Theorem relogcld 26471

Description: Closure of the natural logarithm function. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
relogcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
relogcld	⊢ (𝜑 → (log‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem relogcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relogcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		relogcl 26424	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2105  ‘cfv 6543  ℝcr 11115  ℝ⁺crp 12981  logclog 26403

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9642  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194  ax-addf 11195

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8152  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-2o 8473  df-er 8709  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9368  df-fi 9412  df-sup 9443  df-inf 9444  df-oi 9511  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12982  df-xneg 13099  df-xadd 13100  df-xmul 13101  df-ioo 13335  df-ioc 13336  df-ico 13337  df-icc 13338  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-fl 13764  df-mod 13842  df-seq 13974  df-exp 14035  df-fac 14241  df-bc 14270  df-hash 14298  df-shft 15021  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-limsup 15422  df-clim 15439  df-rlim 15440  df-sum 15640  df-ef 16018  df-sin 16020  df-cos 16021  df-pi 16023  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-hom 17228  df-cco 17229  df-rest 17375  df-topn 17376  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-topgen 17396  df-pt 17397  df-prds 17400  df-xrs 17455  df-qtop 17460  df-imas 17461  df-xps 17463  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-mulg 18994  df-cntz 19229  df-cmn 19698  df-psmet 21225  df-xmet 21226  df-met 21227  df-bl 21228  df-mopn 21229  df-fbas 21230  df-fg 21231  df-cnfld 21234  df-top 22716  df-topon 22733  df-topsp 22755  df-bases 22769  df-cld 22843  df-ntr 22844  df-cls 22845  df-nei 22922  df-lp 22960  df-perf 22961  df-cn 23051  df-cnp 23052  df-haus 23139  df-tx 23386  df-hmeo 23579  df-fil 23670  df-fm 23762  df-flim 23763  df-flf 23764  df-xms 24146  df-ms 24147  df-tms 24148  df-cncf 24718  df-limc 25715  df-dv 25716  df-log 26405

This theorem is referenced by:  logcnlem3  26492  advlogexp  26503  logccv  26511  recxpcl  26523  cxpsqrt  26551  loglesqrt  26607  logbrec  26628  logbleb  26629  logblt  26630  ang180lem2  26656  isosctrlem2  26665  atanlogaddlem  26759  atantan  26769  birthdaylem2  26798  birthdaylem3  26799  amgmlem  26835  emcllem1  26841  emcllem2  26842  emcllem3  26843  emcllem4  26844  emcllem5  26845  emcllem6  26846  harmonicubnd  26855  fsumharmonic  26857  zetacvg  26860  lgamgulmlem3  26876  lgamgulmlem4  26877  lgamgulmlem5  26878  lgamgulmlem6  26879  lgamgulm2  26881  lgambdd  26882  lgamcvg2  26900  gamcvg  26901  gamcvg2lem  26904  relgamcl  26907  lgam1  26909  chtf  26953  efchtcl  26956  chtge0  26957  vmacl  26963  chtprm  26998  chtdif  27003  efchtdvds  27004  prmorcht  27023  vmalelog  27051  chtleppi  27056  chtublem  27057  fsumvma2  27060  pclogsum  27061  vmasum  27062  chpval2  27064  chpchtsum  27065  chpub  27066  logfacubnd  27067  logfaclbnd  27068  logexprlim  27071  logfacrlim2  27072  bposlem1  27130  bposlem9  27138  chebbnd1lem1  27315  chebbnd1lem2  27316  chebbnd1lem3  27317  chtppilimlem1  27319  chpchtlim  27325  vmadivsum  27328  vmadivsumb  27329  rplogsumlem1  27330  rplogsumlem2  27331  rpvmasumlem  27333  dchrvmasumlem1  27341  dchrvmasum2lem  27342  dchrvmasum2if  27343  dchrvmasumlem2  27344  dchrvmasumiflem1  27347  dchrvmasumiflem2  27348  rplogsum  27373  mulogsumlem  27377  mulogsum  27378  mulog2sumlem1  27380  mulog2sumlem2  27381  mulog2sumlem3  27382  vmalogdivsum2  27384  vmalogdivsum  27385  2vmadivsumlem  27386  logsqvma  27388  logsqvma2  27389  log2sumbnd  27390  selberglem2  27392  selbergb  27395  selberg2lem  27396  selberg2b  27398  chpdifbndlem1  27399  chpdifbndlem2  27400  logdivbnd  27402  selberg3lem1  27403  selberg3lem2  27404  selberg3  27405  selberg4lem1  27406  selberg4  27407  selberg3r  27415  selberg4r  27416  selberg34r  27417  pntsf  27419  pntsval2  27422  pntrlog2bndlem1  27423  pntrlog2bndlem2  27424  pntrlog2bndlem3  27425  pntrlog2bndlem4  27426  pntrlog2bndlem5  27427  pntrlog2bndlem6  27429  pntrlog2bnd  27430  pntpbnd1a  27431  pntpbnd2  27433  pntibndlem2  27437  pntlemb  27443  pntlemg  27444  pntlemh  27445  pntlemn  27446  pntlemr  27448  pntlemj  27449  pntlemf  27451  pntlemk  27452  pntlemo  27453  ostth2lem4  27482  ostth2  27483  ostth3  27484  xrge0iifcnv  33377  xrge0iifiso  33379  xrge0iifhom  33381  hgt750lemd  34124  logdivsqrle  34126  hgt750lem  34127  hgt750lemb  34132  hgt750leme  34134  tgoldbachgtde  34136  dvrelogpow2b  41400  aks4d1p1p6  41405  aks4d1p1p7  41406  aks4d1p1p5  41407  aks4d1p6  41413  stirlinglem4  45252  stirlinglem11  45259  stirlinglem12  45260  stirlinglem13  45261  lighneallem2  46733  rege1logbrege0  47406  amgmwlem  48011