MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrmusum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrmusum 26615
Description: The sum of the Möbius function multiplied by a non-principal Dirichlet character, divided by 𝑛, is bounded. Equation 9.4.16 of [Shapiro], p. 379. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
dchrmusum.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrmusum.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrmusum.1 1 = (0g𝐺)
dchrmusum.b (𝜑𝑋𝐷)
dchrmusum.n1 (𝜑𝑋1 )
Assertion
Ref Expression
dchrmusum (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((μ‘𝑛) / 𝑛))) ∈ 𝑂(1))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛, 1   𝑛,𝑁,𝑥   𝜑,𝑛,𝑥   𝑛,𝑍,𝑥   𝐷,𝑛,𝑥   𝑛,𝐿,𝑥   𝑛,𝑋,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem dchrmusum
Dummy variables 𝑦 𝑐 𝑡 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpvmasum.z . . 3 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
2 rpvmasum.l . . 3 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
3 rpvmasum.a . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
4 dchrmusum.g . . 3 𝐺 = (DChr‘𝑁)
5 dchrmusum.d . . 3 𝐷 = (Base‘𝐺)
6 dchrmusum.1 . . 3 1 = (0g𝐺)
7 dchrmusum.b . . 3 (𝜑𝑋𝐷)
8 dchrmusum.n1 . . 3 (𝜑𝑋1 )
9 eqid 2737 . . 3 (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)) = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9dchrmusumlema 26584 . 2 (𝜑 → ∃𝑡𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))
113adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → 𝑁 ∈ ℕ)
127adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → 𝑋𝐷)
138adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → 𝑋1 )
14 simprl 767 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → 𝑐 ∈ (0[,)+∞))
15 simprrl 777 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡)
16 simprrr 778 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦))
171, 2, 11, 4, 5, 6, 12, 13, 9, 14, 15, 16dchrmusumlem 26613 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((μ‘𝑛) / 𝑛))) ∈ 𝑂(1))
1817rexlimdvaa 3212 . . 3 (𝜑 → (∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((μ‘𝑛) / 𝑛))) ∈ 𝑂(1)))
1918exlimdv 1937 . 2 (𝜑 → (∃𝑡𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((μ‘𝑛) / 𝑛))) ∈ 𝑂(1)))
2010, 19mpd 15 1 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((μ‘𝑛) / 𝑛))) ∈ 𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1539  wex 1783  wcel 2107  wne 2941  wral 3062  wrex 3063   class class class wbr 5075  cmpt 5158  cfv 6423  (class class class)co 7260  0cc0 10818  1c1 10819   + caddc 10821   · cmul 10823  +∞cpnf 10953  cle 10957  cmin 11151   / cdiv 11578  cn 11919  +crp 12675  [,)cico 13026  ...cfz 13184  cfl 13454  seqcseq 13665  abscabs 14889  cli 15137  𝑂(1)co1 15139  Σcsu 15341  Basecbs 16856  0gc0g 17094  ℤRHomczrh 20645  ℤ/nczn 20648  μcmu 26187  DChrcdchr 26323
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5210  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7571  ax-inf2 9345  ax-cnex 10874  ax-resscn 10875  ax-1cn 10876  ax-icn 10877  ax-addcl 10878  ax-addrcl 10879  ax-mulcl 10880  ax-mulrcl 10881  ax-mulcom 10882  ax-addass 10883  ax-mulass 10884  ax-distr 10885  ax-i2m1 10886  ax-1ne0 10887  ax-1rid 10888  ax-rnegex 10889  ax-rrecex 10890  ax-cnre 10891  ax-pre-lttri 10892  ax-pre-lttrn 10893  ax-pre-ltadd 10894  ax-pre-mulgt0 10895  ax-pre-sup 10896  ax-addf 10897  ax-mulf 10898
