Theorem logeftb 26467

Description: Relationship between the natural logarithm function and the exponential function. (Contributed by Paul Chapman, 21-Apr-2008.)

Assertion

Ref	Expression
logeftb	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ∈ ran log) → ((log‘𝐴) = 𝐵 ↔ (exp‘𝐵) = 𝐴))

Proof of Theorem logeftb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifsn 4785	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))
2		dflog2 26444	. . . . . 6 ⊢ log = ◡(exp ↾ ran log)
3	2	fveq1i 6885	. . . . 5 ⊢ (log‘𝐴) = (◡(exp ↾ ran log)‘𝐴)
4	3	eqeq1i 2731	. . . 4 ⊢ ((log‘𝐴) = 𝐵 ↔ (◡(exp ↾ ran log)‘𝐴) = 𝐵)
5		fvres 6903	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ran log → ((exp ↾ ran log)‘𝐵) = (exp‘𝐵))
6	5	eqeq1d 2728	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ran log → (((exp ↾ ran log)‘𝐵) = 𝐴 ↔ (exp‘𝐵) = 𝐴))
7	6	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ran log ∧ 𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (((exp ↾ ran log)‘𝐵) = 𝐴 ↔ (exp‘𝐵) = 𝐴))
8		eff1o2 26447	. . . . . . 7 ⊢ (exp ↾ ran log):ran log–1-1-onto→(ℂ ∖ {0})
9		f1ocnvfvb 7272	. . . . . . 7 ⊢ (((exp ↾ ran log):ran log–1-1-onto→(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ran log ∧ 𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (((exp ↾ ran log)‘𝐵) = 𝐴 ↔ (◡(exp ↾ ran log)‘𝐴) = 𝐵))
10	8, 9	mp3an1 1444	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ran log ∧ 𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (((exp ↾ ran log)‘𝐵) = 𝐴 ↔ (◡(exp ↾ ran log)‘𝐴) = 𝐵))
11	7, 10	bitr3d 281	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ran log ∧ 𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((exp‘𝐵) = 𝐴 ↔ (◡(exp ↾ ran log)‘𝐴) = 𝐵))
12	11	ancoms 458	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ran log) → ((exp‘𝐵) = 𝐴 ↔ (◡(exp ↾ ran log)‘𝐴) = 𝐵))
13	4, 12	bitr4id 290	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ran log) → ((log‘𝐴) = 𝐵 ↔ (exp‘𝐵) = 𝐴))
14	1, 13	sylanbr 581	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ran log) → ((log‘𝐴) = 𝐵 ↔ (exp‘𝐵) = 𝐴))
15	14	3impa 1107	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ∈ ran log) → ((log‘𝐴) = 𝐵 ↔ (exp‘𝐵) = 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934   ∖ cdif 3940  {csn 4623  ^◡ccnv 5668  ran crn 5670   ↾ cres 5671  –1-1-onto→wf1o 6535  ‘cfv 6536  ℂcc 11107  0cc0 11109  expce 16008  logclog 26438

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-xmul 13097  df-ioo 13331  df-ioc 13332  df-ico 13333  df-icc 13334  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-mod 13838  df-seq 13970  df-exp 14030  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-shft 15017  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-limsup 15418  df-clim 15435  df-rlim 15436  df-sum 15636  df-ef 16014  df-sin 16016  df-cos 16017  df-pi 16019  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-starv 17218  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-unif 17226  df-hom 17227  df-cco 17228  df-rest 17374  df-topn 17375  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-topgen 17395  df-pt 17396  df-prds 17399  df-xrs 17454  df-qtop 17459  df-imas 17460  df-xps 17462  df-mre 17536  df-mrc 17537  df-acs 17539  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-submnd 18711  df-mulg 18993  df-cntz 19230  df-cmn 19699  df-psmet 21227  df-xmet 21228  df-met 21229  df-bl 21230  df-mopn 21231  df-fbas 21232  df-fg 21233  df-cnfld 21236  df-top 22746  df-topon 22763  df-topsp 22785  df-bases 22799  df-cld 22873  df-ntr 22874  df-cls 22875  df-nei 22952  df-lp 22990  df-perf 22991  df-cn 23081  df-cnp 23082  df-haus 23169  df-tx 23416  df-hmeo 23609  df-fil 23700  df-fm 23792  df-flim 23793  df-flf 23794  df-xms 24176  df-ms 24177  df-tms 24178  df-cncf 24748  df-limc 25745  df-dv 25746  df-log 26440

This theorem is referenced by:  relogeftb  26468  logi  26471  logcj  26490  logcnlem4  26529  asinneg  26768