Theorem cxp111d 43225

Description: General condition for complex exponentiation to be one-to-one with respect to the first argument. (Contributed by SN, 25-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
cxp111d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
cxp111d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
cxp111d.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
cxp111d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
cxp111d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
cxp111d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
cxp111d	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑐𝐶) = (𝐵↑𝑐𝐶) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (log‘𝐴) = ((log‘𝐵) + (((i · (2 · π)) · 𝑛) / 𝐶))))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑛   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝐶,𝑛

Proof of Theorem cxp111d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cxp111d.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		cxp111d.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		cxp111d.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	cxpefd 26957	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑐𝐶) = (exp‘(𝐶 · (log‘𝐴))))
5		cxp111d.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
6		cxp111d.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
7	5, 6, 3	cxpefd 26957	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑐𝐶) = (exp‘(𝐶 · (log‘𝐵))))
8	4, 7	eqeq12d 2778	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑐𝐶) = (𝐵↑𝑐𝐶) ↔ (exp‘(𝐶 · (log‘𝐴))) = (exp‘(𝐶 · (log‘𝐵)))))
9	1, 2	logcld 26815	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
10	3, 9	mulcld 11257	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · (log‘𝐴)) ∈ ℂ)
11	5, 6	logcld 26815	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐵) ∈ ℂ)
12	3, 11	mulcld 11257	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · (log‘𝐵)) ∈ ℂ)
13	10, 12	ef11d 43222	. 2 ⊢ (𝜑 → ((exp‘(𝐶 · (log‘𝐴))) = (exp‘(𝐶 · (log‘𝐵))) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐶 · (log‘𝐴)) = ((𝐶 · (log‘𝐵)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛))))
14	10	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝐶 · (log‘𝐴)) ∈ ℂ)
15	12	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝐶 · (log‘𝐵)) ∈ ℂ)
16		ax-icn 11187	. . . . . . . . 9 ⊢ i ∈ ℂ
17		2cn 12344	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
18		picn 26701	. . . . . . . . . 10 ⊢ π ∈ ℂ
19	17, 18	mulcli 11244	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · π) ∈ ℂ
20	16, 19	mulcli 11244	. . . . . . . 8 ⊢ (i · (2 · π)) ∈ ℂ
21	20	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (i · (2 · π)) ∈ ℂ)
22		zcn 12624	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
23	22	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℂ)
24	21, 23	mulcld 11257	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((i · (2 · π)) · 𝑛) ∈ ℂ)
25	15, 24	addcld 11256	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝐶 · (log‘𝐵)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) ∈ ℂ)
26	3	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℂ)
27		cxp111d.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
28	27	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝐶 ≠ 0)
29		div11 11928	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 · (log‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ ((𝐶 · (log‘𝐵)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((𝐶 · (log‘𝐴)) / 𝐶) = (((𝐶 · (log‘𝐵)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) / 𝐶) ↔ (𝐶 · (log‘𝐴)) = ((𝐶 · (log‘𝐵)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛))))
30	14, 25, 26, 28, 29	syl112anc 1401	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((𝐶 · (log‘𝐴)) / 𝐶) = (((𝐶 · (log‘𝐵)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) / 𝐶) ↔ (𝐶 · (log‘𝐴)) = ((𝐶 · (log‘𝐵)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛))))
31	9, 3, 27	divcan3d 12024	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · (log‘𝐴)) / 𝐶) = (log‘𝐴))
32	31	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝐶 · (log‘𝐴)) / 𝐶) = (log‘𝐴))
33	15, 24, 26, 28	divdird 12057	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((𝐶 · (log‘𝐵)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) / 𝐶) = (((𝐶 · (log‘𝐵)) / 𝐶) + (((i · (2 · π)) · 𝑛) / 𝐶)))
34	11, 3, 27	divcan3d 12024	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · (log‘𝐵)) / 𝐶) = (log‘𝐵))
35	34	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝐶 · (log‘𝐵)) / 𝐶) = (log‘𝐵))
36	35	oveq1d 7432	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((𝐶 · (log‘𝐵)) / 𝐶) + (((i · (2 · π)) · 𝑛) / 𝐶)) = ((log‘𝐵) + (((i · (2 · π)) · 𝑛) / 𝐶)))
37	33, 36	eqtrd 2797	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((𝐶 · (log‘𝐵)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) / 𝐶) = ((log‘𝐵) + (((i · (2 · π)) · 𝑛) / 𝐶)))
38	32, 37	eqeq12d 2778	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((𝐶 · (log‘𝐴)) / 𝐶) = (((𝐶 · (log‘𝐵)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) / 𝐶) ↔ (log‘𝐴) = ((log‘𝐵) + (((i · (2 · π)) · 𝑛) / 𝐶))))
39	30, 38	bitr3d 284	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝐶 · (log‘𝐴)) = ((𝐶 · (log‘𝐵)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) ↔ (log‘𝐴) = ((log‘𝐵) + (((i · (2 · π)) · 𝑛) / 𝐶))))
40	39	rexbidva 3186	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑛 ∈ ℤ (𝐶 · (log‘𝐴)) = ((𝐶 · (log‘𝐵)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (log‘𝐴) = ((log‘𝐵) + (((i · (2 · π)) · 𝑛) / 𝐶))))
41	8, 13, 40	3bitrd 308	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑐𝐶) = (𝐵↑𝑐𝐶) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (log‘𝐴) = ((log‘𝐵) + (((i · (2 · π)) · 𝑛) / 𝐶))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ∃wrex 3088  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  ℂcc 11126  0cc0 11128  ici 11130   + caddc 11131   · cmul 11133   / cdiv 11899  2c2 12323  ℤcz 12619  expce 16153  πcpi 16158  logclog 26799  ↑_𝑐ccxp 26800

