Theorem nnpw2p 45901

Description: Every positive integer can be represented as the sum of a power of 2 and a "remainder" smaller than the power. (Contributed by AV, 31-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nnpw2p	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑖 ∈ ℕ0 ∃𝑟 ∈ (0..^(2↑𝑖))𝑁 = ((2↑𝑖) + 𝑟))

Distinct variable group:   𝑖,𝑁,𝑟

Proof of Theorem nnpw2p

Step	Hyp	Ref	Expression
1		blennnelnn 45891	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (#b‘𝑁) ∈ ℕ)
2		nnm1nn0 12274	. . 3 ⊢ ((#b‘𝑁) ∈ ℕ → ((#b‘𝑁) − 1) ∈ ℕ0)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((#b‘𝑁) − 1) ∈ ℕ0)
4		oveq2 7279	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = ((#b‘𝑁) − 1) → (2↑𝑖) = (2↑((#b‘𝑁) − 1)))
5	4	oveq2d 7287	. . . 4 ⊢ (𝑖 = ((#b‘𝑁) − 1) → (0..^(2↑𝑖)) = (0..^(2↑((#b‘𝑁) − 1))))
6	4	oveq1d 7286	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = ((#b‘𝑁) − 1) → ((2↑𝑖) + 𝑟) = ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 𝑟))
7	6	eqeq2d 2751	. . . 4 ⊢ (𝑖 = ((#b‘𝑁) − 1) → (𝑁 = ((2↑𝑖) + 𝑟) ↔ 𝑁 = ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 𝑟)))
8	5, 7	rexeqbidv 3336	. . 3 ⊢ (𝑖 = ((#b‘𝑁) − 1) → (∃𝑟 ∈ (0..^(2↑𝑖))𝑁 = ((2↑𝑖) + 𝑟) ↔ ∃𝑟 ∈ (0..^(2↑((#b‘𝑁) − 1)))𝑁 = ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 𝑟)))
9	8	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 = ((#b‘𝑁) − 1)) → (∃𝑟 ∈ (0..^(2↑𝑖))𝑁 = ((2↑𝑖) + 𝑟) ↔ ∃𝑟 ∈ (0..^(2↑((#b‘𝑁) − 1)))𝑁 = ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 𝑟)))
10		nnz 12342	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
11		2nn 12046	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
12	11	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
13	12, 3	nnexpcld 13958	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∈ ℕ)
14		zmodfzo 13612	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∈ ℕ) → (𝑁 mod (2↑((#b‘𝑁) − 1))) ∈ (0..^(2↑((#b‘𝑁) − 1))))
15	10, 13, 14	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 mod (2↑((#b‘𝑁) − 1))) ∈ (0..^(2↑((#b‘𝑁) − 1))))
16		oveq2 7279	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = (𝑁 mod (2↑((#b‘𝑁) − 1))) → ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 𝑟) = ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + (𝑁 mod (2↑((#b‘𝑁) − 1)))))
17	16	eqeq2d 2751	. . . 4 ⊢ (𝑟 = (𝑁 mod (2↑((#b‘𝑁) − 1))) → (𝑁 = ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 𝑟) ↔ 𝑁 = ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + (𝑁 mod (2↑((#b‘𝑁) − 1))))))
18	17	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑟 = (𝑁 mod (2↑((#b‘𝑁) − 1)))) → (𝑁 = ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 𝑟) ↔ 𝑁 = ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + (𝑁 mod (2↑((#b‘𝑁) − 1))))))
19		nnpw2pmod 45898	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 = ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + (𝑁 mod (2↑((#b‘𝑁) − 1)))))
20	15, 18, 19	rspcedvd 3564	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑟 ∈ (0..^(2↑((#b‘𝑁) − 1)))𝑁 = ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 𝑟))
21	3, 9, 20	rspcedvd 3564	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑖 ∈ ℕ0 ∃𝑟 ∈ (0..^(2↑𝑖))𝑁 = ((2↑𝑖) + 𝑟))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1542   ∈ wcel 2110  ∃wrex 3067  ‘cfv 6432  (class class class)co 7271  0cc0 10872  1c1 10873   + caddc 10875   − cmin 11205  ℕcn 11973  2c2 12028  ℕ₀cn0 12233  ℤcz 12319  ..^cfzo 13381   mod cmo 13587  ↑cexp 13780  #_bcblen 45884

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-inf2 9377  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949  ax-pre-sup 10950  ax-addf 10951  ax-mulf 10952

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-iin 4933  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-se 5546  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-isom 6441  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-of 7527  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-supp 7969  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-1o 8288  df-2o 8289  df-er 8481  df-map 8600  df-pm 8601  df-ixp 8669  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-fin 8720  df-fsupp 9107  df-fi 9148  df-sup 9179  df-inf 9180  df-oi 9247  df-card 9698  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12437  df-uz 12582  df-q 12688  df-rp 12730  df-xneg 12847  df-xadd 12848  df-xmul 12849  df-ioo 13082  df-ioc 13083  df-ico 13084  df-icc 13085  df-fz 13239  df-fzo 13382  df-fl 13510  df-mod 13588  df-seq 13720  df-exp 13781  df-fac 13986  df-bc 14015  df-hash 14043  df-shft 14776  df-cj 14808  df-re 14809  df-im 14810  df-sqrt 14944  df-abs 14945  df-limsup 15178  df-clim 15195  df-rlim 15196  df-sum 15396  df-ef 15775  df-sin 15777  df-cos 15778  df-pi 15780  df-struct 16846  df-sets 16863  df-slot 16881  df-ndx 16893  df-base 16911  df-ress 16940  df-plusg 16973  df-mulr 16974  df-starv 16975  df-sca 16976  df-vsca 16977  df-ip 16978  df-tset 16979  df-ple 16980  df-ds 16982  df-unif 16983  df-hom 16984  df-cco 16985  df-rest 17131  df-topn 17132  df-0g 17150  df-gsum 17151  df-topgen 17152  df-pt 17153  df-prds 17156  df-xrs 17211  df-qtop 17216  df-imas 17217  df-xps 17219  df-mre 17293  df-mrc 17294  df-acs 17296  df-mgm 18324  df-sgrp 18373  df-mnd 18384  df-submnd 18429  df-mulg 18699  df-cntz 18921  df-cmn 19386  df-psmet 20587  df-xmet 20588  df-met 20589  df-bl 20590  df-mopn 20591  df-fbas 20592  df-fg 20593  df-cnfld 20596  df-top 22041  df-topon 22058  df-topsp 22080  df-bases 22094  df-cld 22168  df-ntr 22169  df-cls 22170  df-nei 22247  df-lp 22285  df-perf 22286  df-cn 22376  df-cnp 22377  df-haus 22464  df-tx 22711  df-hmeo 22904  df-fil 22995  df-fm 23087  df-flim 23088  df-flf 23089  df-xms 23471  df-ms 23472  df-tms 23473  df-cncf 24039  df-limc 25028  df-dv 25029  df-log 25710  df-cxp 25711  df-logb 25913  df-blen 45885

This theorem is referenced by:  nnpw2pb  45902