Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  aks6d1c1rh Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem aks6d1c1rh 42228
Description: Claim 1 of AKS primality proof with collapsed definitions since their ease of use is no longer needed. (Contributed by metakunt, 1-May-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
aks6d1c1rh.1 ∼ = {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ (𝑒 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑦)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦)))}
aks6d1c1rh.2 𝑃 = (chr‘𝐾)
aks6d1c1rh.3 (𝜑 → 𝐾 ∈ Field)
aks6d1c1rh.4 (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
aks6d1c1rh.5 (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
aks6d1c1rh.6 (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
aks6d1c1rh.7 (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)
aks6d1c1rh.8 (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
aks6d1c1rh.9 (𝜑 → 𝐹:(0...𝐴)⟶ℕ0)
aks6d1c1rh.10 𝐺 = (𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴)) ↦ ((mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) Σg (𝑖 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑔‘𝑖)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))))
aks6d1c1rh.11 (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
aks6d1c1rh.12 (𝜑 → 𝑈 ∈ ℕ0)
aks6d1c1rh.13 (𝜑 → 𝐿 ∈ ℕ0)
aks6d1c1rh.14 𝐸 = ((𝑃↑𝑈) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝐿))
aks6d1c1rh.15 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (1...𝐴)𝑁 ∼ ((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑎))))
aks6d1c1rh.16 (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)) ∈ (𝐾 RingIso 𝐾))
Assertion
Ref Expression
aks6d1c1rh (𝜑 → 𝐸 ∼ (𝐺‘𝐹))
Distinct variable groups:   ∼ ,𝑎   𝑥,𝑁   𝑃,𝑒,𝑓   𝑥,𝑅   𝑒,𝑁,𝑓   𝜑,𝑎   𝑁,𝑎   𝑒,𝐿,𝑓   𝑅,𝑒,𝑓,𝑦   𝑒,𝐸,𝑓   𝐴,𝑔,𝑖   𝑥,𝐴   𝐴,𝑎   𝑔,𝐹,𝑖   𝑥,𝐾   𝑔,𝐾,𝑖   𝐾,𝑎   𝑥,𝑃   𝑒,𝐾,𝑓,𝑦   𝜑,𝑥   𝑈,𝑒,𝑓   𝜑,𝑔,𝑖   𝑒,𝐹,𝑓
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑒,𝑓)   𝐴(𝑦,𝑒,𝑓)   𝑃(𝑦,𝑔,𝑖,𝑎)   ∼ (𝑥,𝑦,𝑒,𝑓,𝑔,𝑖)   𝑅(𝑔,𝑖,𝑎)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑔,𝑖,𝑎)   𝐸(𝑥,𝑦,𝑔,𝑖,𝑎)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑎)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑒,𝑓,𝑔,𝑖,𝑎)   𝐿(𝑥,𝑦,𝑔,𝑖,𝑎)   𝑁(𝑦,𝑔,𝑖)
Proof of Theorem aks6d1c1rh
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 aks6d1c1rh.1 . . 3 ∼ = {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ (𝑒 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑦)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦)))}
2 nfv 1915 . . . . . 6 Ⅎ𝑧(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑦)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦))
3 nfv 1915 . . . . . 6 Ⅎ𝑦(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑧)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑧))
4 fveq2 6822 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑧 → (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑦) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑧))
54oveq2d 7362 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑧 → (𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑦)) = (𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑧)))
6 oveq2 7354 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑧 → (𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦) = (𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑧))
76fveq2d 6826 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑧 → (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑧)))
85, 7eqeq12d 2747 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑧 → ((𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑦)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦)) ↔ (𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑧)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑧))))
92, 3, 8cbvralw 3274 . . . . 5 (∀𝑦 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑦)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦)) ↔ ∀𝑧 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑧)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑧)))
1093anbi3i 1159 . . . 4 ((𝑒 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑦)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦))) ↔ (𝑒 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ∧ ∀𝑧 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑧)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑧))))
1110opabbii 5156 . . 3 {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ (𝑒 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑦)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦)))} = {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ (𝑒 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ∧ ∀𝑧 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑧)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑧)))}
