‘𝑅)))(((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀)(.r‘(𝑁 Mat (Poly1‘𝑅)))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘(𝑦‘𝑛))))))
26	18, 25	ifbieq2d 4517	. . . 4 ⊢ (𝑙 = 𝑛 → if(𝑙 = (𝑥 + 1), ((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘(𝑦‘𝑥)), if((𝑥 + 1) < 𝑙, (0g‘(𝑁 Mat (Poly1‘𝑅))), (((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘(𝑦‘(𝑙 − 1)))(-g‘(𝑁 Mat (Poly1‘𝑅)))(((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀)(.r‘(𝑁 Mat (Poly1‘𝑅)))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘(𝑦‘𝑙)))))) = if(𝑛 = (𝑥 + 1), ((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘(𝑦‘𝑥)), if((𝑥 + 1) < 𝑛, (0g‘(𝑁 Mat (Poly1‘𝑅))), (((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘(𝑦‘(𝑛 − 1)))(-g‘(𝑁 Mat (Poly1‘𝑅)))(((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀)(.r‘(𝑁 Mat (Poly1‘𝑅)))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘(𝑦‘𝑛)))))))
27	17, 26	ifbieq2d 4517	. . 3 ⊢ (𝑙 = 𝑛 → if(𝑙 = 0, ((0g‘(𝑁 Mat (Poly1‘𝑅)))(-g‘(𝑁 Mat (Poly1‘𝑅)))(((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀)(.r‘(𝑁 Mat (Poly1‘𝑅)))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘(𝑦‘0)))), if(𝑙 = (𝑥 + 1), ((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘(𝑦‘𝑥)), if((𝑥 + 1) < 𝑙, (0g‘(𝑁 Mat (Poly1‘𝑅))), (((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘(𝑦‘(𝑙 − 1)))(-g‘(𝑁 Mat (Poly1‘𝑅)))(((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀)(.r‘(𝑁 Mat (Poly1‘𝑅)))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘(𝑦‘𝑙))))))) = if(𝑛 = 0, ((0g‘(𝑁 Mat (Poly1‘𝑅)))(-g‘(𝑁 Mat (Poly1‘𝑅)))(((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀)(.r‘(𝑁 Mat (Poly1‘𝑅)))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘(𝑦‘0)))), if(𝑛 = (𝑥 + 1), ((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘(𝑦‘𝑥)), if((𝑥 + 1) < 𝑛, (0g‘(𝑁 Mat (Poly1‘𝑅))), (((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘(𝑦‘(𝑛 − 1)))(-g‘(𝑁 Mat (Poly1‘𝑅)))(((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀)(.r‘(𝑁 Mat (Poly1‘𝑅)))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘(𝑦‘𝑛))))))))
28	27	cbvmptv 5218	. 2 ⊢ (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑙 = 0, ((0g‘(𝑁 Mat (Poly1‘𝑅)))(-g‘(𝑁 Mat (Poly1‘𝑅)))(((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀)(.r‘(𝑁 Mat (Poly1‘𝑅)))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘(𝑦‘0)))), if(𝑙 = (𝑥 + 1), ((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘(𝑦‘𝑥)), if((𝑥 + 1) < 𝑙, (0g‘(𝑁 Mat (Poly1‘𝑅))), (((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘(𝑦‘(𝑙 − 1)))(-g‘(𝑁 Mat (Poly1‘𝑅)))(((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀)(.r‘(𝑁 Mat (Poly1‘𝑅)))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘(𝑦‘𝑙)))))))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ((0g‘(𝑁 Mat (Poly1‘𝑅)))(-g‘(𝑁 Mat (Poly1‘𝑅)))(((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀)(.r‘(𝑁 Mat (Poly1‘𝑅)))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘(𝑦‘0)))), if(𝑛 = (𝑥 + 1), ((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘(𝑦‘𝑥)), if((𝑥 + 1) < 𝑛, (0g‘(𝑁 Mat (Poly1‘𝑅))), (((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘(𝑦‘(𝑛 − 1)))(-g‘(𝑁 Mat (Poly1‘𝑅)))(((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀)(.r‘(𝑁 Mat (Poly1‘𝑅)))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘(𝑦‘𝑛))))))))
29		eqid 2766	. 2 ⊢ (𝑁 cPolyMatToMat 𝑅) = (𝑁 cPolyMatToMat 𝑅)
30	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 28, 29	cayleyhamilton0 23061	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐴 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐾‘𝑛) ∗ (𝑛 ↑ 𝑀)))) = 0 )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ifcif 4490   class class class wbr 5112   ↦ cmpt 5195  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  Fincfn 8945  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   < clt 11253   − cmin 11451  ℕ₀cn0 12514  Basecbs 17279  ._rcmulr 17321   ·_𝑠 cvsca 17324  0_gc0g 17502   Σ_g cgsu 17503  -_gcsg 19012  ._gcmg 19143  mulGrpcmgp 20226  1_rcur 20273  CRingccrg 20326  Poly₁cpl1 22352  coe₁cco1 22353   Mat cmat 22579   matToPolyMat cmat2pmat 22876   cPolyMatToMat ccpmat2mat 22877   CharPlyMat cchpmat 22998

