Theorem cos9thpiminplylem6 33971

Description: Evaluation of the polynomial ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)). (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
cos9thpiminplylem3.1	⊢ 𝑂 = (exp‘((i · (2 · π)) / 3))
cos9thpiminplylem4.2	⊢ 𝑍 = (𝑂↑𝑐(1 / 3))
cos9thpiminplylem5.3	⊢ 𝐴 = (𝑍 + (1 / 𝑍))
cos9thpiminply.q	⊢ 𝑄 = (ℂfld ↾s ℚ)
cos9thpiminply.4	⊢ + = (+g‘𝑃)
cos9thpiminply.5	⊢ · = (.r‘𝑃)
cos9thpiminply.6	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
cos9thpiminply.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑄)
cos9thpiminply.k	⊢ 𝐾 = (algSc‘𝑃)
cos9thpiminply.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑄)
cos9thpiminply.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑄)
cos9thpiminply.f	⊢ 𝐹 = ((3 ↑ 𝑋) + (((𝐾‘-3) · 𝑋) + (𝐾‘1)))
cos9thpiminplylem6.1	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
cos9thpiminplylem6	⊢ (𝜑 → (((ℂfld evalSub1 ℚ)‘𝐹)‘𝑌) = ((𝑌↑3) + ((-3 · 𝑌) + 1)))

