Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  aks6d1c1rh Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem aks6d1c1rh 42564
Description: Claim 1 of AKS primality proof with collapsed definitions since their ease of use is no longer needed. (Contributed by metakunt, 1-May-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
aks6d1c1rh.1 ∼ = {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ (𝑒 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑦)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦)))}
aks6d1c1rh.2 𝑃 = (chr‘𝐾)
aks6d1c1rh.3 (𝜑 → 𝐾 ∈ Field)
aks6d1c1rh.4 (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
aks6d1c1rh.5 (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
aks6d1c1rh.6 (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
aks6d1c1rh.7 (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)
aks6d1c1rh.8 (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
aks6d1c1rh.9 (𝜑 → 𝐹:(0...𝐴)⟶ℕ0)
aks6d1c1rh.10 𝐺 = (𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴)) ↦ ((mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) Σg (𝑖 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑔‘𝑖)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))))
aks6d1c1rh.11 (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
aks6d1c1rh.12 (𝜑 → 𝑈 ∈ ℕ0)
aks6d1c1rh.13 (𝜑 → 𝐿 ∈ ℕ0)
aks6d1c1rh.14 𝐸 = ((𝑃↑𝑈) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝐿))
aks6d1c1rh.15 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (1...𝐴)𝑁 ∼ ((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑎))))
aks6d1c1rh.16 (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)) ∈ (𝐾 RingIso 𝐾))
Assertion
Ref Expression
aks6d1c1rh (𝜑 → 𝐸 ∼ (𝐺‘𝐹))
Distinct variable groups:   ∼ ,𝑎   𝑥,𝑁   𝑃,𝑒,𝑓   𝑥,𝑅   𝑒,𝑁,𝑓   𝜑,𝑎   𝑁,𝑎   𝑒,𝐿,𝑓   𝑅,𝑒,𝑓,𝑦   𝑒,𝐸,𝑓   𝐴,𝑔,𝑖   𝑥,𝐴   𝐴,𝑎   𝑔,𝐹,𝑖   𝑥,𝐾   𝑔,𝐾,𝑖   𝐾,𝑎   𝑥,𝑃   𝑒,𝐾,𝑓,𝑦   𝜑,𝑥   𝑈,𝑒,𝑓   𝜑,𝑔,𝑖   𝑒,𝐹,𝑓
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑒,𝑓)   𝐴(𝑦,𝑒,𝑓)   𝑃(𝑦,𝑔,𝑖,𝑎)   ∼ (𝑥,𝑦,𝑒,𝑓,𝑔,𝑖)   𝑅(𝑔,𝑖,𝑎)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑔,𝑖,𝑎)   𝐸(𝑥,𝑦,𝑔,𝑖,𝑎)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑎)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑒,𝑓,𝑔,𝑖,𝑎)   𝐿(𝑥,𝑦,𝑔,𝑖,𝑎)   𝑁(𝑦,𝑔,𝑖)
Proof of Theorem aks6d1c1rh
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 aks6d1c1rh.1 . . 3 ∼ = {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ (𝑒 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑦)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦)))}
2 nfv 1916 . . . . . 6 Ⅎ𝑧(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑦)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦))
3 nfv 1916 . . . . . 6 Ⅎ𝑦(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑧)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑧))
4 fveq2 6840 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑧 → (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑦) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑧))
54oveq2d 7383 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑧 → (𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑦)) = (𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑧)))
6 oveq2 7375 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑧 → (𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦) = (𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑧))
76fveq2d 6844 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑧 → (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑧)))
85, 7eqeq12d 2752 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑧 → ((𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑦)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦)) ↔ (𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑧)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑧))))
92, 3, 8cbvralw 3279 . . . . 5 (∀𝑦 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑦)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦)) ↔ ∀𝑧 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑧)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑧)))
1093anbi3i 1160 . . . 4 ((𝑒 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑦)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦))) ↔ (𝑒 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ∧ ∀𝑧 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑧)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑧))))
1110opabbii 5152 . . 3 {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ (𝑒 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑦)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦)))} = {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ (𝑒 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ∧ ∀𝑧 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑧)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑧)))}
