Theorem borelmbl 46656

Description: All Borel subsets of the n-dimensional Real numbers are Lebesgue measurable. This is Proposition 115G (b) of [Fremlin1] p. 32. See also Definition 111G (d) of [Fremlin1] p. 13. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
borelmbl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
borelmbl.s	⊢ 𝑆 = dom (voln‘𝑋)
borelmbl.b	⊢ 𝐵 = (SalGen‘(TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))

Assertion

Ref	Expression
borelmbl	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑆)

Proof of Theorem borelmbl

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvexd 6920	. 2 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ V)
2		borelmbl.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (SalGen‘(TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))
3		borelmbl.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
4		borelmbl.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = dom (voln‘𝑋)
5	3, 4	dmovnsal 46632	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
6	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))) → 𝑋 ∈ Fin)
7		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))) → 𝑦 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))
8	6, 4, 7	opnvonmbl 46654	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))) → 𝑦 ∈ 𝑆)
9	8	ssd 45090	. 2 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ⊆ 𝑆)
10		eqid 2736	. . . 4 ⊢ dom (voln‘𝑋) = dom (voln‘𝑋)
11	3, 10	unidmvon 46637	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ dom (voln‘𝑋) = (ℝ ↑m 𝑋))
12	4	unieqi 4918	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑆 = ∪ dom (voln‘𝑋)
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑆 = ∪ dom (voln‘𝑋))
14		rrxunitopnfi 46312	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ Fin → ∪ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) = (ℝ ↑m 𝑋))
15	3, 14	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) = (ℝ ↑m 𝑋))
16	11, 13, 15	3eqtr4d 2786	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑆 = ∪ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))
17	1, 2, 5, 9, 16	salgenss 46356	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  Vcvv 3479   ⊆ wss 3950  ∪ cuni 4906  dom cdm 5684  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432   ↑_m cmap 8867  Fincfn 8986  ℝcr 11155  TopOpenctopn 17467  ℝ^crrx 25418  SalGencsalgen 46332  volncvoln 46558

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cc 10476  ax-ac2 10504  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234  ax-addf 11235  ax-mulf 11236

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-disj 5110  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-tpos 8252  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-oadd 8511  df-omul 8512  df-er 8746  df-map 8869  df-pm 8870  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-fi 9452  df-sup 9483  df-inf 9484  df-oi 9551  df-dju 9942  df-card 9980  df-acn 9983  df-ac 10157  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-q 12992  df-rp 13036  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ioo 13392  df-ico 13394  df-icc 13395  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-fl 13833  df-seq 14044  df-exp 14104  df-hash 14371  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-clim 15525  df-rlim 15526  df-sum 15724  df-prod 15941  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-prds 17493  df-pws 17495  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-mhm 18797  df-submnd 18798  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-sbg 18957  df-subg 19142  df-ghm 19232  df-cntz 19336  df-cmn 19801  df-abl 19802  df-mgp 20139  df-rng 20151  df-ur 20180  df-ring 20233  df-cring 20234  df-oppr 20335  df-dvdsr 20358  df-unit 20359  df-invr 20389  df-dvr 20402  df-rhm 20473  df-subrng 20547  df-subrg 20571  df-drng 20732  df-field 20733  df-abv 20811  df-staf 20841  df-srng 20842  df-lmod 20861  df-lss 20931  df-lmhm 21022  df-lvec 21103  df-sra 21173  df-rgmod 21174  df-psmet 21357  df-xmet 21358  df-met 21359  df-bl 21360  df-mopn 21361  df-cnfld 21366  df-refld 21624  df-phl 21645  df-dsmm 21753  df-frlm 21768  df-top 22901  df-topon 22918  df-topsp 22940  df-bases 22954  df-cmp 23396  df-xms 24331  df-ms 24332  df-nm 24596  df-ngp 24597  df-tng 24598  df-nrg 24599  df-nlm 24600  df-clm 25097  df-cph 25203  df-tcph 25204  df-rrx 25420  df-ovol 25500  df-vol 25501  df-salg 46329  df-salgen 46333  df-sumge0 46383  df-mea 46470  df-ome 46510  df-caragen 46512  df-ovoln 46557  df-voln 46559

This theorem is referenced by:  bormflebmf  46773