Theorem cos9thpiminplylem6 34486

Description: Evaluation of the polynomial ((𝑋↑3) + (( -3 · 𝑋) + 1)). (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
cos9thpiminplylem3.1	⊢ 𝑂 = (exp‘((i · (2 · π)) / 3))
cos9thpiminplylem4.2	⊢ 𝑍 = (𝑂↑𝑐(1 / 3))
cos9thpiminplylem5.3	⊢ 𝐴 = (𝑍 + (1 / 𝑍))
cos9thpiminply.q	⊢ 𝑄 = (ℂfld ↾s ℚ)
cos9thpiminply.4	⊢ + = (+g‘𝑃)
cos9thpiminply.5	⊢ · = (.r‘𝑃)
cos9thpiminply.6	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
cos9thpiminply.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑄)
cos9thpiminply.k	⊢ 𝐾 = (algSc‘𝑃)
cos9thpiminply.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑄)
cos9thpiminply.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑄)
cos9thpiminply.f	⊢ 𝐹 = ((3 ↑ 𝑋) + (((𝐾‘ -3) · 𝑋) + (𝐾‘1)))
cos9thpiminplylem6.1	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
cos9thpiminplylem6	⊢ (𝜑 → (((ℂfld evalSub1 ℚ)‘𝐹)‘𝑌) = ((𝑌↑3) + (( -3 · 𝑌) + 1)))

Proof of Theorem cos9thpiminplylem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cos9thpiminply.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = ((3 ↑ 𝑋) + (((𝐾‘ -3) · 𝑋) + (𝐾‘1)))
2	1	fveq2i 6908	. . 3 ⊢ ((ℂfld evalSub1 ℚ)‘𝐹) = ((ℂfld evalSub1 ℚ)‘((3 ↑ 𝑋) + (((𝐾‘ -3) · 𝑋) + (𝐾‘1))))
3	2	fveq1i 6906	. 2 ⊢ (((ℂfld evalSub1 ℚ)‘𝐹)‘𝑌) = (((ℂfld evalSub1 ℚ)‘((3 ↑ 𝑋) + (((𝐾‘ -3) · 𝑋) + (𝐾‘1))))‘𝑌)
4		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (ℂfld evalSub1 ℚ) = (ℂfld evalSub1 ℚ)
5		cnfldbas 21709	. . . 4 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
6		cos9thpiminply.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑄)
7		cos9thpiminply.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (ℂfld ↾s ℚ)
8		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
9		cos9thpiminply.4	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑃)
10		cnfldadd 21711	. . . 4 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
11		cncrng 21726	. . . . 5 ⊢ ℂfld ∈ CRing
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℂfld ∈ CRing)
13		qsubdrg 21752	. . . . . 6 ⊢ (ℚ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (ℂfld ↾s ℚ) ∈ DivRing)
14	13	simpli 489	. . . . 5 ⊢ ℚ ∈ (SubRing‘ℂfld)
15	14	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℚ ∈ (SubRing‘ℂfld))
16		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
17	16, 8	mgpbas 20392	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘(mulGrp‘𝑃))
18		cos9thpiminply.6	. . . . 5 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
19	7	qdrng 27974	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑄 ∈ DivRing
20	19	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ DivRing)
21	20	drngringd 21015	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ Ring)
22	6	ply1ring 22592	. . . . . . 7 ⊢ (𝑄 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
23	21, 22	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
24	16	ringmgp 20492	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
25	23, 24	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
26		3nn0 12648	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
27	26	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℕ0)
28		cos9thpiminply.x	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑄)
29	28, 6, 8	vr1cl 22562	. . . . . 6 ⊢ (𝑄 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
30	21, 29	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
31	17, 18, 25, 27, 30	mulgnn0cld 19331	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (3 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
32	23	ringgrpd 20496	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
33		cos9thpiminply.5	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑃)
34		cos9thpiminply.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (algSc‘𝑃)
35	6	ply1sca 22597	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑄 ∈ DivRing → 𝑄 = (Scalar‘𝑃))
