Theorem nn0sumshdig 48517

Description: A nonnegative integer can be represented as sum of its shifted bits. (Contributed by AV, 7-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nn0sumshdig	⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 = Σ𝑘 ∈ (0..^(#b‘𝐴))((𝑘(digit‘2)𝐴) · (2↑𝑘)))

Distinct variable group:   𝐴,𝑘

Proof of Theorem nn0sumshdig

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		blennn0elnn 48471	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (#b‘𝐴) ∈ ℕ)
2		nn0sumshdiglem2 48516	. . 3 ⊢ ((#b‘𝐴) ∈ ℕ → ∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑎) = (#b‘𝐴) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(#b‘𝐴))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))
3		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (#b‘𝐴) = (#b‘𝐴)
4		fveqeq2 6895	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((#b‘𝑎) = (#b‘𝐴) ↔ (#b‘𝐴) = (#b‘𝐴)))
5		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → 𝑎 = 𝐴)
6		oveq2 7421	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑘(digit‘2)𝑎) = (𝑘(digit‘2)𝐴))
7	6	oveq1d 7428	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = ((𝑘(digit‘2)𝐴) · (2↑𝑘)))
8	7	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(#b‘𝐴))) → ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = ((𝑘(digit‘2)𝐴) · (2↑𝑘)))
9	8	sumeq2dv 15721	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → Σ𝑘 ∈ (0..^(#b‘𝐴))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0..^(#b‘𝐴))((𝑘(digit‘2)𝐴) · (2↑𝑘)))
10	5, 9	eqeq12d 2750	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(#b‘𝐴))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) ↔ 𝐴 = Σ𝑘 ∈ (0..^(#b‘𝐴))((𝑘(digit‘2)𝐴) · (2↑𝑘))))
11	4, 10	imbi12d 344	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (((#b‘𝑎) = (#b‘𝐴) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(#b‘𝐴))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) ↔ ((#b‘𝐴) = (#b‘𝐴) → 𝐴 = Σ𝑘 ∈ (0..^(#b‘𝐴))((𝑘(digit‘2)𝐴) · (2↑𝑘)))))
12	11	rspcva 3603	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑎) = (#b‘𝐴) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(#b‘𝐴))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))) → ((#b‘𝐴) = (#b‘𝐴) → 𝐴 = Σ𝑘 ∈ (0..^(#b‘𝐴))((𝑘(digit‘2)𝐴) · (2↑𝑘))))
13	3, 12	mpi 20	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑎) = (#b‘𝐴) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(#b‘𝐴))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))) → 𝐴 = Σ𝑘 ∈ (0..^(#b‘𝐴))((𝑘(digit‘2)𝐴) · (2↑𝑘)))
14	13	ex 412	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑎) = (#b‘𝐴) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(#b‘𝐴))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) → 𝐴 = Σ𝑘 ∈ (0..^(#b‘𝐴))((𝑘(digit‘2)𝐴) · (2↑𝑘))))
15	2, 14	syl5 34	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → ((#b‘𝐴) ∈ ℕ → 𝐴 = Σ𝑘 ∈ (0..^(#b‘𝐴))((𝑘(digit‘2)𝐴) · (2↑𝑘))))
16	1, 15	mpd 15	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 = Σ𝑘 ∈ (0..^(#b‘𝐴))((𝑘(digit‘2)𝐴) · (2↑𝑘)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∀wral 3050  ‘cfv 6541  (class class class)co 7413  0cc0 11137   · cmul 11142  ℕcn 12248  2c2 12303  ℕ₀cn0 12509  ..^cfzo 13676  ↑cexp 14084  Σcsu 15705  #_bcblen 48463  digitcdig 48489

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-inf2 9663  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214  ax-pre-sup 11215  ax-addf 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4888  df-int 4927  df-iun 4973  df-iin 4974  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-se 5618  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-om 7870  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-supp 8168  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-2o 8489  df-er 8727  df-map 8850  df-pm 8851  df-ixp 8920  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-fin 8971  df-fsupp 9384  df-fi 9433  df-sup 9464  df-inf 9465  df-oi 9532  df-card 9961  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11903  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12510  df-z 12597  df-dec 12717  df-uz 12861  df-q 12973  df-rp 13017  df-xneg 13136  df-xadd 13137  df-xmul 13138  df-ioo 13373  df-ioc 13374  df-ico 13375  df-icc 13376  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-fl 13814  df-mod 13892  df-seq 14025  df-exp 14085  df-fac 14296  df-bc 14325  df-hash 14353  df-shft 15089  df-cj 15121  df-re 15122  df-im 15123  df-sqrt 15257  df-abs 15258  df-limsup 15490  df-clim 15507  df-rlim 15508  df-sum 15706  df-ef 16086  df-sin 16088  df-cos 16089  df-pi 16091  df-dvds 16274  df-struct 17167  df-sets 17184  df-slot 17202  df-ndx 17214  df-base 17231  df-ress 17254  df-plusg 17287  df-mulr 17288  df-starv 17289  df-sca 17290  df-vsca 17291  df-ip 17292  df-tset 17293  df-ple 17294  df-ds 17296  df-unif 17297  df-hom 17298  df-cco 17299  df-rest 17439  df-topn 17440  df-0g 17458  df-gsum 17459  df-topgen 17460  df-pt 17461  df-prds 17464  df-xrs 17519  df-qtop 17524  df-imas 17525  df-xps 17527  df-mre 17601  df-mrc 17602  df-acs 17604  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-submnd 18767  df-mulg 19056  df-cntz 19305  df-cmn 19769  df-psmet 21319  df-xmet 21320  df-met 21321  df-bl 21322  df-mopn 21323  df-fbas 21324  df-fg 21325  df-cnfld 21328  df-top 22849  df-topon 22866  df-topsp 22888  df-bases 22901  df-cld 22974  df-ntr 22975  df-cls 22976  df-nei 23053  df-lp 23091  df-perf 23092  df-cn 23182  df-cnp 23183  df-haus 23270  df-tx 23517  df-hmeo 23710  df-fil 23801  df-fm 23893  df-flim 23894  df-flf 23895  df-xms 24276  df-ms 24277  df-tms 24278  df-cncf 24841  df-limc 25838  df-dv 25839  df-log 26535  df-cxp 26536  df-logb 26745  df-blen 48464  df-dig 48490

This theorem is referenced by:  nn0mullong  48519