Proof of Theorem cos9thpiminplylem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cos9thpiminply.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = ((3 ↑ 𝑋) + (((𝐾‘-3) · 𝑋) + (𝐾‘1)))
2	1	fveq2i 6847	. . 3 ⊢ ((ℂfld evalSub1 ℚ)‘𝐹) = ((ℂfld evalSub1 ℚ)‘((3 ↑ 𝑋) + (((𝐾‘-3) · 𝑋) + (𝐾‘1))))
3	2	fveq1i 6845	. 2 ⊢ (((ℂfld evalSub1 ℚ)‘𝐹)‘𝑌) = (((ℂfld evalSub1 ℚ)‘((3 ↑ 𝑋) + (((𝐾‘-3) · 𝑋) + (𝐾‘1))))‘𝑌)
4		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (ℂfld evalSub1 ℚ) = (ℂfld evalSub1 ℚ)
5		cnfldbas 21330	. . . 4 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
6		cos9thpiminply.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑄)
7		cos9thpiminply.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (ℂfld ↾s ℚ)
8		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
9		cos9thpiminply.4	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑃)
10		cnfldadd 21332	. . . 4 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
11		cncrng 21360	. . . . 5 ⊢ ℂfld ∈ CRing
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℂfld ∈ CRing)
13		qsubdrg 21391	. . . . . 6 ⊢ (ℚ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (ℂfld ↾s ℚ) ∈ DivRing)
14	13	simpli 483	. . . . 5 ⊢ ℚ ∈ (SubRing‘ℂfld)
15	14	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℚ ∈ (SubRing‘ℂfld))
16		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
17	16, 8	mgpbas 20097	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘(mulGrp‘𝑃))
18		cos9thpiminply.6	. . . . 5 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
19	7	qdrng 27604	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑄 ∈ DivRing
20	19	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ DivRing)
21	20	drngringd 20687	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ Ring)
22	6	ply1ring 22205	. . . . . . 7 ⊢ (𝑄 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
23	21, 22	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
24	16	ringmgp 20191	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
25	23, 24	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
26		3nn0 12433	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
27	26	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℕ0)
28		cos9thpiminply.x	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑄)
29	28, 6, 8	vr1cl 22175	. . . . . 6 ⊢ (𝑄 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
30	21, 29	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
31	17, 18, 25, 27, 30	mulgnn0cld 19042	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (3 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
32	23	ringgrpd 20194	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
33		cos9thpiminply.5	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑃)
34		cos9thpiminply.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (algSc‘𝑃)
35	6	ply1sca 22210	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑄 ∈ DivRing → 𝑄 = (Scalar‘𝑃))
36	19, 35	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑄 = (Scalar‘𝑃)
37	6	ply1lmod 22209	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑄 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
38	21, 37	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ LMod)
39	7	qrngbas 27603	. . . . . . . 8 ⊢ ℚ = (Base‘𝑄)
40	34, 36, 23, 38, 39, 8	asclf 21854	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾:ℚ⟶(Base‘𝑃))
41	27	nn0zd 12527	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℤ)
42		zq 12881	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 ∈ ℤ → 3 ∈ ℚ)
43	41, 42	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℚ)
44		qnegcl 12893	. . . . . . . 8 ⊢ (3 ∈ ℚ → -3 ∈ ℚ)
45	43, 44	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -3 ∈ ℚ)
46	40, 45	ffvelcdmd 7041	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘-3) ∈ (Base‘𝑃))
47	8, 33, 23, 46, 30	ringcld 20212	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐾‘-3) · 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
48		1zzd 12536	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
49		zq 12881	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℚ)
50	48, 49	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℚ)
51	40, 50	ffvelcdmd 7041	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘1) ∈ (Base‘𝑃))
52	8, 9, 32, 47, 51	grpcld 18894	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐾‘-3) · 𝑋) + (𝐾‘1)) ∈ (Base‘𝑃))
53		cos9thpiminplylem6.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
54	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 15, 31, 52, 53	evls1addd 22332	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((ℂfld evalSub1 ℚ)‘((3 ↑ 𝑋) + (((𝐾‘-3) · 𝑋) + (𝐾‘1))))‘𝑌) = ((((ℂfld evalSub1 ℚ)‘(3 ↑ 𝑋))‘𝑌) + (((ℂfld evalSub1 ℚ)‘(((𝐾‘-3) · 𝑋) + (𝐾‘1)))‘𝑌)))
55		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (.g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (.g‘(mulGrp‘ℂfld))
56	4, 5, 6, 7, 8, 12, 15, 18, 55, 27, 30, 53	evls1expd 22328	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((ℂfld evalSub1 ℚ)‘(3 ↑ 𝑋))‘𝑌) = (3(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(((ℂfld evalSub1 ℚ)‘𝑋)‘𝑌)))
57	4, 28, 7, 5, 12, 15	evls1var 22299	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((ℂfld evalSub1 ℚ)‘𝑋) = ( I ↾ ℂ))
58	57	fveq1d 6846	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((ℂfld evalSub1 ℚ)‘𝑋)‘𝑌) = (( I ↾ ℂ)‘𝑌))
59		fvresi 7131	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ ℂ → (( I ↾ ℂ)‘𝑌) = 𝑌)
60	53, 59	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (( I ↾ ℂ)‘𝑌) = 𝑌)
61	58, 60	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((ℂfld evalSub1 ℚ)‘𝑋)‘𝑌) = 𝑌)
62	61	oveq2d 7386	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (3(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(((ℂfld evalSub1 ℚ)‘𝑋)‘𝑌)) = (3(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝑌))
63		cnfldexp 21376	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (3(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝑌) = (𝑌↑3))
64	53, 26, 63	sylancl 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (3(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝑌) = (𝑌↑3))
65	56, 62, 64	3eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((ℂfld evalSub1 ℚ)‘(3 ↑ 𝑋))‘𝑌) = (𝑌↑3))
66	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 15, 47, 51, 53	evls1addd 22332	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((ℂfld evalSub1 ℚ)‘(((𝐾‘-3) · 𝑋) + (𝐾‘1)))‘𝑌) = ((((ℂfld evalSub1 ℚ)‘((𝐾‘-3) · 𝑋))‘𝑌) + (((ℂfld evalSub1 ℚ)‘(𝐾‘1))‘𝑌)))
67		cnfldmul 21334	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
68	4, 5, 6, 7, 8, 33, 67, 12, 15, 46, 30, 53	evls1muld 22333	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((ℂfld evalSub1 ℚ)‘((𝐾‘-3) · 𝑋))‘𝑌) = ((((ℂfld evalSub1 ℚ)‘(𝐾‘-3))‘𝑌) · (((ℂfld evalSub1 ℚ)‘𝑋)‘𝑌)))
69	4, 6, 7, 5, 34, 12, 15, 45, 53	evls1scafv 22327	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((ℂfld evalSub1 ℚ)‘(𝐾‘-3))‘𝑌) = -3)
70	69, 61	oveq12d 7388	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((ℂfld evalSub1 ℚ)‘(𝐾‘-3))‘𝑌) · (((ℂfld evalSub1 ℚ)‘𝑋)‘𝑌)) = (-3 · 𝑌))
71	68, 70	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((ℂfld evalSub1 ℚ)‘((𝐾‘-3) · 𝑋))‘𝑌) = (-3 · 𝑌))
72	4, 6, 7, 5, 34, 12, 15, 50, 53	evls1scafv 22327	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((ℂfld evalSub1 ℚ)‘(𝐾‘1))‘𝑌) = 1)
73	71, 72	oveq12d 7388	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((ℂfld evalSub1 ℚ)‘((𝐾‘-3) · 𝑋))‘𝑌) + (((ℂfld evalSub1 ℚ)‘(𝐾‘1))‘𝑌)) = ((-3 · 𝑌) + 1))
74	66, 73	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((ℂfld evalSub1 ℚ)‘(((𝐾‘-3) · 𝑋) + (𝐾‘1)))‘𝑌) = ((-3 · 𝑌) + 1))
75	65, 74	oveq12d 7388	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((ℂfld evalSub1 ℚ)‘(3 ↑ 𝑋))‘𝑌) + (((ℂfld evalSub1 ℚ)‘(((𝐾‘-3) · 𝑋) + (𝐾‘1)))‘𝑌)) = ((𝑌↑3) + ((-3 · 𝑌) + 1)))
76	54, 75	eqtrd 2772	. 2 ⊢ (𝜑 → (((ℂfld evalSub1 ℚ)‘((3 ↑ 𝑋) + (((𝐾‘-3) · 𝑋) + (𝐾‘1))))‘𝑌) = ((𝑌↑3) + ((-3 · 𝑌) + 1)))
77	3, 76	eqtrid 2784	1 ⊢ (𝜑 → (((ℂfld evalSub1 ℚ)‘𝐹)‘𝑌) = ((𝑌↑3) + ((-3 · 𝑌) + 1)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   I cid 5528   ↾ cres 5636  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370  ℂcc 11038  1c1 11041  ici 11042   + caddc 11043   · cmul 11045  -cneg 11379   / cdiv 11808  2c2 12214  3c3 12215  ℕ₀cn0 12415  ℤcz 12502  ℚcq 12875  ↑cexp 13998  expce 15998  πcpi 16003  Basecbs 17150   ↾_s cress 17171  +_gcplusg 17191  ._rcmulr 17192  Scalarcsca 17194  Mndcmnd 18673  ._gcmg 19014  mulGrpcmgp 20092  Ringcrg 20185  CRingccrg 20186  SubRingcsubrg 20519  DivRingcdr 20679  LModclmod 20828  ℂ_fldccnfld 21326  algSccascl 21824  var₁cv1 22133  Poly₁cpl1 22134   evalSub₁ ces1 22274  deg₁cdg1 26032  ↑_𝑐ccxp 26537