36	19, 35	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑄 = (Scalar‘𝑃)
37	6	ply1lmod 22596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑄 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
38	21, 37	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ LMod)
39	7	qrngbas 27973	. . . . . . . 8 ⊢ ℚ = (Base‘𝑄)
40	34, 36, 23, 38, 39, 8	asclf 22216	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾:ℚ⟶(Base‘𝑃))
41	27	nn0zd 12742	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℤ)
42		zq 13105	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 ∈ ℤ → 3 ∈ ℚ)
43	41, 42	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℚ)
44		qnegcl 13118	. . . . . . . 8 ⊢ (3 ∈ ℚ → -3 ∈ ℚ)
45	43, 44	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -3 ∈ ℚ)
46	40, 45	ffvelcdmd 7106	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘ -3) ∈ (Base‘𝑃))
47	8, 33, 23, 46, 30	ringcld 20511	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐾‘ -3) · 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
48		1zzd 12751	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
49		zq 13105	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℚ)
50	48, 49	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℚ)
51	40, 50	ffvelcdmd 7106	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘1) ∈ (Base‘𝑃))
52	8, 9, 32, 47, 51	grpcld 19184	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐾‘ -3) · 𝑋) + (𝐾‘1)) ∈ (Base‘𝑃))
53		cos9thpiminplylem6.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
54	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 15, 31, 52, 53	evls1addd 22716	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((ℂfld evalSub1 ℚ)‘((3 ↑ 𝑋) + (((𝐾‘ -3) · 𝑋) + (𝐾‘1))))‘𝑌) = ((((ℂfld evalSub1 ℚ)‘(3 ↑ 𝑋))‘𝑌) + (((ℂfld evalSub1 ℚ)‘(((𝐾‘ -3) · 𝑋) + (𝐾‘1)))‘𝑌)))
55		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (.g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (.g‘(mulGrp‘ℂfld))
56	4, 5, 6, 7, 8, 12, 15, 18, 55, 27, 30, 53	evls1expd 22712	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((ℂfld evalSub1 ℚ)‘(3 ↑ 𝑋))‘𝑌) = (3(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(((ℂfld evalSub1 ℚ)‘𝑋)‘𝑌)))
57	4, 28, 7, 5, 12, 15	evls1var 22683	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((ℂfld evalSub1 ℚ)‘𝑋) = ( I ↾ ℂ))
58	57	fveq1d 6907	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((ℂfld evalSub1 ℚ)‘𝑋)‘𝑌) = (( I ↾ ℂ)‘𝑌))
59		fvresi 7198	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ ℂ → (( I ↾ ℂ)‘𝑌) = 𝑌)
60	53, 59	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (( I ↾ ℂ)‘𝑌) = 𝑌)
61	58, 60	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((ℂfld evalSub1 ℚ)‘𝑋)‘𝑌) = 𝑌)
62	61	oveq2d 7456	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (3(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(((ℂfld evalSub1 ℚ)‘𝑋)‘𝑌)) = (3(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝑌))
63		cnfldexp 21738	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (3(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝑌) = (𝑌↑3))
64	53, 26, 63	sylancl 598	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (3(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝑌) = (𝑌↑3))
65	56, 62, 64	3eqtrd 2802	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((ℂfld evalSub1 ℚ)‘(3 ↑ 𝑋))‘𝑌) = (𝑌↑3))
66	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 15, 47, 51, 53	evls1addd 22716	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((ℂfld evalSub1 ℚ)‘(((𝐾‘ -3) · 𝑋) + (𝐾‘1)))‘𝑌) = ((((ℂfld evalSub1 ℚ)‘((𝐾‘ -3) · 𝑋))‘𝑌) + (((ℂfld evalSub1 ℚ)‘(𝐾‘1))‘𝑌)))
67		cnfldmul 21713	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
68	4, 5, 6, 7, 8, 33, 67, 12, 15, 46, 30, 53	evls1muld 22717	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((ℂfld evalSub1 ℚ)‘((𝐾‘ -3) · 𝑋))‘𝑌) = ((((ℂfld evalSub1 ℚ)‘(𝐾‘ -3))‘𝑌) · (((ℂfld evalSub1 ℚ)‘𝑋)‘𝑌)))