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3067  df-rex 3068  df-reu 3069  df-rmo 3070  df-rab 3071  df-v 3429  df-sbc 3717  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4259  df-if 4462  df-pw 4537  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4842  df-int 4882  df-iun 4928  df-iin 4929  df-disj 5041  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5485  df-eprel 5491  df-po 5499  df-so 5500  df-fr 5540  df-se 5541  df-we 5542  df-xp 5591  df-rel 5592  df-cnv 5593  df-co 5594  df-dm 5595  df-rn 5596  df-res 5597  df-ima 5598  df-pred 6196  df-ord 6259  df-on 6260  df-lim 6261  df-suc 6262  df-iota 6381  df-fun 6425  df-fn 6426  df-f 6427  df-f1 6428  df-fo 6429  df-f1o 6430  df-fv 6431  df-isom 6432  df-riota 7217  df-ov 7263  df-oprab 7264  df-mpo 7265  df-of 7516  df-rpss 7559  df-om 7693  df-1st 7809  df-2nd 7810  df-supp 7954  df-tpos 8018  df-frecs 8073  df-wrecs 8104  df-recs 8178  df-rdg 8217  df-1o 8272  df-2o 8273  df-oadd 8276  df-omul 8277  df-er 8461  df-ec 8463  df-qs 8467  df-map 8580  df-pm 8581  df-ixp 8649  df-en 8697  df-dom 8698  df-sdom 8699  df-fin 8700  df-fsupp 9075  df-fi 9116  df-sup 9147  df-inf 9148  df-oi 9215  df-dju 9606  df-card 9644  df-acn 9647  df-pnf 10958  df-mnf 10959  df-xr 10960  df-ltxr 10961  df-le 10962  df-sub 11153  df-neg 11154  df-div 11579  df-nn 11920  df-2 11982  df-3 11983  df-4 11984  df-5 11985  df-6 11986  df-7 11987  df-8 11988  df-9 11989  df-n0 12180  df-xnn0 12252  df-z 12266  df-dec 12383  df-uz 12528  df-q 12634  df-rp 12676  df-xneg 12793  df-xadd 12794  df-xmul 12795  df-ioo 13028  df-ioc 13029  df-ico 13030  df-icc 13031  df-fz 13185  df-fzo 13328  df-fl 13456  df-mod 13534  df-seq 13666  df-exp 13727  df-fac 13932  df-bc 13961  df-hash 13989  df-word 14162  df-concat 14218  df-s1 14245  df-shft 14722  df-cj 14754  df-re 14755  df-im 14756  df-sqrt 14890  df-abs 14891  df-limsup 15124  df-clim 15141  df-rlim 15142  df-o1 15143  df-lo1 15144  df-sum 15342  df-ef 15721  df-e 15722  df-sin 15723  df-cos 15724  df-tan 15725  df-pi 15726  df-dvds 15908  df-gcd 16146  df-prm 16321  df-numer 16383  df-denom 16384  df-phi 16411  df-pc 16482  df-struct 16792  df-sets 16809  df-slot 16827  df-ndx 16839  df-base 16857  df-ress 16886  df-plusg 16919  df-mulr 16920  df-starv 16921  df-sca 16922  df-vsca 16923  df-ip 16924  df-tset 16925  df-ple 16926  df-ds 16928  df-unif 16929  df-hom 16930  df-cco 16931  df-rest 17077  df-topn 17078  df-0g 17096  df-gsum 17097  df-topgen 17098  df-pt 17099  df-prds 17102  df-xrs 17157  df-qtop 17162  df-imas 17163  df-qus 17164  df-xps 17165  df-mre 17239  df-mrc 17240  df-acs 17242  df-mgm 18270  df-sgrp 18319  df-mnd 18330  df-mhm 18374  df-submnd 18375  df-grp 18524  df-minusg 18525  df-sbg 18526  df-mulg 18645  df-subg 18696  df-nsg 18697  df-eqg 18698  df-ghm 18776  df-gim 18819  df-ga 18840  df-cntz 18867  df-oppg 18894  df-od 19080  df-gex 19081  df-pgp 19082  df-lsm 19185  df-pj1 19186  df-cmn 19332  df-abl 19333  df-cyg 19422  df-dprd 19542  df-dpj 19543  df-mgp 19665  df-ur 19682  df-ring 19729  df-cring 19730  df-oppr 19806  df-dvdsr 19827  df-unit 19828  df-invr 19858  df-dvr 19869  df-rnghom 19903  df-drng 19937  df-subrg 19966  df-lmod 20069  df-lss 20138  df-lsp 20178  df-sra 20378  df-rgmod 20379  df-lidl 20380  df-rsp 20381  df-2idl 20447  df-psmet 20533  df-xmet 20534  df-met 20535  df-bl 20536  df-mopn 20537  df-fbas 20538  df-fg 20539  df-cnfld 20542  df-zring 20615  df-zrh 20649  df-zn 20652  df-top 21987  df-topon 22004  df-topsp 22026  df-bases 22040  df-cld 22114  df-ntr 22115  df-cls 22116  df-nei 22193  df-lp 22231  df-perf 22232  df-cn 22322  df-cnp 22323  df-haus 22410  df-cmp 22482  df-tx 22657  df-hmeo 22850  df-fil 22941  df-fm 23033  df-flim 23034  df-flf 23035  df-xms 23417  df-ms 23418  df-tms 23419  df-cncf 23985  df-0p 24777  df-limc 24973  df-dv 24974  df-ply 25292  df-idp 25293  df-coe 25294  df-dgr 25295  df-quot 25394  df-ulm 25479  df-log 25655  df-cxp 25656  df-atan 25960  df-em 26085  df-cht 26189  df-vma 26190  df-chp 26191  df-ppi 26192  df-mu 26193  df-dchr 26324
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator