MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  picn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem picn 24974
Description: π is a complex number. (Contributed by David A. Wheeler, 6-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
picn π ∈ ℂ

Proof of Theorem picn
StepHypRef Expression
1 pire 24973 . 2 π ∈ ℝ
21recni 10644 1 π ∈ ℂ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2105  cc 10524  πcpi 15410
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450  ax-inf2 9093  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-iin 4915  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-se 5509  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-supp 7822  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-2o 8094  df-oadd 8097  df-er 8279  df-map 8398  df-pm 8399  df-ixp 8451  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-fsupp 8823  df-fi 8864  df-sup 8895  df-inf 8896  df-oi 8963  df-card 9357  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-4 11691  df-5 11692  df-6 11693  df-7 11694  df-8 11695  df-9 11696  df-n0 11887  df-z 11971  df-dec 12088  df-uz 12233  df-q 12338  df-rp 12380  df-xneg 12497  df-xadd 12498  df-xmul 12499  df-ioo 12732  df-ioc 12733  df-ico 12734  df-icc 12735  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-fl 13152  df-seq 13360  df-exp 13420  df-fac 13624  df-bc 13653  df-hash 13681  df-shft 14416  df-cj 14448  df-re 14449  df-im 14450  df-sqrt 14584  df-abs 14585  df-limsup 14818  df-clim 14835  df-rlim 14836  df-sum 15033  df-ef 15411  df-sin 15413  df-cos 15414  df-pi 15416  df-struct 16475  df-ndx 16476  df-slot 16477  df-base 16479  df-sets 16480  df-ress 16481  df-plusg 16568  df-mulr 16569  df-starv 16570  df-sca 16571  df-vsca 16572  df-ip 16573  df-tset 16574  df-ple 16575  df-ds 16577  df-unif 16578  df-hom 16579  df-cco 16580  df-rest 16686  df-topn 16687  df-0g 16705  df-gsum 16706  df-topgen 16707  df-pt 16708  df-prds 16711  df-xrs 16765  df-qtop 16770  df-imas 16771  df-xps 16773  df-mre 16847  df-mrc 16848  df-acs 16850  df-mgm 17842  df-sgrp 17891  df-mnd 17902  df-submnd 17947  df-mulg 18165  df-cntz 18387  df-cmn 18839  df-psmet 20467  df-xmet 20468  df-met 20469  df-bl 20470  df-mopn 20471  df-fbas 20472  df-fg 20473  df-cnfld 20476  df-top 21432  df-topon 21449  df-topsp 21471  df-bases 21484  df-cld 21557  df-ntr 21558  df-cls 21559  df-nei 21636  df-lp 21674  df-perf 21675  df-cn 21765  df-cnp 21766  df-haus 21853  df-tx 22100  df-hmeo 22293  df-fil 22384  df-fm 22476  df-flim 22477  df-flf 22478  df-xms 22859  df-ms 22860  df-tms 22861  df-cncf 23415  df-limc 24393  df-dv 24394
This theorem is referenced by:  negpicn  24977  pidiv2halves  24982  efhalfpi  24986  cospi  24987  efipi  24988  sin2pi  24990  cos2pi  24991  ef2pi  24992  ef2kpi  24993  efper  24994  sinperlem  24995  sin2kpi  24998  cos2kpi  24999  sin2pim  25000  cos2pim  25001  sinmpi  25002  cosmpi  25003  sinppi  25004  cosppi  25005  efimpi  25006  ptolemy  25011  sinq12gt0  25022  sinq34lt0t  25024  cosq14gt0  25025  cosq14ge0  25026  sincosq1eq  25027  sincos6thpi  25030  sincos3rdpi  25031  abssinper  25035  sinkpi  25036  coskpi  25037  sineq0  25038  coseq1  25039  efeq1  25040  cosne0  25041  resinf1o  25047  eff1o  25060  logneg  25098  logm1  25099  eflogeq  25112  argimgt0  25122  logneg2  25125  logf1o2  25160  cxpsqrt  25213  abscxpbnd  25261  root1eq1  25263  cxpeq  25265  ang180lem1  25314  ang180lem2  25315  ang180lem3  25316  ang180lem4  25317  acosf  25379  acosneg  25392  acoscos  25398  acos1  25400  sinacos  25410  atanlogsublem  25420  atanlogsub  25421  atantan  25428  atanbndlem  25430  basellem1  25586  efmul2picn  31767  itgexpif  31777  vtscl  31809  vtsprod  31810  circlemeth  31811  logi  32864  cos2h  34765  tan2h  34766  areacirc  34869  proot1ex  39681  coseq0  42025  coskpi2  42027  cosnegpi  42028  sinaover2ne0  42029  cosknegpi  42030  itgsinexplem1  42119  wallispilem4  42234  wallispi  42236  stirlinglem15  42254  dirker2re  42258  dirkerdenne0  42259  dirkerper  42262  dirkertrigeqlem1  42264  dirkertrigeqlem2  42265  dirkertrigeqlem3  42266  dirkertrigeq  42267  dirkeritg  42268  dirkercncflem1  42269  dirkercncflem2  42270  fourierdlem62  42334  fourierdlem66  42338  fourierdlem94  42366  fourierdlem95  42367  fourierdlem101  42373  fourierdlem102  42374  fourierdlem103  42375  fourierdlem111  42383  fourierdlem112  42384  fourierdlem113  42385  fourierdlem114  42386  sqwvfoura  42394  sqwvfourb  42395  fourierswlem  42396  fouriersw  42397
  Copyright terms: Public domain W3C validator