69	4, 6, 7, 5, 34, 12, 15, 45, 53	evls1scafv 22711	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((ℂfld evalSub1 ℚ)‘(𝐾‘ -3))‘𝑌) = -3)
70	69, 61	oveq12d 7458	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((ℂfld evalSub1 ℚ)‘(𝐾‘ -3))‘𝑌) · (((ℂfld evalSub1 ℚ)‘𝑋)‘𝑌)) = ( -3 · 𝑌))
71	68, 70	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((ℂfld evalSub1 ℚ)‘((𝐾‘ -3) · 𝑋))‘𝑌) = ( -3 · 𝑌))
72	4, 6, 7, 5, 34, 12, 15, 50, 53	evls1scafv 22711	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((ℂfld evalSub1 ℚ)‘(𝐾‘1))‘𝑌) = 1)
73	71, 72	oveq12d 7458	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((ℂfld evalSub1 ℚ)‘((𝐾‘ -3) · 𝑋))‘𝑌) + (((ℂfld evalSub1 ℚ)‘(𝐾‘1))‘𝑌)) = (( -3 · 𝑌) + 1))
74	66, 73	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((ℂfld evalSub1 ℚ)‘(((𝐾‘ -3) · 𝑋) + (𝐾‘1)))‘𝑌) = (( -3 · 𝑌) + 1))
75	65, 74	oveq12d 7458	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((ℂfld evalSub1 ℚ)‘(3 ↑ 𝑋))‘𝑌) + (((ℂfld evalSub1 ℚ)‘(((𝐾‘ -3) · 𝑋) + (𝐾‘1)))‘𝑌)) = ((𝑌↑3) + (( -3 · 𝑌) + 1)))
76	54, 75	eqtrd 2798	. 2 ⊢ (𝜑 → (((ℂfld evalSub1 ℚ)‘((3 ↑ 𝑋) + (((𝐾‘ -3) · 𝑋) + (𝐾‘1))))‘𝑌) = ((𝑌↑3) + (( -3 · 𝑌) + 1)))
77	3, 76	eqtrid 2810	1 ⊢ (𝜑 → (((ℂfld evalSub1 ℚ)‘𝐹)‘𝑌) = ((𝑌↑3) + (( -3 · 𝑌) + 1)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   I cid 5549   ↾ cres 5657  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  ℂcc 11222  1c1 11225  ici 11226   + caddc 11227   · cmul 11229   -cneg 11566   / cdiv 11997  2c2 12421  3c3 12422  ℕ₀cn0 12630  ℤcz 12717  ℚcq 13099  ↑cexp 14228  expce 16253  πcpi 16258  Basecbs 17413   ↾_s cress 17434  +_gcplusg 17454  ._rcmulr 17455  Scalarcsca 17457  Mndcmnd 18949  ._gcmg 19303  mulGrpcmgp 20387  Ringcrg 20486  CRingccrg 20487  SubRingcsubrg 20848  DivRingcdr 21007  LModclmod 21162  ℂ_fldccnfld 21705  algSccascl 22187  var₁cv1 22521  Poly₁cpl1 22522   evalSub₁ ces1 22658  deg₁cdg1 26399  ↑_𝑐ccxp 26910

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301  ax-addf 11303  ax-mulf 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-isom 6564  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-of 7714  df-ofr 7715  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-supp 8202  df-tpos 8268  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-2o 8502  df-er 8742  df-map 8874  df-pm 8875  df-ixp 8951  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-fsupp 9379  df-sup 9458  df-oi 9528  df-card 10044  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-div 11998  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-4 12431  df-5 12432  df-6 12433  df-7 12434  df-8 12435  df-9 12436  df-n0 12631  df-z 12718  df-dec 12839  df-uz 12990  df-q 13100  df-fz 13664  df-fzo 13813  df-seq 14169  df-exp 14229  df-hash 14499  df-struct 17351  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-ress 17435  df-plusg 17467  df-mulr 17468  df-starv 17469  df-sca 17470  df-vsca 17471  df-ip 17472  df-tset 17473  df-ple 17474  df-ds 17476  df-unif 17477  df-hom 17478  df-cco 17479  df-0g 17638  df-gsum 17639  df-prds 17644  df-pws 17646  df-mre 17782  df-mrc 17783  df-acs 17785  df-mgm 18842  df-sgrp 18934  df-mnd 18950  df-mhm 19004  df-submnd 19005  df-grp 19173  df-minusg 19174  df-sbg 19175  df-mulg 19304  df-subg 19359  df-ghm 19454  df-cntz 19558  df-cmn 20023  df-abl 20024  df-mgp 20388  df-rng 20402  df-ur 20435  df-srg 20440  df-ring 20488  df-cring 20489  df-oppr 20594  df-dvdsr 20614  df-unit 20615  df-invr 20645  df-dvr 20658  df-rhm 20729  df-subrng 20825  df-subrg 20849  df-drng 21009  df-lmod 21164  df-lss 21234  df-lsp 21274  df-cnfld 21706  df-assa 22188  df-asp 22189  df-ascl 22190  df-psr 22244  df-mvr 22245  df-mpl 22246  df-opsr 22248  df-evls 22410  df-evl 22411  df-psr1 22525  df-vr1 22526  df-ply1 22527  df-coe1 22528  df-evls1 22660  df-evl1 22661

This theorem is used by:  cos9thpiminply  34487