Theorem cxple3 25392

Description: Ordering property for complex exponentiation. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
cxple3	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 1) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (𝐵 ≤ 𝐶 ↔ (𝐴↑𝑐𝐶) ≤ (𝐴↑𝑐𝐵)))

Proof of Theorem cxple3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cxplt3 25391	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 1) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → (𝐶 < 𝐵 ↔ (𝐴↑𝑐𝐵) < (𝐴↑𝑐𝐶)))
2	1	ancom2s 650	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 1) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (𝐶 < 𝐵 ↔ (𝐴↑𝑐𝐵) < (𝐴↑𝑐𝐶)))
3	2	notbid 322	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 1) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (¬ 𝐶 < 𝐵 ↔ ¬ (𝐴↑𝑐𝐵) < (𝐴↑𝑐𝐶)))
4		lenlt 10758	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 𝐶 ↔ ¬ 𝐶 < 𝐵))
5	4	adantl 486	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 1) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (𝐵 ≤ 𝐶 ↔ ¬ 𝐶 < 𝐵))
6		rpcxpcl 25367	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴↑𝑐𝐶) ∈ ℝ+)
7	6	ad2ant2rl 749	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 1) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (𝐴↑𝑐𝐶) ∈ ℝ+)
8		rpcxpcl 25367	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴↑𝑐𝐵) ∈ ℝ+)
9	8	ad2ant2r 747	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 1) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (𝐴↑𝑐𝐵) ∈ ℝ+)
10		rpre 12439	. . . 4 ⊢ ((𝐴↑𝑐𝐶) ∈ ℝ+ → (𝐴↑𝑐𝐶) ∈ ℝ)
11		rpre 12439	. . . 4 ⊢ ((𝐴↑𝑐𝐵) ∈ ℝ+ → (𝐴↑𝑐𝐵) ∈ ℝ)
12		lenlt 10758	. . . 4 ⊢ (((𝐴↑𝑐𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐴↑𝑐𝐵) ∈ ℝ) → ((𝐴↑𝑐𝐶) ≤ (𝐴↑𝑐𝐵) ↔ ¬ (𝐴↑𝑐𝐵) < (𝐴↑𝑐𝐶)))
13	10, 11, 12	syl2an 599	. . 3 ⊢ (((𝐴↑𝑐𝐶) ∈ ℝ+ ∧ (𝐴↑𝑐𝐵) ∈ ℝ+) → ((𝐴↑𝑐𝐶) ≤ (𝐴↑𝑐𝐵) ↔ ¬ (𝐴↑𝑐𝐵) < (𝐴↑𝑐𝐶)))
14	7, 9, 13	syl2anc 588	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 1) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → ((𝐴↑𝑐𝐶) ≤ (𝐴↑𝑐𝐵) ↔ ¬ (𝐴↑𝑐𝐵) < (𝐴↑𝑐𝐶)))
15	3, 5, 14	3bitr4d 315	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 1) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (𝐵 ≤ 𝐶 ↔ (𝐴↑𝑐𝐶) ≤ (𝐴↑𝑐𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∈ wcel 2112   class class class wbr 5033  (class class class)co 7151  ℝcr 10575  1c1 10577   < clt 10714   ≤ cle 10715  ℝ⁺crp 12431  ↑_𝑐ccxp 25247

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-inf2 9138  ax-cnex 10632  ax-resscn 10633  ax-1cn 10634  ax-icn 10635  ax-addcl 10636  ax-addrcl 10637  ax-mulcl 10638  ax-mulrcl 10639  ax-mulcom 10640  ax-addass 10641  ax-mulass 10642  ax-distr 10643  ax-i2m1 10644  ax-1ne0 10645  ax-1rid 10646  ax-rnegex 10647  ax-rrecex 10648  ax-cnre 10649  ax-pre-lttri 10650  ax-pre-lttrn 10651  ax-pre-ltadd 10652  ax-pre-mulgt0 10653  ax-pre-sup 10654  ax-addf 10655  ax-mulf 10656

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-uni 4800  df-int 4840  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-se 5485  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-isom 6345  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-of 7406  df-om 7581  df-1st 7694  df-2nd 7695  df-supp 7837  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-1o 8113  df-2o 8114  df-er 8300  df-map 8419  df-pm 8420  df-ixp 8481  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-fin 8532  df-fsupp 8868  df-fi 8909  df-sup 8940  df-inf 8941  df-oi 9008  df-card 9402  df-pnf 10716  df-mnf 10717  df-xr 10718  df-ltxr 10719  df-le 10720  df-sub 10911  df-neg 10912  df-div 11337  df-nn 11676  df-2 11738  df-3 11739  df-4 11740  df-5 11741  df-6 11742  df-7 11743  df-8 11744  df-9 11745  df-n0 11936  df-z 12022  df-dec 12139  df-uz 12284  df-q 12390  df-rp 12432  df-xneg 12549  df-xadd 12550  df-xmul 12551  df-ioo 12784  df-ioc 12785  df-ico 12786  df-icc 12787  df-fz 12941  df-fzo 13084  df-fl 13212  df-mod 13288  df-seq 13420  df-exp 13481  df-fac 13685  df-bc 13714  df-hash 13742  df-shft 14475  df-cj 14507  df-re 14508  df-im 14509  df-sqrt 14643  df-abs 14644  df-limsup 14877  df-clim 14894  df-rlim 14895  df-sum 15092  df-ef 15470  df-sin 15472  df-cos 15473  df-pi 15475  df-struct 16544  df-ndx 16545  df-slot 16546  df-base 16548  df-sets 16549  df-ress 16550  df-plusg 16637  df-mulr 16638  df-starv 16639  df-sca 16640  df-vsca 16641  df-ip 16642  df-tset 16643  df-ple 16644  df-ds 16646  df-unif 16647  df-hom 16648  df-cco 16649  df-rest 16755  df-topn 16756  df-0g 16774  df-gsum 16775  df-topgen 16776  df-pt 16777  df-prds 16780  df-xrs 16834  df-qtop 16839  df-imas 16840  df-xps 16842  df-mre 16916  df-mrc 16917  df-acs 16919  df-mgm 17919  df-sgrp 17968  df-mnd 17979  df-submnd 18024  df-mulg 18293  df-cntz 18515  df-cmn 18976  df-psmet 20159  df-xmet 20160  df-met 20161  df-bl 20162  df-mopn 20163  df-fbas 20164  df-fg 20165  df-cnfld 20168  df-top 21595  df-topon 21612  df-topsp 21634  df-bases 21647  df-cld 21720  df-ntr 21721  df-cls 21722  df-nei 21799  df-lp 21837  df-perf 21838  df-cn 21928  df-cnp 21929  df-haus 22016  df-tx 22263  df-hmeo 22456  df-fil 22547  df-fm 22639  df-flim 22640  df-flf 22641  df-xms 23023  df-ms 23024  df-tms 23025  df-cncf 23580  df-limc 24566  df-dv 24567  df-log 25248  df-cxp 25249

This theorem is referenced by:  cxple3d  25426