MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  relogcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem relogcld 25203
Description: Closure of the natural logarithm function. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
relogcld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
relogcld (𝜑 → (log‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem relogcld
StepHypRef Expression
1 relogcld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
2 relogcl 25156 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2115  cfv 6336  cr 10521  +crp 12375  logclog 25135
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5171  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-inf2 9088  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599  ax-pre-sup 10600  ax-addf 10601  ax-mulf 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-int 4858  df-iun 4902  df-iin 4903  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-se 5496  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-isom 6345  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-of 7392  df-om 7564  df-1st 7672  df-2nd 7673  df-supp 7814  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-ixp 8445  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-fi 8859  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-div 11283  df-nn 11624  df-2 11686  df-3 11687  df-4 11688  df-5 11689  df-6 11690  df-7 11691  df-8 11692  df-9 11693  df-n0 11884  df-z 11968  df-dec 12085  df-uz 12230  df-q 12335  df-rp 12376  df-xneg 12493  df-xadd 12494  df-xmul 12495  df-ioo 12728  df-ioc 12729  df-ico 12730  df-icc 12731  df-fz 12884  df-fzo 13027  df-fl 13155  df-mod 13231  df-seq 13363  df-exp 13424  df-fac 13628  df-bc 13657  df-hash 13685  df-shft 14415  df-cj 14447  df-re 14448  df-im 14449  df-sqrt 14583  df-abs 14584  df-limsup 14817  df-clim 14834  df-rlim 14835  df-sum 15032  df-ef 15410  df-sin 15412  df-cos 15413  df-pi 15415  df-struct 16474  df-ndx 16475  df-slot 16476  df-base 16478  df-sets 16479  df-ress 16480  df-plusg 16567  df-mulr 16568  df-starv 16569  df-sca 16570  df-vsca 16571  df-ip 16572  df-tset 16573  df-ple 16574  df-ds 16576  df-unif 16577  df-hom 16578  df-cco 16579  df-rest 16685  df-topn 16686  df-0g 16704  df-gsum 16705  df-topgen 16706  df-pt 16707  df-prds 16710  df-xrs 16764  df-qtop 16769  df-imas 16770  df-xps 16772  df-mre 16846  df-mrc 16847  df-acs 16849  df-mgm 17841  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-submnd 17946  df-mulg 18214  df-cntz 18436  df-cmn 18897  df-psmet 20523  df-xmet 20524  df-met 20525  df-bl 20526  df-mopn 20527  df-fbas 20528  df-fg 20529  df-cnfld 20532  df-top 21488  df-topon 21505  df-topsp 21527  df-bases 21540  df-cld 21613  df-ntr 21614  df-cls 21615  df-nei 21692  df-lp 21730  df-perf 21731  df-cn 21821  df-cnp 21822  df-haus 21909  df-tx 22156  df-hmeo 22349  df-fil 22440  df-fm 22532  df-flim 22533  df-flf 22534  df-xms 22916  df-ms 22917  df-tms 22918  df-cncf 23472  df-limc 24458  df-dv 24459  df-log 25137
This theorem is referenced by:  logcnlem3  25224  advlogexp  25235  logccv  25243  recxpcl  25255  cxpsqrt  25283  loglesqrt  25336  logbrec  25357  logbleb  25358  logblt  25359  ang180lem2  25385  isosctrlem2  25394  atanlogaddlem  25488  atantan  25498  birthdaylem2  25527  birthdaylem3  25528  amgmlem  25564  emcllem1  25570  emcllem2  25571  emcllem3  25572  emcllem4  25573  emcllem5  25574  emcllem6  25575  harmonicubnd  25584  fsumharmonic  25586  zetacvg  25589  lgamgulmlem3  25605  lgamgulmlem4  25606  lgamgulmlem5  25607  lgamgulmlem6  25608  lgamgulm2  25610  lgambdd  25611  lgamcvg2  25629  gamcvg  25630  gamcvg2lem  25633  relgamcl  25636  lgam1  25638  chtf  25682  efchtcl  25685  chtge0  25686  vmacl  25692  chtprm  25727  chtdif  25732  efchtdvds  25733  prmorcht  25752  vmalelog  25778  chtleppi  25783  chtublem  25784  fsumvma2  25787  pclogsum  25788  vmasum  25789  chpval2  25791  chpchtsum  25792  chpub  25793  logfacubnd  25794  logfaclbnd  25795  logexprlim  25798  logfacrlim2  25799  bposlem1  25857  bposlem9  25865  chebbnd1lem1  26042  chebbnd1lem2  26043  chebbnd1lem3  26044  chtppilimlem1  26046  chpchtlim  26052  vmadivsum  26055  vmadivsumb  26056  rplogsumlem1  26057  rplogsumlem2  26058  rpvmasumlem  26060  dchrvmasumlem1  26068  dchrvmasum2lem  26069  dchrvmasum2if  26070  dchrvmasumlem2  26071  dchrvmasumiflem1  26074  dchrvmasumiflem2  26075  rplogsum  26100  mulogsumlem  26104  mulogsum  26105  mulog2sumlem1  26107  mulog2sumlem2  26108  mulog2sumlem3  26109  vmalogdivsum2  26111  vmalogdivsum  26112  2vmadivsumlem  26113  logsqvma  26115  logsqvma2  26116  log2sumbnd  26117  selberglem2  26119  selbergb  26122  selberg2lem  26123  selberg2b  26125  chpdifbndlem1  26126  chpdifbndlem2  26127  logdivbnd  26129  selberg3lem1  26130  selberg3lem2  26131  selberg3  26132  selberg4lem1  26133  selberg4  26134  selberg3r  26142  selberg4r  26143  selberg34r  26144  pntsf  26146  pntsval2  26149  pntrlog2bndlem1  26150  pntrlog2bndlem2  26151  pntrlog2bndlem3  26152  pntrlog2bndlem4  26153  pntrlog2bndlem5  26154  pntrlog2bndlem6  26156  pntrlog2bnd  26157  pntpbnd1a  26158  pntpbnd2  26160  pntibndlem2  26164  pntlemb  26170  pntlemg  26171  pntlemh  26172  pntlemn  26173  pntlemr  26175  pntlemj  26176  pntlemf  26178  pntlemk  26179  pntlemo  26180  ostth2lem4  26209  ostth2  26210  ostth3  26211  xrge0iifcnv  31194  xrge0iifiso  31196  xrge0iifhom  31198  hgt750lemd  31937  logdivsqrle  31939  hgt750lem  31940  hgt750lemb  31945  hgt750leme  31947  tgoldbachgtde  31949  cxpgt0d  39339  stirlinglem4  42561  stirlinglem11  42568  stirlinglem12  42569  stirlinglem13  42570  lighneallem2  43966  rege1logbrege0  44813  amgmwlem  45160
  Copyright terms: Public domain W3C validator