Theorem goldratmolem4 47818

Description: Lemma 4 for determining the value of golden ratio. (Contributed by Ender Ting, 24-Jul-2026.)

Hypothesis

Ref	Expression
goldra.val	⊢ 𝐹 = (2 · (cos‘(π / 5)))

Assertion

Ref	Expression
goldratmolem4	⊢ (((𝐹↑2) − 𝐹) − 1) = 0

Proof of Theorem goldratmolem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		goldra.val	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (2 · (cos‘(π / 5)))
2	1	goldrarr 47811	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 ∈ ℝ
3		2re 12364	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
4	2, 3	readdcli 11273	. . . . 5 ⊢ (𝐹 + 2) ∈ ℝ
5	1	goldrapos 47813	. . . . . 6 ⊢ 0 < 𝐹
6		2pos 12394	. . . . . 6 ⊢ 0 < 2
7	2, 3, 5, 6	addgt0ii 11805	. . . . 5 ⊢ 0 < (𝐹 + 2)
8	4, 7	gt0ne0ii 11799	. . . 4 ⊢ (𝐹 + 2) ≠ 0
9	8	neii 2957	. . 3 ⊢ ¬ (𝐹 + 2) = 0
10	2	recni 11272	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 ∈ ℂ
11	10	goldpolyfactor 47810	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐹↑2) − 𝐹) − 1) · (((𝐹↑2) − 𝐹) − 1)) · (𝐹 + 2)) = ((((𝐹↑5) − (5 · (𝐹↑3))) + (5 · 𝐹)) + 2)
12	1	goldratmolem3 47817	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹↑5) − (5 · (𝐹↑3))) + (5 · 𝐹)) + 2) = 0
13	11, 12	eqtri 2783	. . . . 5 ⊢ (((((𝐹↑2) − 𝐹) − 1) · (((𝐹↑2) − 𝐹) − 1)) · (𝐹 + 2)) = 0
14	10	sqcli 14270	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹↑2) ∈ ℂ
15	14, 10	subcli 11583	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹↑2) − 𝐹) ∈ ℂ
16		ax-1cn 11207	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
17	15, 16	subcli 11583	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹↑2) − 𝐹) − 1) ∈ ℂ
18	17, 17	mulcli 11265	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹↑2) − 𝐹) − 1) · (((𝐹↑2) − 𝐹) − 1)) ∈ ℂ
19		2cn 12365	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
20	10, 19	addcli 11264	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 + 2) ∈ ℂ
21	18, 20	mul0ori 11910	. . . . 5 ⊢ ((((((𝐹↑2) − 𝐹) − 1) · (((𝐹↑2) − 𝐹) − 1)) · (𝐹 + 2)) = 0 ↔ (((((𝐹↑2) − 𝐹) − 1) · (((𝐹↑2) − 𝐹) − 1)) = 0 ∨ (𝐹 + 2) = 0))
22	13, 21	mpbi 233	. . . 4 ⊢ (((((𝐹↑2) − 𝐹) − 1) · (((𝐹↑2) − 𝐹) − 1)) = 0 ∨ (𝐹 + 2) = 0)
23		orcom 884	. . . 4 ⊢ ((((((𝐹↑2) − 𝐹) − 1) · (((𝐹↑2) − 𝐹) − 1)) = 0 ∨ (𝐹 + 2) = 0) ↔ ((𝐹 + 2) = 0 ∨ ((((𝐹↑2) − 𝐹) − 1) · (((𝐹↑2) − 𝐹) − 1)) = 0))
24	22, 23	mpbi 233	. . 3 ⊢ ((𝐹 + 2) = 0 ∨ ((((𝐹↑2) − 𝐹) − 1) · (((𝐹↑2) − 𝐹) − 1)) = 0)
25	9, 24	mtpor 1803	. 2 ⊢ ((((𝐹↑2) − 𝐹) − 1) · (((𝐹↑2) − 𝐹) − 1)) = 0
26	17	msq0i 11912	. 2 ⊢ (((((𝐹↑2) − 𝐹) − 1) · (((𝐹↑2) − 𝐹) − 1)) = 0 ↔ (((𝐹↑2) − 𝐹) − 1) = 0)
27	25, 26	mpbi 233	1 ⊢ (((𝐹↑2) − 𝐹) − 1) = 0

This proof depends on syntax axioms:   ∨ wo 861   = wceq 1570  ‘cfv 6535  (class class class)co 7416  0cc0 11149  1c1 11150   + caddc 11152   · cmul 11154   − cmin 11490   / cdiv 11920  2c2 12344  3c3 12345  5c5 12347  ↑cexp 14150  cosccos 16175  πcpi 16177

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7742  ax-inf2 9627  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226  ax-pre-sup 11227  ax-addf 11228

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6301  df-ord 6362  df-on 6363  df-lim 6364  df-suc 6365  df-iota 6491  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-isom 6544  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7684  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8703  df-map 8835  df-pm 8836  df-ixp 8912  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-fsupp 9339  df-fi 9388  df-sup 9419  df-inf 9420  df-oi 9489  df-card 9969  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11921  df-nn 12283  df-2 12352  df-3 12353  df-4 12354  df-5 12355  df-6 12356  df-7 12357  df-8 12358  df-9 12359  df-n0 12554  df-z 12641  df-dec 12762  df-uz 12913  df-q 13023  df-rp 13068  df-xneg 13188  df-xadd 13189  df-xmul 13190  df-ioo 13427  df-ioc 13428  df-ico 13429  df-icc 13430  df-fz 13587  df-fzo 13735  df-fl 13878  df-seq 14091  df-exp 14151  df-fac 14363  df-bc 14392  df-hash 14420  df-shft 15165  df-cj 15211  df-re 15212  df-im 15213  df-sqrt 15347  df-abs 15348  df-limsup 15583  df-clim 15600  df-rlim 15601  df-sum 15799  df-ef 16178  df-sin 16180  df-cos 16181  df-pi 16183  df-struct 17264  df-sets 17281  df-slot 17299  df-ndx 17311  df-base 17327  df-ress 17348  df-plusg 17380  df-mulr 17381  df-starv 17382  df-sca 17383  df-vsca 17384  df-ip 17385  df-tset 17386  df-ple 17387  df-ds 17389  df-unif 17390  df-hom 17391  df-cco 17392  df-rest 17532  df-topn 17533  df-0g 17551  df-gsum 17552  df-topgen 17553  df-pt 17554  df-prds 17557  df-xrs 17613  df-qtop 17618  df-imas 17619  df-xps 17621  df-mre 17695  df-mrc 17696  df-acs 17698  df-mgm 18755  df-sgrp 18847  df-mnd 18863  df-submnd 18918  df-mulg 19217  df-cntz 19470  df-cmn 19935  df-psmet 21609  df-xmet 21610  df-met 21611  df-bl 21612  df-mopn 21613  df-fbas 21614  df-fg 21615  df-cnfld 21618  df-top 23151  df-topon 23168  df-topsp 23190  df-bases 23203  df-cld 23276  df-ntr 23277  df-cls 23278  df-nei 23355  df-lp 23393  df-perf 23394  df-cn 23484  df-cnp 23485  df-haus 23572  df-tx 23820  df-hmeo 24013  df-fil 24104  df-fm 24196  df-flim 24197  df-flf 24198  df-xms 24578  df-ms 24579  df-tms 24580  df-cncf 25138  df-limc 26125  df-dv 26126

This theorem is used by:  goldratval  47819