Theorem cxp111d 42460

Description: General condition for complex exponentiation to be one-to-one with respect to the first argument. (Contributed by SN, 25-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
cxp111d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
cxp111d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
cxp111d.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
cxp111d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
cxp111d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
cxp111d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
cxp111d	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑐𝐶) = (𝐵↑𝑐𝐶) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (log‘𝐴) = ((log‘𝐵) + (((i · (2 · π)) · 𝑛) / 𝐶))))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑛   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝐶,𝑛

Proof of Theorem cxp111d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cxp111d.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		cxp111d.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		cxp111d.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	cxpefd 26649	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑐𝐶) = (exp‘(𝐶 · (log‘𝐴))))
5		cxp111d.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
6		cxp111d.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
7	5, 6, 3	cxpefd 26649	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑐𝐶) = (exp‘(𝐶 · (log‘𝐵))))
8	4, 7	eqeq12d 2749	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑐𝐶) = (𝐵↑𝑐𝐶) ↔ (exp‘(𝐶 · (log‘𝐴))) = (exp‘(𝐶 · (log‘𝐵)))))
9	1, 2	logcld 26507	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
10	3, 9	mulcld 11139	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · (log‘𝐴)) ∈ ℂ)
11	5, 6	logcld 26507	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐵) ∈ ℂ)
12	3, 11	mulcld 11139	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · (log‘𝐵)) ∈ ℂ)
13	10, 12	ef11d 42457	. 2 ⊢ (𝜑 → ((exp‘(𝐶 · (log‘𝐴))) = (exp‘(𝐶 · (log‘𝐵))) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐶 · (log‘𝐴)) = ((𝐶 · (log‘𝐵)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛))))
14	10	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝐶 · (log‘𝐴)) ∈ ℂ)
15	12	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝐶 · (log‘𝐵)) ∈ ℂ)
16		ax-icn 11072	. . . . . . . . 9 ⊢ i ∈ ℂ
17		2cn 12207	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
18		picn 26395	. . . . . . . . . 10 ⊢ π ∈ ℂ
19	17, 18	mulcli 11126	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · π) ∈ ℂ
20	16, 19	mulcli 11126	. . . . . . . 8 ⊢ (i · (2 · π)) ∈ ℂ
21	20	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (i · (2 · π)) ∈ ℂ)
22		zcn 12480	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
23	22	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℂ)
24	21, 23	mulcld 11139	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((i · (2 · π)) · 𝑛) ∈ ℂ)
25	15, 24	addcld 11138	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝐶 · (log‘𝐵)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) ∈ ℂ)
26	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℂ)
27		cxp111d.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
28	27	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝐶 ≠ 0)
29		div11 11811	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 · (log‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ ((𝐶 · (log‘𝐵)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((𝐶 · (log‘𝐴)) / 𝐶) = (((𝐶 · (log‘𝐵)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) / 𝐶) ↔ (𝐶 · (log‘𝐴)) = ((𝐶 · (log‘𝐵)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛))))
30	14, 25, 26, 28, 29	syl112anc 1376	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((𝐶 · (log‘𝐴)) / 𝐶) = (((𝐶 · (log‘𝐵)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) / 𝐶) ↔ (𝐶 · (log‘𝐴)) = ((𝐶 · (log‘𝐵)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛))))
31	9, 3, 27	divcan3d 11909	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · (log‘𝐴)) / 𝐶) = (log‘𝐴))
32	31	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝐶 · (log‘𝐴)) / 𝐶) = (log‘𝐴))
