Theorem cos9thpiminplylem6 33770

Description: Evaluation of the polynomial ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)). (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
cos9thpiminplylem3.1	⊢ 𝑂 = (exp‘((i · (2 · π)) / 3))
cos9thpiminplylem4.2	⊢ 𝑍 = (𝑂↑𝑐(1 / 3))
cos9thpiminplylem5.3	⊢ 𝐴 = (𝑍 + (1 / 𝑍))
cos9thpiminply.q	⊢ 𝑄 = (ℂfld ↾s ℚ)
cos9thpiminply.4	⊢ + = (+g‘𝑃)
cos9thpiminply.5	⊢ · = (.r‘𝑃)
cos9thpiminply.6	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
cos9thpiminply.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑄)
cos9thpiminply.k	⊢ 𝐾 = (algSc‘𝑃)
cos9thpiminply.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑄)
cos9thpiminply.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑄)
cos9thpiminply.f	⊢ 𝐹 = ((3 ↑ 𝑋) + (((𝐾‘-3) · 𝑋) + (𝐾‘1)))
cos9thpiminplylem6.1	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
cos9thpiminplylem6	⊢ (𝜑 → (((ℂfld evalSub1 ℚ)‘𝐹)‘𝑌) = ((𝑌↑3) + ((-3 · 𝑌) + 1)))

Proof of Theorem cos9thpiminplylem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cos9thpiminply.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = ((3 ↑ 𝑋) + (((𝐾‘-3) · 𝑋) + (𝐾‘1)))
2	1	fveq2i 6843	. . 3 ⊢ ((ℂfld evalSub1 ℚ)‘𝐹) = ((ℂfld evalSub1 ℚ)‘((3 ↑ 𝑋) + (((𝐾‘-3) · 𝑋) + (𝐾‘1))))
3	2	fveq1i 6841	. 2 ⊢ (((ℂfld evalSub1 ℚ)‘𝐹)‘𝑌) = (((ℂfld evalSub1 ℚ)‘((3 ↑ 𝑋) + (((𝐾‘-3) · 𝑋) + (𝐾‘1))))‘𝑌)
4		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (ℂfld evalSub1 ℚ) = (ℂfld evalSub1 ℚ)
5		cnfldbas 21300	. . . 4 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
6		cos9thpiminply.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑄)
7		cos9thpiminply.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (ℂfld ↾s ℚ)
8		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
9		cos9thpiminply.4	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑃)
10		cnfldadd 21302	. . . 4 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
11		cncrng 21330	. . . . 5 ⊢ ℂfld ∈ CRing
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℂfld ∈ CRing)
13		qsubdrg 21361	. . . . . 6 ⊢ (ℚ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (ℂfld ↾s ℚ) ∈ DivRing)
14	13	simpli 483	. . . . 5 ⊢ ℚ ∈ (SubRing‘ℂfld)
15	14	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℚ ∈ (SubRing‘ℂfld))
16		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
17	16, 8	mgpbas 20065	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘(mulGrp‘𝑃))
18		cos9thpiminply.6	. . . . 5 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
19	7	qdrng 27564	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑄 ∈ DivRing
20	19	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ DivRing)
21	20	drngringd 20657	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ Ring)
22	6	ply1ring 22165	. . . . . . 7 ⊢ (𝑄 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
23	21, 22	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
24	16	ringmgp 20159	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
25	23, 24	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
26		3nn0 12436	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
27	26	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℕ0)
28		cos9thpiminply.x	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑄)
29	28, 6, 8	vr1cl 22135	. . . . . 6 ⊢ (𝑄 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
30	21, 29	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
31	17, 18, 25, 27, 30	mulgnn0cld 19009	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (3 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
32	23	ringgrpd 20162	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
33		cos9thpiminply.5	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑃)
34		cos9thpiminply.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (algSc‘𝑃)
35	6	ply1sca 22170	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑄 ∈ DivRing → 𝑄 = (Scalar‘𝑃))
36	19, 35	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑄 = (Scalar‘𝑃)
37	6	ply1lmod 22169	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑄 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
38	21, 37	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ LMod)
39	7	qrngbas 27563	. . . . . . . 8 ⊢ ℚ = (Base‘𝑄)
40	34, 36, 23, 38, 39, 8	asclf 21824	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾:ℚ⟶(Base‘𝑃))
41	27	nn0zd 12531	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℤ)
42		zq 12889	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 ∈ ℤ → 3 ∈ ℚ)
43	41, 42	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℚ)
44		qnegcl 12901	. . . . . . . 8 ⊢ (3 ∈ ℚ → -3 ∈ ℚ)
45	43, 44	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -3 ∈ ℚ)
46	40, 45	ffvelcdmd 7039	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘-3) ∈ (Base‘𝑃))
47	8, 33, 23, 46, 30	ringcld 20180	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐾‘-3) · 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
48		1zzd 12540	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
49		zq 12889	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℚ)
50	48, 49	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℚ)
51	40, 50	ffvelcdmd 7039	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘1) ∈ (Base‘𝑃))
52	8, 9, 32, 47, 51	grpcld 18861	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐾‘-3) · 𝑋) + (𝐾‘1)) ∈ (Base‘𝑃))
53		cos9thpiminplylem6.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
54	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 15, 31, 52, 53	evls1addd 22291	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((ℂfld evalSub1 ℚ)‘((3 ↑ 𝑋) + (((𝐾‘-3) · 𝑋) + (𝐾‘1))))‘𝑌) = ((((ℂfld evalSub1 ℚ)‘(3 ↑ 𝑋))‘𝑌) + (((ℂfld evalSub1 ℚ)‘(((𝐾‘-3) · 𝑋) + (𝐾‘1)))‘𝑌)))
55		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (.g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (.g‘(mulGrp‘ℂfld))
56	4, 5, 6, 7, 8, 12, 15, 18, 55, 27, 30, 53	evls1expd 22287	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((ℂfld evalSub1 ℚ)‘(3 ↑ 𝑋))‘𝑌) = (3(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(((ℂfld evalSub1 ℚ)‘𝑋)‘𝑌)))
57	4, 28, 7, 5, 12, 15	evls1var 22258	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((ℂfld evalSub1 ℚ)‘𝑋) = ( I ↾ ℂ))
58	57	fveq1d 6842	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((ℂfld evalSub1 ℚ)‘𝑋)‘𝑌) = (( I ↾ ℂ)‘𝑌))
59		fvresi 7129	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ ℂ → (( I ↾ ℂ)‘𝑌) = 𝑌)
60	53, 59	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (( I ↾ ℂ)‘𝑌) = 𝑌)
61	58, 60	eqtrd 2764	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((ℂfld evalSub1 ℚ)‘𝑋)‘𝑌) = 𝑌)
62	61	oveq2d 7385	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (3(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(((ℂfld evalSub1 ℚ)‘𝑋)‘𝑌)) = (3(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝑌))
63		cnfldexp 21346	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (3(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝑌) = (𝑌↑3))
64	53, 26, 63	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (3(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝑌) = (𝑌↑3))
65	56, 62, 64	3eqtrd 2768	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((ℂfld evalSub1 ℚ)‘(3 ↑ 𝑋))‘𝑌) = (𝑌↑3))
66	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 15, 47, 51, 53	evls1addd 22291	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((ℂfld evalSub1 ℚ)‘(((𝐾‘-3) · 𝑋) + (𝐾‘1)))‘𝑌) = ((((ℂfld evalSub1 ℚ)‘((𝐾‘-3) · 𝑋))‘𝑌) + (((ℂfld evalSub1 ℚ)‘(𝐾‘1))‘𝑌)))
67		cnfldmul 21304	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
68	4, 5, 6, 7, 8, 33, 67, 12, 15, 46, 30, 53	evls1muld 22292	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((ℂfld evalSub1 ℚ)‘((𝐾‘-3) · 𝑋))‘𝑌) = ((((ℂfld evalSub1 ℚ)‘(𝐾‘-3))‘𝑌) · (((ℂfld evalSub1 ℚ)‘𝑋)‘𝑌)))
69	4, 6, 7, 5, 34, 12, 15, 45, 53	evls1scafv 22286	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((ℂfld evalSub1 ℚ)‘(𝐾‘-3))‘𝑌) = -3)
70	69, 61	oveq12d 7387	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((ℂfld evalSub1 ℚ)‘(𝐾‘-3))‘𝑌) · (((ℂfld evalSub1 ℚ)‘𝑋)‘𝑌)) = (-3 · 𝑌))
71	68, 70	eqtrd 2764	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((ℂfld evalSub1 ℚ)‘((𝐾‘-3) · 𝑋))‘𝑌) = (-3 · 𝑌))
72	4, 6, 7, 5, 34, 12, 15, 50, 53	evls1scafv 22286	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((ℂfld evalSub1 ℚ)‘(𝐾‘1))‘𝑌) = 1)
73	71, 72	oveq12d 7387	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((ℂfld evalSub1 ℚ)‘((𝐾‘-3) · 𝑋))‘𝑌) + (((ℂfld evalSub1 ℚ)‘(𝐾‘1))‘𝑌)) = ((-3 · 𝑌) + 1))
74	66, 73	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((ℂfld evalSub1 ℚ)‘(((𝐾‘-3) · 𝑋) + (𝐾‘1)))‘𝑌) = ((-3 · 𝑌) + 1))
75	65, 74	oveq12d 7387	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((ℂfld evalSub1 ℚ)‘(3 ↑ 𝑋))‘𝑌) + (((ℂfld evalSub1 ℚ)‘(((𝐾‘-3) · 𝑋) + (𝐾‘1)))‘𝑌)) = ((𝑌↑3) + ((-3 · 𝑌) + 1)))
76	54, 75	eqtrd 2764	. 2 ⊢ (𝜑 → (((ℂfld evalSub1 ℚ)‘((3 ↑ 𝑋) + (((𝐾‘-3) · 𝑋) + (𝐾‘1))))‘𝑌) = ((𝑌↑3) + ((-3 · 𝑌) + 1)))
77	3, 76	eqtrid 2776	1 ⊢ (𝜑 → (((ℂfld evalSub1 ℚ)‘𝐹)‘𝑌) = ((𝑌↑3) + ((-3 · 𝑌) + 1)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   I cid 5525   ↾ cres 5633  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℂcc 11042  1c1 11045  ici 11046   + caddc 11047   · cmul 11049  -cneg 11382   / cdiv 11811  2c2 12217  3c3 12218  ℕ₀cn0 12418  ℤcz 12505  ℚcq 12883  ↑cexp 14002  expce 16003  πcpi 16008  Basecbs 17155   ↾_s cress 17176  +_gcplusg 17196  ._rcmulr 17197  Scalarcsca 17199  Mndcmnd 18643  ._gcmg 18981  mulGrpcmgp 20060  Ringcrg 20153  CRingccrg 20154  SubRingcsubrg 20489  DivRingcdr 20649  LModclmod 20798  ℂ_fldccnfld 21296  algSccascl 21794  var₁cv1 22093  Poly₁cpl1 22094   evalSub₁ ces1 22233  deg₁cdg1 25992  ↑_𝑐ccxp 26497

