Theorem qndenserrnopn 46303

Description: n-dimensional rational numbers are dense in the space of n-dimensional real numbers, with respect to the n-dimensional standard topology. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
qndenserrnopn.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
qndenserrnopn.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼))
qndenserrnopn.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝐽)
qndenserrnopn.n	⊢ (𝜑 → 𝑉 ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
qndenserrnopn	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼)𝑦 ∈ 𝑉)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐼   𝑦,𝑉   𝜑,𝑦

Allowed substitution hint:   𝐽(𝑦)

Proof of Theorem qndenserrnopn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qndenserrnopn.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ≠ ∅)
2		n0 4319	. . 3 ⊢ (𝑉 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑉)
3	1, 2	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑉)
4		qndenserrnopn.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
5	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝐼 ∈ Fin)
6		qndenserrnopn.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼))
7		qndenserrnopn.v	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝐽)
8	7	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑉 ∈ 𝐽)
9		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑥 ∈ 𝑉)
10		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (dist‘(ℝ^‘𝐼)) = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
11	5, 6, 8, 9, 10	qndenserrnopnlem 46302	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ∃𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼)𝑦 ∈ 𝑉)
12	11	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑉 → ∃𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼)𝑦 ∈ 𝑉))
13	12	exlimdv 1933	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑉 → ∃𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼)𝑦 ∈ 𝑉))
14	3, 13	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼)𝑦 ∈ 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∃wrex 3054  ∅c0 4299  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   ↑_m cmap 8802  Fincfn 8921  ℚcq 12914  distcds 17236  TopOpenctopn 17391  ℝ^crrx 25290

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153  ax-addf 11154  ax-mulf 11155

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-tpos 8208  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-map 8804  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-q 12915  df-rp 12959  df-xneg 13079  df-xadd 13080  df-xmul 13081  df-ioo 13317  df-ico 13319  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-seq 13974  df-exp 14034  df-hash 14303  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-clim 15461  df-sum 15660  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-rest 17392  df-topn 17393  df-0g 17411  df-gsum 17412  df-topgen 17413  df-prds 17417  df-pws 17419  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-mhm 18717  df-submnd 18718  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-sbg 18877  df-subg 19062  df-ghm 19152  df-cntz 19256  df-cmn 19719  df-abl 19720  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-cring 20152  df-oppr 20253  df-dvdsr 20273  df-unit 20274  df-invr 20304  df-dvr 20317  df-rhm 20388  df-subrng 20462  df-subrg 20486  df-drng 20647  df-field 20648  df-abv 20725  df-staf 20755  df-srng 20756  df-lmod 20775  df-lss 20845  df-lmhm 20936  df-lvec 21017  df-sra 21087  df-rgmod 21088  df-psmet 21263  df-xmet 21264  df-met 21265  df-bl 21266  df-mopn 21267  df-cnfld 21272  df-refld 21521  df-phl 21542  df-dsmm 21648  df-frlm 21663  df-top 22788  df-topon 22805  df-topsp 22827  df-bases 22840  df-xms 24215  df-ms 24216  df-nm 24477  df-ngp 24478  df-tng 24479  df-nrg 24480  df-nlm 24481  df-clm 24970  df-cph 25075  df-tcph 25076  df-rrx 25292

This theorem is referenced by:  qndenserrn  46304