Theorem nnpw2p 47433

Description: Every positive integer can be represented as the sum of a power of 2 and a "remainder" smaller than the power. (Contributed by AV, 31-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nnpw2p	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑖 ∈ ℕ0 ∃𝑟 ∈ (0..^(2↑𝑖))𝑁 = ((2↑𝑖) + 𝑟))

Distinct variable group:   𝑖,𝑁,𝑟

Proof of Theorem nnpw2p

Step	Hyp	Ref	Expression
1		blennnelnn 47423	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (#b‘𝑁) ∈ ℕ)
2		nnm1nn0 12520	. . 3 ⊢ ((#b‘𝑁) ∈ ℕ → ((#b‘𝑁) − 1) ∈ ℕ0)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((#b‘𝑁) − 1) ∈ ℕ0)
4		oveq2 7420	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = ((#b‘𝑁) − 1) → (2↑𝑖) = (2↑((#b‘𝑁) − 1)))
5	4	oveq2d 7428	. . . 4 ⊢ (𝑖 = ((#b‘𝑁) − 1) → (0..^(2↑𝑖)) = (0..^(2↑((#b‘𝑁) − 1))))
6	4	oveq1d 7427	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = ((#b‘𝑁) − 1) → ((2↑𝑖) + 𝑟) = ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 𝑟))
7	6	eqeq2d 2742	. . . 4 ⊢ (𝑖 = ((#b‘𝑁) − 1) → (𝑁 = ((2↑𝑖) + 𝑟) ↔ 𝑁 = ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 𝑟)))
8	5, 7	rexeqbidv 3342	. . 3 ⊢ (𝑖 = ((#b‘𝑁) − 1) → (∃𝑟 ∈ (0..^(2↑𝑖))𝑁 = ((2↑𝑖) + 𝑟) ↔ ∃𝑟 ∈ (0..^(2↑((#b‘𝑁) − 1)))𝑁 = ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 𝑟)))
9	8	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 = ((#b‘𝑁) − 1)) → (∃𝑟 ∈ (0..^(2↑𝑖))𝑁 = ((2↑𝑖) + 𝑟) ↔ ∃𝑟 ∈ (0..^(2↑((#b‘𝑁) − 1)))𝑁 = ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 𝑟)))
10		nnz 12586	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
11		2nn 12292	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
12	11	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
13	12, 3	nnexpcld 14215	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∈ ℕ)
14		zmodfzo 13866	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∈ ℕ) → (𝑁 mod (2↑((#b‘𝑁) − 1))) ∈ (0..^(2↑((#b‘𝑁) − 1))))
15	10, 13, 14	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 mod (2↑((#b‘𝑁) − 1))) ∈ (0..^(2↑((#b‘𝑁) − 1))))
16		oveq2 7420	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = (𝑁 mod (2↑((#b‘𝑁) − 1))) → ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 𝑟) = ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + (𝑁 mod (2↑((#b‘𝑁) − 1)))))
17	16	eqeq2d 2742	. . . 4 ⊢ (𝑟 = (𝑁 mod (2↑((#b‘𝑁) − 1))) → (𝑁 = ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 𝑟) ↔ 𝑁 = ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + (𝑁 mod (2↑((#b‘𝑁) − 1))))))
18	17	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑟 = (𝑁 mod (2↑((#b‘𝑁) − 1)))) → (𝑁 = ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 𝑟) ↔ 𝑁 = ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + (𝑁 mod (2↑((#b‘𝑁) − 1))))))
19		nnpw2pmod 47430	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 = ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + (𝑁 mod (2↑((#b‘𝑁) − 1)))))
20	15, 18, 19	rspcedvd 3614	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑟 ∈ (0..^(2↑((#b‘𝑁) − 1)))𝑁 = ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 𝑟))
21	3, 9, 20	rspcedvd 3614	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑖 ∈ ℕ0 ∃𝑟 ∈ (0..^(2↑𝑖))𝑁 = ((2↑𝑖) + 𝑟))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∃wrex 3069  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  0cc0 11116  1c1 11117   + caddc 11119   − cmin 11451  ℕcn 12219  2c2 12274  ℕ₀cn0 12479  ℤcz 12565  ..^cfzo 13634   mod cmo 13841  ↑cexp 14034  #_bcblen 47416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9642  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194  ax-addf 11195

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8152  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-2o 8473  df-er 8709  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9368  df-fi 9412  df-sup 9443  df-inf 9444  df-oi 9511  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12982  df-xneg 13099  df-xadd 13100  df-xmul 13101  df-ioo 13335  df-ioc 13336  df-ico 13337  df-icc 13338  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-fl 13764  df-mod 13842  df-seq 13974  df-exp 14035  df-fac 14241  df-bc 14270  df-hash 14298  df-shft 15021  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-limsup 15422  df-clim 15439  df-rlim 15440  df-sum 15640  df-ef 16018  df-sin 16020  df-cos 16021  df-pi 16023  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-hom 17228  df-cco 17229  df-rest 17375  df-topn 17376  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-topgen 17396  df-pt 17397  df-prds 17400  df-xrs 17455  df-qtop 17460  df-imas 17461  df-xps 17463  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-mulg 18994  df-cntz 19229  df-cmn 19698  df-psmet 21224  df-xmet 21225  df-met 21226  df-bl 21227  df-mopn 21228  df-fbas 21229  df-fg 21230  df-cnfld 21233  df-top 22715  df-topon 22732  df-topsp 22754  df-bases 22768  df-cld 22842  df-ntr 22843  df-cls 22844  df-nei 22921  df-lp 22959  df-perf 22960  df-cn 23050  df-cnp 23051  df-haus 23138  df-tx 23385  df-hmeo 23578  df-fil 23669  df-fm 23761  df-flim 23762  df-flf 23763  df-xms 24145  df-ms 24146  df-tms 24147  df-cncf 24717  df-limc 25714  df-dv 25715  df-log 26404  df-cxp 26405  df-logb 26610  df-blen 47417

This theorem is referenced by:  nnpw2pb  47434