Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  aks6d1c1rh Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem aks6d1c1rh 42495
Description: Claim 1 of AKS primality proof with collapsed definitions since their ease of use is no longer needed. (Contributed by metakunt, 1-May-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
aks6d1c1rh.1 ∼ = {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ (𝑒 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑦)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦)))}
aks6d1c1rh.2 𝑃 = (chr‘𝐾)
aks6d1c1rh.3 (𝜑 → 𝐾 ∈ Field)
aks6d1c1rh.4 (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
aks6d1c1rh.5 (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
aks6d1c1rh.6 (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
aks6d1c1rh.7 (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)
aks6d1c1rh.8 (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
aks6d1c1rh.9 (𝜑 → 𝐹:(0...𝐴)⟶ℕ0)
aks6d1c1rh.10 𝐺 = (𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴)) ↦ ((mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) Σg (𝑖 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑔‘𝑖)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))))
aks6d1c1rh.11 (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
aks6d1c1rh.12 (𝜑 → 𝑈 ∈ ℕ0)
aks6d1c1rh.13 (𝜑 → 𝐿 ∈ ℕ0)
aks6d1c1rh.14 𝐸 = ((𝑃↑𝑈) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝐿))
aks6d1c1rh.15 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (1...𝐴)𝑁 ∼ ((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑎))))
aks6d1c1rh.16 (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)) ∈ (𝐾 RingIso 𝐾))
Assertion
Ref Expression
aks6d1c1rh (𝜑 → 𝐸 ∼ (𝐺‘𝐹))
Distinct variable groups:   ∼ ,𝑎   𝑥,𝑁   𝑃,𝑒,𝑓   𝑥,𝑅   𝑒,𝑁,𝑓   𝜑,𝑎   𝑁,𝑎   𝑒,𝐿,𝑓   𝑅,𝑒,𝑓,𝑦   𝑒,𝐸,𝑓   𝐴,𝑔,𝑖   𝑥,𝐴   𝐴,𝑎   𝑔,𝐹,𝑖   𝑥,𝐾   𝑔,𝐾,𝑖   𝐾,𝑎   𝑥,𝑃   𝑒,𝐾,𝑓,𝑦   𝜑,𝑥   𝑈,𝑒,𝑓   𝜑,𝑔,𝑖   𝑒,𝐹,𝑓
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑒,𝑓)   𝐴(𝑦,𝑒,𝑓)   𝑃(𝑦,𝑔,𝑖,𝑎)   ∼ (𝑥,𝑦,𝑒,𝑓,𝑔,𝑖)   𝑅(𝑔,𝑖,𝑎)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑔,𝑖,𝑎)   𝐸(𝑥,𝑦,𝑔,𝑖,𝑎)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑎)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑒,𝑓,𝑔,𝑖,𝑎)   𝐿(𝑥,𝑦,𝑔,𝑖,𝑎)   𝑁(𝑦,𝑔,𝑖)
Proof of Theorem aks6d1c1rh
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 aks6d1c1rh.1 . . 3 ∼ = {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ (𝑒 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑦)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦)))}
2 nfv 1916 . . . . . 6 Ⅎ𝑧(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑦)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦))
3 nfv 1916 . . . . . 6 Ⅎ𝑦(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑧)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑧))
4 fveq2 6842 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑧 → (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑦) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑧))
54oveq2d 7384 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑧 → (𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑦)) = (𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑧)))
6 oveq2 7376 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑧 → (𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦) = (𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑧))
76fveq2d 6846 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑧 → (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑧)))
85, 7eqeq12d 2753 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑧 → ((𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑦)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦)) ↔ (𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑧)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑧))))
92, 3, 8cbvralw 3280 . . . . 5 (∀𝑦 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑦)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦)) ↔ ∀𝑧 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑧)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑧)))
1093anbi3i 1160 . . . 4 ((𝑒 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑦)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦))) ↔ (𝑒 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ∧ ∀𝑧 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑧)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑧))))
1110opabbii 5167 . . 3 {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ (𝑒 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑦)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦)))} = {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ (𝑒 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ∧ ∀𝑧 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑧)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑧)))}
