Theorem cxp111d 42374

Description: General condition for complex exponentiation to be one-to-one with respect to the first argument. (Contributed by SN, 25-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
cxp111d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
cxp111d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
cxp111d.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
cxp111d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
cxp111d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
cxp111d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
cxp111d	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑐𝐶) = (𝐵↑𝑐𝐶) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (log‘𝐴) = ((log‘𝐵) + (((i · (2 · π)) · 𝑛) / 𝐶))))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑛   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝐶,𝑛

Proof of Theorem cxp111d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cxp111d.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		cxp111d.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		cxp111d.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	cxpefd 26646	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑐𝐶) = (exp‘(𝐶 · (log‘𝐴))))
5		cxp111d.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
6		cxp111d.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
7	5, 6, 3	cxpefd 26646	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑐𝐶) = (exp‘(𝐶 · (log‘𝐵))))
8	4, 7	eqeq12d 2747	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑐𝐶) = (𝐵↑𝑐𝐶) ↔ (exp‘(𝐶 · (log‘𝐴))) = (exp‘(𝐶 · (log‘𝐵)))))
9	1, 2	logcld 26504	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
10	3, 9	mulcld 11129	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · (log‘𝐴)) ∈ ℂ)
11	5, 6	logcld 26504	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐵) ∈ ℂ)
12	3, 11	mulcld 11129	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · (log‘𝐵)) ∈ ℂ)
13	10, 12	ef11d 42371	. 2 ⊢ (𝜑 → ((exp‘(𝐶 · (log‘𝐴))) = (exp‘(𝐶 · (log‘𝐵))) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐶 · (log‘𝐴)) = ((𝐶 · (log‘𝐵)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛))))
14	10	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝐶 · (log‘𝐴)) ∈ ℂ)
15	12	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝐶 · (log‘𝐵)) ∈ ℂ)
16		ax-icn 11062	. . . . . . . . 9 ⊢ i ∈ ℂ
17		2cn 12197	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
18		picn 26392	. . . . . . . . . 10 ⊢ π ∈ ℂ
19	17, 18	mulcli 11116	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · π) ∈ ℂ
20	16, 19	mulcli 11116	. . . . . . . 8 ⊢ (i · (2 · π)) ∈ ℂ
21	20	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (i · (2 · π)) ∈ ℂ)
22		zcn 12470	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
23	22	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℂ)
24	21, 23	mulcld 11129	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((i · (2 · π)) · 𝑛) ∈ ℂ)
25	15, 24	addcld 11128	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝐶 · (log‘𝐵)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) ∈ ℂ)
26	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℂ)
27		cxp111d.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
28	27	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝐶 ≠ 0)
29		div11 11801	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 · (log‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ ((𝐶 · (log‘𝐵)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((𝐶 · (log‘𝐴)) / 𝐶) = (((𝐶 · (log‘𝐵)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) / 𝐶) ↔ (𝐶 · (log‘𝐴)) = ((𝐶 · (log‘𝐵)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛))))
30	14, 25, 26, 28, 29	syl112anc 1376	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((𝐶 · (log‘𝐴)) / 𝐶) = (((𝐶 · (log‘𝐵)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) / 𝐶) ↔ (𝐶 · (log‘𝐴)) = ((𝐶 · (log‘𝐵)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛))))
31	9, 3, 27	divcan3d 11899	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · (log‘𝐴)) / 𝐶) = (log‘𝐴))
32	31	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝐶 · (log‘𝐴)) / 𝐶) = (log‘𝐴))
33	15, 24, 26, 28	divdird 11932	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((𝐶 · (log‘𝐵)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) / 𝐶) = (((𝐶 · (log‘𝐵)) / 𝐶) + (((i · (2 · π)) · 𝑛) / 𝐶)))
34	11, 3, 27	divcan3d 11899	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · (log‘𝐵)) / 𝐶) = (log‘𝐵))
35	34	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝐶 · (log‘𝐵)) / 𝐶) = (log‘𝐵))
36	35	oveq1d 7361	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((𝐶 · (log‘𝐵)) / 𝐶) + (((i · (2 · π)) · 𝑛) / 𝐶)) = ((log‘𝐵) + (((i · (2 · π)) · 𝑛) / 𝐶)))
37	33, 36	eqtrd 2766	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((𝐶 · (log‘𝐵)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) / 𝐶) = ((log‘𝐵) + (((i · (2 · π)) · 𝑛) / 𝐶)))
38	32, 37	eqeq12d 2747	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((𝐶 · (log‘𝐴)) / 𝐶) = (((𝐶 · (log‘𝐵)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) / 𝐶) ↔ (log‘𝐴) = ((log‘𝐵) + (((i · (2 · π)) · 𝑛) / 𝐶))))
39	30, 38	bitr3d 281	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝐶 · (log‘𝐴)) = ((𝐶 · (log‘𝐵)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) ↔ (log‘𝐴) = ((log‘𝐵) + (((i · (2 · π)) · 𝑛) / 𝐶))))
40	39	rexbidva 3154	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑛 ∈ ℤ (𝐶 · (log‘𝐴)) = ((𝐶 · (log‘𝐵)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (log‘𝐴) = ((log‘𝐵) + (((i · (2 · π)) · 𝑛) / 𝐶))))
41	8, 13, 40	3bitrd 305	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑐𝐶) = (𝐵↑𝑐𝐶) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (log‘𝐴) = ((log‘𝐵) + (((i · (2 · π)) · 𝑛) / 𝐶))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∃wrex 3056  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℂcc 11001  0cc0 11003  ici 11005   + caddc 11006   · cmul 11008   / cdiv 11771  2c2 12177  ℤcz 12465  expce 15965  πcpi 15970  logclog 26488  ↑_𝑐ccxp 26489

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080  ax-pre-sup 11081  ax-addf 11082

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-fi 9295  df-sup 9326  df-inf 9327  df-oi 9396  df-card 9829  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-div 11772  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-4 12187  df-5 12188  df-6 12189  df-7 12190  df-8 12191  df-9 12192  df-n0 12379  df-z 12466  df-dec 12586  df-uz 12730  df-q 12844  df-rp 12888  df-xneg 13008  df-xadd 13009  df-xmul 13010  df-ioo 13246  df-ioc 13247  df-ico 13248  df-icc 13249  df-fz 13405  df-fzo 13552  df-fl 13693  df-mod 13771  df-seq 13906  df-exp 13966  df-fac 14178  df-bc 14207  df-hash 14235  df-shft 14971  df-cj 15003  df-re 15004  df-im 15005  df-sqrt 15139  df-abs 15140  df-limsup 15375  df-clim 15392  df-rlim 15393  df-sum 15591  df-ef 15971  df-sin 15973  df-cos 15974  df-pi 15976  df-struct 17055  df-sets 17072  df-slot 17090  df-ndx 17102  df-base 17118  df-ress 17139  df-plusg 17171  df-mulr 17172  df-starv 17173  df-sca 17174  df-vsca 17175  df-ip 17176  df-tset 17177  df-ple 17178  df-ds 17180  df-unif 17181  df-hom 17182  df-cco 17183  df-rest 17323  df-topn 17324  df-0g 17342  df-gsum 17343  df-topgen 17344  df-pt 17345  df-prds 17348  df-xrs 17403  df-qtop 17408  df-imas 17409  df-xps 17411  df-mre 17485  df-mrc 17486  df-acs 17488  df-mgm 18545  df-sgrp 18624  df-mnd 18640  df-submnd 18689  df-mulg 18978  df-cntz 19227  df-cmn 19692  df-psmet 21281  df-xmet 21282  df-met 21283  df-bl 21284  df-mopn 21285  df-fbas 21286  df-fg 21287  df-cnfld 21290  df-top 22807  df-topon 22824  df-topsp 22846  df-bases 22859  df-cld 22932  df-ntr 22933  df-cls 22934  df-nei 23011  df-lp 23049  df-perf 23050  df-cn 23140  df-cnp 23141  df-haus 23228  df-tx 23475  df-hmeo 23668  df-fil 23759  df-fm 23851  df-flim 23852  df-flf 23853  df-xms 24233  df-ms 24234  df-tms 24235  df-cncf 24796  df-limc 25792  df-dv 25793  df-log 26490  df-cxp 26491

This theorem is referenced by: (None)