Theorem goldratval 47936

Description: Value of the golden ratio. (Contributed by Ender Ting, 24-Jul-2026.)

Hypothesis

Ref	Expression
goldra.val	⊢ 𝐹 = (2 · (cos‘(π / 5)))

Assertion

Ref	Expression
goldratval	⊢ 𝐹 = ((1 + (√‘5)) / 2)

Proof of Theorem goldratval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1lt5 12525	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 < 5
2		0le1 11839	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≤ 1
3		5nn0 12626	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 5 ∈ ℕ0
4	3	nn0ge0i 12633	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≤ 5
5		1re 11308	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℝ
6		5re 12430	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 5 ∈ ℝ
7	5, 6	sqrtlti 15557	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ≤ 1 ∧ 0 ≤ 5) → (1 < 5 ↔ (√‘1) < (√‘5)))
8	2, 4, 7	mp2an 705	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 < 5 ↔ (√‘1) < (√‘5))
9	1, 8	mpbi 233	. . . . . . . . 9 ⊢ (√‘1) < (√‘5)
10		negneg1e1 12309	. . . . . . . . . 10 ⊢ - -1 = 1
11		sqrt1 15438	. . . . . . . . . 10 ⊢ (√‘1) = 1
12	10, 11	eqtr4i 2786	. . . . . . . . 9 ⊢ - -1 = (√‘1)
13		5pos 12455	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 5
14	6, 13	sqrtpclii 15550	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (√‘5) ∈ ℝ
15	14	recni 11323	. . . . . . . . . 10 ⊢ (√‘5) ∈ ℂ
16	15	addridi 11497	. . . . . . . . 9 ⊢ ((√‘5) + 0) = (√‘5)
17	9, 12, 16	3brtr4i 5134	. . . . . . . 8 ⊢ - -1 < ((√‘5) + 0)
18		neg1rr 12306	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1 ∈ ℝ
19	18	renegcli 11619	. . . . . . . . 9 ⊢ - -1 ∈ ℝ
20		0re 11310	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
21	19, 14, 20	ltsubadd2i 11875	. . . . . . . 8 ⊢ (( - -1 − (√‘5)) < 0 ↔ - -1 < ((√‘5) + 0))
22	17, 21	mpbir 234	. . . . . . 7 ⊢ ( - -1 − (√‘5)) < 0
23	19, 14	resubcli 11620	. . . . . . . 8 ⊢ ( - -1 − (√‘5)) ∈ ℝ
24		2re 12417	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
25	24, 5	remulcli 11325	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) ∈ ℝ
26		2pos 12447	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 2
27		2t1e2 12505	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 1) = 2
28	26, 27	breqtrri 5131	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < (2 · 1)
29	23, 20, 25, 28	ltdiv1ii 12246	. . . . . . 7 ⊢ (( - -1 − (√‘5)) < 0 ↔ (( - -1 − (√‘5)) / (2 · 1)) < (0 / (2 · 1)))
30	22, 29	mpbi 233	. . . . . 6 ⊢ (( - -1 − (√‘5)) / (2 · 1)) < (0 / (2 · 1))
31	25	recni 11323	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 1) ∈ ℂ
32	20, 28	gtneii 11422	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 1) ≠ 0
33	31, 32	div0i 12051	. . . . . 6 ⊢ (0 / (2 · 1)) = 0
34	30, 33	breqtri 5129	. . . . 5 ⊢ (( - -1 − (√‘5)) / (2 · 1)) < 0
35	23, 25, 32	redivcli 12084	. . . . . 6 ⊢ (( - -1 − (√‘5)) / (2 · 1)) ∈ ℝ
36	35, 20	ltnsymi 11429	. . . . 5 ⊢ ((( - -1 − (√‘5)) / (2 · 1)) < 0 → ¬ 0 < (( - -1 − (√‘5)) / (2 · 1)))
37	34, 36	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ¬ 0 < (( - -1 − (√‘5)) / (2 · 1))
38		goldra.val	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (2 · (cos‘(π / 5)))
39	38	goldrapos 47930	. . . . 5 ⊢ 0 < 𝐹
40		breq2 5106	. . . . 5 ⊢ (𝐹 = (( - -1 − (√‘5)) / (2 · 1)) → (0 < 𝐹 ↔ 0 < (( - -1 − (√‘5)) / (2 · 1))))
41	39, 40	mpbii 236	. . . 4 ⊢ (𝐹 = (( - -1 − (√‘5)) / (2 · 1)) → 0 < (( - -1 − (√‘5)) / (2 · 1)))
42	37, 41	mto 200	. . 3 ⊢ ¬ 𝐹 = (( - -1 − (√‘5)) / (2 · 1))
43	38	goldrarr 47928	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 ∈ ℝ
44	43	recni 11323	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 ∈ ℂ
45	44	sqcli 14324	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹↑2) ∈ ℂ
46		ax-1cn 11258	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
47	44, 46	addcli 11315	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 + 1) ∈ ℂ
