Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  aks6d1c1rh Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem aks6d1c1rh 42143
Description: Claim 1 of AKS primality proof with collapsed definitions since their ease of use is no longer needed. (Contributed by metakunt, 1-May-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
aks6d1c1rh.1 ∼ = {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ (𝑒 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑦)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦)))}
aks6d1c1rh.2 𝑃 = (chr‘𝐾)
aks6d1c1rh.3 (𝜑 → 𝐾 ∈ Field)
aks6d1c1rh.4 (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
aks6d1c1rh.5 (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
aks6d1c1rh.6 (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
aks6d1c1rh.7 (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)
aks6d1c1rh.8 (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
aks6d1c1rh.9 (𝜑 → 𝐹:(0...𝐴)⟶ℕ0)
aks6d1c1rh.10 𝐺 = (𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴)) ↦ ((mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) Σg (𝑖 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑔‘𝑖)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))))
aks6d1c1rh.11 (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
aks6d1c1rh.12 (𝜑 → 𝑈 ∈ ℕ0)
aks6d1c1rh.13 (𝜑 → 𝐿 ∈ ℕ0)
aks6d1c1rh.14 𝐸 = ((𝑃↑𝑈) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝐿))
aks6d1c1rh.15 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (1...𝐴)𝑁 ∼ ((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑎))))
aks6d1c1rh.16 (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)) ∈ (𝐾 RingIso 𝐾))
Assertion
Ref Expression
aks6d1c1rh (𝜑 → 𝐸 ∼ (𝐺‘𝐹))
Distinct variable groups:   ∼ ,𝑎   𝑥,𝑁   𝑃,𝑒,𝑓   𝑥,𝑅   𝑒,𝑁,𝑓   𝜑,𝑎   𝑁,𝑎   𝑒,𝐿,𝑓   𝑅,𝑒,𝑓,𝑦   𝑒,𝐸,𝑓   𝐴,𝑔,𝑖   𝑥,𝐴   𝐴,𝑎   𝑔,𝐹,𝑖   𝑥,𝐾   𝑔,𝐾,𝑖   𝐾,𝑎   𝑥,𝑃   𝑒,𝐾,𝑓,𝑦   𝜑,𝑥   𝑈,𝑒,𝑓   𝜑,𝑔,𝑖   𝑒,𝐹,𝑓
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑒,𝑓)   𝐴(𝑦,𝑒,𝑓)   𝑃(𝑦,𝑔,𝑖,𝑎)   ∼ (𝑥,𝑦,𝑒,𝑓,𝑔,𝑖)   𝑅(𝑔,𝑖,𝑎)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑔,𝑖,𝑎)   𝐸(𝑥,𝑦,𝑔,𝑖,𝑎)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑎)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑒,𝑓,𝑔,𝑖,𝑎)   𝐿(𝑥,𝑦,𝑔,𝑖,𝑎)   𝑁(𝑦,𝑔,𝑖)
Proof of Theorem aks6d1c1rh
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 aks6d1c1rh.1 . . 3 ∼ = {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ (𝑒 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑦)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦)))}
2 nfv 1914 . . . . . 6 Ⅎ𝑧(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑦)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦))
3 nfv 1914 . . . . . 6 Ⅎ𝑦(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑧)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑧))
4 fveq2 6881 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑧 → (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑦) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑧))
54oveq2d 7426 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑧 → (𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑦)) = (𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑧)))
6 oveq2 7418 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑧 → (𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦) = (𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑧))
76fveq2d 6885 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑧 → (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑧)))
85, 7eqeq12d 2752 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑧 → ((𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑦)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦)) ↔ (𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑧)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑧))))
92, 3, 8cbvralw 3290 . . . . 5 (∀𝑦 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑦)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦)) ↔ ∀𝑧 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑧)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑧)))
1093anbi3i 1159 . . . 4 ((𝑒 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑦)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦))) ↔ (𝑒 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ∧ ∀𝑧 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑧)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑧))))
1110opabbii 5191 . . 3 {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ (𝑒 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑦)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦)))} = {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ (𝑒 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ∧ ∀𝑧 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑧)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑧)))}