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5241  ax-sep 5260  ax-nul 5272  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7738  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-addf 11189  ax-mulf 11190

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-xor 1542  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-ot 4601  df-uni 4876  df-int 4916  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5113  df-opab 5177  df-mpt 5196  df-tr 5222  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-se 5618  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7680  df-ofr 7681  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8159  df-tpos 8224  df-cur 8265  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9324  df-sup 9404  df-oi 9474  df-card 9936  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11882  df-nn 12244  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12515  df-xnn0 12588  df-z 12602  df-dec 12722  df-uz 12873  df-rp 13027  df-fz 13546  df-fzo 13694  df-seq 14049  df-exp 14109  df-hash 14378  df-word 14562  df-lsw 14611  df-concat 14619  df-s1 14645  df-substr 14690  df-pfx 14720  df-splice 14798  df-reverse 14807  df-s2 14896  df-struct 17217  df-sets 17234  df-slot 17252  df-ndx 17264  df-base 17280  df-ress 17301  df-plusg 17333  df-mulr 17334  df-starv 17335  df-sca 17336  df-vsca 17337  df-ip 17338  df-tset 17339  df-ple 17340  df-ds 17342  df-unif 17343  df-hom 17344  df-cco 17345  df-0g 17504  df-gsum 17505  df-prds 17510  df-pws 17512  df-mre 17648  df-mrc 17649  df-acs 17651  df-mgm 18708  df-sgrp 18787  df-mnd 18803  df-mhm 18851  df-submnd 18852  df-efmnd 18938  df-grp 19013  df-minusg 19014  df-sbg 19015  df-mulg 19144  df-subg 19199  df-ghm 19294  df-gim 19339  df-cntz 19397  df-oppg 19426  df-symg 19450  df-pmtr 19522  df-psgn 19571  df-evpm 19572  df-cmn 19862  df-abl 19863  df-mgp 20227  df-rng 20241  df-ur 20274  df-srg 20279  df-ring 20327  df-cring 20328  df-oppr 20430  df-dvdsr 20450  df-unit 20451  df-invr 20481  df-dvr 20494  df-rhm 20565  df-subrng 20660  df-subrg 20684  df-drng 20844  df-lmod 20998  df-lss 21068  df-sra 21309  df-rgmod 21310  df-cnfld 21538  df-zring 21612  df-zrh 21668  df-dsmm 21897  df-frlm 21912  df-assa 22018  df-ascl 22020  df-psr 22074  df-mvr 22075  df-mpl 22076  df-opsr 22078  df-psr1 22355  df-vr1 22356  df-ply1 22357  df-coe1 22358  df-mamu 22563  df-mat 22580  df-mdet 22757  df-madu 22806  df-cpmat 22878  df-mat2pmat 22879  df-cpmat2mat 22880  df-decpmat 22935  df-pm2mp 22965  df-chpmat 22999

This theorem is used by:  cayleyhamilton1  23064