Theorem cxp111d 43586

Description: General condition for complex exponentiation to be one-to-one with respect to the first argument. (Contributed by SN, 25-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
cxp111d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
cxp111d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
cxp111d.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
cxp111d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
cxp111d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
cxp111d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
cxp111d	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑐𝐶) = (𝐵↑𝑐𝐶) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (log‘𝐴) = ((log‘𝐵) + (((i · (2 · π)) · 𝑛) / 𝐶))))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑛   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝐶,𝑛

Proof of Theorem cxp111d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cxp111d.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		cxp111d.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		cxp111d.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	cxpefd 27070	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑐𝐶) = (exp‘(𝐶 · (log‘𝐴))))
5		cxp111d.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
6		cxp111d.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
7	5, 6, 3	cxpefd 27070	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑐𝐶) = (exp‘(𝐶 · (log‘𝐵))))
8	4, 7	eqeq12d 2779	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑐𝐶) = (𝐵↑𝑐𝐶) ↔ (exp‘(𝐶 · (log‘𝐴))) = (exp‘(𝐶 · (log‘𝐵)))))
9	1, 2	logcld 26928	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
10	3, 9	mulcld 11356	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · (log‘𝐴)) ∈ ℂ)
11	5, 6	logcld 26928	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐵) ∈ ℂ)
12	3, 11	mulcld 11356	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · (log‘𝐵)) ∈ ℂ)
13	10, 12	ef11d 43583	. 2 ⊢ (𝜑 → ((exp‘(𝐶 · (log‘𝐴))) = (exp‘(𝐶 · (log‘𝐵))) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐶 · (log‘𝐴)) = ((𝐶 · (log‘𝐵)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛))))
14	10	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝐶 · (log‘𝐴)) ∈ ℂ)
15	12	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝐶 · (log‘𝐵)) ∈ ℂ)
16		ax-icn 11286	. . . . . . . . 9 ⊢ i ∈ ℂ
17		2cn 12445	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
18		picn 26815	. . . . . . . . . 10 ⊢ π ∈ ℂ
19	17, 18	mulcli 11343	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · π) ∈ ℂ
20	16, 19	mulcli 11343	. . . . . . . 8 ⊢ (i · (2 · π)) ∈ ℂ
21	20	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (i · (2 · π)) ∈ ℂ)
22		zcn 12725	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
23	22	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℂ)
24	21, 23	mulcld 11356	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((i · (2 · π)) · 𝑛) ∈ ℂ)
25	15, 24	addcld 11355	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝐶 · (log‘𝐵)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) ∈ ℂ)
26	3	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℂ)
27		cxp111d.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
28	27	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝐶 ≠ 0)
29		div11 12029	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 · (log‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ ((𝐶 · (log‘𝐵)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((𝐶 · (log‘𝐴)) / 𝐶) = (((𝐶 · (log‘𝐵)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) / 𝐶) ↔ (𝐶 · (log‘𝐴)) = ((𝐶 · (log‘𝐵)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛))))
30	14, 25, 26, 28, 29	syl112anc 1402	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((𝐶 · (log‘𝐴)) / 𝐶) = (((𝐶 · (log‘𝐵)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) / 𝐶) ↔ (𝐶 · (log‘𝐴)) = ((𝐶 · (log‘𝐵)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛))))
31	9, 3, 27	divcan3d 12125	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · (log‘𝐴)) / 𝐶) = (log‘𝐴))
32	31	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝐶 · (log‘𝐴)) / 𝐶) = (log‘𝐴))
33	15, 24, 26, 28	divdird 12158	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((𝐶 · (log‘𝐵)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) / 𝐶) = (((𝐶 · (log‘𝐵)) / 𝐶) + (((i · (2 · π)) · 𝑛) / 𝐶)))
34	11, 3, 27	divcan3d 12125	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · (log‘𝐵)) / 𝐶) = (log‘𝐵))
35	34	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝐶 · (log‘𝐵)) / 𝐶) = (log‘𝐵))
36	35	oveq1d 7458	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((𝐶 · (log‘𝐵)) / 𝐶) + (((i · (2 · π)) · 𝑛) / 𝐶)) = ((log‘𝐵) + (((i · (2 · π)) · 𝑛) / 𝐶)))
37	33, 36	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((𝐶 · (log‘𝐵)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) / 𝐶) = ((log‘𝐵) + (((i · (2 · π)) · 𝑛) / 𝐶)))
38	32, 37	eqeq12d 2779	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((𝐶 · (log‘𝐴)) / 𝐶) = (((𝐶 · (log‘𝐵)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) / 𝐶) ↔ (log‘𝐴) = ((log‘𝐵) + (((i · (2 · π)) · 𝑛) / 𝐶))))
39	30, 38	bitr3d 284	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝐶 · (log‘𝐴)) = ((𝐶 · (log‘𝐵)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) ↔ (log‘𝐴) = ((log‘𝐵) + (((i · (2 · π)) · 𝑛) / 𝐶))))
40	39	rexbidva 3188	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑛 ∈ ℤ (𝐶 · (log‘𝐴)) = ((𝐶 · (log‘𝐵)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (log‘𝐴) = ((log‘𝐵) + (((i · (2 · π)) · 𝑛) / 𝐶))))
41	8, 13, 40	3bitrd 308	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑐𝐶) = (𝐵↑𝑐𝐶) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (log‘𝐴) = ((log‘𝐵) + (((i · (2 · π)) · 𝑛) / 𝐶))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∃wrex 3090  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  ℂcc 11225  0cc0 11227  ici 11229   + caddc 11230   · cmul 11232   / cdiv 12000  2c2 12424  ℤcz 12720  expce 16256  πcpi 16261  logclog 26912  ↑_𝑐ccxp 26913

