Theorem relogcld 26978

Description: Closure of the natural logarithm function. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
relogcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
relogcld	⊢ (𝜑 → (log‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem relogcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relogcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		relogcl 26930	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐴) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6555  ℝcr 11223  ℝ⁺crp 13144  logclog 26909

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-inf2 9666  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301  ax-pre-sup 11302  ax-addf 11303

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-isom 6564  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-of 7714  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-supp 8202  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-2o 8502  df-er 8742  df-map 8874  df-pm 8875  df-ixp 8951  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-fsupp 9379  df-fi 9427  df-sup 9458  df-inf 9459  df-oi 9528  df-card 10044  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-div 11998  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-4 12431  df-5 12432  df-6 12433  df-7 12434  df-8 12435  df-9 12436  df-n0 12631  df-z 12718  df-dec 12839  df-uz 12990  df-q 13100  df-rp 13145  df-xneg 13265  df-xadd 13266  df-xmul 13267  df-ioo 13504  df-ioc 13505  df-ico 13506  df-icc 13507  df-fz 13664  df-fzo 13813  df-fl 13956  df-mod 14034  df-seq 14169  df-exp 14229  df-fac 14442  df-bc 14471  df-hash 14499  df-shft 15246  df-cj 15292  df-re 15293  df-im 15294  df-sqrt 15428  df-abs 15429  df-limsup 15664  df-clim 15681  df-rlim 15682  df-sum 15880  df-ef 16259  df-sin 16261  df-cos 16262  df-pi 16264  df-struct 17351  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-ress 17435  df-plusg 17467  df-mulr 17468  df-starv 17469  df-sca 17470  df-vsca 17471  df-ip 17472  df-tset 17473  df-ple 17474  df-ds 17476  df-unif 17477  df-hom 17478  df-cco 17479  df-rest 17619  df-topn 17620  df-0g 17638  df-gsum 17639  df-topgen 17640  df-pt 17641  df-prds 17644  df-xrs 17700  df-qtop 17705  df-imas 17706  df-xps 17708  df-mre 17782  df-mrc 17783  df-acs 17785  df-mgm 18842  df-sgrp 18934  df-mnd 18950  df-submnd 19005  df-mulg 19304  df-cntz 19558  df-cmn 20023  df-psmet 21697  df-xmet 21698  df-met 21699  df-bl 21700  df-mopn 21701  df-fbas 21702  df-fg 21703  df-cnfld 21706  df-top 23239  df-topon 23256  df-topsp 23278  df-bases 23291  df-cld 23364  df-ntr 23365  df-cls 23366  df-nei 23443  df-lp 23481  df-perf 23482  df-cn 23572  df-cnp 23573  df-haus 23660  df-tx 23908  df-hmeo 24101  df-fil 24192  df-fm 24284  df-flim 24285  df-flf 24286  df-xms 24666  df-ms 24667  df-tms 24668  df-cncf 25226  df-limc 26213  df-dv 26214  df-log 26911

This theorem is used by:  logcnlem3  26999  advlogexp  27010  logccv  27018  recxpcl  27030  cxpsqrt  27058  loglesqrt  27116  logbrec  27137  logbleb  27138  logblt  27139  ang180lem2  27165  isosctrlem2  27174  atanlogaddlem  27268  atantan  27278  birthdaylem2  27307  birthdaylem3  27308  amgmlem  27344  emcllem1  27350  emcllem2  27351  emcllem3  27352  emcllem4  27353  emcllem5  27354  emcllem6  27355  harmonicubnd  27364  fsumharmonic  27366  zetacvg  27369  lgamgulmlem3  27385  lgamgulmlem4  27386  lgamgulmlem5  27387  lgamgulmlem6  27388  lgamgulm2  27390  lgambdd  27391  lgamcvg2  27409  gamcvg  27410  gamcvg2lem  27413  relgamcl  27416  lgam1  27418  chtf  27462  efchtcl  27465  chtge0  27466  vmacl  27472  chtprm  27507  chtdif  27512  efchtdvds  27513  prmorcht  27532  vmalelog  27559  chtleppi  27564  chtublem  27565  fsumvma2  27568  pclogsum  27569  vmasum  27570  chpval2  27572  chpchtsum  27573  chpub  27574  logfacubnd  27575  logfaclbnd  27576  logexprlim  27579  logfacrlim2  27580  bposlem1  27638  bposlem9  27646  chebbnd1lem1  27823  chebbnd1lem2  27824  chebbnd1lem3  27825  chtppilimlem1  27827  chpchtlim  27833  vmadivsum  27836  vmadivsumb  27837  rplogsumlem1  27838  rplogsumlem2  27839  rpvmasumlem  27841  dchrvmasumlem1  27849  dchrvmasum2lem  27850  dchrvmasum2if  27851  dchrvmasumlem2  27852  dchrvmasumiflem1  27855  dchrvmasumiflem2  27856  rplogsum  27881  mulogsumlem  27885  mulogsum  27886  mulog2sumlem1  27888  mulog2sumlem2  27889  mulog2sumlem3  27890  vmalogdivsum2  27892  vmalogdivsum  27893  2vmadivsumlem  27894  logsqvma  27896  logsqvma2  27897  log2sumbnd  27898  selberglem2  27900  selbergb  27903  selberg2lem  27904  selberg2b  27906  chpdifbndlem1  27907  chpdifbndlem2  27908  logdivbnd  27910  selberg3lem1  27911  selberg3lem2  27912  selberg3  27913  selberg4lem1  27914  selberg4  27915  selberg3r  27923  selberg4r  27924  selberg34r  27925  pntsf  27927  pntsval2  27930  pntrlog2bndlem1  27931  pntrlog2bndlem2  27932  pntrlog2bndlem3  27933  pntrlog2bndlem4  27934  pntrlog2bndlem5  27935  pntrlog2bndlem6  27937  pntrlog2bnd  27938  pntpbnd1a  27939  pntpbnd2  27941  pntibndlem2  27945  pntlemb  27951  pntlemg  27952  pntlemh  27953  pntlemn  27954  pntlemr  27956  pntlemj  27957  pntlemf  27959  pntlemk  27960  pntlemo  27961  ostth2lem4  27990  ostth2  27991  ostth3  27992  argcj  33407  xrge0iifcnv  34632  xrge0iifiso  34634  xrge0iifhom  34636  hgt750lemd  35344  logdivsqrle  35346  hgt750lem  35347  hgt750lemb  35352  hgt750leme  35354  tgoldbachgtde  35356  dvrelogpow2b  43309  aks4d1p1p6  43314  aks4d1p1p7  43315  aks4d1p1p5  43316  aks4d1p6  43322  rxp112d  43587  rxp11d  43590  stirlinglem4  47290  stirlinglem11  47297  stirlinglem12  47298  stirlinglem13  47299  lighneallem2  48894  rege1logbrege0  49873  amgmwlem  51265