Theorem relogcld 26539

Description: Closure of the natural logarithm function. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
relogcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
relogcld	⊢ (𝜑 → (log‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem relogcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relogcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		relogcl 26491	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6514  ℝcr 11074  ℝ⁺crp 12958  logclog 26470

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153  ax-addf 11154

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-fi 9369  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-q 12915  df-rp 12959  df-xneg 13079  df-xadd 13080  df-xmul 13081  df-ioo 13317  df-ioc 13318  df-ico 13319  df-icc 13320  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13974  df-exp 14034  df-fac 14246  df-bc 14275  df-hash 14303  df-shft 15040  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-limsup 15444  df-clim 15461  df-rlim 15462  df-sum 15660  df-ef 16040  df-sin 16042  df-cos 16043  df-pi 16045  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-rest 17392  df-topn 17393  df-0g 17411  df-gsum 17412  df-topgen 17413  df-pt 17414  df-prds 17417  df-xrs 17472  df-qtop 17477  df-imas 17478  df-xps 17480  df-mre 17554  df-mrc 17555  df-acs 17557  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-submnd 18718  df-mulg 19007  df-cntz 19256  df-cmn 19719  df-psmet 21263  df-xmet 21264  df-met 21265  df-bl 21266  df-mopn 21267  df-fbas 21268  df-fg 21269  df-cnfld 21272  df-top 22788  df-topon 22805  df-topsp 22827  df-bases 22840  df-cld 22913  df-ntr 22914  df-cls 22915  df-nei 22992  df-lp 23030  df-perf 23031  df-cn 23121  df-cnp 23122  df-haus 23209  df-tx 23456  df-hmeo 23649  df-fil 23740  df-fm 23832  df-flim 23833  df-flf 23834  df-xms 24215  df-ms 24216  df-tms 24217  df-cncf 24778  df-limc 25774  df-dv 25775  df-log 26472

This theorem is referenced by:  logcnlem3  26560  advlogexp  26571  logccv  26579  recxpcl  26591  cxpsqrt  26619  loglesqrt  26678  logbrec  26699  logbleb  26700  logblt  26701  ang180lem2  26727  isosctrlem2  26736  atanlogaddlem  26830  atantan  26840  birthdaylem2  26869  birthdaylem3  26870  amgmlem  26907  emcllem1  26913  emcllem2  26914  emcllem3  26915  emcllem4  26916  emcllem5  26917  emcllem6  26918  harmonicubnd  26927  fsumharmonic  26929  zetacvg  26932  lgamgulmlem3  26948  lgamgulmlem4  26949  lgamgulmlem5  26950  lgamgulmlem6  26951  lgamgulm2  26953  lgambdd  26954  lgamcvg2  26972  gamcvg  26973  gamcvg2lem  26976  relgamcl  26979  lgam1  26981  chtf  27025  efchtcl  27028  chtge0  27029  vmacl  27035  chtprm  27070  chtdif  27075  efchtdvds  27076  prmorcht  27095  vmalelog  27123  chtleppi  27128  chtublem  27129  fsumvma2  27132  pclogsum  27133  vmasum  27134  chpval2  27136  chpchtsum  27137  chpub  27138  logfacubnd  27139  logfaclbnd  27140  logexprlim  27143  logfacrlim2  27144  bposlem1  27202  bposlem9  27210  chebbnd1lem1  27387  chebbnd1lem2  27388  chebbnd1lem3  27389  chtppilimlem1  27391  chpchtlim  27397  vmadivsum  27400  vmadivsumb  27401  rplogsumlem1  27402  rplogsumlem2  27403  rpvmasumlem  27405  dchrvmasumlem1  27413  dchrvmasum2lem  27414  dchrvmasum2if  27415  dchrvmasumlem2  27416  dchrvmasumiflem1  27419  dchrvmasumiflem2  27420  rplogsum  27445  mulogsumlem  27449  mulogsum  27450  mulog2sumlem1  27452  mulog2sumlem2  27453  mulog2sumlem3  27454  vmalogdivsum2  27456  vmalogdivsum  27457  2vmadivsumlem  27458  logsqvma  27460  logsqvma2  27461  log2sumbnd  27462  selberglem2  27464  selbergb  27467  selberg2lem  27468  selberg2b  27470  chpdifbndlem1  27471  chpdifbndlem2  27472  logdivbnd  27474  selberg3lem1  27475  selberg3lem2  27476  selberg3  27477  selberg4lem1  27478  selberg4  27479  selberg3r  27487  selberg4r  27488  selberg34r  27489  pntsf  27491  pntsval2  27494  pntrlog2bndlem1  27495  pntrlog2bndlem2  27496  pntrlog2bndlem3  27497  pntrlog2bndlem4  27498  pntrlog2bndlem5  27499  pntrlog2bndlem6  27501  pntrlog2bnd  27502  pntpbnd1a  27503  pntpbnd2  27505  pntibndlem2  27509  pntlemb  27515  pntlemg  27516  pntlemh  27517  pntlemn  27518  pntlemr  27520  pntlemj  27521  pntlemf  27523  pntlemk  27524  pntlemo  27525  ostth2lem4  27554  ostth2  27555  ostth3  27556  argcj  32679  xrge0iifcnv  33930  xrge0iifiso  33932  xrge0iifhom  33934  hgt750lemd  34646  logdivsqrle  34648  hgt750lem  34649  hgt750lemb  34654  hgt750leme  34656  tgoldbachgtde  34658  dvrelogpow2b  42063  aks4d1p1p6  42068  aks4d1p1p7  42069  aks4d1p1p5  42070  aks4d1p6  42076  rxp112d  42340  rxp11d  42343  stirlinglem4  46082  stirlinglem11  46089  stirlinglem12  46090  stirlinglem13  46091  lighneallem2  47611  rege1logbrege0  48551  amgmwlem  49795