Theorem logcld 25735

Description: The logarithm of a nonzero complex number is a complex number. Deduction form of logcl 25733. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
logcld.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
logcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
logcld	⊢ (𝜑 → (log‘𝑋) ∈ ℂ)

Proof of Theorem logcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		logcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
2		logcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0)
3		logcl 25733	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ≠ 0) → (log‘𝑋) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (log‘𝑋) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2944  ‘cfv 6437  ℂcc 10878  0cc0 10880  logclog 25719

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-rep 5210  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-inf2 9408  ax-cnex 10936  ax-resscn 10937  ax-1cn 10938  ax-icn 10939  ax-addcl 10940  ax-addrcl 10941  ax-mulcl 10942  ax-mulrcl 10943  ax-mulcom 10944  ax-addass 10945  ax-mulass 10946  ax-distr 10947  ax-i2m1 10948  ax-1ne0 10949  ax-1rid 10950  ax-rnegex 10951  ax-rrecex 10952  ax-cnre 10953  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955  ax-pre-ltadd 10956  ax-pre-mulgt0 10957  ax-pre-sup 10958  ax-addf 10959  ax-mulf 10960

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rmo 3072  df-reu 3073  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4841  df-int 4881  df-iun 4927  df-iin 4928  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-se 5546  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-isom 6446  df-riota 7241  df-ov 7287  df-oprab 7288  df-mpo 7289  df-of 7542  df-om 7722  df-1st 7840  df-2nd 7841  df-supp 7987  df-frecs 8106  df-wrecs 8137  df-recs 8211  df-rdg 8250  df-1o 8306  df-2o 8307  df-er 8507  df-map 8626  df-pm 8627  df-ixp 8695  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-fin 8746  df-fsupp 9138  df-fi 9179  df-sup 9210  df-inf 9211  df-oi 9278  df-card 9706  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-xr 11022  df-ltxr 11023  df-le 11024  df-sub 11216  df-neg 11217  df-div 11642  df-nn 11983  df-2 12045  df-3 12046  df-4 12047  df-5 12048  df-6 12049  df-7 12050  df-8 12051  df-9 12052  df-n0 12243  df-z 12329  df-dec 12447  df-uz 12592  df-q 12698  df-rp 12740  df-xneg 12857  df-xadd 12858  df-xmul 12859  df-ioo 13092  df-ioc 13093  df-ico 13094  df-icc 13095  df-fz 13249  df-fzo 13392  df-fl 13521  df-mod 13599  df-seq 13731  df-exp 13792  df-fac 13997  df-bc 14026  df-hash 14054  df-shft 14787  df-cj 14819  df-re 14820  df-im 14821  df-sqrt 14955  df-abs 14956  df-limsup 15189  df-clim 15206  df-rlim 15207  df-sum 15407  df-ef 15786  df-sin 15788  df-cos 15789  df-pi 15791  df-struct 16857  df-sets 16874  df-slot 16892  df-ndx 16904  df-base 16922  df-ress 16951  df-plusg 16984  df-mulr 16985  df-starv 16986  df-sca 16987  df-vsca 16988  df-ip 16989  df-tset 16990  df-ple 16991  df-ds 16993  df-unif 16994  df-hom 16995  df-cco 16996  df-rest 17142  df-topn 17143  df-0g 17161  df-gsum 17162  df-topgen 17163  df-pt 17164  df-prds 17167  df-xrs 17222  df-qtop 17227  df-imas 17228  df-xps 17230  df-mre 17304  df-mrc 17305  df-acs 17307  df-mgm 18335  df-sgrp 18384  df-mnd 18395  df-submnd 18440  df-mulg 18710  df-cntz 18932  df-cmn 19397  df-psmet 20598  df-xmet 20599  df-met 20600  df-bl 20601  df-mopn 20602  df-fbas 20603  df-fg 20604  df-cnfld 20607  df-top 22052  df-topon 22069  df-topsp 22091  df-bases 22105  df-cld 22179  df-ntr 22180  df-cls 22181  df-nei 22258  df-lp 22296  df-perf 22297  df-cn 22387  df-cnp 22388  df-haus 22475  df-tx 22722  df-hmeo 22915  df-fil 23006  df-fm 23098  df-flim 23099  df-flf 23100  df-xms 23482  df-ms 23483  df-tms 23484  df-cncf 24050  df-limc 25039  df-dv 25040  df-log 25721

This theorem is referenced by:  logimclad  25737  eflogeq  25766  cosargd  25772  logcnlem3  25808  logcnlem4  25809  logcnlem5  25810  logcn  25811  dvloglem  25812  logf1o2  25814  logtayl  25824  logtayl2  25826  mulcxp  25849  dvcncxp1  25905  cxpeq  25919  logrec  25922  logbcl  25926  logb1  25928  relogbreexp  25934  nnlogbexp  25940  logbrec  25941  ang180lem1  25968  ang180lem2  25969  ang180lem3  25970  ang180lem4  25971  lawcos  25975  isosctrlem1  25977  isosctrlem2  25978  asinf  26031  atanf  26039  asinneg  26045  efiasin  26047  asinbnd  26058  atanneg  26066  atancj  26069  efiatan  26071  atanlogaddlem  26072  atanlogadd  26073  atanlogsublem  26074  atanlogsub  26075  efiatan2  26076  2efiatan  26077  atantan  26082  atanbndlem  26084  dvatan  26094  atantayl  26096  efrlim  26128  lgamgulmlem2  26188  lgamgulmlem3  26189  lgamgulmlem5  26191  lgamgulmlem6  26192  lgamgulm2  26194  lgambdd  26195  lgamcvg2  26213  gamcvg  26214  gamp1  26216  gamcvg2lem  26217  hgt750lemd  32637  logdivsqrle  32639  hgt750lemb  32645  iprodgam  33717  dvasin  35870  aks4d1p1p1  40078  dvrelog2  40079  dvrelog3  40080  dvrelog2b  40081  dvrelogpow2b  40083  aks4d1p1p6  40088  aks4d1p1p7  40089  aks4d1p1p5  40090  isosctrlem1ALT  42561  stirlinglem4  43625  stirlinglem5  43626  stirlinglem7  43628  stirlinglem12  43633  stirlinglem14  43635