Theorem relogcld 26605

Description: Closure of the natural logarithm function. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
relogcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
relogcld	⊢ (𝜑 → (log‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem relogcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relogcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		relogcl 26557	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6502  ℝcr 11039  ℝ⁺crp 12919  logclog 26536

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-inf2 9564  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117  ax-pre-sup 11118  ax-addf 11119

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-se 5588  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-isom 6511  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-of 7634  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-supp 8115  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-2o 8410  df-er 8647  df-map 8779  df-pm 8780  df-ixp 8850  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-fin 8901  df-fsupp 9279  df-fi 9328  df-sup 9359  df-inf 9360  df-oi 9429  df-card 9865  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-div 11809  df-nn 12160  df-2 12222  df-3 12223  df-4 12224  df-5 12225  df-6 12226  df-7 12227  df-8 12228  df-9 12229  df-n0 12416  df-z 12503  df-dec 12622  df-uz 12766  df-q 12876  df-rp 12920  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13279  df-ioc 13280  df-ico 13281  df-icc 13282  df-fz 13438  df-fzo 13585  df-fl 13726  df-mod 13804  df-seq 13939  df-exp 13999  df-fac 14211  df-bc 14240  df-hash 14268  df-shft 15004  df-cj 15036  df-re 15037  df-im 15038  df-sqrt 15172  df-abs 15173  df-limsup 15408  df-clim 15425  df-rlim 15426  df-sum 15624  df-ef 16004  df-sin 16006  df-cos 16007  df-pi 16009  df-struct 17088  df-sets 17105  df-slot 17123  df-ndx 17135  df-base 17151  df-ress 17172  df-plusg 17204  df-mulr 17205  df-starv 17206  df-sca 17207  df-vsca 17208  df-ip 17209  df-tset 17210  df-ple 17211  df-ds 17213  df-unif 17214  df-hom 17215  df-cco 17216  df-rest 17356  df-topn 17357  df-0g 17375  df-gsum 17376  df-topgen 17377  df-pt 17378  df-prds 17381  df-xrs 17437  df-qtop 17442  df-imas 17443  df-xps 17445  df-mre 17519  df-mrc 17520  df-acs 17522  df-mgm 18579  df-sgrp 18658  df-mnd 18674  df-submnd 18723  df-mulg 19015  df-cntz 19263  df-cmn 19728  df-psmet 21318  df-xmet 21319  df-met 21320  df-bl 21321  df-mopn 21322  df-fbas 21323  df-fg 21324  df-cnfld 21327  df-top 22855  df-topon 22872  df-topsp 22894  df-bases 22907  df-cld 22980  df-ntr 22981  df-cls 22982  df-nei 23059  df-lp 23097  df-perf 23098  df-cn 23188  df-cnp 23189  df-haus 23276  df-tx 23523  df-hmeo 23716  df-fil 23807  df-fm 23899  df-flim 23900  df-flf 23901  df-xms 24281  df-ms 24282  df-tms 24283  df-cncf 24844  df-limc 25840  df-dv 25841  df-log 26538

This theorem is referenced by:  logcnlem3  26626  advlogexp  26637  logccv  26645  recxpcl  26657  cxpsqrt  26685  loglesqrt  26744  logbrec  26765  logbleb  26766  logblt  26767  ang180lem2  26793  isosctrlem2  26802  atanlogaddlem  26896  atantan  26906  birthdaylem2  26935  birthdaylem3  26936  amgmlem  26973  emcllem1  26979  emcllem2  26980  emcllem3  26981  emcllem4  26982  emcllem5  26983  emcllem6  26984  harmonicubnd  26993  fsumharmonic  26995  zetacvg  26998  lgamgulmlem3  27014  lgamgulmlem4  27015  lgamgulmlem5  27016  lgamgulmlem6  27017  lgamgulm2  27019  lgambdd  27020  lgamcvg2  27038  gamcvg  27039  gamcvg2lem  27042  relgamcl  27045  lgam1  27047  chtf  27091  efchtcl  27094  chtge0  27095  vmacl  27101  chtprm  27136  chtdif  27141  efchtdvds  27142  prmorcht  27161  vmalelog  27189  chtleppi  27194  chtublem  27195  fsumvma2  27198  pclogsum  27199  vmasum  27200  chpval2  27202  chpchtsum  27203  chpub  27204  logfacubnd  27205  logfaclbnd  27206  logexprlim  27209  logfacrlim2  27210  bposlem1  27268  bposlem9  27276  chebbnd1lem1  27453  chebbnd1lem2  27454  chebbnd1lem3  27455  chtppilimlem1  27457  chpchtlim  27463  vmadivsum  27466  vmadivsumb  27467  rplogsumlem1  27468  rplogsumlem2  27469  rpvmasumlem  27471  dchrvmasumlem1  27479  dchrvmasum2lem  27480  dchrvmasum2if  27481  dchrvmasumlem2  27482  dchrvmasumiflem1  27485  dchrvmasumiflem2  27486  rplogsum  27511  mulogsumlem  27515  mulogsum  27516  mulog2sumlem1  27518  mulog2sumlem2  27519  mulog2sumlem3  27520  vmalogdivsum2  27522  vmalogdivsum  27523  2vmadivsumlem  27524  logsqvma  27526  logsqvma2  27527  log2sumbnd  27528  selberglem2  27530  selbergb  27533  selberg2lem  27534  selberg2b  27536  chpdifbndlem1  27537  chpdifbndlem2  27538  logdivbnd  27540  selberg3lem1  27541  selberg3lem2  27542  selberg3  27543  selberg4lem1  27544  selberg4  27545  selberg3r  27553  selberg4r  27554  selberg34r  27555  pntsf  27557  pntsval2  27560  pntrlog2bndlem1  27561  pntrlog2bndlem2  27562  pntrlog2bndlem3  27563  pntrlog2bndlem4  27564  pntrlog2bndlem5  27565  pntrlog2bndlem6  27567  pntrlog2bnd  27568  pntpbnd1a  27569  pntpbnd2  27571  pntibndlem2  27575  pntlemb  27581  pntlemg  27582  pntlemh  27583  pntlemn  27584  pntlemr  27586  pntlemj  27587  pntlemf  27589  pntlemk  27590  pntlemo  27591  ostth2lem4  27620  ostth2  27621  ostth3  27622  argcj  32845  xrge0iifcnv  34117  xrge0iifiso  34119  xrge0iifhom  34121  hgt750lemd  34832  logdivsqrle  34834  hgt750lem  34835  hgt750lemb  34840  hgt750leme  34842  tgoldbachgtde  34844  dvrelogpow2b  42467  aks4d1p1p6  42472  aks4d1p1p7  42473  aks4d1p1p5  42474  aks4d1p6  42480  rxp112d  42744  rxp11d  42747  stirlinglem4  46464  stirlinglem11  46471  stirlinglem12  46472  stirlinglem13  46473  lighneallem2  47995  rege1logbrege0  48947  amgmwlem  50190