Theorem cxple3 24965

Description: Ordering property for complex exponentiation. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
cxple3	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 1) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (𝐵 ≤ 𝐶 ↔ (𝐴↑𝑐𝐶) ≤ (𝐴↑𝑐𝐵)))

Proof of Theorem cxple3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cxplt3 24964	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 1) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → (𝐶 < 𝐵 ↔ (𝐴↑𝑐𝐵) < (𝐴↑𝑐𝐶)))
2	1	ancom2s 646	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 1) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (𝐶 < 𝐵 ↔ (𝐴↑𝑐𝐵) < (𝐴↑𝑐𝐶)))
3	2	notbid 319	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 1) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (¬ 𝐶 < 𝐵 ↔ ¬ (𝐴↑𝑐𝐵) < (𝐴↑𝑐𝐶)))
4		lenlt 10568	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 𝐶 ↔ ¬ 𝐶 < 𝐵))
5	4	adantl 482	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 1) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (𝐵 ≤ 𝐶 ↔ ¬ 𝐶 < 𝐵))
6		rpcxpcl 24940	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴↑𝑐𝐶) ∈ ℝ+)
7	6	ad2ant2rl 745	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 1) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (𝐴↑𝑐𝐶) ∈ ℝ+)
8		rpcxpcl 24940	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴↑𝑐𝐵) ∈ ℝ+)
9	8	ad2ant2r 743	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 1) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (𝐴↑𝑐𝐵) ∈ ℝ+)
10		rpre 12247	. . . 4 ⊢ ((𝐴↑𝑐𝐶) ∈ ℝ+ → (𝐴↑𝑐𝐶) ∈ ℝ)
11		rpre 12247	. . . 4 ⊢ ((𝐴↑𝑐𝐵) ∈ ℝ+ → (𝐴↑𝑐𝐵) ∈ ℝ)
12		lenlt 10568	. . . 4 ⊢ (((𝐴↑𝑐𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐴↑𝑐𝐵) ∈ ℝ) → ((𝐴↑𝑐𝐶) ≤ (𝐴↑𝑐𝐵) ↔ ¬ (𝐴↑𝑐𝐵) < (𝐴↑𝑐𝐶)))
13	10, 11, 12	syl2an 595	. . 3 ⊢ (((𝐴↑𝑐𝐶) ∈ ℝ+ ∧ (𝐴↑𝑐𝐵) ∈ ℝ+) → ((𝐴↑𝑐𝐶) ≤ (𝐴↑𝑐𝐵) ↔ ¬ (𝐴↑𝑐𝐵) < (𝐴↑𝑐𝐶)))
14	7, 9, 13	syl2anc 584	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 1) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → ((𝐴↑𝑐𝐶) ≤ (𝐴↑𝑐𝐵) ↔ ¬ (𝐴↑𝑐𝐵) < (𝐴↑𝑐𝐶)))
15	3, 5, 14	3bitr4d 312	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 1) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (𝐵 ≤ 𝐶 ↔ (𝐴↑𝑐𝐶) ≤ (𝐴↑𝑐𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∈ wcel 2080   class class class wbr 4964  (class class class)co 7019  ℝcr 10385  1c1 10387   < clt 10524   ≤ cle 10525  ℝ⁺crp 12239  ↑_𝑐ccxp 24820

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1778  ax-4 1792  ax-5 1889  ax-6 1948  ax-7 1993  ax-8 2082  ax-9 2090  ax-10 2111  ax-11 2125  ax-12 2140  ax-13 2343  ax-ext 2768  ax-rep 5084  ax-sep 5097  ax-nul 5104  ax-pow 5160  ax-pr 5224  ax-un 7322  ax-inf2 8953  ax-cnex 10442  ax-resscn 10443  ax-1cn 10444  ax-icn 10445  ax-addcl 10446  ax-addrcl 10447  ax-mulcl 10448  ax-mulrcl 10449  ax-mulcom 10450  ax-addass 10451  ax-mulass 10452  ax-distr 10453  ax-i2m1 10454  ax-1ne0 10455  ax-1rid 10456  ax-rnegex 10457  ax-rrecex 10458  ax-cnre 10459  ax-pre-lttri 10460  ax-pre-lttrn 10461  ax-pre-ltadd 10462  ax-pre-mulgt0 10463  ax-pre-sup 10464  ax-addf 10465  ax-mulf 10466