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-inf2 9624  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206  ax-addf 11207

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-of 7682  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8163  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-ixp 8909  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-fsupp 9336  df-fi 9385  df-sup 9416  df-inf 9417  df-oi 9486  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-9 12338  df-n0 12533  df-z 12620  df-dec 12741  df-uz 12892  df-q 13002  df-rp 13047  df-xneg 13167  df-xadd 13168  df-xmul 13169  df-ioo 13406  df-ioc 13407  df-ico 13408  df-icc 13409  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-fl 13857  df-mod 13935  df-seq 14070  df-exp 14130  df-fac 14342  df-bc 14371  df-hash 14399  df-shft 15144  df-cj 15190  df-re 15191  df-im 15192  df-sqrt 15326  df-abs 15327  df-limsup 15562  df-clim 15579  df-rlim 15580  df-sum 15778  df-ef 16159  df-sin 16161  df-cos 16162  df-pi 16164  df-struct 17245  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-ress 17329  df-plusg 17361  df-mulr 17362  df-starv 17363  df-sca 17364  df-vsca 17365  df-ip 17366  df-tset 17367  df-ple 17368  df-ds 17370  df-unif 17371  df-hom 17372  df-cco 17373  df-rest 17513  df-topn 17514  df-0g 17532  df-gsum 17533  df-topgen 17534  df-pt 17535  df-prds 17538  df-xrs 17594  df-qtop 17599  df-imas 17600  df-xps 17602  df-mre 17676  df-mrc 17677  df-acs 17679  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-submnd 18898  df-mulg 19197  df-cntz 19450  df-cmn 19915  df-psmet 21583  df-xmet 21584  df-met 21585  df-bl 21586  df-mopn 21587  df-fbas 21588  df-fg 21589  df-cnfld 21592  df-top 23125  df-topon 23142  df-topsp 23164  df-bases 23177  df-cld 23250  df-ntr 23251  df-cls 23252  df-nei 23329  df-lp 23367  df-perf 23368  df-cn 23458  df-cnp 23459  df-haus 23546  df-tx 23794  df-hmeo 23987  df-fil 24078  df-fm 24170  df-flim 24171  df-flf 24172  df-xms 24552  df-ms 24553  df-tms 24554  df-cncf 25112  df-limc 26100  df-dv 26101  df-log 26801  df-cxp 26802

This theorem is used by: (None)