Theorem cos9thpiminplylem6 34246

Description: Evaluation of the polynomial ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)). (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
cos9thpiminplylem3.1	⊢ 𝑂 = (exp‘((i · (2 · π)) / 3))
cos9thpiminplylem4.2	⊢ 𝑍 = (𝑂↑𝑐(1 / 3))
cos9thpiminplylem5.3	⊢ 𝐴 = (𝑍 + (1 / 𝑍))
cos9thpiminply.q	⊢ 𝑄 = (ℂfld ↾s ℚ)
cos9thpiminply.4	⊢ + = (+g‘𝑃)
cos9thpiminply.5	⊢ · = (.r‘𝑃)
cos9thpiminply.6	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
cos9thpiminply.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑄)
cos9thpiminply.k	⊢ 𝐾 = (algSc‘𝑃)
cos9thpiminply.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑄)
cos9thpiminply.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑄)
cos9thpiminply.f	⊢ 𝐹 = ((3 ↑ 𝑋) + (((𝐾‘-3) · 𝑋) + (𝐾‘1)))
cos9thpiminplylem6.1	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
cos9thpiminplylem6	⊢ (𝜑 → (((ℂfld evalSub1 ℚ)‘𝐹)‘𝑌) = ((𝑌↑3) + ((-3 · 𝑌) + 1)))