121, 11eqtri 2759 . 2 ∼ = {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ (𝑒 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ∧ ∀𝑧 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑧)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑧)))}
13 eqid 2736 . 2 (Poly1‘𝐾) = (Poly1‘𝐾)
14 eqid 2736 . 2 (Base‘(Poly1‘𝐾)) = (Base‘(Poly1‘𝐾))
15 eqid 2736 . 2 (var1‘𝐾) = (var1‘𝐾)
16 eqid 2736 . 2 (mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) = (mulGrp‘(Poly1‘𝐾))
17 eqid 2736 . 2 (mulGrp‘𝐾) = (mulGrp‘𝐾)
18 eqid 2736 . 2 (.g‘(mulGrp‘𝐾)) = (.g‘(mulGrp‘𝐾))
19 eqid 2736 . 2 (algSc‘(Poly1‘𝐾)) = (algSc‘(Poly1‘𝐾))
20 eqid 2736 . 2 (.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾))) = (.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))
21 aks6d1c1rh.2 . 2 𝑃 = (chr‘𝐾)
22 eqid 2736 . 2 (eval1‘𝐾) = (eval1‘𝐾)
23 eqid 2736 . 2 (+g‘(Poly1‘𝐾)) = (+g‘(Poly1‘𝐾))
24 aks6d1c1rh.3 . 2 (𝜑 → 𝐾 ∈ Field)
25 aks6d1c1rh.4 . 2 (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
26 aks6d1c1rh.5 . 2 (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
27 aks6d1c1rh.6 . 2 (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
28 aks6d1c1rh.7 . 2 (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)
29 aks6d1c1rh.8 . 2 (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
30 aks6d1c1rh.9 . 2 (𝜑 → 𝐹:(0...𝐴)⟶ℕ0)
31 aks6d1c1rh.10 . 2 𝐺 = (𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴)) ↦ ((mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) Σg (𝑖 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑔‘𝑖)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))))
32 aks6d1c1rh.11 . 2 (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
33 aks6d1c1rh.12 . 2 (𝜑 → 𝑈 ∈ ℕ0)
34 aks6d1c1rh.13 . 2 (𝜑 → 𝐿 ∈ ℕ0)
35 aks6d1c1rh.14 . 2 𝐸 = ((𝑃↑𝑈) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝐿))
36 aks6d1c1rh.15 . 2 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (1...𝐴)𝑁 ∼ ((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑎))))
37 aks6d1c1rh.16 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)) ∈ (𝐾 RingIso 𝐾))
3812, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37aks6d1c1 42555 1 (𝜑 → 𝐸 ∼ (𝐺‘𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051   class class class wbr 5085  {copab 5147   ↦ cmpt 5166  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   ↑m cmap 8773  0cc0 11038  1c1 11039   · cmul 11043   / cdiv 11807  ℕcn 12174  ℕ0cn0 12437  ...cfz 13461  ↑cexp 14023   ∥ cdvds 16221   gcd cgcd 16463  ℙcprime 16640  Basecbs 17179  +gcplusg 17220   Σg cgsu 17403  .gcmg 19043  mulGrpcmgp 20121   RingIso crs 20450  Fieldcfield 20707  ℤRHomczrh 21479  chrcchr 21481  algSccascl 21832  var1cv1 22139  Poly1cpl1 22140  eval1ce1 22279   PrimRoots cprimroots 42530
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117  ax-mulf 11118
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-ofr 7632  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-tpos 8176  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-oadd 8409  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-sup 9355  df-inf 9356  df-oi 9425  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-xnn0 12511  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-rp 12943  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-fl 13751  df-mod 13829  df-seq 13964  df-exp 14024  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-dvds 16222  df-gcd 16464  df-prm 16641  df-phi 16736  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-prds 17410  df-pws 17412  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-acs 17551  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-mhm 18751  df-submnd 18752  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-mulg 19044  df-subg 19099  df-ghm 19188  df-cntz 19292  df-od 19503  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-srg 20168  df-ring 20216  df-cring 20217  df-oppr 20317  df-dvdsr 20337  df-unit 20338  df-invr 20368  df-dvr 20381  df-rhm 20452  df-rim 20453  df-subrng 20523  df-subrg 20547  df-drng 20708  df-field 20709  df-lmod 20857  df-lss 20927  df-lsp 20967  df-cnfld 21353  df-zring 21427  df-zrh 21483  df-chr 21485  df-assa 21833  df-asp 21834  df-ascl 21835  df-psr 21889  df-mvr 21890  df-mpl 21891  df-opsr 21893  df-evls 22052  df-evl 22053  df-psr1 22143  df-vr1 22144  df-ply1 22145  df-coe1 22146  df-evl1 22281  df-primroots 42531
This theorem is referenced by:  aks6d1c2lem3  42565  aks6d1c2lem4  42566  aks6d1c6lem2  42610
  Copyright terms: Public domain W3C validator