Theorem relogcld 26530

Description: Closure of the natural logarithm function. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
relogcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
relogcld	⊢ (𝜑 → (log‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem relogcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relogcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		relogcl 26482	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6482  ℝcr 11008  ℝ⁺crp 12893  logclog 26461

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-inf2 9537  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087  ax-addf 11088

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-of 7613  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-supp 8094  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-er 8625  df-map 8755  df-pm 8756  df-ixp 8825  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-fsupp 9252  df-fi 9301  df-sup 9332  df-inf 9333  df-oi 9402  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-q 12850  df-rp 12894  df-xneg 13014  df-xadd 13015  df-xmul 13016  df-ioo 13252  df-ioc 13253  df-ico 13254  df-icc 13255  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-fl 13696  df-mod 13774  df-seq 13909  df-exp 13969  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14974  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-limsup 15378  df-clim 15395  df-rlim 15396  df-sum 15594  df-ef 15974  df-sin 15976  df-cos 15977  df-pi 15979  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-hom 17185  df-cco 17186  df-rest 17326  df-topn 17327  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-topgen 17347  df-pt 17348  df-prds 17351  df-xrs 17406  df-qtop 17411  df-imas 17412  df-xps 17414  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-submnd 18658  df-mulg 18947  df-cntz 19196  df-cmn 19661  df-psmet 21253  df-xmet 21254  df-met 21255  df-bl 21256  df-mopn 21257  df-fbas 21258  df-fg 21259  df-cnfld 21262  df-top 22779  df-topon 22796  df-topsp 22818  df-bases 22831  df-cld 22904  df-ntr 22905  df-cls 22906  df-nei 22983  df-lp 23021  df-perf 23022  df-cn 23112  df-cnp 23113  df-haus 23200  df-tx 23447  df-hmeo 23640  df-fil 23731  df-fm 23823  df-flim 23824  df-flf 23825  df-xms 24206  df-ms 24207  df-tms 24208  df-cncf 24769  df-limc 25765  df-dv 25766  df-log 26463

This theorem is referenced by:  logcnlem3  26551  advlogexp  26562  logccv  26570  recxpcl  26582  cxpsqrt  26610  loglesqrt  26669  logbrec  26690  logbleb  26691  logblt  26692  ang180lem2  26718  isosctrlem2  26727  atanlogaddlem  26821  atantan  26831  birthdaylem2  26860  birthdaylem3  26861  amgmlem  26898  emcllem1  26904  emcllem2  26905  emcllem3  26906  emcllem4  26907  emcllem5  26908  emcllem6  26909  harmonicubnd  26918  fsumharmonic  26920  zetacvg  26923  lgamgulmlem3  26939  lgamgulmlem4  26940  lgamgulmlem5  26941  lgamgulmlem6  26942  lgamgulm2  26944  lgambdd  26945  lgamcvg2  26963  gamcvg  26964  gamcvg2lem  26967  relgamcl  26970  lgam1  26972  chtf  27016  efchtcl  27019  chtge0  27020  vmacl  27026  chtprm  27061  chtdif  27066  efchtdvds  27067  prmorcht  27086  vmalelog  27114  chtleppi  27119  chtublem  27120  fsumvma2  27123  pclogsum  27124  vmasum  27125  chpval2  27127  chpchtsum  27128  chpub  27129  logfacubnd  27130  logfaclbnd  27131  logexprlim  27134  logfacrlim2  27135  bposlem1  27193  bposlem9  27201  chebbnd1lem1  27378  chebbnd1lem2  27379  chebbnd1lem3  27380  chtppilimlem1  27382  chpchtlim  27388  vmadivsum  27391  vmadivsumb  27392  rplogsumlem1  27393  rplogsumlem2  27394  rpvmasumlem  27396  dchrvmasumlem1  27404  dchrvmasum2lem  27405  dchrvmasum2if  27406  dchrvmasumlem2  27407  dchrvmasumiflem1  27410  dchrvmasumiflem2  27411  rplogsum  27436  mulogsumlem  27440  mulogsum  27441  mulog2sumlem1  27443  mulog2sumlem2  27444  mulog2sumlem3  27445  vmalogdivsum2  27447  vmalogdivsum  27448  2vmadivsumlem  27449  logsqvma  27451  logsqvma2  27452  log2sumbnd  27453  selberglem2  27455  selbergb  27458  selberg2lem  27459  selberg2b  27461  chpdifbndlem1  27462  chpdifbndlem2  27463  logdivbnd  27465  selberg3lem1  27466  selberg3lem2  27467  selberg3  27468  selberg4lem1  27469  selberg4  27470  selberg3r  27478  selberg4r  27479  selberg34r  27480  pntsf  27482  pntsval2  27485  pntrlog2bndlem1  27486  pntrlog2bndlem2  27487  pntrlog2bndlem3  27488  pntrlog2bndlem4  27489  pntrlog2bndlem5  27490  pntrlog2bndlem6  27492  pntrlog2bnd  27493  pntpbnd1a  27494  pntpbnd2  27496  pntibndlem2  27500  pntlemb  27506  pntlemg  27507  pntlemh  27508  pntlemn  27509  pntlemr  27511  pntlemj  27512  pntlemf  27514  pntlemk  27515  pntlemo  27516  ostth2lem4  27545  ostth2  27546  ostth3  27547  argcj  32701  xrge0iifcnv  33916  xrge0iifiso  33918  xrge0iifhom  33920  hgt750lemd  34632  logdivsqrle  34634  hgt750lem  34635  hgt750lemb  34640  hgt750leme  34642  tgoldbachgtde  34644  dvrelogpow2b  42061  aks4d1p1p6  42066  aks4d1p1p7  42067  aks4d1p1p5  42068  aks4d1p6  42074  rxp112d  42338  rxp11d  42341  stirlinglem4  46078  stirlinglem11  46085  stirlinglem12  46086  stirlinglem13  46087  lighneallem2  47610  rege1logbrege0  48563  amgmwlem  49807