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-fal 1535  df-ex 1763  df-nf 1767  df-sb 2042  df-mo 2575  df-eu 2611  df-clab 2775  df-cleq 2787  df-clel 2862  df-nfc 2934  df-ne 2984  df-nel 3090  df-ral 3109  df-rex 3110  df-reu 3111  df-rmo 3112  df-rab 3113  df-v 3438  df-sbc 3708  df-csb 3814  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4214  df-if 4384  df-pw 4457  df-sn 4475  df-pr 4477  df-tp 4479  df-op 4481  df-uni 4748  df-int 4785  df-iun 4829  df-iin 4830  df-br 4965  df-opab 5027  df-mpt 5044  df-tr 5067  df-id 5351  df-eprel 5356  df-po 5365  df-so 5366  df-fr 5405  df-se 5406  df-we 5407  df-xp 5452  df-rel 5453  df-cnv 5454  df-co 5455  df-dm 5456  df-rn 5457  df-res 5458  df-ima 5459  df-pred 6026  df-ord 6072  df-on 6073  df-lim 6074  df-suc 6075  df-iota 6192  df-fun 6230  df-fn 6231  df-f 6232  df-f1 6233  df-fo 6234  df-f1o 6235  df-fv 6236  df-isom 6237  df-riota 6980  df-ov 7022  df-oprab 7023  df-mpo 7024  df-of 7270  df-om 7440  df-1st 7548  df-2nd 7549  df-supp 7685  df-wrecs 7801  df-recs 7863  df-rdg 7901  df-1o 7956  df-2o 7957  df-oadd 7960  df-er 8142  df-map 8261  df-pm 8262  df-ixp 8314  df-en 8361  df-dom 8362  df-sdom 8363  df-fin 8364  df-fsupp 8683  df-fi 8724  df-sup 8755  df-inf 8756  df-oi 8823  df-card 9217  df-pnf 10526  df-mnf 10527  df-xr 10528  df-ltxr 10529  df-le 10530  df-sub 10721  df-neg 10722  df-div 11148  df-nn 11489  df-2 11550  df-3 11551  df-4 11552  df-5 11553  df-6 11554  df-7 11555  df-8 11556  df-9 11557  df-n0 11748  df-z 11832  df-dec 11949  df-uz 12094  df-q 12198  df-rp 12240  df-xneg 12357  df-xadd 12358  df-xmul 12359  df-ioo 12592  df-ioc 12593  df-ico 12594  df-icc 12595  df-fz 12743  df-fzo 12884  df-fl 13012  df-mod 13088  df-seq 13220  df-exp 13280  df-fac 13484  df-bc 13513  df-hash 13541  df-shft 14260  df-cj 14292  df-re 14293  df-im 14294  df-sqrt 14428  df-abs 14429  df-limsup 14662  df-clim 14679  df-rlim 14680  df-sum 14877  df-ef 15254  df-sin 15256  df-cos 15257  df-pi 15259  df-struct 16314  df-ndx 16315  df-slot 16316  df-base 16318  df-sets 16319  df-ress 16320  df-plusg 16407  df-mulr 16408  df-starv 16409  df-sca 16410  df-vsca 16411  df-ip 16412  df-tset 16413  df-ple 16414  df-ds 16416  df-unif 16417  df-hom 16418  df-cco 16419  df-rest 16525  df-topn 16526  df-0g 16544  df-gsum 16545  df-topgen 16546  df-pt 16547  df-prds 16550  df-xrs 16604  df-qtop 16609  df-imas 16610  df-xps 16612  df-mre 16686  df-mrc 16687  df-acs 16689  df-mgm 17681  df-sgrp 17723  df-mnd 17734  df-submnd 17775  df-mulg 17982  df-cntz 18188  df-cmn 18635  df-psmet 20219  df-xmet 20220  df-met 20221  df-bl 20222  df-mopn 20223  df-fbas 20224  df-fg 20225  df-cnfld 20228  df-top 21186  df-topon 21203  df-topsp 21225  df-bases 21238  df-cld 21311  df-ntr 21312  df-cls 21313  df-nei 21390  df-lp 21428  df-perf 21429  df-cn 21519  df-cnp 21520  df-haus 21607  df-tx 21854  df-hmeo 22047  df-fil 22138  df-fm 22230  df-flim 22231  df-flf 22232  df-xms 22613  df-ms 22614  df-tms 22615  df-cncf 23169  df-limc 24147  df-dv 24148  df-log 24821  df-cxp 24822

This theorem is referenced by:  cxple3d  24999