Theorem relogcld 26754

Description: Closure of the natural logarithm function. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
relogcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
relogcld	⊢ (𝜑 → (log‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem relogcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relogcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		relogcl 26706	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2149  ‘cfv 6537  ℝcr 11099  ℝ⁺crp 13016  logclog 26685

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-inf2 9610  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178  ax-addf 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7675  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8157  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-er 8694  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9322  df-fi 9371  df-sup 9402  df-inf 9403  df-oi 9472  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-q 12973  df-rp 13017  df-xneg 13137  df-xadd 13138  df-xmul 13139  df-ioo 13376  df-ioc 13377  df-ico 13378  df-icc 13379  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-fl 13825  df-mod 13903  df-seq 14038  df-exp 14098  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-shft 15104  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-limsup 15522  df-clim 15539  df-rlim 15540  df-sum 15738  df-ef 16121  df-sin 16123  df-cos 16124  df-pi 16126  df-struct 17207  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-starv 17325  df-sca 17326  df-vsca 17327  df-ip 17328  df-tset 17329  df-ple 17330  df-ds 17332  df-unif 17333  df-hom 17334  df-cco 17335  df-rest 17475  df-topn 17476  df-0g 17494  df-gsum 17495  df-topgen 17496  df-pt 17497  df-prds 17500  df-xrs 17556  df-qtop 17561  df-imas 17562  df-xps 17564  df-mre 17638  df-mrc 17639  df-acs 17641  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-submnd 18842  df-mulg 19134  df-cntz 19387  df-cmn 19852  df-psmet 21483  df-xmet 21484  df-met 21485  df-bl 21486  df-mopn 21487  df-fbas 21488  df-fg 21489  df-cnfld 21492  df-top 23020  df-topon 23037  df-topsp 23059  df-bases 23072  df-cld 23145  df-ntr 23146  df-cls 23147  df-nei 23224  df-lp 23262  df-perf 23263  df-cn 23353  df-cnp 23354  df-haus 23441  df-tx 23688  df-hmeo 23881  df-fil 23972  df-fm 24064  df-flim 24065  df-flf 24066  df-xms 24446  df-ms 24447  df-tms 24448  df-cncf 25006  df-limc 25994  df-dv 25995  df-log 26687

This theorem is referenced by:  logcnlem3  26775  advlogexp  26786  logccv  26794  recxpcl  26806  cxpsqrt  26834  loglesqrt  26892  logbrec  26913  logbleb  26914  logblt  26915  ang180lem2  26941  isosctrlem2  26950  atanlogaddlem  27044  atantan  27054  birthdaylem2  27083  birthdaylem3  27084  amgmlem  27120  emcllem1  27126  emcllem2  27127  emcllem3  27128  emcllem4  27129  emcllem5  27130  emcllem6  27131  harmonicubnd  27140  fsumharmonic  27142  zetacvg  27145  lgamgulmlem3  27161  lgamgulmlem4  27162  lgamgulmlem5  27163  lgamgulmlem6  27164  lgamgulm2  27166  lgambdd  27167  lgamcvg2  27185  gamcvg  27186  gamcvg2lem  27189  relgamcl  27192  lgam1  27194  chtf  27238  efchtcl  27241  chtge0  27242  vmacl  27248  chtprm  27283  chtdif  27288  efchtdvds  27289  prmorcht  27308  vmalelog  27335  chtleppi  27340  chtublem  27341  fsumvma2  27344  pclogsum  27345  vmasum  27346  chpval2  27348  chpchtsum  27349  chpub  27350  logfacubnd  27351  logfaclbnd  27352  logexprlim  27355  logfacrlim2  27356  bposlem1  27414  bposlem9  27422  chebbnd1lem1  27599  chebbnd1lem2  27600  chebbnd1lem3  27601  chtppilimlem1  27603  chpchtlim  27609  vmadivsum  27612  vmadivsumb  27613  rplogsumlem1  27614  rplogsumlem2  27615  rpvmasumlem  27617  dchrvmasumlem1  27625  dchrvmasum2lem  27626  dchrvmasum2if  27627  dchrvmasumlem2  27628  dchrvmasumiflem1  27631  dchrvmasumiflem2  27632  rplogsum  27657  mulogsumlem  27661  mulogsum  27662  mulog2sumlem1  27664  mulog2sumlem2  27665  mulog2sumlem3  27666  vmalogdivsum2  27668  vmalogdivsum  27669  2vmadivsumlem  27670  logsqvma  27672  logsqvma2  27673  log2sumbnd  27674  selberglem2  27676  selbergb  27679  selberg2lem  27680  selberg2b  27682  chpdifbndlem1  27683  chpdifbndlem2  27684  logdivbnd  27686  selberg3lem1  27687  selberg3lem2  27688  selberg3  27689  selberg4lem1  27690  selberg4  27691  selberg3r  27699  selberg4r  27700  selberg34r  27701  pntsf  27703  pntsval2  27706  pntrlog2bndlem1  27707  pntrlog2bndlem2  27708  pntrlog2bndlem3  27709  pntrlog2bndlem4  27710  pntrlog2bndlem5  27711  pntrlog2bndlem6  27713  pntrlog2bnd  27714  pntpbnd1a  27715  pntpbnd2  27717  pntibndlem2  27721  pntlemb  27727  pntlemg  27728  pntlemh  27729  pntlemn  27730  pntlemr  27732  pntlemj  27733  pntlemf  27735  pntlemk  27736  pntlemo  27737  ostth2lem4  27766  ostth2  27767  ostth3  27768  argcj  33034  xrge0iifcnv  34268  xrge0iifiso  34270  xrge0iifhom  34272  hgt750lemd  34980  logdivsqrle  34982  hgt750lem  34983  hgt750lemb  34988  hgt750leme  34990  tgoldbachgtde  34992  dvrelogpow2b  42760  aks4d1p1p6  42765  aks4d1p1p7  42766  aks4d1p1p5  42767  aks4d1p6  42773  rxp112d  43031  rxp11d  43034  stirlinglem4  46718  stirlinglem11  46725  stirlinglem12  46726  stirlinglem13  46727  lighneallem2  48282  rege1logbrege0  49258  amgmwlem  50511