Theorem relogcld 26683

Description: Closure of the natural logarithm function. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
relogcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
relogcld	⊢ (𝜑 → (log‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem relogcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relogcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		relogcl 26635	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6573  ℝcr 11183  ℝ⁺crp 13057  logclog 26614

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262  ax-addf 11263

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-fi 9480  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-ioo 13411  df-ioc 13412  df-ico 13413  df-icc 13414  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-mod 13921  df-seq 14053  df-exp 14113  df-fac 14323  df-bc 14352  df-hash 14380  df-shft 15116  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-limsup 15517  df-clim 15534  df-rlim 15535  df-sum 15735  df-ef 16115  df-sin 16117  df-cos 16118  df-pi 16120  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-rest 17482  df-topn 17483  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-topgen 17503  df-pt 17504  df-prds 17507  df-xrs 17562  df-qtop 17567  df-imas 17568  df-xps 17570  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-submnd 18819  df-mulg 19108  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-fbas 21384  df-fg 21385  df-cnfld 21388  df-top 22921  df-topon 22938  df-topsp 22960  df-bases 22974  df-cld 23048  df-ntr 23049  df-cls 23050  df-nei 23127  df-lp 23165  df-perf 23166  df-cn 23256  df-cnp 23257  df-haus 23344  df-tx 23591  df-hmeo 23784  df-fil 23875  df-fm 23967  df-flim 23968  df-flf 23969  df-xms 24351  df-ms 24352  df-tms 24353  df-cncf 24923  df-limc 25921  df-dv 25922  df-log 26616

This theorem is referenced by:  logcnlem3  26704  advlogexp  26715  logccv  26723  recxpcl  26735  cxpsqrt  26763  loglesqrt  26822  logbrec  26843  logbleb  26844  logblt  26845  ang180lem2  26871  isosctrlem2  26880  atanlogaddlem  26974  atantan  26984  birthdaylem2  27013  birthdaylem3  27014  amgmlem  27051  emcllem1  27057  emcllem2  27058  emcllem3  27059  emcllem4  27060  emcllem5  27061  emcllem6  27062  harmonicubnd  27071  fsumharmonic  27073  zetacvg  27076  lgamgulmlem3  27092  lgamgulmlem4  27093  lgamgulmlem5  27094  lgamgulmlem6  27095  lgamgulm2  27097  lgambdd  27098  lgamcvg2  27116  gamcvg  27117  gamcvg2lem  27120  relgamcl  27123  lgam1  27125  chtf  27169  efchtcl  27172  chtge0  27173  vmacl  27179  chtprm  27214  chtdif  27219  efchtdvds  27220  prmorcht  27239  vmalelog  27267  chtleppi  27272  chtublem  27273  fsumvma2  27276  pclogsum  27277  vmasum  27278  chpval2  27280  chpchtsum  27281  chpub  27282  logfacubnd  27283  logfaclbnd  27284  logexprlim  27287  logfacrlim2  27288  bposlem1  27346  bposlem9  27354  chebbnd1lem1  27531  chebbnd1lem2  27532  chebbnd1lem3  27533  chtppilimlem1  27535  chpchtlim  27541  vmadivsum  27544  vmadivsumb  27545  rplogsumlem1  27546  rplogsumlem2  27547  rpvmasumlem  27549  dchrvmasumlem1  27557  dchrvmasum2lem  27558  dchrvmasum2if  27559  dchrvmasumlem2  27560  dchrvmasumiflem1  27563  dchrvmasumiflem2  27564  rplogsum  27589  mulogsumlem  27593  mulogsum  27594  mulog2sumlem1  27596  mulog2sumlem2  27597  mulog2sumlem3  27598  vmalogdivsum2  27600  vmalogdivsum  27601  2vmadivsumlem  27602  logsqvma  27604  logsqvma2  27605  log2sumbnd  27606  selberglem2  27608  selbergb  27611  selberg2lem  27612  selberg2b  27614  chpdifbndlem1  27615  chpdifbndlem2  27616  logdivbnd  27618  selberg3lem1  27619  selberg3lem2  27620  selberg3  27621  selberg4lem1  27622  selberg4  27623  selberg3r  27631  selberg4r  27632  selberg34r  27633  pntsf  27635  pntsval2  27638  pntrlog2bndlem1  27639  pntrlog2bndlem2  27640  pntrlog2bndlem3  27641  pntrlog2bndlem4  27642  pntrlog2bndlem5  27643  pntrlog2bndlem6  27645  pntrlog2bnd  27646  pntpbnd1a  27647  pntpbnd2  27649  pntibndlem2  27653  pntlemb  27659  pntlemg  27660  pntlemh  27661  pntlemn  27662  pntlemr  27664  pntlemj  27665  pntlemf  27667  pntlemk  27668  pntlemo  27669  ostth2lem4  27698  ostth2  27699  ostth3  27700  xrge0iifcnv  33879  xrge0iifiso  33881  xrge0iifhom  33883  hgt750lemd  34625  logdivsqrle  34627  hgt750lem  34628  hgt750lemb  34633  hgt750leme  34635  tgoldbachgtde  34637  dvrelogpow2b  42025  aks4d1p1p6  42030  aks4d1p1p7  42031  aks4d1p1p5  42032  aks4d1p6  42038  rxp112d  42333  rxp11d  42336  stirlinglem4  45998  stirlinglem11  46005  stirlinglem12  46006  stirlinglem13  46007  lighneallem2  47480  rege1logbrege0  48292  amgmwlem  48896