48	45, 47	negsubi 11636	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹↑2) + -(𝐹 + 1)) = ((𝐹↑2) − (𝐹 + 1))
49	45	mullidi 11314	. . . . . . . 8 ⊢ (1 · (𝐹↑2)) = (𝐹↑2)
50	44	mulm1i 11761	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( -1 · 𝐹) = -𝐹
51	50	oveq1i 7430	. . . . . . . . 9 ⊢ (( -1 · 𝐹) + -1) = ( -𝐹 + -1)
52	44, 46	negdii 11642	. . . . . . . . 9 ⊢ -(𝐹 + 1) = ( -𝐹 + -1)
53	51, 52	eqtr4i 2786	. . . . . . . 8 ⊢ (( -1 · 𝐹) + -1) = -(𝐹 + 1)
54	49, 53	oveq12i 7432	. . . . . . 7 ⊢ ((1 · (𝐹↑2)) + (( -1 · 𝐹) + -1)) = ((𝐹↑2) + -(𝐹 + 1))
55		subsub4 11591	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹↑2) ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝐹↑2) − 𝐹) − 1) = ((𝐹↑2) − (𝐹 + 1)))
56	45, 44, 46, 55	mp3an 1490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹↑2) − 𝐹) − 1) = ((𝐹↑2) − (𝐹 + 1))
57	48, 54, 56	3eqtr4ri 2794	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹↑2) − 𝐹) − 1) = ((1 · (𝐹↑2)) + (( -1 · 𝐹) + -1))
58	38	goldratmolem4 47935	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹↑2) − 𝐹) − 1) = 0
59	57, 58	eqtr3i 2785	. . . . 5 ⊢ ((1 · (𝐹↑2)) + (( -1 · 𝐹) + -1)) = 0
60		1cnd 11302	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℂ)
61		ax-1ne0 11269	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ≠ 0
62	61	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 1 ≠ 0)
63		neg1cn 12305	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℂ
64	63	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → -1 ∈ ℂ)
65	44	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 𝐹 ∈ ℂ)
66		4cn 12428	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
67	46, 66	subnegi 11637	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 − -4) = (1 + 4)
68		neg1sqe1 14339	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( -1↑2) = 1
69	63	mullidi 11314	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 · -1) = -1
70	69	oveq2i 7431	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (4 · (1 · -1)) = (4 · -1)
71	66, 46	mulneg2i 11763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (4 · -1) = -(4 · 1)
72	66	mulridi 11313	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (4 · 1) = 4
73	72	negeqi 11550	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -(4 · 1) = -4
74	70, 71, 73	3eqtri 2787	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 · (1 · -1)) = -4
75	68, 74	oveq12i 7432	. . . . . . . . 9 ⊢ (( -1↑2) − (4 · (1 · -1))) = (1 − -4)
76		df-5 12408	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 = (4 + 1)
77	66, 46, 76	comraddi 11525	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 = (1 + 4)
78	67, 75, 77	3eqtr4ri 2794	. . . . . . . 8 ⊢ 5 = (( -1↑2) − (4 · (1 · -1)))
79	78	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 5 = (( -1↑2) − (4 · (1 · -1))))
80	60, 62, 64, 64, 65, 79	quad 27168	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (((1 · (𝐹↑2)) + (( -1 · 𝐹) + -1)) = 0 ↔ (𝐹 = (( - -1 + (√‘5)) / (2 · 1)) ∨ 𝐹 = (( - -1 − (√‘5)) / (2 · 1)))))
81	80	mptru 1576	. . . . 5 ⊢ (((1 · (𝐹↑2)) + (( -1 · 𝐹) + -1)) = 0 ↔ (𝐹 = (( - -1 + (√‘5)) / (2 · 1)) ∨ 𝐹 = (( - -1 − (√‘5)) / (2 · 1))))
82	59, 81	mpbi 233	. . . 4 ⊢ (𝐹 = (( - -1 + (√‘5)) / (2 · 1)) ∨ 𝐹 = (( - -1 − (√‘5)) / (2 · 1)))
83	82	ori 875	. . 3 ⊢ (¬ 𝐹 = (( - -1 + (√‘5)) / (2 · 1)) → 𝐹 = (( - -1 − (√‘5)) / (2 · 1)))
84	42, 83	mt3 204	. 2 ⊢ 𝐹 = (( - -1 + (√‘5)) / (2 · 1))
85	10	oveq1i 7430	. . 3 ⊢ ( - -1 + (√‘5)) = (1 + (√‘5))
86	85, 27	oveq12i 7432	. 2 ⊢ (( - -1 + (√‘5)) / (2 · 1)) = ((1 + (√‘5)) / 2)
87	84, 86	eqtri 2783	1 ⊢ 𝐹 = ((1 + (√‘5)) / 2)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∨ wo 861   = wceq 1569  ⊤wtru 1570   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11198  0cc0 11200  1c1 11201   + caddc 11203   · cmul 11205   < clt 11343   ≤ cle 11344   − cmin 11541   -cneg 11542   / cdiv 11973  2c2 12397  4c4 12399  5c5 12400  ↑cexp 14204  √csqrt 15400  cosccos 16230  πcpi 16232

