Theorem rrxunitopnfi 47569

Description: The base set of the standard topology on the space of n-dimensional Real numbers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Assertion

Ref	Expression
rrxunitopnfi	⊢ (𝑋 ∈ Fin → ∪ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) = (ℝ ↑m 𝑋))

Proof of Theorem rrxunitopnfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2764	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ Fin → (ℝ ↑m 𝑋) = (ℝ ↑m 𝑋))
2		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) = (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))
3	2	rrxtoponfi 47568	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ Fin → (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ (TopOn‘(ℝ ↑m 𝑋)))
4		toponuni 23276	. . 3 ⊢ ((TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ (TopOn‘(ℝ ↑m 𝑋)) → (ℝ ↑m 𝑋) = ∪ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))
5	3, 4	syl 18	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ Fin → (ℝ ↑m 𝑋) = ∪ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))
6	1, 5	eqtr2d 2799	1 ⊢ (𝑋 ∈ Fin → ∪ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) = (ℝ ↑m 𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∪ cuni 4870  ‘cfv 6564  (class class class)co 7449   ↑_m cmap 8883  Fincfn 9009  ℝcr 11236  TopOpenctopn 17633  TopOnctopon 23272  ℝ^crrx 25748

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781  ax-inf2 9677  ax-cnex 11293  ax-resscn 11294  ax-1cn 11295  ax-icn 11296  ax-addcl 11297  ax-addrcl 11298  ax-mulcl 11299  ax-mulrcl 11300  ax-mulcom 11301  ax-addass 11302  ax-mulass 11303  ax-distr 11304  ax-i2m1 11305  ax-1ne0 11306  ax-1rid 11307  ax-rnegex 11308  ax-rrecex 11309  ax-cnre 11310  ax-pre-lttri 11311  ax-pre-lttrn 11312  ax-pre-ltadd 11313  ax-pre-mulgt0 11314  ax-pre-sup 11315  ax-addf 11316  ax-mulf 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6328  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-isom 6573  df-riota 7406  df-ov 7452  df-oprab 7453  df-mpo 7454  df-of 7723  df-om 7910  df-1st 8033  df-2nd 8034  df-supp 8213  df-tpos 8279  df-frecs 8335  df-wrecs 8366  df-recs 8415  df-rdg 8454  df-1o 8512  df-er 8753  df-map 8885  df-ixp 8962  df-en 9010  df-dom 9011  df-sdom 9012  df-fin 9013  df-fsupp 9390  df-sup 9469  df-inf 9470  df-oi 9539  df-card 10055  df-pnf 11382  df-mnf 11383  df-xr 11384  df-ltxr 11385  df-le 11386  df-sub 11580  df-neg 11581  df-div 12012  df-nn 12374  df-2 12443  df-3 12444  df-4 12445  df-5 12446  df-6 12447  df-7 12448  df-8 12449  df-9 12450  df-n0 12645  df-z 12732  df-dec 12853  df-uz 13004  df-q 13114  df-rp 13159  df-xneg 13279  df-xadd 13280  df-xmul 13281  df-ico 13520  df-fz 13678  df-fzo 13827  df-seq 14183  df-exp 14243  df-hash 14514  df-cj 15307  df-re 15308  df-im 15309  df-sqrt 15443  df-abs 15444  df-clim 15696  df-sum 15895  df-struct 17366  df-sets 17383  df-slot 17401  df-ndx 17413  df-base 17429  df-ress 17450  df-plusg 17482  df-mulr 17483  df-starv 17484  df-sca 17485  df-vsca 17486  df-ip 17487  df-tset 17488  df-ple 17489  df-ds 17491  df-unif 17492  df-hom 17493  df-cco 17494  df-rest 17634  df-topn 17635  df-0g 17653  df-gsum 17654  df-topgen 17655  df-prds 17659  df-pws 17661  df-mgm 18857  df-sgrp 18949  df-mnd 18965  df-mhm 19019  df-submnd 19020  df-grp 19188  df-minusg 19189  df-sbg 19190  df-subg 19374  df-ghm 19469  df-cntz 19573  df-cmn 20038  df-abl 20039  df-mgp 20403  df-rng 20417  df-ur 20450  df-ring 20503  df-cring 20504  df-oppr 20609  df-dvdsr 20629  df-unit 20630  df-invr 20660  df-dvr 20673  df-rhm 20744  df-subrng 20840  df-subrg 20864  df-drng 21024  df-field 21025  df-abv 21108  df-staf 21138  df-srng 21139  df-lmod 21179  df-lss 21249  df-lmhm 21339  df-lvec 21420  df-sra 21490  df-rgmod 21491  df-psmet 21712  df-xmet 21713  df-met 21714  df-bl 21715  df-mopn 21716  df-cnfld 21721  df-refld 21955  df-phl 21976  df-dsmm 22082  df-frlm 22097  df-top 23256  df-topon 23273  df-topsp 23295  df-bases 23308  df-xms 24683  df-ms 24684  df-nm 24945  df-ngp 24946  df-tng 24947  df-nrg 24948  df-nlm 24949  df-clm 25428  df-cph 25533  df-tcph 25534  df-rrx 25750

This theorem is used by:  borelmbl  47913