Theorem logcld 26507

Description: The logarithm of a nonzero complex number is a complex number. Deduction form of logcl 26505. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
logcld.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
logcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
logcld	⊢ (𝜑 → (log‘𝑋) ∈ ℂ)

Proof of Theorem logcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		logcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
2		logcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0)
3		logcl 26505	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ≠ 0) → (log‘𝑋) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (log‘𝑋) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  ‘cfv 6486  ℂcc 11011  0cc0 11013  logclog 26491

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-inf2 9538  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090  ax-pre-sup 11091  ax-addf 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-of 7616  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-supp 8097  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-2o 8392  df-er 8628  df-map 8758  df-pm 8759  df-ixp 8828  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-fsupp 9253  df-fi 9302  df-sup 9333  df-inf 9334  df-oi 9403  df-card 9839  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-div 11782  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-4 12197  df-5 12198  df-6 12199  df-7 12200  df-8 12201  df-9 12202  df-n0 12389  df-z 12476  df-dec 12595  df-uz 12739  df-q 12849  df-rp 12893  df-xneg 13013  df-xadd 13014  df-xmul 13015  df-ioo 13251  df-ioc 13252  df-ico 13253  df-icc 13254  df-fz 13410  df-fzo 13557  df-fl 13698  df-mod 13776  df-seq 13911  df-exp 13971  df-fac 14183  df-bc 14212  df-hash 14240  df-shft 14976  df-cj 15008  df-re 15009  df-im 15010  df-sqrt 15144  df-abs 15145  df-limsup 15380  df-clim 15397  df-rlim 15398  df-sum 15596  df-ef 15976  df-sin 15978  df-cos 15979  df-pi 15981  df-struct 17060  df-sets 17077  df-slot 17095  df-ndx 17107  df-base 17123  df-ress 17144  df-plusg 17176  df-mulr 17177  df-starv 17178  df-sca 17179  df-vsca 17180  df-ip 17181  df-tset 17182  df-ple 17183  df-ds 17185  df-unif 17186  df-hom 17187  df-cco 17188  df-rest 17328  df-topn 17329  df-0g 17347  df-gsum 17348  df-topgen 17349  df-pt 17350  df-prds 17353  df-xrs 17408  df-qtop 17413  df-imas 17414  df-xps 17416  df-mre 17490  df-mrc 17491  df-acs 17493  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-submnd 18694  df-mulg 18983  df-cntz 19231  df-cmn 19696  df-psmet 21285  df-xmet 21286  df-met 21287  df-bl 21288  df-mopn 21289  df-fbas 21290  df-fg 21291  df-cnfld 21294  df-top 22810  df-topon 22827  df-topsp 22849  df-bases 22862  df-cld 22935  df-ntr 22936  df-cls 22937  df-nei 23014  df-lp 23052  df-perf 23053  df-cn 23143  df-cnp 23144  df-haus 23231  df-tx 23478  df-hmeo 23671  df-fil 23762  df-fm 23854  df-flim 23855  df-flf 23856  df-xms 24236  df-ms 24237  df-tms 24238  df-cncf 24799  df-limc 25795  df-dv 25796  df-log 26493

This theorem is referenced by:  logimclad  26509  eflogeq  26539  cosargd  26545  logcnlem3  26581  logcnlem4  26582  logcnlem5  26583  logcn  26584  dvloglem  26585  logf1o2  26587  logtayl  26597  logtayl2  26599  mulcxp  26622  dvcncxp1  26680  cxpeq  26695  logrec  26701  logbcl  26705  logb1  26707  relogbreexp  26713  nnlogbexp  26719  logbrec  26720  ang180lem1  26747  ang180lem2  26748  ang180lem3  26749  ang180lem4  26750  lawcos  26754  isosctrlem1  26756  isosctrlem2  26757  asinf  26810  atanf  26818  asinneg  26824  efiasin  26826  asinbnd  26837  atanneg  26845  atancj  26848  efiatan  26850  atanlogaddlem  26851  atanlogadd  26852  atanlogsublem  26853  atanlogsub  26854  efiatan2  26855  2efiatan  26856  atantan  26861  atanbndlem  26863  dvatan  26873  atantayl  26875  efrlim  26907  efrlimOLD  26908  lgamgulmlem2  26968  lgamgulmlem3  26969  lgamgulmlem5  26971  lgamgulmlem6  26972  lgamgulm2  26974  lgambdd  26975  lgamcvg2  26993  gamcvg  26994  gamp1  26996  gamcvg2lem  26997  arginv  32735  argcj  32736  hgt750lemd  34682  logdivsqrle  34684  hgt750lemb  34690  iprodgam  35807  dvasin  37764  aks4d1p1p1  42176  dvrelog2  42177  dvrelog3  42178  dvrelog2b  42179  dvrelogpow2b  42181  aks4d1p1p6  42186  aks4d1p1p7  42187  aks4d1p1p5  42188  cxp112d  42459  cxp111d  42460  readvrec2  42479  readvrec  42480  readvcot  42482  isosctrlem1ALT  45050  stirlinglem4  46199  stirlinglem5  46200  stirlinglem7  46202  stirlinglem12  46207  stirlinglem14  46209