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278  ax-addf 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-xneg 13241  df-xadd 13242  df-xmul 13243  df-ioo 13480  df-ioc 13481  df-ico 13482  df-icc 13483  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-fl 13932  df-seq 14145  df-exp 14205  df-fac 14418  df-bc 14447  df-hash 14475  df-shft 15220  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-limsup 15638  df-clim 15655  df-rlim 15656  df-sum 15854  df-ef 16233  df-sin 16235  df-cos 16236  df-pi 16238  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-hom 17452  df-cco 17453  df-rest 17593  df-topn 17594  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-topgen 17614  df-pt 17615  df-prds 17618  df-xrs 17674  df-qtop 17679  df-imas 17680  df-xps 17682  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-submnd 18979  df-mulg 19278  df-cntz 19531  df-cmn 19996  df-psmet 21670  df-xmet 21671  df-met 21672  df-bl 21673  df-mopn 21674  df-fbas 21675  df-fg 21676  df-cnfld 21679  df-top 23212  df-topon 23229  df-topsp 23251  df-bases 23264  df-cld 23337  df-ntr 23338  df-cls 23339  df-nei 23416  df-lp 23454  df-perf 23455  df-cn 23545  df-cnp 23546  df-haus 23633  df-tx 23881  df-hmeo 24074  df-fil 24165  df-fm 24257  df-flim 24258  df-flf 24259  df-xms 24639  df-ms 24640  df-tms 24641  df-cncf 25199  df-limc 26186  df-dv 26187

This theorem is used by: (None)