121, 11eqtri 2754 . 2 ∼ = {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ (𝑒 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ∧ ∀𝑧 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑧)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑧)))}
13 eqid 2731 . 2 (Poly1‘𝐾) = (Poly1‘𝐾)
14 eqid 2731 . 2 (Base‘(Poly1‘𝐾)) = (Base‘(Poly1‘𝐾))
15 eqid 2731 . 2 (var1‘𝐾) = (var1‘𝐾)
16 eqid 2731 . 2 (mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) = (mulGrp‘(Poly1‘𝐾))
17 eqid 2731 . 2 (mulGrp‘𝐾) = (mulGrp‘𝐾)
18 eqid 2731 . 2 (.g‘(mulGrp‘𝐾)) = (.g‘(mulGrp‘𝐾))
19 eqid 2731 . 2 (algSc‘(Poly1‘𝐾)) = (algSc‘(Poly1‘𝐾))
20 eqid 2731 . 2 (.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾))) = (.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))
21 aks6d1c1rh.2 . 2 𝑃 = (chr‘𝐾)
22 eqid 2731 . 2 (eval1‘𝐾) = (eval1‘𝐾)
23 eqid 2731 . 2 (+g‘(Poly1‘𝐾)) = (+g‘(Poly1‘𝐾))
24 aks6d1c1rh.3 . 2 (𝜑 → 𝐾 ∈ Field)
25 aks6d1c1rh.4 . 2 (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
26 aks6d1c1rh.5 . 2 (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
27 aks6d1c1rh.6 . 2 (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
28 aks6d1c1rh.7 . 2 (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)
29 aks6d1c1rh.8 . 2 (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
30 aks6d1c1rh.9 . 2 (𝜑 → 𝐹:(0...𝐴)⟶ℕ0)
31 aks6d1c1rh.10 . 2 𝐺 = (𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴)) ↦ ((mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) Σg (𝑖 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑔‘𝑖)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))))
32 aks6d1c1rh.11 . 2 (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
33 aks6d1c1rh.12 . 2 (𝜑 → 𝑈 ∈ ℕ0)
34 aks6d1c1rh.13 . 2 (𝜑 → 𝐿 ∈ ℕ0)
35 aks6d1c1rh.14 . 2 𝐸 = ((𝑃↑𝑈) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝐿))
36 aks6d1c1rh.15 . 2 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (1...𝐴)𝑁 ∼ ((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑎))))
37 aks6d1c1rh.16 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)) ∈ (𝐾 RingIso 𝐾))
3812, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37aks6d1c1 42219 1 (𝜑 → 𝐸 ∼ (𝐺‘𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047   class class class wbr 5089  {copab 5151   ↦ cmpt 5170  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   ↑m cmap 8750  0cc0 11006  1c1 11007   · cmul 11011   / cdiv 11774  ℕcn 12125  ℕ0cn0 12381  ...cfz 13407  ↑cexp 13968   ∥ cdvds 16163   gcd cgcd 16405  ℙcprime 16582  Basecbs 17120  +gcplusg 17161   Σg cgsu 17344  .gcmg 18980  mulGrpcmgp 20058   RingIso crs 20388  Fieldcfield 20645  ℤRHomczrh 21436  chrcchr 21438  algSccascl 21789  var1cv1 22088  Poly1cpl1 22089  eval1ce1 22229   PrimRoots cprimroots 42194
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084  ax-addf 11085  ax-mulf 11086
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-ofr 7611  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-tpos 8156  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-oadd 8389  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-sup 9326  df-inf 9327  df-oi 9396  df-dju 9794  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-xnn0 12455  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-rp 12891  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-fl 13696  df-mod 13774  df-seq 13909  df-exp 13969  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-dvds 16164  df-gcd 16406  df-prm 16583  df-phi 16677  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-hom 17185  df-cco 17186  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-prds 17351  df-pws 17353  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-mhm 18691  df-submnd 18692  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-sbg 18851  df-mulg 18981  df-subg 19036  df-ghm 19125  df-cntz 19229  df-od 19440  df-cmn 19694  df-abl 19695  df-mgp 20059  df-rng 20071  df-ur 20100  df-srg 20105  df-ring 20153  df-cring 20154  df-oppr 20255  df-dvdsr 20275  df-unit 20276  df-invr 20306  df-dvr 20319  df-rhm 20390  df-rim 20391  df-subrng 20461  df-subrg 20485  df-drng 20646  df-field 20647  df-lmod 20795  df-lss 20865  df-lsp 20905  df-cnfld 21292  df-zring 21384  df-zrh 21440  df-chr 21442  df-assa 21790  df-asp 21791  df-ascl 21792  df-psr 21846  df-mvr 21847  df-mpl 21848  df-opsr 21850  df-evls 22009  df-evl 22010  df-psr1 22092  df-vr1 22093  df-ply1 22094  df-coe1 22095  df-evl1 22231  df-primroots 42195
This theorem is referenced by:  aks6d1c2lem3  42229  aks6d1c2lem4  42230  aks6d1c6lem2  42274
  Copyright terms: Public domain W3C validator