121, 11eqtri 2759 . 2 ∼ = {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ (𝑒 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ∧ ∀𝑧 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑧)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑧)))}
13 eqid 2736 . 2 (Poly1‘𝐾) = (Poly1‘𝐾)
14 eqid 2736 . 2 (Base‘(Poly1‘𝐾)) = (Base‘(Poly1‘𝐾))
15 eqid 2736 . 2 (var1‘𝐾) = (var1‘𝐾)
16 eqid 2736 . 2 (mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) = (mulGrp‘(Poly1‘𝐾))
17 eqid 2736 . 2 (mulGrp‘𝐾) = (mulGrp‘𝐾)
18 eqid 2736 . 2 (.g‘(mulGrp‘𝐾)) = (.g‘(mulGrp‘𝐾))
19 eqid 2736 . 2 (algSc‘(Poly1‘𝐾)) = (algSc‘(Poly1‘𝐾))
20 eqid 2736 . 2 (.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾))) = (.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))
21 aks6d1c1rh.2 . 2 𝑃 = (chr‘𝐾)
22 eqid 2736 . 2 (eval1‘𝐾) = (eval1‘𝐾)
23 eqid 2736 . 2 (+g‘(Poly1‘𝐾)) = (+g‘(Poly1‘𝐾))
24 aks6d1c1rh.3 . 2 (𝜑 → 𝐾 ∈ Field)
25 aks6d1c1rh.4 . 2 (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
26 aks6d1c1rh.5 . 2 (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
27 aks6d1c1rh.6 . 2 (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
28 aks6d1c1rh.7 . 2 (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)
29 aks6d1c1rh.8 . 2 (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
30 aks6d1c1rh.9 . 2 (𝜑 → 𝐹:(0...𝐴)⟶ℕ0)
31 aks6d1c1rh.10 . 2 𝐺 = (𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴)) ↦ ((mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) Σg (𝑖 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑔‘𝑖)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))))
32 aks6d1c1rh.11 . 2 (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
33 aks6d1c1rh.12 . 2 (𝜑 → 𝑈 ∈ ℕ0)
34 aks6d1c1rh.13 . 2 (𝜑 → 𝐿 ∈ ℕ0)
35 aks6d1c1rh.14 . 2 𝐸 = ((𝑃↑𝑈) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝐿))
36 aks6d1c1rh.15 . 2 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (1...𝐴)𝑁 ∼ ((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑎))))
37 aks6d1c1rh.16 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)) ∈ (𝐾 RingIso 𝐾))
3812, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37aks6d1c1 42134 1 (𝜑 → 𝐸 ∼ (𝐺‘𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3052   class class class wbr 5124  {copab 5186   ↦ cmpt 5206  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ↑m cmap 8845  0cc0 11134  1c1 11135   · cmul 11139   / cdiv 11899  ℕcn 12245  ℕ0cn0 12506  ...cfz 13529  ↑cexp 14084   ∥ cdvds 16277   gcd cgcd 16518  ℙcprime 16695  Basecbs 17233  +gcplusg 17276   Σg cgsu 17459  .gcmg 19055  mulGrpcmgp 20105   RingIso crs 20435  Fieldcfield 20695  ℤRHomczrh 21465  chrcchr 21467  algSccascl 21817  var1cv1 22116  Poly1cpl1 22117  eval1ce1 22257   PrimRoots cprimroots 42109
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212  ax-addf 11213  ax-mulf 11214
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-iin 4975  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7676  df-ofr 7677  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8165  df-tpos 8230  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-oadd 8489  df-er 8724  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9379  df-sup 9459  df-inf 9460  df-oi 9529  df-dju 9920  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-xnn0 12580  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12858  df-rp 13014  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-fl 13814  df-mod 13892  df-seq 14025  df-exp 14085  df-fac 14297  df-bc 14326  df-hash 14354  df-cj 15123  df-re 15124  df-im 15125  df-sqrt 15259  df-abs 15260  df-dvds 16278  df-gcd 16519  df-prm 16696  df-phi 16790  df-struct 17171  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-starv 17291  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-ip 17294  df-tset 17295  df-ple 17296  df-ds 17298  df-unif 17299  df-hom 17300  df-cco 17301  df-0g 17460  df-gsum 17461  df-prds 17466  df-pws 17468  df-mre 17603  df-mrc 17604  df-acs 17606  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-mhm 18766  df-submnd 18767  df-grp 18924  df-minusg 18925  df-sbg 18926  df-mulg 19056  df-subg 19111  df-ghm 19201  df-cntz 19305  df-od 19514  df-cmn 19768  df-abl 19769  df-mgp 20106  df-rng 20118  df-ur 20147  df-srg 20152  df-ring 20200  df-cring 20201  df-oppr 20302  df-dvdsr 20322  df-unit 20323  df-invr 20353  df-dvr 20366  df-rhm 20437  df-rim 20438  df-subrng 20511  df-subrg 20535  df-drng 20696  df-field 20697  df-lmod 20824  df-lss 20894  df-lsp 20934  df-cnfld 21321  df-zring 21413  df-zrh 21469  df-chr 21471  df-assa 21818  df-asp 21819  df-ascl 21820  df-psr 21874  df-mvr 21875  df-mpl 21876  df-opsr 21878  df-evls 22037  df-evl 22038  df-psr1 22120  df-vr1 22121  df-ply1 22122  df-coe1 22123  df-evl1 22259  df-primroots 42110
This theorem is referenced by:  aks6d1c2lem3  42144  aks6d1c2lem4  42145  aks6d1c6lem2  42189
  Copyright terms: Public domain W3C validator