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-inf2 9669  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305  ax-addf 11306

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-of 7717  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-supp 8205  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8745  df-map 8877  df-pm 8878  df-ixp 8954  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-fsupp 9382  df-fi 9430  df-sup 9461  df-inf 9462  df-oi 9531  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-7 12437  df-8 12438  df-9 12439  df-n0 12634  df-z 12721  df-dec 12842  df-uz 12993  df-q 13103  df-rp 13148  df-xneg 13268  df-xadd 13269  df-xmul 13270  df-ioo 13507  df-ioc 13508  df-ico 13509  df-icc 13510  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-fl 13959  df-mod 14037  df-seq 14172  df-exp 14232  df-fac 14445  df-bc 14474  df-hash 14502  df-shft 15249  df-cj 15295  df-re 15296  df-im 15297  df-sqrt 15431  df-abs 15432  df-limsup 15667  df-clim 15684  df-rlim 15685  df-sum 15883  df-ef 16262  df-sin 16264  df-cos 16265  df-pi 16267  df-struct 17354  df-sets 17371  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-ress 17438  df-plusg 17470  df-mulr 17471  df-starv 17472  df-sca 17473  df-vsca 17474  df-ip 17475  df-tset 17476  df-ple 17477  df-ds 17479  df-unif 17480  df-hom 17481  df-cco 17482  df-rest 17622  df-topn 17623  df-0g 17641  df-gsum 17642  df-topgen 17643  df-pt 17644  df-prds 17647  df-xrs 17703  df-qtop 17708  df-imas 17709  df-xps 17711  df-mre 17785  df-mrc 17786  df-acs 17788  df-mgm 18845  df-sgrp 18937  df-mnd 18953  df-submnd 19008  df-mulg 19307  df-cntz 19561  df-cmn 20026  df-psmet 21700  df-xmet 21701  df-met 21702  df-bl 21703  df-mopn 21704  df-fbas 21705  df-fg 21706  df-cnfld 21709  df-top 23242  df-topon 23259  df-topsp 23281  df-bases 23294  df-cld 23367  df-ntr 23368  df-cls 23369  df-nei 23446  df-lp 23484  df-perf 23485  df-cn 23575  df-cnp 23576  df-haus 23663  df-tx 23911  df-hmeo 24104  df-fil 24195  df-fm 24287  df-flim 24288  df-flf 24289  df-xms 24669  df-ms 24670  df-tms 24671  df-cncf 25229  df-limc 26216  df-dv 26217  df-log 26914  df-cxp 26915

This theorem is used by: (None)