Theorem goldratmolem4 48138

Description: Lemma 4 for determining the value of golden ratio. (Contributed by Ender Ting, 24-Jul-2026.)

Hypothesis

Ref	Expression
goldra.val	⊢ 𝐹 = (2 · (cos‘(π / 5)))

Assertion

Ref	Expression
goldratmolem4	⊢ (((𝐹↑2) − 𝐹) − 1) = 0

Proof of Theorem goldratmolem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		goldra.val	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (2 · (cos‘(π / 5)))
2	1	goldrarr 48131	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 ∈ ℝ
3		2re 12441	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
4	2, 3	readdcli 11348	. . . . 5 ⊢ (𝐹 + 2) ∈ ℝ
5	1	goldrapos 48133	. . . . . 6 ⊢ 0 < 𝐹
6		2pos 12471	. . . . . 6 ⊢ 0 < 2
7	2, 3, 5, 6	addgt0ii 11882	. . . . 5 ⊢ 0 < (𝐹 + 2)
8	4, 7	gt0ne0ii 11876	. . . 4 ⊢ (𝐹 + 2) ≠ 0
9	8	neii 2961	. . 3 ⊢ ¬ (𝐹 + 2) = 0
10	2	recni 11347	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 ∈ ℂ
11	10	goldpolyfactor 48130	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐹↑2) − 𝐹) − 1) · (((𝐹↑2) − 𝐹) − 1)) · (𝐹 + 2)) = ((((𝐹↑5) − (5 · (𝐹↑3))) + (5 · 𝐹)) + 2)
12	1	goldratmolem3 48137	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹↑5) − (5 · (𝐹↑3))) + (5 · 𝐹)) + 2) = 0
13	11, 12	eqtri 2786	. . . . 5 ⊢ (((((𝐹↑2) − 𝐹) − 1) · (((𝐹↑2) − 𝐹) − 1)) · (𝐹 + 2)) = 0
14	10	sqcli 14348	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹↑2) ∈ ℂ
15	14, 10	subcli 11658	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹↑2) − 𝐹) ∈ ℂ
16		ax-1cn 11282	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
17	15, 16	subcli 11658	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹↑2) − 𝐹) − 1) ∈ ℂ
18	17, 17	mulcli 11340	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹↑2) − 𝐹) − 1) · (((𝐹↑2) − 𝐹) − 1)) ∈ ℂ
19		2cn 12442	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
20	10, 19	addcli 11339	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 + 2) ∈ ℂ
21	18, 20	mul0ori 11987	. . . . 5 ⊢ ((((((𝐹↑2) − 𝐹) − 1) · (((𝐹↑2) − 𝐹) − 1)) · (𝐹 + 2)) = 0 ↔ (((((𝐹↑2) − 𝐹) − 1) · (((𝐹↑2) − 𝐹) − 1)) = 0 ∨ (𝐹 + 2) = 0))
22	13, 21	mpbi 233	. . . 4 ⊢ (((((𝐹↑2) − 𝐹) − 1) · (((𝐹↑2) − 𝐹) − 1)) = 0 ∨ (𝐹 + 2) = 0)
23		orcom 884	. . . 4 ⊢ ((((((𝐹↑2) − 𝐹) − 1) · (((𝐹↑2) − 𝐹) − 1)) = 0 ∨ (𝐹 + 2) = 0) ↔ ((𝐹 + 2) = 0 ∨ ((((𝐹↑2) − 𝐹) − 1) · (((𝐹↑2) − 𝐹) − 1)) = 0))
24	22, 23	mpbi 233	. . 3 ⊢ ((𝐹 + 2) = 0 ∨ ((((𝐹↑2) − 𝐹) − 1) · (((𝐹↑2) − 𝐹) − 1)) = 0)
25	9, 24	mtpor 1803	. 2 ⊢ ((((𝐹↑2) − 𝐹) − 1) · (((𝐹↑2) − 𝐹) − 1)) = 0
26	17	msq0i 11989	. 2 ⊢ (((((𝐹↑2) − 𝐹) − 1) · (((𝐹↑2) − 𝐹) − 1)) = 0 ↔ (((𝐹↑2) − 𝐹) − 1) = 0)
27	25, 26	mpbi 233	1 ⊢ (((𝐹↑2) − 𝐹) − 1) = 0

This proof depends on syntax axioms:   ∨ wo 861   = wceq 1570  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  0cc0 11224  1c1 11225   + caddc 11227   · cmul 11229   − cmin 11565   / cdiv 11997  2c2 12421  3c3 12422  5c5 12424  ↑cexp 14228  cosccos 16256  πcpi 16258

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-inf2 9666  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301  ax-pre-sup 11302  ax-addf 11303

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-isom 6564  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-of 7714  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-supp 8202  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-2o 8502  df-er 8742  df-map 8874  df-pm 8875  df-ixp 8951  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-fsupp 9379  df-fi 9427  df-sup 9458  df-inf 9459  df-oi 9528  df-card 10044  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-div 11998  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-4 12431  df-5 12432  df-6 12433  df-7 12434  df-8 12435  df-9 12436  df-n0 12631  df-z 12718  df-dec 12839  df-uz 12990  df-q 13100  df-rp 13145  df-xneg 13265  df-xadd 13266  df-xmul 13267  df-ioo 13504  df-ioc 13505  df-ico 13506  df-icc 13507  df-fz 13664  df-fzo 13813  df-fl 13956  df-seq 14169  df-exp 14229  df-fac 14442  df-bc 14471  df-hash 14499  df-shft 15246  df-cj 15292  df-re 15293  df-im 15294  df-sqrt 15428  df-abs 15429  df-limsup 15664  df-clim 15681  df-rlim 15682  df-sum 15880  df-ef 16259  df-sin 16261  df-cos 16262  df-pi 16264  df-struct 17351  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-ress 17435  df-plusg 17467  df-mulr 17468  df-starv 17469  df-sca 17470  df-vsca 17471  df-ip 17472  df-tset 17473  df-ple 17474  df-ds 17476  df-unif 17477  df-hom 17478  df-cco 17479  df-rest 17619  df-topn 17620  df-0g 17638  df-gsum 17639  df-topgen 17640  df-pt 17641  df-prds 17644  df-xrs 17700  df-qtop 17705  df-imas 17706  df-xps 17708  df-mre 17782  df-mrc 17783  df-acs 17785  df-mgm 18842  df-sgrp 18934  df-mnd 18950  df-submnd 19005  df-mulg 19304  df-cntz 19558  df-cmn 20023  df-psmet 21697  df-xmet 21698  df-met 21699  df-bl 21700  df-mopn 21701  df-fbas 21702  df-fg 21703  df-cnfld 21706  df-top 23239  df-topon 23256  df-topsp 23278  df-bases 23291  df-cld 23364  df-ntr 23365  df-cls 23366  df-nei 23443  df-lp 23481  df-perf 23482  df-cn 23572  df-cnp 23573  df-haus 23660  df-tx 23908  df-hmeo 24101  df-fil 24192  df-fm 24284  df-flim 24285  df-flf 24286  df-xms 24666  df-ms 24667  df-tms 24668  df-cncf 25226  df-limc 26213  df-dv 26214

This theorem is used by:  goldratval  48139