Theorem borelmbl 44174

Description: All Borel subsets of the n-dimensional Real numbers are Lebesgue measurable. This is Proposition 115G (b) of [Fremlin1] p. 32. See also Definition 111G (d) of [Fremlin1] p. 13. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
borelmbl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
borelmbl.s	⊢ 𝑆 = dom (voln‘𝑋)
borelmbl.b	⊢ 𝐵 = (SalGen‘(TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))

Assertion

Ref	Expression
borelmbl	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑆)

Proof of Theorem borelmbl

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvexd 6789	. 2 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ V)
2		borelmbl.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (SalGen‘(TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))
3		borelmbl.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
4		borelmbl.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = dom (voln‘𝑋)
5	3, 4	dmovnsal 44150	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
6	3	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))) → 𝑋 ∈ Fin)
7		simpr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))) → 𝑦 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))
8	6, 4, 7	opnvonmbl 44172	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))) → 𝑦 ∈ 𝑆)
9	8	ssd 42630	. 2 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ⊆ 𝑆)
10		eqid 2738	. . . 4 ⊢ dom (voln‘𝑋) = dom (voln‘𝑋)
11	3, 10	unidmvon 44155	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ dom (voln‘𝑋) = (ℝ ↑m 𝑋))
12	4	unieqi 4852	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑆 = ∪ dom (voln‘𝑋)
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑆 = ∪ dom (voln‘𝑋))
14		rrxunitopnfi 43833	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ Fin → ∪ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) = (ℝ ↑m 𝑋))
15	3, 14	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) = (ℝ ↑m 𝑋))
16	11, 13, 15	3eqtr4d 2788	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑆 = ∪ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))
17	1, 2, 5, 9, 16	salgenss 43875	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432   ⊆ wss 3887  ∪ cuni 4839  dom cdm 5589  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ↑_m cmap 8615  Fincfn 8733  ℝcr 10870  TopOpenctopn 17132  ℝ^crrx 24547  SalGencsalgen 43853  volncvoln 44076

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cc 10191  ax-ac2 10219  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-addf 10950  ax-mulf 10951

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-disj 5040  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-tpos 8042  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-oadd 8301  df-omul 8302  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-fi 9170  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-dju 9659  df-card 9697  df-acn 9700  df-ac 9872  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-ioo 13083  df-ico 13085  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-rlim 15198  df-sum 15398  df-prod 15616  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-hom 16986  df-cco 16987  df-rest 17133  df-topn 17134  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-topgen 17154  df-prds 17158  df-pws 17160  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-mhm 18430  df-submnd 18431  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-subg 18752  df-ghm 18832  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-cring 19786  df-oppr 19862  df-dvdsr 19883  df-unit 19884  df-invr 19914  df-dvr 19925  df-rnghom 19959  df-drng 19993  df-field 19994  df-subrg 20022  df-abv 20077  df-staf 20105  df-srng 20106  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-lmhm 20284  df-lvec 20365  df-sra 20434  df-rgmod 20435  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-cnfld 20598  df-refld 20810  df-phl 20831  df-dsmm 20939  df-frlm 20954  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-cmp 22538  df-xms 23473  df-ms 23474  df-nm 23738  df-ngp 23739  df-tng 23740  df-nrg 23741  df-nlm 23742  df-clm 24226  df-cph 24332  df-tcph 24333  df-rrx 24549  df-ovol 24628  df-vol 24629  df-salg 43850  df-salgen 43854  df-sumge0 43901  df-mea 43988  df-ome 44028  df-caragen 44030  df-ovoln 44075  df-voln 44077

This theorem is referenced by:  bormflebmf  44289