Proof of Theorem cos9thpiminplylem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cos9thpiminply.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = ((3 ↑ 𝑋) + (((𝐾‘-3) · 𝑋) + (𝐾‘1)))
2	1	fveq2i 6889	. . 3 ⊢ ((ℂfld evalSub1 ℚ)‘𝐹) = ((ℂfld evalSub1 ℚ)‘((3 ↑ 𝑋) + (((𝐾‘-3) · 𝑋) + (𝐾‘1))))
3	2	fveq1i 6887	. 2 ⊢ (((ℂfld evalSub1 ℚ)‘𝐹)‘𝑌) = (((ℂfld evalSub1 ℚ)‘((3 ↑ 𝑋) + (((𝐾‘-3) · 𝑋) + (𝐾‘1))))‘𝑌)
4		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (ℂfld evalSub1 ℚ) = (ℂfld evalSub1 ℚ)
5		cnfldbas 21581	. . . 4 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
6		cos9thpiminply.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑄)
7		cos9thpiminply.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (ℂfld ↾s ℚ)
8		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
9		cos9thpiminply.4	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑃)
10		cnfldadd 21583	. . . 4 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
11		cncrng 21598	. . . . 5 ⊢ ℂfld ∈ CRing
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℂfld ∈ CRing)
13		qsubdrg 21624	. . . . . 6 ⊢ (ℚ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (ℂfld ↾s ℚ) ∈ DivRing)
14	13	simpli 489	. . . . 5 ⊢ ℚ ∈ (SubRing‘ℂfld)
15	14	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℚ ∈ (SubRing‘ℂfld))
16		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
17	16, 8	mgpbas 20270	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘(mulGrp‘𝑃))
18		cos9thpiminply.6	. . . . 5 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
19	7	qdrng 27840	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑄 ∈ DivRing
20	19	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ DivRing)
21	20	drngringd 20890	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ Ring)
22	6	ply1ring 22462	. . . . . . 7 ⊢ (𝑄 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
23	21, 22	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
24	16	ringmgp 20370	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
25	23, 24	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
26		3nn0 12542	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
27	26	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℕ0)
28		cos9thpiminply.x	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑄)
29	28, 6, 8	vr1cl 22432	. . . . . 6 ⊢ (𝑄 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
30	21, 29	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
31	17, 18, 25, 27, 30	mulgnn0cld 19210	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (3 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
32	23	ringgrpd 20373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
33		cos9thpiminply.5	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑃)
34		cos9thpiminply.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (algSc‘𝑃)
35	6	ply1sca 22467	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑄 ∈ DivRing → 𝑄 = (Scalar‘𝑃))
36	19, 35	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑄 = (Scalar‘𝑃)
37	6	ply1lmod 22466	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑄 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
38	21, 37	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ LMod)
39	7	qrngbas 27839	. . . . . . . 8 ⊢ ℚ = (Base‘𝑄)
40	34, 36, 23, 38, 39, 8	asclf 22086	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾:ℚ⟶(Base‘𝑃))
41	27	nn0zd 12636	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℤ)
42		zq 12999	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 ∈ ℤ → 3 ∈ ℚ)
43	41, 42	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℚ)
44		qnegcl 13011	. . . . . . . 8 ⊢ (3 ∈ ℚ → -3 ∈ ℚ)
45	43, 44	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -3 ∈ ℚ)
46	40, 45	ffvelcdmd 7085	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘-3) ∈ (Base‘𝑃))
47	8, 33, 23, 46, 30	ringcld 20388	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐾‘-3) · 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
48		1zzd 12645	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
49		zq 12999	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℚ)
50	48, 49	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℚ)
51	40, 50	ffvelcdmd 7085	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘1) ∈ (Base‘𝑃))
52	8, 9, 32, 47, 51	grpcld 19063	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐾‘-3) · 𝑋) + (𝐾‘1)) ∈ (Base‘𝑃))
53		cos9thpiminplylem6.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
54	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 15, 31, 52, 53	evls1addd 22586	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((ℂfld evalSub1 ℚ)‘((3 ↑ 𝑋) + (((𝐾‘-3) · 𝑋) + (𝐾‘1))))‘𝑌) = ((((ℂfld evalSub1 ℚ)‘(3 ↑ 𝑋))‘𝑌) + (((ℂfld evalSub1 ℚ)‘(((𝐾‘-3) · 𝑋) + (𝐾‘1)))‘𝑌)))
55		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (.g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (.g‘(mulGrp‘ℂfld))
56	4, 5, 6, 7, 8, 12, 15, 18, 55, 27, 30, 53	evls1expd 22582	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((ℂfld evalSub1 ℚ)‘(3 ↑ 𝑋))‘𝑌) = (3(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(((ℂfld evalSub1 ℚ)‘𝑋)‘𝑌)))
57	4, 28, 7, 5, 12, 15	evls1var 22553	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((ℂfld evalSub1 ℚ)‘𝑋) = ( I ↾ ℂ))
58	57	fveq1d 6888	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((ℂfld evalSub1 ℚ)‘𝑋)‘𝑌) = (( I ↾ ℂ)‘𝑌))
59		fvresi 7178	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ ℂ → (( I ↾ ℂ)‘𝑌) = 𝑌)
60	53, 59	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (( I ↾ ℂ)‘𝑌) = 𝑌)
61	58, 60	eqtrd 2800	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((ℂfld evalSub1 ℚ)‘𝑋)‘𝑌) = 𝑌)
62	61	oveq2d 7436	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (3(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(((ℂfld evalSub1 ℚ)‘𝑋)‘𝑌)) = (3(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝑌))
63		cnfldexp 21610	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (3(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝑌) = (𝑌↑3))
64	53, 26, 63	sylancl 598	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (3(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝑌) = (𝑌↑3))
65	56, 62, 64	3eqtrd 2804	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((ℂfld evalSub1 ℚ)‘(3 ↑ 𝑋))‘𝑌) = (𝑌↑3))
66	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 15, 47, 51, 53	evls1addd 22586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((ℂfld evalSub1 ℚ)‘(((𝐾‘-3) · 𝑋) + (𝐾‘1)))‘𝑌) = ((((ℂfld evalSub1 ℚ)‘((𝐾‘-3) · 𝑋))‘𝑌) + (((ℂfld evalSub1 ℚ)‘(𝐾‘1))‘𝑌)))
67		cnfldmul 21585	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
68	4, 5, 6, 7, 8, 33, 67, 12, 15, 46, 30, 53	evls1muld 22587	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((ℂfld evalSub1 ℚ)‘((𝐾‘-3) · 𝑋))‘𝑌) = ((((ℂfld evalSub1 ℚ)‘(𝐾‘-3))‘𝑌) · (((ℂfld evalSub1 ℚ)‘𝑋)‘𝑌)))
69	4, 6, 7, 5, 34, 12, 15, 45, 53	evls1scafv 22581	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((ℂfld evalSub1 ℚ)‘(𝐾‘-3))‘𝑌) = -3)
70	69, 61	oveq12d 7438	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((ℂfld evalSub1 ℚ)‘(𝐾‘-3))‘𝑌) · (((ℂfld evalSub1 ℚ)‘𝑋)‘𝑌)) = (-3 · 𝑌))
71	68, 70	eqtrd 2800	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((ℂfld evalSub1 ℚ)‘((𝐾‘-3) · 𝑋))‘𝑌) = (-3 · 𝑌))
72	4, 6, 7, 5, 34, 12, 15, 50, 53	evls1scafv 22581	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((ℂfld evalSub1 ℚ)‘(𝐾‘1))‘𝑌) = 1)
73	71, 72	oveq12d 7438	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((ℂfld evalSub1 ℚ)‘((𝐾‘-3) · 𝑋))‘𝑌) + (((ℂfld evalSub1 ℚ)‘(𝐾‘1))‘𝑌)) = ((-3 · 𝑌) + 1))
74	66, 73	eqtrd 2800	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((ℂfld evalSub1 ℚ)‘(((𝐾‘-3) · 𝑋) + (𝐾‘1)))‘𝑌) = ((-3 · 𝑌) + 1))
75	65, 74	oveq12d 7438	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((ℂfld evalSub1 ℚ)‘(3 ↑ 𝑋))‘𝑌) + (((ℂfld evalSub1 ℚ)‘(((𝐾‘-3) · 𝑋) + (𝐾‘1)))‘𝑌)) = ((𝑌↑3) + ((-3 · 𝑌) + 1)))
76	54, 75	eqtrd 2800	. 2 ⊢ (𝜑 → (((ℂfld evalSub1 ℚ)‘((3 ↑ 𝑋) + (((𝐾‘-3) · 𝑋) + (𝐾‘1))))‘𝑌) = ((𝑌↑3) + ((-3 · 𝑌) + 1)))
77	3, 76	eqtrid 2812	1 ⊢ (𝜑 → (((ℂfld evalSub1 ℚ)‘𝐹)‘𝑌) = ((𝑌↑3) + ((-3 · 𝑌) + 1)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   I cid 5557   ↾ cres 5665  ‘cfv 6541  (class class class)co 7420  ℂcc 11118  1c1 11121  ici 11122   + caddc 11123   · cmul 11125  -cneg 11462   / cdiv 11891  2c2 12315  3c3 12316  ℕ₀cn0 12524  ℤcz 12611  ℚcq 12993  ↑cexp 14120  expce 16142  πcpi 16147  Basecbs 17296   ↾_s cress 17317  +_gcplusg 17337  ._rcmulr 17338  Scalarcsca 17340  Mndcmnd 18829  ._gcmg 19182  mulGrpcmgp 20265  Ringcrg 20364  CRingccrg 20365  SubRingcsubrg 20723  DivRingcdr 20882  LModclmod 21036  ℂ_fldccnfld 21577  algSccascl 22057  var₁cv1 22391  Poly₁cpl1 22392   evalSub₁ ces1 22528  deg₁cdg1 26267  ↑_𝑐ccxp 26776

