Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  borelmbl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem borelmbl 45030
Description: All Borel subsets of the n-dimensional Real numbers are Lebesgue measurable. This is Proposition 115G (b) of [Fremlin1] p. 32. See also Definition 111G (d) of [Fremlin1] p. 13. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Jan-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
borelmbl.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
borelmbl.s 𝑆 = dom (volnβ€˜π‘‹)
borelmbl.b 𝐡 = (SalGenβ€˜(TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))
Assertion
Ref Expression
borelmbl (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† 𝑆)

Proof of Theorem borelmbl
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvexd 6877 . 2 (πœ‘ β†’ (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)) ∈ V)
2 borelmbl.b . 2 𝐡 = (SalGenβ€˜(TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))
3 borelmbl.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
4 borelmbl.s . . 3 𝑆 = dom (volnβ€˜π‘‹)
53, 4dmovnsal 45006 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
63adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹))) β†’ 𝑋 ∈ Fin)
7 simpr 485 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹))) β†’ 𝑦 ∈ (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))
86, 4, 7opnvonmbl 45028 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹))) β†’ 𝑦 ∈ 𝑆)
98ssd 43445 . 2 (πœ‘ β†’ (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)) βŠ† 𝑆)
10 eqid 2731 . . . 4 dom (volnβ€˜π‘‹) = dom (volnβ€˜π‘‹)
113, 10unidmvon 45011 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆͺ dom (volnβ€˜π‘‹) = (ℝ ↑m 𝑋))
124unieqi 4898 . . . 4 βˆͺ 𝑆 = βˆͺ dom (volnβ€˜π‘‹)
1312a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑆 = βˆͺ dom (volnβ€˜π‘‹))
14 rrxunitopnfi 44686 . . . 4 (𝑋 ∈ Fin β†’ βˆͺ (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)) = (ℝ ↑m 𝑋))
153, 14syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆͺ (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)) = (ℝ ↑m 𝑋))
1611, 13, 153eqtr4d 2781 . 2 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑆 = βˆͺ (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))
171, 2, 5, 9, 16salgenss 44730 1 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3459   βŠ† wss 3928  βˆͺ cuni 4885  dom cdm 5653  β€˜cfv 6516  (class class class)co 7377   ↑m cmap 8787  Fincfn 8905  β„cr 11074  TopOpenctopn 17332  β„^crrx 24799  SalGencsalgen 44706  volncvoln 44932
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5262  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-inf2 9601  ax-cc 10395  ax-ac2 10423  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153  ax-addf 11154  ax-mulf 11155
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4886  df-int 4928  df-iun 4976  df-iin 4977  df-disj 5091  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-tr 5243  df-id 5551  df-eprel 5557  df-po 5565  df-so 5566  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-pred 6273  df-ord 6340  df-on 6341  df-lim 6342  df-suc 6343  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-isom 6525  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-of 7637  df-om 7823  df-1st 7941  df-2nd 7942  df-supp 8113  df-tpos 8177  df-frecs 8232  df-wrecs 8263  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-2o 8433  df-oadd 8436  df-omul 8437  df-er 8670  df-map 8789  df-pm 8790  df-ixp 8858  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908  df-fin 8909  df-fsupp 9328  df-fi 9371  df-sup 9402  df-inf 9403  df-oi 9470  df-dju 9861  df-card 9899  df-acn 9902  df-ac 10076  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11411  df-neg 11412  df-div 11837  df-nn 12178  df-2 12240  df-3 12241  df-4 12242  df-5 12243  df-6 12244  df-7 12245  df-8 12246  df-9 12247  df-n0 12438  df-z 12524  df-dec 12643  df-uz 12788  df-q 12898  df-rp 12940  df-xneg 13057  df-xadd 13058  df-xmul 13059  df-ioo 13293  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fz 13450  df-fzo 13593  df-fl 13722  df-seq 13932  df-exp 13993  df-hash 14256  df-cj 15011  df-re 15012  df-im 15013  df-sqrt 15147  df-abs 15148  df-clim 15397  df-rlim 15398  df-sum 15598  df-prod 15815  df-struct 17045  df-sets 17062  df-slot 17080  df-ndx 17092  df-base 17110  df-ress 17139  df-plusg 17175  df-mulr 17176  df-starv 17177  df-sca 17178  df-vsca 17179  df-ip 17180  df-tset 17181  df-ple 17182  df-ds 17184  df-unif 17185  df-hom 17186  df-cco 17187  df-rest 17333  df-topn 17334  df-0g 17352  df-gsum 17353  df-topgen 17354  df-prds 17358  df-pws 17360  df-mgm 18526  df-sgrp 18575  df-mnd 18586  df-mhm 18630  df-submnd 18631  df-grp 18780  df-minusg 18781  df-sbg 18782  df-subg 18954  df-ghm 19035  df-cntz 19126  df-cmn 19593  df-abl 19594  df-mgp 19926  df-ur 19943  df-ring 19995  df-cring 19996  df-oppr 20078  df-dvdsr 20099  df-unit 20100  df-invr 20130  df-dvr 20141  df-rnghom 20177  df-drng 20242  df-field 20243  df-subrg 20283  df-abv 20347  df-staf 20375  df-srng 20376  df-lmod 20395  df-lss 20465  df-lmhm 20555  df-lvec 20636  df-sra 20707  df-rgmod 20708  df-psmet 20840  df-xmet 20841  df-met 20842  df-bl 20843  df-mopn 20844  df-cnfld 20849  df-refld 21061  df-phl 21082  df-dsmm 21190  df-frlm 21205  df-top 22295  df-topon 22312  df-topsp 22334  df-bases 22348  df-cmp 22790  df-xms 23725  df-ms 23726  df-nm 23990  df-ngp 23991  df-tng 23992  df-nrg 23993  df-nlm 23994  df-clm 24478  df-cph 24584  df-tcph 24585  df-rrx 24801  df-ovol 24880  df-vol 24881  df-salg 44703  df-salgen 44707  df-sumge0 44757  df-mea 44844  df-ome 44884  df-caragen 44886  df-ovoln 44931  df-voln 44933
This theorem is referenced by:  bormflebmf  45147
  Copyright terms: Public domain W3C validator