Theorem relogcld 26665

Description: Closure of the natural logarithm function. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
relogcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
relogcld	⊢ (𝜑 → (log‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem relogcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relogcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		relogcl 26617	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6561  ℝcr 11154  ℝ⁺crp 13034  logclog 26596

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106  df-pi 16108  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902  df-log 26598

This theorem is referenced by:  logcnlem3  26686  advlogexp  26697  logccv  26705  recxpcl  26717  cxpsqrt  26745  loglesqrt  26804  logbrec  26825  logbleb  26826  logblt  26827  ang180lem2  26853  isosctrlem2  26862  atanlogaddlem  26956  atantan  26966  birthdaylem2  26995  birthdaylem3  26996  amgmlem  27033  emcllem1  27039  emcllem2  27040  emcllem3  27041  emcllem4  27042  emcllem5  27043  emcllem6  27044  harmonicubnd  27053  fsumharmonic  27055  zetacvg  27058  lgamgulmlem3  27074  lgamgulmlem4  27075  lgamgulmlem5  27076  lgamgulmlem6  27077  lgamgulm2  27079  lgambdd  27080  lgamcvg2  27098  gamcvg  27099  gamcvg2lem  27102  relgamcl  27105  lgam1  27107  chtf  27151  efchtcl  27154  chtge0  27155  vmacl  27161  chtprm  27196  chtdif  27201  efchtdvds  27202  prmorcht  27221  vmalelog  27249  chtleppi  27254  chtublem  27255  fsumvma2  27258  pclogsum  27259  vmasum  27260  chpval2  27262  chpchtsum  27263  chpub  27264  logfacubnd  27265  logfaclbnd  27266  logexprlim  27269  logfacrlim2  27270  bposlem1  27328  bposlem9  27336  chebbnd1lem1  27513  chebbnd1lem2  27514  chebbnd1lem3  27515  chtppilimlem1  27517  chpchtlim  27523  vmadivsum  27526  vmadivsumb  27527  rplogsumlem1  27528  rplogsumlem2  27529  rpvmasumlem  27531  dchrvmasumlem1  27539  dchrvmasum2lem  27540  dchrvmasum2if  27541  dchrvmasumlem2  27542  dchrvmasumiflem1  27545  dchrvmasumiflem2  27546  rplogsum  27571  mulogsumlem  27575  mulogsum  27576  mulog2sumlem1  27578  mulog2sumlem2  27579  mulog2sumlem3  27580  vmalogdivsum2  27582  vmalogdivsum  27583  2vmadivsumlem  27584  logsqvma  27586  logsqvma2  27587  log2sumbnd  27588  selberglem2  27590  selbergb  27593  selberg2lem  27594  selberg2b  27596  chpdifbndlem1  27597  chpdifbndlem2  27598  logdivbnd  27600  selberg3lem1  27601  selberg3lem2  27602  selberg3  27603  selberg4lem1  27604  selberg4  27605  selberg3r  27613  selberg4r  27614  selberg34r  27615  pntsf  27617  pntsval2  27620  pntrlog2bndlem1  27621  pntrlog2bndlem2  27622  pntrlog2bndlem3  27623  pntrlog2bndlem4  27624  pntrlog2bndlem5  27625  pntrlog2bndlem6  27627  pntrlog2bnd  27628  pntpbnd1a  27629  pntpbnd2  27631  pntibndlem2  27635  pntlemb  27641  pntlemg  27642  pntlemh  27643  pntlemn  27644  pntlemr  27646  pntlemj  27647  pntlemf  27649  pntlemk  27650  pntlemo  27651  ostth2lem4  27680  ostth2  27681  ostth3  27682  xrge0iifcnv  33932  xrge0iifiso  33934  xrge0iifhom  33936  hgt750lemd  34663  logdivsqrle  34665  hgt750lem  34666  hgt750lemb  34671  hgt750leme  34673  tgoldbachgtde  34675  dvrelogpow2b  42069  aks4d1p1p6  42074  aks4d1p1p7  42075  aks4d1p1p5  42076  aks4d1p6  42082  rxp112d  42381  rxp11d  42384  stirlinglem4  46092  stirlinglem11  46099  stirlinglem12  46100  stirlinglem13  46101  lighneallem2  47593  rege1logbrege0  48479  amgmwlem  49321