Theorem qndenserrnopn 46280

Description: n-dimensional rational numbers are dense in the space of n-dimensional real numbers, with respect to the n-dimensional standard topology. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
qndenserrnopn.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
qndenserrnopn.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼))
qndenserrnopn.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝐽)
qndenserrnopn.n	⊢ (𝜑 → 𝑉 ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
qndenserrnopn	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼)𝑦 ∈ 𝑉)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐼   𝑦,𝑉   𝜑,𝑦

Allowed substitution hint:   𝐽(𝑦)

Proof of Theorem qndenserrnopn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qndenserrnopn.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ≠ ∅)
2		n0 4306	. . 3 ⊢ (𝑉 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑉)
3	1, 2	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑉)
4		qndenserrnopn.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
5	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝐼 ∈ Fin)
6		qndenserrnopn.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼))
7		qndenserrnopn.v	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝐽)
8	7	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑉 ∈ 𝐽)
9		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑥 ∈ 𝑉)
10		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (dist‘(ℝ^‘𝐼)) = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
11	5, 6, 8, 9, 10	qndenserrnopnlem 46279	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ∃𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼)𝑦 ∈ 𝑉)
12	11	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑉 → ∃𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼)𝑦 ∈ 𝑉))
13	12	exlimdv 1933	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑉 → ∃𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼)𝑦 ∈ 𝑉))
14	3, 13	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼)𝑦 ∈ 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053  ∅c0 4286  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353   ↑_m cmap 8760  Fincfn 8879  ℚcq 12867  distcds 17188  TopOpenctopn 17343  ℝ^crrx 25299

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-inf2 9556  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106  ax-addf 11107  ax-mulf 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7617  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-map 8762  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9271  df-sup 9351  df-inf 9352  df-oi 9421  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-dec 12610  df-uz 12754  df-q 12868  df-rp 12912  df-xneg 13032  df-xadd 13033  df-xmul 13034  df-ioo 13270  df-ico 13272  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-seq 13927  df-exp 13987  df-hash 14256  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-clim 15413  df-sum 15612  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-hom 17203  df-cco 17204  df-rest 17344  df-topn 17345  df-0g 17363  df-gsum 17364  df-topgen 17365  df-prds 17369  df-pws 17371  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-mhm 18675  df-submnd 18676  df-grp 18833  df-minusg 18834  df-sbg 18835  df-subg 19020  df-ghm 19110  df-cntz 19214  df-cmn 19679  df-abl 19680  df-mgp 20044  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-cring 20139  df-oppr 20240  df-dvdsr 20260  df-unit 20261  df-invr 20291  df-dvr 20304  df-rhm 20375  df-subrng 20449  df-subrg 20473  df-drng 20634  df-field 20635  df-abv 20712  df-staf 20742  df-srng 20743  df-lmod 20783  df-lss 20853  df-lmhm 20944  df-lvec 21025  df-sra 21095  df-rgmod 21096  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-cnfld 21280  df-refld 21530  df-phl 21551  df-dsmm 21657  df-frlm 21672  df-top 22797  df-topon 22814  df-topsp 22836  df-bases 22849  df-xms 24224  df-ms 24225  df-nm 24486  df-ngp 24487  df-tng 24488  df-nrg 24489  df-nlm 24490  df-clm 24979  df-cph 25084  df-tcph 25085  df-rrx 25301

This theorem is referenced by:  qndenserrn  46281