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117  ax-addf 11119  ax-mulf 11120

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-se 5588  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-isom 6511  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-of 7634  df-ofr 7635  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-supp 8115  df-tpos 8180  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-2o 8410  df-er 8647  df-map 8779  df-pm 8780  df-ixp 8850  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-fin 8901  df-fsupp 9279  df-sup 9359  df-oi 9429  df-card 9865  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-div 11809  df-nn 12160  df-2 12222  df-3 12223  df-4 12224  df-5 12225  df-6 12226  df-7 12227  df-8 12228  df-9 12229  df-n0 12416  df-z 12503  df-dec 12622  df-uz 12766  df-q 12876  df-fz 13438  df-fzo 13585  df-seq 13939  df-exp 13999  df-hash 14268  df-struct 17088  df-sets 17105  df-slot 17123  df-ndx 17135  df-base 17151  df-ress 17172  df-plusg 17204  df-mulr 17205  df-starv 17206  df-sca 17207  df-vsca 17208  df-ip 17209  df-tset 17210  df-ple 17211  df-ds 17213  df-unif 17214  df-hom 17215  df-cco 17216  df-0g 17375  df-gsum 17376  df-prds 17381  df-pws 17383  df-mre 17519  df-mrc 17520  df-acs 17522  df-mgm 18579  df-sgrp 18658  df-mnd 18674  df-mhm 18722  df-submnd 18723  df-grp 18883  df-minusg 18884  df-sbg 18885  df-mulg 19015  df-subg 19070  df-ghm 19159  df-cntz 19263  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20093  df-rng 20105  df-ur 20134  df-srg 20139  df-ring 20187  df-cring 20188  df-oppr 20290  df-dvdsr 20310  df-unit 20311  df-invr 20341  df-dvr 20354  df-rhm 20425  df-subrng 20496  df-subrg 20520  df-drng 20681  df-lmod 20830  df-lss 20900  df-lsp 20940  df-cnfld 21327  df-assa 21825  df-asp 21826  df-ascl 21827  df-psr 21882  df-mvr 21883  df-mpl 21884  df-opsr 21886  df-evls 22046  df-evl 22047  df-psr1 22137  df-vr1 22138  df-ply1 22139  df-coe1 22140  df-evls1 22276  df-evl1 22277

This theorem is referenced by:  cos9thpiminply  33972