Theorem zrtdvds 41004

Description: A positive integer root divides its integer. (Contributed by Steven Nguyen, 6-Apr-2023.)

Assertion

Ref	Expression
zrtdvds	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑐(1 / 𝑁)) ∥ 𝐴)

Proof of Theorem zrtdvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 12558	. . . 4 ⊢ ((𝐴↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ → (𝐴↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℤ)
2	1	3ad2ant3 1135	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℤ)
3		simp2 1137	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
4		iddvdsexp 16202	. . 3 ⊢ (((𝐴↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑐(1 / 𝑁)) ∥ ((𝐴↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁))
5	2, 3, 4	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑐(1 / 𝑁)) ∥ ((𝐴↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁))
6		zcn 12542	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
7	6	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
8		cxproot 26122	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁) = 𝐴)
9	7, 3, 8	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → ((𝐴↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁) = 𝐴)
10	5, 9	breqtrd 5164	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑐(1 / 𝑁)) ∥ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5138  (class class class)co 7390  ℂcc 11087  1c1 11090   / cdiv 11850  ℕcn 12191  ℤcz 12537  ↑cexp 14006   ∥ cdvds 16176  ↑_𝑐ccxp 25988

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7705  ax-inf2 9615  ax-cnex 11145  ax-resscn 11146  ax-1cn 11147  ax-icn 11148  ax-addcl 11149  ax-addrcl 11150  ax-mulcl 11151  ax-mulrcl 11152  ax-mulcom 11153  ax-addass 11154  ax-mulass 11155  ax-distr 11156  ax-i2m1 11157  ax-1ne0 11158  ax-1rid 11159  ax-rnegex 11160  ax-rrecex 11161  ax-cnre 11162  ax-pre-lttri 11163  ax-pre-lttrn 11164  ax-pre-ltadd 11165  ax-pre-mulgt0 11166  ax-pre-sup 11167  ax-addf 11168  ax-mulf 11169

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3430  df-v 3472  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4520  df-pw 4595  df-sn 4620  df-pr 4622  df-tp 4624  df-op 4626  df-uni 4899  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6286  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6531  df-fn 6532  df-f 6533  df-f1 6534  df-fo 6535  df-f1o 6536  df-fv 6537  df-isom 6538  df-riota 7346  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7650  df-om 7836  df-1st 7954  df-2nd 7955  df-supp 8126  df-frecs 8245  df-wrecs 8276  df-recs 8350  df-rdg 8389  df-1o 8445  df-2o 8446  df-er 8683  df-map 8802  df-pm 8803  df-ixp 8872  df-en 8920  df-dom 8921  df-sdom 8922  df-fin 8923  df-fsupp 9342  df-fi 9385  df-sup 9416  df-inf 9417  df-oi 9484  df-card 9913  df-pnf 11229  df-mnf 11230  df-xr 11231  df-ltxr 11232  df-le 11233  df-sub 11425  df-neg 11426  df-div 11851  df-nn 12192  df-2 12254  df-3 12255  df-4 12256  df-5 12257  df-6 12258  df-7 12259  df-8 12260  df-9 12261  df-n0 12452  df-z 12538  df-dec 12657  df-uz 12802  df-q 12912  df-rp 12954  df-xneg 13071  df-xadd 13072  df-xmul 13073  df-ioo 13307  df-ioc 13308  df-ico 13309  df-icc 13310  df-fz 13464  df-fzo 13607  df-fl 13736  df-mod 13814  df-seq 13946  df-exp 14007  df-fac 14213  df-bc 14242  df-hash 14270  df-shft 14993  df-cj 15025  df-re 15026  df-im 15027  df-sqrt 15161  df-abs 15162  df-limsup 15394  df-clim 15411  df-rlim 15412  df-sum 15612  df-ef 15990  df-sin 15992  df-cos 15993  df-pi 15995  df-dvds 16177  df-struct 17059  df-sets 17076  df-slot 17094  df-ndx 17106  df-base 17124  df-ress 17153  df-plusg 17189  df-mulr 17190  df-starv 17191  df-sca 17192  df-vsca 17193  df-ip 17194  df-tset 17195  df-ple 17196  df-ds 17198  df-unif 17199  df-hom 17200  df-cco 17201  df-rest 17347  df-topn 17348  df-0g 17366  df-gsum 17367  df-topgen 17368  df-pt 17369  df-prds 17372  df-xrs 17427  df-qtop 17432  df-imas 17433  df-xps 17435  df-mre 17509  df-mrc 17510  df-acs 17512  df-mgm 18540  df-sgrp 18589  df-mnd 18600  df-submnd 18645  df-mulg 18920  df-cntz 19144  df-cmn 19611  df-psmet 20865  df-xmet 20866  df-met 20867  df-bl 20868  df-mopn 20869  df-fbas 20870  df-fg 20871  df-cnfld 20874  df-top 22320  df-topon 22337  df-topsp 22359  df-bases 22373  df-cld 22447  df-ntr 22448  df-cls 22449  df-nei 22526  df-lp 22564  df-perf 22565  df-cn 22655  df-cnp 22656  df-haus 22743  df-tx 22990  df-hmeo 23183  df-fil 23274  df-fm 23366  df-flim 23367  df-flf 23368  df-xms 23750  df-ms 23751  df-tms 23752  df-cncf 24318  df-limc 25307  df-dv 25308  df-log 25989  df-cxp 25990

This theorem is referenced by:  rtprmirr  41005