33	15, 24, 26, 28	divdird 11942	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((𝐶 · (log‘𝐵)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) / 𝐶) = (((𝐶 · (log‘𝐵)) / 𝐶) + (((i · (2 · π)) · 𝑛) / 𝐶)))
34	11, 3, 27	divcan3d 11909	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · (log‘𝐵)) / 𝐶) = (log‘𝐵))
35	34	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝐶 · (log‘𝐵)) / 𝐶) = (log‘𝐵))
36	35	oveq1d 7367	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((𝐶 · (log‘𝐵)) / 𝐶) + (((i · (2 · π)) · 𝑛) / 𝐶)) = ((log‘𝐵) + (((i · (2 · π)) · 𝑛) / 𝐶)))
37	33, 36	eqtrd 2768	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((𝐶 · (log‘𝐵)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) / 𝐶) = ((log‘𝐵) + (((i · (2 · π)) · 𝑛) / 𝐶)))
38	32, 37	eqeq12d 2749	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((𝐶 · (log‘𝐴)) / 𝐶) = (((𝐶 · (log‘𝐵)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) / 𝐶) ↔ (log‘𝐴) = ((log‘𝐵) + (((i · (2 · π)) · 𝑛) / 𝐶))))
39	30, 38	bitr3d 281	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝐶 · (log‘𝐴)) = ((𝐶 · (log‘𝐵)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) ↔ (log‘𝐴) = ((log‘𝐵) + (((i · (2 · π)) · 𝑛) / 𝐶))))
40	39	rexbidva 3155	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑛 ∈ ℤ (𝐶 · (log‘𝐴)) = ((𝐶 · (log‘𝐵)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (log‘𝐴) = ((log‘𝐵) + (((i · (2 · π)) · 𝑛) / 𝐶))))
41	8, 13, 40	3bitrd 305	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑐𝐶) = (𝐵↑𝑐𝐶) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (log‘𝐴) = ((log‘𝐵) + (((i · (2 · π)) · 𝑛) / 𝐶))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  ∃wrex 3057  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  ℂcc 11011  0cc0 11013  ici 11015   + caddc 11016   · cmul 11018   / cdiv 11781  2c2 12187  ℤcz 12475  expce 15970  πcpi 15975  logclog 26491  ↑_𝑐ccxp 26492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-inf2 9538  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090  ax-pre-sup 11091  ax-addf 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-of 7616  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-supp 8097  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-2o 8392  df-er 8628  df-map 8758  df-pm 8759  df-ixp 8828  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-fsupp 9253  df-fi 9302  df-sup 9333  df-inf 9334  df-oi 9403  df-card 9839  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-div 11782  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-4 12197  df-5 12198  df-6 12199  df-7 12200  df-8 12201  df-9 12202  df-n0 12389  df-z 12476  df-dec 12595  df-uz 12739  df-q 12849  df-rp 12893  df-xneg 13013  df-xadd 13014  df-xmul 13015  df-ioo 13251  df-ioc 13252  df-ico 13253  df-icc 13254  df-fz 13410  df-fzo 13557  df-fl 13698  df-mod 13776  df-seq 13911  df-exp 13971  df-fac 14183  df-bc 14212  df-hash 14240  df-shft 14976  df-cj 15008  df-re 15009  df-im 15010  df-sqrt 15144  df-abs 15145  df-limsup 15380  df-clim 15397  df-rlim 15398  df-sum 15596  df-ef 15976  df-sin 15978  df-cos 15979  df-pi 15981  df-struct 17060  df-sets 17077  df-slot 17095  df-ndx 17107  df-base 17123  df-ress 17144  df-plusg 17176  df-mulr 17177  df-starv 17178  df-sca 17179  df-vsca 17180  df-ip 17181  df-tset 17182  df-ple 17183  df-ds 17185  df-unif 17186  df-hom 17187  df-cco 17188  df-rest 17328  df-topn 17329  df-0g 17347  df-gsum 17348  df-topgen 17349  df-pt 17350  df-prds 17353  df-xrs 17408  df-qtop 17413  df-imas 17414  df-xps 17416  df-mre 17490  df-mrc 17491  df-acs 17493  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-submnd 18694  df-mulg 18983  df-cntz 19231  df-cmn 19696  df-psmet 21285  df-xmet 21286  df-met 21287  df-bl 21288  df-mopn 21289  df-fbas 21290  df-fg 21291  df-cnfld 21294  df-top 22810  df-topon 22827  df-topsp 22849  df-bases 22862  df-cld 22935  df-ntr 22936  df-cls 22937  df-nei 23014  df-lp 23052  df-perf 23053  df-cn 23143  df-cnp 23144  df-haus 23231  df-tx 23478  df-hmeo 23671  df-fil 23762  df-fm 23854  df-flim 23855  df-flf 23856  df-xms 24236  df-ms 24237  df-tms 24238  df-cncf 24799  df-limc 25795  df-dv 25796  df-log 26493  df-cxp 26494

This theorem is referenced by: (None)