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-addf 11123  ax-mulf 11124

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-ofr 7634  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-supp 8117  df-tpos 8182  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-er 8648  df-map 8778  df-pm 8779  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9289  df-sup 9369  df-oi 9439  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-q 12884  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-seq 13943  df-exp 14003  df-hash 14272  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17380  df-gsum 17381  df-prds 17386  df-pws 17388  df-mre 17523  df-mrc 17524  df-acs 17526  df-mgm 18549  df-sgrp 18628  df-mnd 18644  df-mhm 18692  df-submnd 18693  df-grp 18850  df-minusg 18851  df-sbg 18852  df-mulg 18982  df-subg 19037  df-ghm 19127  df-cntz 19231  df-cmn 19696  df-abl 19697  df-mgp 20061  df-rng 20073  df-ur 20102  df-srg 20107  df-ring 20155  df-cring 20156  df-oppr 20257  df-dvdsr 20277  df-unit 20278  df-invr 20308  df-dvr 20321  df-rhm 20392  df-subrng 20466  df-subrg 20490  df-drng 20651  df-lmod 20800  df-lss 20870  df-lsp 20910  df-cnfld 21297  df-assa 21795  df-asp 21796  df-ascl 21797  df-psr 21851  df-mvr 21852  df-mpl 21853  df-opsr 21855  df-evls 22014  df-evl 22015  df-psr1 22097  df-vr1 22098  df-ply1 22099  df-coe1 22100  df-evls1 22235  df-evl1 22236

This theorem is referenced by:  cos9thpiminply  33771