MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrmusum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrmusum 27034
Description: The sum of the MΓΆbius function multiplied by a non-principal Dirichlet character, divided by 𝑛, is bounded. Equation 9.4.16 of [Shapiro], p. 379. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
rpvmasum.l 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
rpvmasum.a (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
dchrmusum.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
dchrmusum.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
dchrmusum.1 1 = (0gβ€˜πΊ)
dchrmusum.b (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrmusum.n1 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  1 )
Assertion
Ref Expression
dchrmusum (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛))) ∈ 𝑂(1))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑛, 1   𝑛,𝑁,π‘₯   πœ‘,𝑛,π‘₯   𝑛,𝑍,π‘₯   𝐷,𝑛,π‘₯   𝑛,𝐿,π‘₯   𝑛,𝑋,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐺(π‘₯,𝑛)

Proof of Theorem dchrmusum
Dummy variables 𝑦 𝑐 𝑑 π‘Ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpvmasum.z . . 3 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
2 rpvmasum.l . . 3 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
3 rpvmasum.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
4 dchrmusum.g . . 3 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
5 dchrmusum.d . . 3 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
6 dchrmusum.1 . . 3 1 = (0gβ€˜πΊ)
7 dchrmusum.b . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
8 dchrmusum.n1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  1 )
9 eqid 2732 . . 3 (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž)) = (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž))
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9dchrmusumlema 27003 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘‘βˆƒπ‘ ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž))) ⇝ 𝑑 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž)))β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 / 𝑦)))
113adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž))) ⇝ 𝑑 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž)))β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 / 𝑦)))) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
127adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž))) ⇝ 𝑑 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž)))β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 / 𝑦)))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
138adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž))) ⇝ 𝑑 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž)))β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 / 𝑦)))) β†’ 𝑋 β‰  1 )
14 simprl 769 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž))) ⇝ 𝑑 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž)))β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 / 𝑦)))) β†’ 𝑐 ∈ (0[,)+∞))
15 simprrl 779 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž))) ⇝ 𝑑 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž)))β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 / 𝑦)))) β†’ seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž))) ⇝ 𝑑)
16 simprrr 780 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž))) ⇝ 𝑑 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž)))β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 / 𝑦)))) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž)))β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 / 𝑦))
171, 2, 11, 4, 5, 6, 12, 13, 9, 14, 15, 16dchrmusumlem 27032 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž))) ⇝ 𝑑 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž)))β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 / 𝑦)))) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛))) ∈ 𝑂(1))
1817rexlimdvaa 3156 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘ ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž))) ⇝ 𝑑 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž)))β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 / 𝑦)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛))) ∈ 𝑂(1)))
1918exlimdv 1936 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘‘βˆƒπ‘ ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž))) ⇝ 𝑑 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž)))β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 / 𝑦)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛))) ∈ 𝑂(1)))
2010, 19mpd 15 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛))) ∈ 𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541  βˆƒwex 1781   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117  +∞cpnf 11247   ≀ cle 11251   βˆ’ cmin 11446   / cdiv 11873  β„•cn 12214  β„+crp 12976  [,)cico 13328  ...cfz 13486  βŒŠcfl 13757  seqcseq 13968  abscabs 15183   ⇝ cli 15430  π‘‚(1)co1 15432  Ξ£csu 15634  Basecbs 17146  0gc0g 17387  β„€RHomczrh 21055  β„€/nβ„€czn 21058  ΞΌcmu 26606  DChrcdchr 26742
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-rpss 7715  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-ec 8707  df-qs 8711  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-xnn0 12547  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-ioo 13330  df-ioc 13331  df-ico 13332  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-mod 13837  df-seq 13969  df-exp 14030  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-word 14467  df-concat 14523  df-s1 14548  df-shft 15016  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-limsup 15417  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-o1 15436  df-lo1 15437  df-sum 15635  df-ef 16013  df-e 16014  df-sin 16015  df-cos 16016  df-tan 16017  df-pi 16018  df-dvds 16200  df-gcd 16438  df-prm 16611  df-numer 16673  df-denom 16674  df-phi 16701  df-pc 16772  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-hom 17223  df-cco 17224  df-rest 17370  df-topn 17371  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-topgen 17391  df-pt 17392  df-prds 17395  df-xrs 17450  df-qtop 17455  df-imas 17456  df-qus 17457  df-xps 17458  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-mhm 18673  df-submnd 18674  df-grp 18824  df-minusg 18825  df-sbg 18826  df-mulg 18953  df-subg 19005  df-nsg 19006  df-eqg 19007  df-ghm 19092  df-gim 19135  df-ga 19156  df-cntz 19183  df-oppg 19212  df-od 19398  df-gex 19399  df-pgp 19400  df-lsm 19506  df-pj1 19507  df-cmn 19652  df-abl 19653  df-cyg 19748  df-dprd 19867  df-dpj 19868  df-mgp 19990  df-ur 20007  df-ring 20060  df-cring 20061  df-oppr 20154  df-dvdsr 20175  df-unit 20176  df-invr 20206  df-dvr 20219  df-rnghom 20255  df-subrg 20321  df-drng 20363  df-lmod 20477  df-lss 20548  df-lsp 20588  df-sra 20791  df-rgmod 20792  df-lidl 20793  df-rsp 20794  df-2idl 20863  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-fbas 20947  df-fg 20948  df-cnfld 20951  df-zring 21024  df-zrh 21059  df-zn 21062  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-bases 22456  df-cld 22530  df-ntr 22531  df-cls 22532  df-nei 22609  df-lp 22647  df-perf 22648  df-cn 22738  df-cnp 22739  df-haus 22826  df-cmp 22898  df-tx 23073  df-hmeo 23266  df-fil 23357  df-fm 23449  df-flim 23450  df-flf 23451  df-xms 23833  df-ms 23834  df-tms 23835  df-cncf 24401  df-0p 25194  df-limc 25390  df-dv 25391  df-ply 25709  df-idp 25710  df-coe 25711  df-dgr 25712  df-quot 25811  df-ulm 25896  df-log 26072  df-cxp 26073  df-atan 26379  df-em 26504  df-cht 26608  df-vma 26609  df-chp 26610  df-ppi 26611  df-mu 26612  df-dchr 26743
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator