Theorem qndenserrnopn 46335

Description: n-dimensional rational numbers are dense in the space of n-dimensional real numbers, with respect to the n-dimensional standard topology. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
qndenserrnopn.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
qndenserrnopn.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼))
qndenserrnopn.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝐽)
qndenserrnopn.n	⊢ (𝜑 → 𝑉 ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
qndenserrnopn	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼)𝑦 ∈ 𝑉)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐼   𝑦,𝑉   𝜑,𝑦

Allowed substitution hint:   𝐽(𝑦)

Proof of Theorem qndenserrnopn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qndenserrnopn.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ≠ ∅)
2		n0 4303	. . 3 ⊢ (𝑉 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑉)
3	1, 2	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑉)
4		qndenserrnopn.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
5	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝐼 ∈ Fin)
6		qndenserrnopn.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼))
7		qndenserrnopn.v	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝐽)
8	7	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑉 ∈ 𝐽)
9		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑥 ∈ 𝑉)
10		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (dist‘(ℝ^‘𝐼)) = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
11	5, 6, 8, 9, 10	qndenserrnopnlem 46334	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ∃𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼)𝑦 ∈ 𝑉)
12	11	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑉 → ∃𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼)𝑦 ∈ 𝑉))
13	12	exlimdv 1934	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑉 → ∃𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼)𝑦 ∈ 𝑉))
14	3, 13	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼)𝑦 ∈ 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∃wrex 3056  ∅c0 4283  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   ↑_m cmap 8750  Fincfn 8869  ℚcq 12843  distcds 17167  TopOpenctopn 17322  ℝ^crrx 25308

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080  ax-pre-sup 11081  ax-addf 11082  ax-mulf 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-tpos 8156  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-map 8752  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-sup 9326  df-inf 9327  df-oi 9396  df-card 9829  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-div 11772  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-4 12187  df-5 12188  df-6 12189  df-7 12190  df-8 12191  df-9 12192  df-n0 12379  df-z 12466  df-dec 12586  df-uz 12730  df-q 12844  df-rp 12888  df-xneg 13008  df-xadd 13009  df-xmul 13010  df-ioo 13246  df-ico 13248  df-fz 13405  df-fzo 13552  df-seq 13906  df-exp 13966  df-hash 14235  df-cj 15003  df-re 15004  df-im 15005  df-sqrt 15139  df-abs 15140  df-clim 15392  df-sum 15591  df-struct 17055  df-sets 17072  df-slot 17090  df-ndx 17102  df-base 17118  df-ress 17139  df-plusg 17171  df-mulr 17172  df-starv 17173  df-sca 17174  df-vsca 17175  df-ip 17176  df-tset 17177  df-ple 17178  df-ds 17180  df-unif 17181  df-hom 17182  df-cco 17183  df-rest 17323  df-topn 17324  df-0g 17342  df-gsum 17343  df-topgen 17344  df-prds 17348  df-pws 17350  df-mgm 18545  df-sgrp 18624  df-mnd 18640  df-mhm 18688  df-submnd 18689  df-grp 18846  df-minusg 18847  df-sbg 18848  df-subg 19033  df-ghm 19123  df-cntz 19227  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-cring 20152  df-oppr 20253  df-dvdsr 20273  df-unit 20274  df-invr 20304  df-dvr 20317  df-rhm 20388  df-subrng 20459  df-subrg 20483  df-drng 20644  df-field 20645  df-abv 20722  df-staf 20752  df-srng 20753  df-lmod 20793  df-lss 20863  df-lmhm 20954  df-lvec 21035  df-sra 21105  df-rgmod 21106  df-psmet 21281  df-xmet 21282  df-met 21283  df-bl 21284  df-mopn 21285  df-cnfld 21290  df-refld 21540  df-phl 21561  df-dsmm 21667  df-frlm 21682  df-top 22807  df-topon 22824  df-topsp 22846  df-bases 22859  df-xms 24233  df-ms 24234  df-nm 24495  df-ngp 24496  df-tng 24497  df-nrg 24498  df-nlm 24499  df-clm 24988  df-cph 25093  df-tcph 25094  df-rrx 25310

This theorem is referenced by:  qndenserrn  46336