Theorem nn0sumshdig 47398

Description: A nonnegative integer can be represented as sum of its shifted bits. (Contributed by AV, 7-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nn0sumshdig	⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 = Σ𝑘 ∈ (0..^(#b‘𝐴))((𝑘(digit‘2)𝐴) · (2↑𝑘)))

Distinct variable group:   𝐴,𝑘

Proof of Theorem nn0sumshdig

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		blennn0elnn 47352	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (#b‘𝐴) ∈ ℕ)
2		nn0sumshdiglem2 47397	. . 3 ⊢ ((#b‘𝐴) ∈ ℕ → ∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑎) = (#b‘𝐴) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(#b‘𝐴))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))
3		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (#b‘𝐴) = (#b‘𝐴)
4		fveqeq2 6901	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((#b‘𝑎) = (#b‘𝐴) ↔ (#b‘𝐴) = (#b‘𝐴)))
5		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → 𝑎 = 𝐴)
6		oveq2 7420	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑘(digit‘2)𝑎) = (𝑘(digit‘2)𝐴))
7	6	oveq1d 7427	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = ((𝑘(digit‘2)𝐴) · (2↑𝑘)))
8	7	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(#b‘𝐴))) → ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = ((𝑘(digit‘2)𝐴) · (2↑𝑘)))
9	8	sumeq2dv 15654	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → Σ𝑘 ∈ (0..^(#b‘𝐴))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0..^(#b‘𝐴))((𝑘(digit‘2)𝐴) · (2↑𝑘)))
10	5, 9	eqeq12d 2747	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(#b‘𝐴))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) ↔ 𝐴 = Σ𝑘 ∈ (0..^(#b‘𝐴))((𝑘(digit‘2)𝐴) · (2↑𝑘))))
11	4, 10	imbi12d 343	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (((#b‘𝑎) = (#b‘𝐴) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(#b‘𝐴))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) ↔ ((#b‘𝐴) = (#b‘𝐴) → 𝐴 = Σ𝑘 ∈ (0..^(#b‘𝐴))((𝑘(digit‘2)𝐴) · (2↑𝑘)))))
12	11	rspcva 3611	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑎) = (#b‘𝐴) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(#b‘𝐴))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))) → ((#b‘𝐴) = (#b‘𝐴) → 𝐴 = Σ𝑘 ∈ (0..^(#b‘𝐴))((𝑘(digit‘2)𝐴) · (2↑𝑘))))
13	3, 12	mpi 20	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑎) = (#b‘𝐴) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(#b‘𝐴))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))) → 𝐴 = Σ𝑘 ∈ (0..^(#b‘𝐴))((𝑘(digit‘2)𝐴) · (2↑𝑘)))
14	13	ex 412	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑎) = (#b‘𝐴) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(#b‘𝐴))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) → 𝐴 = Σ𝑘 ∈ (0..^(#b‘𝐴))((𝑘(digit‘2)𝐴) · (2↑𝑘))))
15	2, 14	syl5 34	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → ((#b‘𝐴) ∈ ℕ → 𝐴 = Σ𝑘 ∈ (0..^(#b‘𝐴))((𝑘(digit‘2)𝐴) · (2↑𝑘))))
16	1, 15	mpd 15	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 = Σ𝑘 ∈ (0..^(#b‘𝐴))((𝑘(digit‘2)𝐴) · (2↑𝑘)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∀wral 3060  ‘cfv 6544  (class class class)co 7412  0cc0 11113   · cmul 11118  ℕcn 12217  2c2 12272  ℕ₀cn0 12477  ..^cfzo 13632  ↑cexp 14032  Σcsu 15637  #_bcblen 47344  digitcdig 47370

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-inf2 9639  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191  ax-addf 11192  ax-mulf 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7673  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-supp 8150  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-2o 8470  df-er 8706  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9365  df-fi 9409  df-sup 9440  df-inf 9441  df-oi 9508  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ioc 13334  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15019  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-limsup 15420  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638  df-ef 16016  df-sin 16018  df-cos 16019  df-pi 16021  df-dvds 16203  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-mulg 18988  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-fbas 21142  df-fg 21143  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cld 22744  df-ntr 22745  df-cls 22746  df-nei 22823  df-lp 22861  df-perf 22862  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-haus 23040  df-tx 23287  df-hmeo 23480  df-fil 23571  df-fm 23663  df-flim 23664  df-flf 23665  df-xms 24047  df-ms 24048  df-tms 24049  df-cncf 24619  df-limc 25616  df-dv 25617  df-log 26298  df-cxp 26299  df-logb 26503  df-blen 47345  df-dig 47371

This theorem is referenced by:  nn0mullong  47400