Theorem relogcld 26900

Description: Closure of the natural logarithm function. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
relogcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
relogcld	⊢ (𝜑 → (log‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem relogcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relogcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		relogcl 26852	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐴) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6528  ℝcr 11156  ℝ⁺crp 13075  logclog 26831

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-inf2 9620  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234  ax-pre-sup 11235  ax-addf 11236

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-isom 6537  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7677  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8157  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9977  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-div 11929  df-nn 12291  df-2 12360  df-3 12361  df-4 12362  df-5 12363  df-6 12364  df-7 12365  df-8 12366  df-9 12367  df-n0 12562  df-z 12649  df-dec 12770  df-uz 12921  df-q 13031  df-rp 13076  df-xneg 13196  df-xadd 13197  df-xmul 13198  df-ioo 13435  df-ioc 13436  df-ico 13437  df-icc 13438  df-fz 13595  df-fzo 13743  df-fl 13886  df-mod 13964  df-seq 14099  df-exp 14159  df-fac 14371  df-bc 14400  df-hash 14428  df-shft 15173  df-cj 15219  df-re 15220  df-im 15221  df-sqrt 15355  df-abs 15356  df-limsup 15591  df-clim 15608  df-rlim 15609  df-sum 15807  df-ef 16186  df-sin 16188  df-cos 16189  df-pi 16191  df-struct 17272  df-sets 17289  df-slot 17307  df-ndx 17319  df-base 17335  df-ress 17356  df-plusg 17388  df-mulr 17389  df-starv 17390  df-sca 17391  df-vsca 17392  df-ip 17393  df-tset 17394  df-ple 17395  df-ds 17397  df-unif 17398  df-hom 17399  df-cco 17400  df-rest 17540  df-topn 17541  df-0g 17559  df-gsum 17560  df-topgen 17561  df-pt 17562  df-prds 17565  df-xrs 17621  df-qtop 17626  df-imas 17627  df-xps 17629  df-mre 17703  df-mrc 17704  df-acs 17706  df-mgm 18763  df-sgrp 18855  df-mnd 18871  df-submnd 18926  df-mulg 19225  df-cntz 19478  df-cmn 19943  df-psmet 21617  df-xmet 21618  df-met 21619  df-bl 21620  df-mopn 21621  df-fbas 21622  df-fg 21623  df-cnfld 21626  df-top 23159  df-topon 23176  df-topsp 23198  df-bases 23211  df-cld 23284  df-ntr 23285  df-cls 23286  df-nei 23363  df-lp 23401  df-perf 23402  df-cn 23492  df-cnp 23493  df-haus 23580  df-tx 23828  df-hmeo 24021  df-fil 24112  df-fm 24204  df-flim 24205  df-flf 24206  df-xms 24586  df-ms 24587  df-tms 24588  df-cncf 25146  df-limc 26133  df-dv 26134  df-log 26833

This theorem is used by:  logcnlem3  26921  advlogexp  26932  logccv  26940  recxpcl  26952  cxpsqrt  26980  loglesqrt  27038  logbrec  27059  logbleb  27060  logblt  27061  ang180lem2  27087  isosctrlem2  27096  atanlogaddlem  27190  atantan  27200  birthdaylem2  27229  birthdaylem3  27230  amgmlem  27266  emcllem1  27272  emcllem2  27273  emcllem3  27274  emcllem4  27275  emcllem5  27276  emcllem6  27277  harmonicubnd  27286  fsumharmonic  27288  zetacvg  27291  lgamgulmlem3  27307  lgamgulmlem4  27308  lgamgulmlem5  27309  lgamgulmlem6  27310  lgamgulm2  27312  lgambdd  27313  lgamcvg2  27331  gamcvg  27332  gamcvg2lem  27335  relgamcl  27338  lgam1  27340  chtf  27384  efchtcl  27387  chtge0  27388  vmacl  27394  chtprm  27429  chtdif  27434  efchtdvds  27435  prmorcht  27454  vmalelog  27481  chtleppi  27486  chtublem  27487  fsumvma2  27490  pclogsum  27491  vmasum  27492  chpval2  27494  chpchtsum  27495  chpub  27496  logfacubnd  27497  logfaclbnd  27498  logexprlim  27501  logfacrlim2  27502  bposlem1  27560  bposlem9  27568  chebbnd1lem1  27745  chebbnd1lem2  27746  chebbnd1lem3  27747  chtppilimlem1  27749  chpchtlim  27755  vmadivsum  27758  vmadivsumb  27759  rplogsumlem1  27760  rplogsumlem2  27761  rpvmasumlem  27763  dchrvmasumlem1  27771  dchrvmasum2lem  27772  dchrvmasum2if  27773  dchrvmasumlem2  27774  dchrvmasumiflem1  27777  dchrvmasumiflem2  27778  rplogsum  27803  mulogsumlem  27807  mulogsum  27808  mulog2sumlem1  27810  mulog2sumlem2  27811  mulog2sumlem3  27812  vmalogdivsum2  27814  vmalogdivsum  27815  2vmadivsumlem  27816  logsqvma  27818  logsqvma2  27819  log2sumbnd  27820  selberglem2  27822  selbergb  27825  selberg2lem  27826  selberg2b  27828  chpdifbndlem1  27829  chpdifbndlem2  27830  logdivbnd  27832  selberg3lem1  27833  selberg3lem2  27834  selberg3  27835  selberg4lem1  27836  selberg4  27837  selberg3r  27845  selberg4r  27846  selberg34r  27847  pntsf  27849  pntsval2  27852  pntrlog2bndlem1  27853  pntrlog2bndlem2  27854  pntrlog2bndlem3  27855  pntrlog2bndlem4  27856  pntrlog2bndlem5  27857  pntrlog2bndlem6  27859  pntrlog2bnd  27860  pntpbnd1a  27861  pntpbnd2  27863  pntibndlem2  27867  pntlemb  27873  pntlemg  27874  pntlemh  27875  pntlemn  27876  pntlemr  27878  pntlemj  27879  pntlemf  27881  pntlemk  27882  pntlemo  27883  ostth2lem4  27912  ostth2  27913  ostth3  27914  argcj  33259  xrge0iifcnv  34484  xrge0iifiso  34486  xrge0iifhom  34488  hgt750lemd  35197  logdivsqrle  35199  hgt750lem  35200  hgt750lemb  35205  hgt750leme  35207  tgoldbachgtde  35209  dvrelogpow2b  43032  aks4d1p1p6  43037  aks4d1p1p7  43038  aks4d1p1p5  43039  aks4d1p6  43045  rxp112d  43318  rxp11d  43321  stirlinglem4  47003  stirlinglem11  47010  stirlinglem12  47011  stirlinglem13  47012  lighneallem2  48607  rege1logbrege0  49586  amgmwlem  50903