Theorem cxp111d 43131

Description: General condition for complex exponentiation to be one-to-one with respect to the first argument. (Contributed by SN, 25-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
cxp111d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
cxp111d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
cxp111d.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
cxp111d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
cxp111d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
cxp111d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
cxp111d	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑐𝐶) = (𝐵↑𝑐𝐶) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (log‘𝐴) = ((log‘𝐵) + (((i · (2 · π)) · 𝑛) / 𝐶))))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑛   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝐶,𝑛

Proof of Theorem cxp111d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cxp111d.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		cxp111d.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		cxp111d.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	cxpefd 26888	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑐𝐶) = (exp‘(𝐶 · (log‘𝐴))))
5		cxp111d.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
6		cxp111d.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
7	5, 6, 3	cxpefd 26888	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑐𝐶) = (exp‘(𝐶 · (log‘𝐵))))
8	4, 7	eqeq12d 2778	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑐𝐶) = (𝐵↑𝑐𝐶) ↔ (exp‘(𝐶 · (log‘𝐴))) = (exp‘(𝐶 · (log‘𝐵)))))
9	1, 2	logcld 26746	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
10	3, 9	mulcld 11235	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · (log‘𝐴)) ∈ ℂ)
11	5, 6	logcld 26746	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐵) ∈ ℂ)
12	3, 11	mulcld 11235	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · (log‘𝐵)) ∈ ℂ)
13	10, 12	ef11d 43128	. 2 ⊢ (𝜑 → ((exp‘(𝐶 · (log‘𝐴))) = (exp‘(𝐶 · (log‘𝐵))) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐶 · (log‘𝐴)) = ((𝐶 · (log‘𝐵)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛))))
14	10	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝐶 · (log‘𝐴)) ∈ ℂ)
15	12	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝐶 · (log‘𝐵)) ∈ ℂ)
16		ax-icn 11165	. . . . . . . . 9 ⊢ i ∈ ℂ
17		2cn 12322	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
18		picn 26632	. . . . . . . . . 10 ⊢ π ∈ ℂ
19	17, 18	mulcli 11222	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · π) ∈ ℂ
20	16, 19	mulcli 11222	. . . . . . . 8 ⊢ (i · (2 · π)) ∈ ℂ
21	20	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (i · (2 · π)) ∈ ℂ)
22		zcn 12602	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
23	22	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℂ)
24	21, 23	mulcld 11235	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((i · (2 · π)) · 𝑛) ∈ ℂ)
25	15, 24	addcld 11234	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝐶 · (log‘𝐵)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) ∈ ℂ)
26	3	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℂ)
27		cxp111d.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
28	27	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝐶 ≠ 0)
29		div11 11906	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 · (log‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ ((𝐶 · (log‘𝐵)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((𝐶 · (log‘𝐴)) / 𝐶) = (((𝐶 · (log‘𝐵)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) / 𝐶) ↔ (𝐶 · (log‘𝐴)) = ((𝐶 · (log‘𝐵)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛))))
30	14, 25, 26, 28, 29	syl112anc 1400	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((𝐶 · (log‘𝐴)) / 𝐶) = (((𝐶 · (log‘𝐵)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) / 𝐶) ↔ (𝐶 · (log‘𝐴)) = ((𝐶 · (log‘𝐵)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛))))
31	9, 3, 27	divcan3d 12002	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · (log‘𝐴)) / 𝐶) = (log‘𝐴))
32	31	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝐶 · (log‘𝐴)) / 𝐶) = (log‘𝐴))
33	15, 24, 26, 28	divdird 12035	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((𝐶 · (log‘𝐵)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) / 𝐶) = (((𝐶 · (log‘𝐵)) / 𝐶) + (((i · (2 · π)) · 𝑛) / 𝐶)))
34	11, 3, 27	divcan3d 12002	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · (log‘𝐵)) / 𝐶) = (log‘𝐵))
35	34	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝐶 · (log‘𝐵)) / 𝐶) = (log‘𝐵))
36	35	oveq1d 7427	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((𝐶 · (log‘𝐵)) / 𝐶) + (((i · (2 · π)) · 𝑛) / 𝐶)) = ((log‘𝐵) + (((i · (2 · π)) · 𝑛) / 𝐶)))
37	33, 36	eqtrd 2797	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((𝐶 · (log‘𝐵)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) / 𝐶) = ((log‘𝐵) + (((i · (2 · π)) · 𝑛) / 𝐶)))
38	32, 37	eqeq12d 2778	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((𝐶 · (log‘𝐴)) / 𝐶) = (((𝐶 · (log‘𝐵)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) / 𝐶) ↔ (log‘𝐴) = ((log‘𝐵) + (((i · (2 · π)) · 𝑛) / 𝐶))))
39	30, 38	bitr3d 284	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝐶 · (log‘𝐴)) = ((𝐶 · (log‘𝐵)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) ↔ (log‘𝐴) = ((log‘𝐵) + (((i · (2 · π)) · 𝑛) / 𝐶))))
40	39	rexbidva 3186	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑛 ∈ ℤ (𝐶 · (log‘𝐴)) = ((𝐶 · (log‘𝐵)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (log‘𝐴) = ((log‘𝐵) + (((i · (2 · π)) · 𝑛) / 𝐶))))
41	8, 13, 40	3bitrd 308	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑐𝐶) = (𝐵↑𝑐𝐶) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (log‘𝐴) = ((log‘𝐵) + (((i · (2 · π)) · 𝑛) / 𝐶))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ∃wrex 3088  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  ℂcc 11104  0cc0 11106  ici 11108   + caddc 11109   · cmul 11111   / cdiv 11877  2c2 12301  ℤcz 12597  expce 16121  πcpi 16126  logclog 26730  ↑_𝑐ccxp 26731

