Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  aks6d1c1rh Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem aks6d1c1rh 42742
Description: Claim 1 of AKS primality proof with collapsed definitions since their ease of use is no longer needed. (Contributed by metakunt, 1-May-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
aks6d1c1rh.1 ∼ = {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ (𝑒 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑦)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦)))}
aks6d1c1rh.2 𝑃 = (chr‘𝐾)
aks6d1c1rh.3 (𝜑 → 𝐾 ∈ Field)
aks6d1c1rh.4 (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
aks6d1c1rh.5 (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
aks6d1c1rh.6 (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
aks6d1c1rh.7 (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)
aks6d1c1rh.8 (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
aks6d1c1rh.9 (𝜑 → 𝐹:(0...𝐴)⟶ℕ0)
aks6d1c1rh.10 𝐺 = (𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴)) ↦ ((mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) Σg (𝑖 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑔‘𝑖)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))))
aks6d1c1rh.11 (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
aks6d1c1rh.12 (𝜑 → 𝑈 ∈ ℕ0)
aks6d1c1rh.13 (𝜑 → 𝐿 ∈ ℕ0)
aks6d1c1rh.14 𝐸 = ((𝑃↑𝑈) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝐿))
aks6d1c1rh.15 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (1...𝐴)𝑁 ∼ ((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑎))))
aks6d1c1rh.16 (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)) ∈ (𝐾 RingIso 𝐾))
Assertion
Ref Expression
aks6d1c1rh (𝜑 → 𝐸 ∼ (𝐺‘𝐹))
Distinct variable groups:   ∼ ,𝑎   𝑥,𝑁   𝑃,𝑒,𝑓   𝑥,𝑅   𝑒,𝑁,𝑓   𝜑,𝑎   𝑁,𝑎   𝑒,𝐿,𝑓   𝑅,𝑒,𝑓,𝑦   𝑒,𝐸,𝑓   𝐴,𝑔,𝑖   𝑥,𝐴   𝐴,𝑎   𝑔,𝐹,𝑖   𝑥,𝐾   𝑔,𝐾,𝑖   𝐾,𝑎   𝑥,𝑃   𝑒,𝐾,𝑓,𝑦   𝜑,𝑥   𝑈,𝑒,𝑓   𝜑,𝑔,𝑖   𝑒,𝐹,𝑓
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑒,𝑓)   𝐴(𝑦,𝑒,𝑓)   𝑃(𝑦,𝑔,𝑖,𝑎)   ∼ (𝑥,𝑦,𝑒,𝑓,𝑔,𝑖)   𝑅(𝑔,𝑖,𝑎)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑔,𝑖,𝑎)   𝐸(𝑥,𝑦,𝑔,𝑖,𝑎)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑎)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑒,𝑓,𝑔,𝑖,𝑎)   𝐿(𝑥,𝑦,𝑔,𝑖,𝑎)   𝑁(𝑦,𝑔,𝑖)
Proof of Theorem aks6d1c1rh
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 aks6d1c1rh.1 . . 3 ∼ = {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ (𝑒 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑦)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦)))}
2 nfv 1934 . . . . . 6 Ⅎ𝑧(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑦)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦))
3 nfv 1934 . . . . . 6 Ⅎ𝑦(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑧)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑧))
4 fveq2 6867 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑧 → (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑦) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑧))
54oveq2d 7412 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑧 → (𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑦)) = (𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑧)))
6 oveq2 7404 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑧 → (𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦) = (𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑧))
76fveq2d 6871 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑧 → (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑧)))
85, 7eqeq12d 2778 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑧 → ((𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑦)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦)) ↔ (𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑧)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑧))))
92, 3, 8cbvralw 3304 . . . . 5 (∀𝑦 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑦)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦)) ↔ ∀𝑧 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑧)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑧)))
1093anbi3i 1172 . . . 4 ((𝑒 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑦)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦))) ↔ (𝑒 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ∧ ∀𝑧 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑧)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑧))))
1110opabbii 5167 . . 3 {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ (𝑒 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑦)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦)))} = {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ (𝑒 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ∧ ∀𝑧 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑧)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑧)))}