121, 11eqtri 2760 . 2 ∼ = {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ (𝑒 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ∧ ∀𝑧 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑧)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑧)))}
13 eqid 2737 . 2 (Poly1‘𝐾) = (Poly1‘𝐾)
14 eqid 2737 . 2 (Base‘(Poly1‘𝐾)) = (Base‘(Poly1‘𝐾))
15 eqid 2737 . 2 (var1‘𝐾) = (var1‘𝐾)
16 eqid 2737 . 2 (mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) = (mulGrp‘(Poly1‘𝐾))
17 eqid 2737 . 2 (mulGrp‘𝐾) = (mulGrp‘𝐾)
18 eqid 2737 . 2 (.g‘(mulGrp‘𝐾)) = (.g‘(mulGrp‘𝐾))
19 eqid 2737 . 2 (algSc‘(Poly1‘𝐾)) = (algSc‘(Poly1‘𝐾))
20 eqid 2737 . 2 (.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾))) = (.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))
21 aks6d1c1rh.2 . 2 𝑃 = (chr‘𝐾)
22 eqid 2737 . 2 (eval1‘𝐾) = (eval1‘𝐾)
23 eqid 2737 . 2 (+g‘(Poly1‘𝐾)) = (+g‘(Poly1‘𝐾))
24 aks6d1c1rh.3 . 2 (𝜑 → 𝐾 ∈ Field)
25 aks6d1c1rh.4 . 2 (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
26 aks6d1c1rh.5 . 2 (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
27 aks6d1c1rh.6 . 2 (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
28 aks6d1c1rh.7 . 2 (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)
29 aks6d1c1rh.8 . 2 (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
30 aks6d1c1rh.9 . 2 (𝜑 → 𝐹:(0...𝐴)⟶ℕ0)
31 aks6d1c1rh.10 . 2 𝐺 = (𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴)) ↦ ((mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) Σg (𝑖 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑔‘𝑖)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))))
32 aks6d1c1rh.11 . 2 (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
33 aks6d1c1rh.12 . 2 (𝜑 → 𝑈 ∈ ℕ0)
34 aks6d1c1rh.13 . 2 (𝜑 → 𝐿 ∈ ℕ0)
35 aks6d1c1rh.14 . 2 𝐸 = ((𝑃↑𝑈) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝐿))
36 aks6d1c1rh.15 . 2 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (1...𝐴)𝑁 ∼ ((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑎))))
37 aks6d1c1rh.16 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)) ∈ (𝐾 RingIso 𝐾))
3812, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37aks6d1c1 42486 1 (𝜑 → 𝐸 ∼ (𝐺‘𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052   class class class wbr 5100  {copab 5162   ↦ cmpt 5181  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ↑m cmap 8775  0cc0 11038  1c1 11039   · cmul 11043   / cdiv 11806  ℕcn 12157  ℕ0cn0 12413  ...cfz 13435  ↑cexp 13996   ∥ cdvds 16191   gcd cgcd 16433  ℙcprime 16610  Basecbs 17148  +gcplusg 17189   Σg cgsu 17372  .gcmg 19009  mulGrpcmgp 20087   RingIso crs 20418  Fieldcfield 20675  ℤRHomczrh 21466  chrcchr 21468  algSccascl 21819  var1cv1 22128  Poly1cpl1 22129  eval1ce1 22270   PrimRoots cprimroots 42461
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117  ax-mulf 11118
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-ofr 7633  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-tpos 8178  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-oadd 8411  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-sup 9357  df-inf 9358  df-oi 9427  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-xnn0 12487  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-rp 12918  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-fl 13724  df-mod 13802  df-seq 13937  df-exp 13997  df-fac 14209  df-bc 14238  df-hash 14266  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-dvds 16192  df-gcd 16434  df-prm 16611  df-phi 16705  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-starv 17204  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-unif 17212  df-hom 17213  df-cco 17214  df-0g 17373  df-gsum 17374  df-prds 17379  df-pws 17381  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-mhm 18720  df-submnd 18721  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-mulg 19010  df-subg 19065  df-ghm 19154  df-cntz 19258  df-od 19469  df-cmn 19723  df-abl 19724  df-mgp 20088  df-rng 20100  df-ur 20129  df-srg 20134  df-ring 20182  df-cring 20183  df-oppr 20285  df-dvdsr 20305  df-unit 20306  df-invr 20336  df-dvr 20349  df-rhm 20420  df-rim 20421  df-subrng 20491  df-subrg 20515  df-drng 20676  df-field 20677  df-lmod 20825  df-lss 20895  df-lsp 20935  df-cnfld 21322  df-zring 21414  df-zrh 21470  df-chr 21472  df-assa 21820  df-asp 21821  df-ascl 21822  df-psr 21877  df-mvr 21878  df-mpl 21879  df-opsr 21881  df-evls 22041  df-evl 22042  df-psr1 22132  df-vr1 22133  df-ply1 22134  df-coe1 22135  df-evl1 22272  df-primroots 42462
This theorem is referenced by:  aks6d1c2lem3  42496  aks6d1c2lem4  42497  aks6d1c6lem2  42541
  Copyright terms: Public domain W3C validator