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-inf2 9608  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-se 5614  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8155  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-2o 8452  df-er 8692  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9320  df-fi 9369  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-card 9932  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-7 12314  df-8 12315  df-9 12316  df-n0 12511  df-z 12598  df-dec 12718  df-uz 12869  df-q 12979  df-rp 13023  df-xneg 13143  df-xadd 13144  df-xmul 13145  df-ioo 13382  df-ioc 13383  df-ico 13384  df-icc 13385  df-fz 13542  df-fzo 13690  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14045  df-exp 14105  df-fac 14317  df-bc 14346  df-hash 14374  df-shft 15111  df-cj 15157  df-re 15158  df-im 15159  df-sqrt 15293  df-abs 15294  df-limsup 15529  df-clim 15546  df-rlim 15547  df-sum 15745  df-ef 16127  df-sin 16129  df-cos 16130  df-pi 16132  df-struct 17213  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-ress 17297  df-plusg 17329  df-mulr 17330  df-starv 17331  df-sca 17332  df-vsca 17333  df-ip 17334  df-tset 17335  df-ple 17336  df-ds 17338  df-unif 17339  df-hom 17340  df-cco 17341  df-rest 17481  df-topn 17482  df-0g 17500  df-gsum 17501  df-topgen 17502  df-pt 17503  df-prds 17506  df-xrs 17562  df-qtop 17567  df-imas 17568  df-xps 17570  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-submnd 18848  df-mulg 19140  df-cntz 19393  df-cmn 19858  df-psmet 21525  df-xmet 21526  df-met 21527  df-bl 21528  df-mopn 21529  df-fbas 21530  df-fg 21531  df-cnfld 21534  df-top 23062  df-topon 23079  df-topsp 23101  df-bases 23114  df-cld 23187  df-ntr 23188  df-cls 23189  df-nei 23266  df-lp 23304  df-perf 23305  df-cn 23395  df-cnp 23396  df-haus 23483  df-tx 23730  df-hmeo 23923  df-fil 24014  df-fm 24106  df-flim 24107  df-flf 24108  df-xms 24488  df-ms 24489  df-tms 24490  df-cncf 25048  df-limc 26036  df-dv 26037  df-log 26732  df-cxp 26733

This theorem is used by: (None)