Theorem goldratmolem4 47738

Description: Lemma 4 for determining the value of golden ratio. (Contributed by Ender Ting, 24-Jul-2026.)

Hypothesis

Ref	Expression
goldra.val	⊢ 𝐹 = (2 · (cos‘(π / 5)))

Assertion

Ref	Expression
goldratmolem4	⊢ (((𝐹↑2) − 𝐹) − 1) = 0

Proof of Theorem goldratmolem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		goldra.val	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (2 · (cos‘(π / 5)))
2	1	goldrarr 47731	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 ∈ ℝ
3		2re 12340	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
4	2, 3	readdcli 11249	. . . . 5 ⊢ (𝐹 + 2) ∈ ℝ
5	1	goldrapos 47733	. . . . . 6 ⊢ 0 < 𝐹
6		2pos 12370	. . . . . 6 ⊢ 0 < 2
7	2, 3, 5, 6	addgt0ii 11781	. . . . 5 ⊢ 0 < (𝐹 + 2)
8	4, 7	gt0ne0ii 11775	. . . 4 ⊢ (𝐹 + 2) ≠ 0
9	8	neii 2959	. . 3 ⊢ ¬ (𝐹 + 2) = 0
10	2	recni 11248	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 ∈ ℂ
11	10	goldpolyfactor 47730	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐹↑2) − 𝐹) − 1) · (((𝐹↑2) − 𝐹) − 1)) · (𝐹 + 2)) = ((((𝐹↑5) − (5 · (𝐹↑3))) + (5 · 𝐹)) + 2)
12	1	goldratmolem3 47737	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹↑5) − (5 · (𝐹↑3))) + (5 · 𝐹)) + 2) = 0
13	11, 12	eqtri 2785	. . . . 5 ⊢ (((((𝐹↑2) − 𝐹) − 1) · (((𝐹↑2) − 𝐹) − 1)) · (𝐹 + 2)) = 0
14	10	sqcli 14245	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹↑2) ∈ ℂ
15	14, 10	subcli 11559	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹↑2) − 𝐹) ∈ ℂ
16		ax-1cn 11183	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
17	15, 16	subcli 11559	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹↑2) − 𝐹) − 1) ∈ ℂ
18	17, 17	mulcli 11241	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹↑2) − 𝐹) − 1) · (((𝐹↑2) − 𝐹) − 1)) ∈ ℂ
19		2cn 12341	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
20	10, 19	addcli 11240	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 + 2) ∈ ℂ
21	18, 20	mul0ori 11886	. . . . 5 ⊢ ((((((𝐹↑2) − 𝐹) − 1) · (((𝐹↑2) − 𝐹) − 1)) · (𝐹 + 2)) = 0 ↔ (((((𝐹↑2) − 𝐹) − 1) · (((𝐹↑2) − 𝐹) − 1)) = 0 ∨ (𝐹 + 2) = 0))
22	13, 21	mpbi 233	. . . 4 ⊢ (((((𝐹↑2) − 𝐹) − 1) · (((𝐹↑2) − 𝐹) − 1)) = 0 ∨ (𝐹 + 2) = 0)
23		orcom 884	. . . 4 ⊢ ((((((𝐹↑2) − 𝐹) − 1) · (((𝐹↑2) − 𝐹) − 1)) = 0 ∨ (𝐹 + 2) = 0) ↔ ((𝐹 + 2) = 0 ∨ ((((𝐹↑2) − 𝐹) − 1) · (((𝐹↑2) − 𝐹) − 1)) = 0))
24	22, 23	mpbi 233	. . 3 ⊢ ((𝐹 + 2) = 0 ∨ ((((𝐹↑2) − 𝐹) − 1) · (((𝐹↑2) − 𝐹) − 1)) = 0)
25	9, 24	mtpor 1803	. 2 ⊢ ((((𝐹↑2) − 𝐹) − 1) · (((𝐹↑2) − 𝐹) − 1)) = 0
26	17	msq0i 11888	. 2 ⊢ (((((𝐹↑2) − 𝐹) − 1) · (((𝐹↑2) − 𝐹) − 1)) = 0 ↔ (((𝐹↑2) − 𝐹) − 1) = 0)
27	25, 26	mpbi 233	1 ⊢ (((𝐹↑2) − 𝐹) − 1) = 0

This proof depends on syntax axioms:   ∨ wo 861   = wceq 1570  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  0cc0 11125  1c1 11126   + caddc 11128   · cmul 11130   − cmin 11466   / cdiv 11896  2c2 12320  3c3 12321  5c5 12323  ↑cexp 14125  cosccos 16152  πcpi 16154

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-inf2 9623  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-pre-sup 11203  ax-addf 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-fi 9384  df-sup 9415  df-inf 9416  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11897  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-7 12333  df-8 12334  df-9 12335  df-n0 12530  df-z 12617  df-dec 12738  df-uz 12889  df-q 12999  df-rp 13043  df-xneg 13163  df-xadd 13164  df-xmul 13165  df-ioo 13402  df-ioc 13403  df-ico 13404  df-icc 13405  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-fl 13853  df-seq 14066  df-exp 14126  df-fac 14338  df-bc 14367  df-hash 14395  df-shft 15140  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-limsup 15558  df-clim 15575  df-rlim 15576  df-sum 15774  df-ef 16155  df-sin 16157  df-cos 16158  df-pi 16160  df-struct 17241  df-sets 17258  df-slot 17276  df-ndx 17288  df-base 17304  df-ress 17325  df-plusg 17357  df-mulr 17358  df-starv 17359  df-sca 17360  df-vsca 17361  df-ip 17362  df-tset 17363  df-ple 17364  df-ds 17366  df-unif 17367  df-hom 17368  df-cco 17369  df-rest 17509  df-topn 17510  df-0g 17528  df-gsum 17529  df-topgen 17530  df-pt 17531  df-prds 17534  df-xrs 17590  df-qtop 17595  df-imas 17596  df-xps 17598  df-mre 17672  df-mrc 17673  df-acs 17675  df-mgm 18732  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-submnd 18891  df-mulg 19190  df-cntz 19443  df-cmn 19908  df-psmet 21576  df-xmet 21577  df-met 21578  df-bl 21579  df-mopn 21580  df-fbas 21581  df-fg 21582  df-cnfld 21585  df-top 23118  df-topon 23135  df-topsp 23157  df-bases 23170  df-cld 23243  df-ntr 23244  df-cls 23245  df-nei 23322  df-lp 23360  df-perf 23361  df-cn 23451  df-cnp 23452  df-haus 23539  df-tx 23787  df-hmeo 23980  df-fil 24071  df-fm 24163  df-flim 24164  df-flf 24165  df-xms 24545  df-ms 24546  df-tms 24547  df-cncf 25105  df-limc 26093  df-dv 26094

This theorem is used by:  goldratval  47739