121, 11eqtri 2785 . 2 ∼ = {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ (𝑒 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ∧ ∀𝑧 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑧)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑧)))}
13 eqid 2762 . 2 (Poly1‘𝐾) = (Poly1‘𝐾)
14 eqid 2762 . 2 (Base‘(Poly1‘𝐾)) = (Base‘(Poly1‘𝐾))
15 eqid 2762 . 2 (var1‘𝐾) = (var1‘𝐾)
16 eqid 2762 . 2 (mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) = (mulGrp‘(Poly1‘𝐾))
17 eqid 2762 . 2 (mulGrp‘𝐾) = (mulGrp‘𝐾)
18 eqid 2762 . 2 (.g‘(mulGrp‘𝐾)) = (.g‘(mulGrp‘𝐾))
19 eqid 2762 . 2 (algSc‘(Poly1‘𝐾)) = (algSc‘(Poly1‘𝐾))
20 eqid 2762 . 2 (.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾))) = (.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))
21 aks6d1c1rh.2 . 2 𝑃 = (chr‘𝐾)
22 eqid 2762 . 2 (eval1‘𝐾) = (eval1‘𝐾)
23 eqid 2762 . 2 (+g‘(Poly1‘𝐾)) = (+g‘(Poly1‘𝐾))
24 aks6d1c1rh.3 . 2 (𝜑 → 𝐾 ∈ Field)
25 aks6d1c1rh.4 . 2 (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
26 aks6d1c1rh.5 . 2 (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
27 aks6d1c1rh.6 . 2 (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
28 aks6d1c1rh.7 . 2 (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)
29 aks6d1c1rh.8 . 2 (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
30 aks6d1c1rh.9 . 2 (𝜑 → 𝐹:(0...𝐴)⟶ℕ0)
31 aks6d1c1rh.10 . 2 𝐺 = (𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴)) ↦ ((mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) Σg (𝑖 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑔‘𝑖)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))))
32 aks6d1c1rh.11 . 2 (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
33 aks6d1c1rh.12 . 2 (𝜑 → 𝑈 ∈ ℕ0)
34 aks6d1c1rh.13 . 2 (𝜑 → 𝐿 ∈ ℕ0)
35 aks6d1c1rh.14 . 2 𝐸 = ((𝑃↑𝑈) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝐿))
36 aks6d1c1rh.15 . 2 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (1...𝐴)𝑁 ∼ ((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑎))))
37 aks6d1c1rh.16 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)) ∈ (𝐾 RingIso 𝐾))
3812, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37aks6d1c1 42733 1 (𝜑 → 𝐸 ∼ (𝐺‘𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1098   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  ∀wral 3076   class class class wbr 5100  {copab 5162   ↦ cmpt 5181  ⟶wf 6517  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396   ↑m cmap 8808  0cc0 11073  1c1 11074   · cmul 11078   / cdiv 11844  ℕcn 12210  ℕ0cn0 12481  ...cfz 13512  ↑cexp 14074   ∥ cdvds 16286   gcd cgcd 16528  ℙcprime 16705  Basecbs 17245  +gcplusg 17286   Σg cgsu 17469  .gcmg 19109  mulGrpcmgp 20186   RingIso crs 20519  Fieldcfield 20780  ℤRHomczrh 21551  chrcchr 21553  algSccascl 21904  var1cv1 22238  Poly1cpl1 22239  eval1ce1 22377   PrimRoots cprimroots 42708
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151  ax-addf 11152  ax-mulf 11153
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-iin 4952  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-of 7660  df-ofr 7661  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8141  df-tpos 8206  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-oadd 8441  df-er 8678  df-map 8810  df-pm 8811  df-ixp 8880  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fsupp 9308  df-sup 9388  df-inf 9389  df-oi 9458  df-dju 9859  df-card 9897  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12482  df-xnn0 12555  df-z 12569  df-dec 12689  df-uz 12840  df-rp 12994  df-fz 13513  df-fzo 13660  df-fl 13802  df-mod 13880  df-seq 14015  df-exp 14075  df-fac 14287  df-bc 14316  df-hash 14344  df-cj 15126  df-re 15127  df-im 15128  df-sqrt 15262  df-abs 15263  df-dvds 16287  df-gcd 16529  df-prm 16706  df-phi 16801  df-struct 17183  df-sets 17200  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-ress 17267  df-plusg 17299  df-mulr 17300  df-starv 17301  df-sca 17302  df-vsca 17303  df-ip 17304  df-tset 17305  df-ple 17306  df-ds 17308  df-unif 17309  df-hom 17310  df-cco 17311  df-0g 17470  df-gsum 17471  df-prds 17476  df-pws 17478  df-mre 17614  df-mrc 17615  df-acs 17617  df-mgm 18674  df-sgrp 18753  df-mnd 18769  df-mhm 18817  df-submnd 18818  df-grp 18978  df-minusg 18979  df-sbg 18980  df-mulg 19110  df-subg 19165  df-ghm 19254  df-cntz 19357  df-od 19568  df-cmn 19822  df-abl 19823  df-mgp 20187  df-rng 20199  df-ur 20232  df-srg 20237  df-ring 20285  df-cring 20286  df-oppr 20386  df-dvdsr 20406  df-unit 20407  df-invr 20437  df-dvr 20450  df-rhm 20521  df-rim 20522  df-subrng 20596  df-subrg 20620  df-drng 20781  df-field 20782  df-lmod 20929  df-lss 20999  df-lsp 21039  df-cnfld 21425  df-zring 21499  df-zrh 21555  df-chr 21557  df-assa 21905  df-asp 21906  df-ascl 21907  df-psr 21961  df-mvr 21962  df-mpl 21963  df-opsr 21965  df-evls 22127  df-evl 22128  df-psr1 22242  df-vr1 22243  df-ply1 22244  df-coe1 22245  df-evl1 22379  df-primroots 42709
This theorem is referenced by:  aks6d1c2lem3  42743  aks6d1c2lem4  42744  aks6d1c6lem2  42788
  Copyright terms: Public domain W3C validator