Theorem qndenserrnopn 47045

Description: n-dimensional rational numbers are dense in the space of n-dimensional real numbers, with respect to the n-dimensional standard topology. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
qndenserrnopn.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
qndenserrnopn.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼))
qndenserrnopn.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝐽)
qndenserrnopn.n	⊢ (𝜑 → 𝑉 ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
qndenserrnopn	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼)𝑦 ∈ 𝑉)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐼   𝑦,𝑉   𝜑,𝑦

Allowed substitution hint:   𝐽(𝑦)

Proof of Theorem qndenserrnopn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qndenserrnopn.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ≠ ∅)
2		n0 4307	. . 3 ⊢ (𝑉 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑉)
3	1, 2	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑉)
4		qndenserrnopn.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
5	4	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝐼 ∈ Fin)
6		qndenserrnopn.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼))
7		qndenserrnopn.v	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝐽)
8	7	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑉 ∈ 𝐽)
9		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑥 ∈ 𝑉)
10		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (dist‘(ℝ^‘𝐼)) = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
11	5, 6, 8, 9, 10	qndenserrnopnlem 47044	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ∃𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼)𝑦 ∈ 𝑉)
12	11	ex 418	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑉 → ∃𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼)𝑦 ∈ 𝑉))
13	12	exlimdv 1966	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑉 → ∃𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼)𝑦 ∈ 𝑉))
14	3, 13	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼)𝑦 ∈ 𝑉)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∃wrex 3091  ∅c0 4286  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416   ↑_m cmap 8826  Fincfn 8945  ℚcq 12983  distcds 17336  TopOpenctopn 17491  ℝ^crrx 25571

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-inf2 9613  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189  ax-addf 11190  ax-mulf 11191

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7680  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8159  df-tpos 8224  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-map 8828  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9325  df-sup 9405  df-inf 9406  df-oi 9475  df-card 9937  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-7 12319  df-8 12320  df-9 12321  df-n0 12516  df-z 12603  df-dec 12723  df-uz 12874  df-q 12984  df-rp 13028  df-xneg 13148  df-xadd 13149  df-xmul 13150  df-ioo 13387  df-ico 13389  df-fz 13547  df-fzo 13695  df-seq 14051  df-exp 14111  df-hash 14380  df-cj 15169  df-re 15170  df-im 15171  df-sqrt 15305  df-abs 15306  df-clim 15558  df-sum 15757  df-struct 17224  df-sets 17241  df-slot 17259  df-ndx 17271  df-base 17287  df-ress 17308  df-plusg 17340  df-mulr 17341  df-starv 17342  df-sca 17343  df-vsca 17344  df-ip 17345  df-tset 17346  df-ple 17347  df-ds 17349  df-unif 17350  df-hom 17351  df-cco 17352  df-rest 17492  df-topn 17493  df-0g 17511  df-gsum 17512  df-topgen 17513  df-prds 17517  df-pws 17519  df-mgm 18715  df-sgrp 18798  df-mnd 18814  df-mhm 18864  df-submnd 18865  df-grp 19026  df-minusg 19027  df-sbg 19028  df-subg 19212  df-ghm 19307  df-cntz 19410  df-cmn 19875  df-abl 19876  df-mgp 20240  df-rng 20254  df-ur 20287  df-ring 20340  df-cring 20341  df-oppr 20444  df-dvdsr 20464  df-unit 20465  df-invr 20495  df-dvr 20508  df-rhm 20579  df-subrng 20674  df-subrg 20698  df-drng 20858  df-field 20859  df-abv 20941  df-staf 20971  df-srng 20972  df-lmod 21012  df-lss 21082  df-lmhm 21172  df-lvec 21253  df-sra 21323  df-rgmod 21324  df-psmet 21543  df-xmet 21544  df-met 21545  df-bl 21546  df-mopn 21547  df-cnfld 21552  df-refld 21784  df-phl 21805  df-dsmm 21911  df-frlm 21926  df-top 23080  df-topon 23097  df-topsp 23119  df-bases 23132  df-xms 24506  df-ms 24507  df-nm 24768  df-ngp 24769  df-tng 24770  df-nrg 24771  df-nlm 24772  df-clm 25251  df-cph 25356  df-tcph 25357  df-rrx 25573

This theorem is used by:  qndenserrn  47046