Theorem relogcld 26604

Description: Closure of the natural logarithm function. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
relogcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
relogcld	⊢ (𝜑 → (log‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem relogcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relogcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		relogcl 26556	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6494  ℝcr 11032  ℝ⁺crp 12937  logclog 26535

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-inf2 9557  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111  ax-addf 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-se 5580  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-isom 6503  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7626  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-supp 8106  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-2o 8401  df-er 8638  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8841  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-fsupp 9270  df-fi 9319  df-sup 9350  df-inf 9351  df-oi 9420  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-q 12894  df-rp 12938  df-xneg 13058  df-xadd 13059  df-xmul 13060  df-ioo 13297  df-ioc 13298  df-ico 13299  df-icc 13300  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-fl 13746  df-mod 13824  df-seq 13959  df-exp 14019  df-fac 14231  df-bc 14260  df-hash 14288  df-shft 15024  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-limsup 15428  df-clim 15445  df-rlim 15446  df-sum 15644  df-ef 16027  df-sin 16029  df-cos 16030  df-pi 16032  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-starv 17230  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-ip 17233  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-unif 17238  df-hom 17239  df-cco 17240  df-rest 17380  df-topn 17381  df-0g 17399  df-gsum 17400  df-topgen 17401  df-pt 17402  df-prds 17405  df-xrs 17461  df-qtop 17466  df-imas 17467  df-xps 17469  df-mre 17543  df-mrc 17544  df-acs 17546  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18747  df-mulg 19039  df-cntz 19287  df-cmn 19752  df-psmet 21340  df-xmet 21341  df-met 21342  df-bl 21343  df-mopn 21344  df-fbas 21345  df-fg 21346  df-cnfld 21349  df-top 22873  df-topon 22890  df-topsp 22912  df-bases 22925  df-cld 22998  df-ntr 22999  df-cls 23000  df-nei 23077  df-lp 23115  df-perf 23116  df-cn 23206  df-cnp 23207  df-haus 23294  df-tx 23541  df-hmeo 23734  df-fil 23825  df-fm 23917  df-flim 23918  df-flf 23919  df-xms 24299  df-ms 24300  df-tms 24301  df-cncf 24859  df-limc 25847  df-dv 25848  df-log 26537

This theorem is referenced by:  logcnlem3  26625  advlogexp  26636  logccv  26644  recxpcl  26656  cxpsqrt  26684  loglesqrt  26742  logbrec  26763  logbleb  26764  logblt  26765  ang180lem2  26791  isosctrlem2  26800  atanlogaddlem  26894  atantan  26904  birthdaylem2  26933  birthdaylem3  26934  amgmlem  26971  emcllem1  26977  emcllem2  26978  emcllem3  26979  emcllem4  26980  emcllem5  26981  emcllem6  26982  harmonicubnd  26991  fsumharmonic  26993  zetacvg  26996  lgamgulmlem3  27012  lgamgulmlem4  27013  lgamgulmlem5  27014  lgamgulmlem6  27015  lgamgulm2  27017  lgambdd  27018  lgamcvg2  27036  gamcvg  27037  gamcvg2lem  27040  relgamcl  27043  lgam1  27045  chtf  27089  efchtcl  27092  chtge0  27093  vmacl  27099  chtprm  27134  chtdif  27139  efchtdvds  27140  prmorcht  27159  vmalelog  27186  chtleppi  27191  chtublem  27192  fsumvma2  27195  pclogsum  27196  vmasum  27197  chpval2  27199  chpchtsum  27200  chpub  27201  logfacubnd  27202  logfaclbnd  27203  logexprlim  27206  logfacrlim2  27207  bposlem1  27265  bposlem9  27273  chebbnd1lem1  27450  chebbnd1lem2  27451  chebbnd1lem3  27452  chtppilimlem1  27454  chpchtlim  27460  vmadivsum  27463  vmadivsumb  27464  rplogsumlem1  27465  rplogsumlem2  27466  rpvmasumlem  27468  dchrvmasumlem1  27476  dchrvmasum2lem  27477  dchrvmasum2if  27478  dchrvmasumlem2  27479  dchrvmasumiflem1  27482  dchrvmasumiflem2  27483  rplogsum  27508  mulogsumlem  27512  mulogsum  27513  mulog2sumlem1  27515  mulog2sumlem2  27516  mulog2sumlem3  27517  vmalogdivsum2  27519  vmalogdivsum  27520  2vmadivsumlem  27521  logsqvma  27523  logsqvma2  27524  log2sumbnd  27525  selberglem2  27527  selbergb  27530  selberg2lem  27531  selberg2b  27533  chpdifbndlem1  27534  chpdifbndlem2  27535  logdivbnd  27537  selberg3lem1  27538  selberg3lem2  27539  selberg3  27540  selberg4lem1  27541  selberg4  27542  selberg3r  27550  selberg4r  27551  selberg34r  27552  pntsf  27554  pntsval2  27557  pntrlog2bndlem1  27558  pntrlog2bndlem2  27559  pntrlog2bndlem3  27560  pntrlog2bndlem4  27561  pntrlog2bndlem5  27562  pntrlog2bndlem6  27564  pntrlog2bnd  27565  pntpbnd1a  27566  pntpbnd2  27568  pntibndlem2  27572  pntlemb  27578  pntlemg  27579  pntlemh  27580  pntlemn  27581  pntlemr  27583  pntlemj  27584  pntlemf  27586  pntlemk  27587  pntlemo  27588  ostth2lem4  27617  ostth2  27618  ostth3  27619  argcj  32840  xrge0iifcnv  34097  xrge0iifiso  34099  xrge0iifhom  34101  hgt750lemd  34812  logdivsqrle  34814  hgt750lem  34815  hgt750lemb  34820  hgt750leme  34822  tgoldbachgtde  34824  dvrelogpow2b  42527  aks4d1p1p6  42532  aks4d1p1p7  42533  aks4d1p1p5  42534  aks4d1p6  42540  rxp112d  42797  rxp11d  42800  stirlinglem4  46529  stirlinglem11  46536  stirlinglem12  46537  stirlinglem13  46538  lighneallem2  48087  rege1logbrege0  49052  amgmwlem  50295