Theorem relogcld 24806

Description: Closure of the natural logarithm function. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
relogcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
relogcld	⊢ (𝜑 → (log‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem relogcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relogcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		relogcl 24759	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6135  ℝcr 10271  ℝ⁺crp 12137  logclog 24738

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350  ax-addf 10351  ax-mulf 10352

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-supp 7577  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-2o 7844  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-pm 8143  df-ixp 8195  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fsupp 8564  df-fi 8605  df-sup 8636  df-inf 8637  df-oi 8704  df-card 9098  df-cda 9325  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-q 12096  df-rp 12138  df-xneg 12257  df-xadd 12258  df-xmul 12259  df-ioo 12491  df-ioc 12492  df-ico 12493  df-icc 12494  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-fl 12912  df-mod 12988  df-seq 13120  df-exp 13179  df-fac 13379  df-bc 13408  df-hash 13436  df-shft 14214  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-limsup 14610  df-clim 14627  df-rlim 14628  df-sum 14825  df-ef 15200  df-sin 15202  df-cos 15203  df-pi 15205  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-starv 16353  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-ip 16356  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-unif 16361  df-hom 16362  df-cco 16363  df-rest 16469  df-topn 16470  df-0g 16488  df-gsum 16489  df-topgen 16490  df-pt 16491  df-prds 16494  df-xrs 16548  df-qtop 16553  df-imas 16554  df-xps 16556  df-mre 16632  df-mrc 16633  df-acs 16635  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-submnd 17722  df-mulg 17928  df-cntz 18133  df-cmn 18581  df-psmet 20134  df-xmet 20135  df-met 20136  df-bl 20137  df-mopn 20138  df-fbas 20139  df-fg 20140  df-cnfld 20143  df-top 21106  df-topon 21123  df-topsp 21145  df-bases 21158  df-cld 21231  df-ntr 21232  df-cls 21233  df-nei 21310  df-lp 21348  df-perf 21349  df-cn 21439  df-cnp 21440  df-haus 21527  df-tx 21774  df-hmeo 21967  df-fil 22058  df-fm 22150  df-flim 22151  df-flf 22152  df-xms 22533  df-ms 22534  df-tms 22535  df-cncf 23089  df-limc 24067  df-dv 24068  df-log 24740

This theorem is referenced by:  logcnlem3  24827  advlogexp  24838  logccv  24846  recxpcl  24858  cxpsqrt  24886  loglesqrt  24939  logbrec  24960  logbleb  24961  logblt  24962  ang180lem2  24988  isosctrlem2  24997  atanlogaddlem  25091  atantan  25101  birthdaylem2  25131  birthdaylem3  25132  amgmlem  25168  emcllem1  25174  emcllem2  25175  emcllem3  25176  emcllem4  25177  emcllem5  25178  emcllem6  25179  harmonicubnd  25188  fsumharmonic  25190  zetacvg  25193  lgamgulmlem3  25209  lgamgulmlem4  25210  lgamgulmlem5  25211  lgamgulmlem6  25212  lgamgulm2  25214  lgambdd  25215  lgamcvg2  25233  gamcvg  25234  gamcvg2lem  25237  relgamcl  25240  lgam1  25242  chtf  25286  efchtcl  25289  chtge0  25290  vmacl  25296  chtprm  25331  chtdif  25336  efchtdvds  25337  prmorcht  25356  vmalelog  25382  chtleppi  25387  chtublem  25388  fsumvma2  25391  pclogsum  25392  vmasum  25393  chpval2  25395  chpchtsum  25396  chpub  25397  logfacubnd  25398  logfaclbnd  25399  logexprlim  25402  logfacrlim2  25403  bposlem1  25461  bposlem9  25469  chebbnd1lem1  25610  chebbnd1lem2  25611  chebbnd1lem3  25612  chtppilimlem1  25614  chpchtlim  25620  vmadivsum  25623  vmadivsumb  25624  rplogsumlem1  25625  rplogsumlem2  25626  rpvmasumlem  25628  dchrvmasumlem1  25636  dchrvmasum2lem  25637  dchrvmasum2if  25638  dchrvmasumiflem1  25642  dchrvmasumiflem2  25643  rplogsum  25668  mulogsumlem  25672  mulogsum  25673  mulog2sumlem1  25675  mulog2sumlem2  25676  mulog2sumlem3  25677  vmalogdivsum2  25679  vmalogdivsum  25680  2vmadivsumlem  25681  logsqvma  25683  logsqvma2  25684  log2sumbnd  25685  selberglem2  25687  selbergb  25690  selberg2lem  25691  selberg2b  25693  chpdifbndlem1  25694  chpdifbndlem2  25695  logdivbnd  25697  selberg3lem1  25698  selberg3lem2  25699  selberg3  25700  selberg4lem1  25701  selberg4  25702  selberg3r  25710  selberg4r  25711  selberg34r  25712  pntsf  25714  pntsval2  25717  pntrlog2bndlem1  25718  pntrlog2bndlem2  25719  pntrlog2bndlem3  25720  pntrlog2bndlem4  25721  pntrlog2bndlem5  25722  pntrlog2bndlem6  25724  pntrlog2bnd  25725  pntpbnd1a  25726  pntpbnd2  25728  pntibndlem2  25732  pntlemb  25738  pntlemg  25739  pntlemh  25740  pntlemn  25741  pntlemr  25743  pntlemj  25744  pntlemf  25746  pntlemk  25747  pntlemo  25748  ostth2lem4  25777  ostth2  25778  ostth3  25779  xrge0iifcnv  30577  xrge0iifiso  30579  xrge0iifhom  30581  hgt750lemd  31328  logdivsqrle  31330  hgt750lem  31331  hgt750lemb  31336  hgt750leme  31338  tgoldbachgtde  31340  cxpgt0d  38160  stirlinglem4  41221  stirlinglem11  41228  stirlinglem12  41229  stirlinglem13  41230  lighneallem2  42544  rege1logbrege0  43367  amgmwlem  43654