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7743  ax-cnex 11176  ax-resscn 11177  ax-1cn 11178  ax-icn 11179  ax-addcl 11180  ax-addrcl 11181  ax-mulcl 11182  ax-mulrcl 11183  ax-mulcom 11184  ax-addass 11185  ax-mulass 11186  ax-distr 11187  ax-i2m1 11188  ax-1ne0 11189  ax-1rid 11190  ax-rnegex 11191  ax-rrecex 11192  ax-cnre 11193  ax-pre-lttri 11194  ax-pre-lttrn 11195  ax-pre-ltadd 11196  ax-pre-mulgt0 11197  ax-addf 11199  ax-mulf 11200

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-ofr 7686  df-om 7870  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8164  df-tpos 8229  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8460  df-2o 8461  df-er 8701  df-map 8833  df-pm 8834  df-ixp 8903  df-en 8951  df-dom 8952  df-sdom 8953  df-fin 8954  df-fsupp 9330  df-sup 9410  df-oi 9480  df-card 9942  df-pnf 11265  df-mnf 11266  df-xr 11267  df-ltxr 11268  df-le 11269  df-sub 11463  df-neg 11464  df-div 11892  df-nn 12254  df-2 12323  df-3 12324  df-4 12325  df-5 12326  df-6 12327  df-7 12328  df-8 12329  df-9 12330  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12733  df-uz 12884  df-q 12994  df-fz 13557  df-fzo 13705  df-seq 14061  df-exp 14121  df-hash 14390  df-struct 17234  df-sets 17251  df-slot 17269  df-ndx 17281  df-base 17297  df-ress 17318  df-plusg 17350  df-mulr 17351  df-starv 17352  df-sca 17353  df-vsca 17354  df-ip 17355  df-tset 17356  df-ple 17357  df-ds 17359  df-unif 17360  df-hom 17361  df-cco 17362  df-0g 17521  df-gsum 17522  df-prds 17527  df-pws 17529  df-mre 17665  df-mrc 17666  df-acs 17668  df-mgm 18725  df-sgrp 18814  df-mnd 18830  df-mhm 18883  df-submnd 18884  df-grp 19052  df-minusg 19053  df-sbg 19054  df-mulg 19183  df-subg 19238  df-ghm 19333  df-cntz 19436  df-cmn 19901  df-abl 19902  df-mgp 20266  df-rng 20280  df-ur 20313  df-srg 20318  df-ring 20366  df-cring 20367  df-oppr 20470  df-dvdsr 20490  df-unit 20491  df-invr 20521  df-dvr 20534  df-rhm 20605  df-subrng 20700  df-subrg 20724  df-drng 20884  df-lmod 21038  df-lss 21108  df-lsp 21148  df-cnfld 21578  df-assa 22058  df-asp 22059  df-ascl 22060  df-psr 22114  df-mvr 22115  df-mpl 22116  df-opsr 22118  df-evls 22280  df-evl 22281  df-psr1 22395  df-vr1 22396  df-ply1 22397  df-coe1 22398  df-evls1 22530  df-evl1 22531

This theorem is used by:  cos9thpiminply  34247