Theorem relogcld 26590

Description: Closure of the natural logarithm function. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
relogcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
relogcld	⊢ (𝜑 → (log‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem relogcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relogcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		relogcl 26542	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6491  ℝcr 11027  ℝ⁺crp 12907  logclog 26521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-inf2 9552  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106  ax-addf 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4902  df-iun 4947  df-iin 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-isom 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8838  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-fin 8889  df-fsupp 9267  df-fi 9316  df-sup 9347  df-inf 9348  df-oi 9417  df-card 9853  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-9 12217  df-n0 12404  df-z 12491  df-dec 12610  df-uz 12754  df-q 12864  df-rp 12908  df-xneg 13028  df-xadd 13029  df-xmul 13030  df-ioo 13267  df-ioc 13268  df-ico 13269  df-icc 13270  df-fz 13426  df-fzo 13573  df-fl 13714  df-mod 13792  df-seq 13927  df-exp 13987  df-fac 14199  df-bc 14228  df-hash 14256  df-shft 14992  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-limsup 15396  df-clim 15413  df-rlim 15414  df-sum 15612  df-ef 15992  df-sin 15994  df-cos 15995  df-pi 15997  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-hom 17203  df-cco 17204  df-rest 17344  df-topn 17345  df-0g 17363  df-gsum 17364  df-topgen 17365  df-pt 17366  df-prds 17369  df-xrs 17425  df-qtop 17430  df-imas 17431  df-xps 17433  df-mre 17507  df-mrc 17508  df-acs 17510  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18711  df-mulg 19000  df-cntz 19248  df-cmn 19713  df-psmet 21303  df-xmet 21304  df-met 21305  df-bl 21306  df-mopn 21307  df-fbas 21308  df-fg 21309  df-cnfld 21312  df-top 22840  df-topon 22857  df-topsp 22879  df-bases 22892  df-cld 22965  df-ntr 22966  df-cls 22967  df-nei 23044  df-lp 23082  df-perf 23083  df-cn 23173  df-cnp 23174  df-haus 23261  df-tx 23508  df-hmeo 23701  df-fil 23792  df-fm 23884  df-flim 23885  df-flf 23886  df-xms 24266  df-ms 24267  df-tms 24268  df-cncf 24829  df-limc 25825  df-dv 25826  df-log 26523

This theorem is referenced by:  logcnlem3  26611  advlogexp  26622  logccv  26630  recxpcl  26642  cxpsqrt  26670  loglesqrt  26729  logbrec  26750  logbleb  26751  logblt  26752  ang180lem2  26778  isosctrlem2  26787  atanlogaddlem  26881  atantan  26891  birthdaylem2  26920  birthdaylem3  26921  amgmlem  26958  emcllem1  26964  emcllem2  26965  emcllem3  26966  emcllem4  26967  emcllem5  26968  emcllem6  26969  harmonicubnd  26978  fsumharmonic  26980  zetacvg  26983  lgamgulmlem3  26999  lgamgulmlem4  27000  lgamgulmlem5  27001  lgamgulmlem6  27002  lgamgulm2  27004  lgambdd  27005  lgamcvg2  27023  gamcvg  27024  gamcvg2lem  27027  relgamcl  27030  lgam1  27032  chtf  27076  efchtcl  27079  chtge0  27080  vmacl  27086  chtprm  27121  chtdif  27126  efchtdvds  27127  prmorcht  27146  vmalelog  27174  chtleppi  27179  chtublem  27180  fsumvma2  27183  pclogsum  27184  vmasum  27185  chpval2  27187  chpchtsum  27188  chpub  27189  logfacubnd  27190  logfaclbnd  27191  logexprlim  27194  logfacrlim2  27195  bposlem1  27253  bposlem9  27261  chebbnd1lem1  27438  chebbnd1lem2  27439  chebbnd1lem3  27440  chtppilimlem1  27442  chpchtlim  27448  vmadivsum  27451  vmadivsumb  27452  rplogsumlem1  27453  rplogsumlem2  27454  rpvmasumlem  27456  dchrvmasumlem1  27464  dchrvmasum2lem  27465  dchrvmasum2if  27466  dchrvmasumlem2  27467  dchrvmasumiflem1  27470  dchrvmasumiflem2  27471  rplogsum  27496  mulogsumlem  27500  mulogsum  27501  mulog2sumlem1  27503  mulog2sumlem2  27504  mulog2sumlem3  27505  vmalogdivsum2  27507  vmalogdivsum  27508  2vmadivsumlem  27509  logsqvma  27511  logsqvma2  27512  log2sumbnd  27513  selberglem2  27515  selbergb  27518  selberg2lem  27519  selberg2b  27521  chpdifbndlem1  27522  chpdifbndlem2  27523  logdivbnd  27525  selberg3lem1  27526  selberg3lem2  27527  selberg3  27528  selberg4lem1  27529  selberg4  27530  selberg3r  27538  selberg4r  27539  selberg34r  27540  pntsf  27542  pntsval2  27545  pntrlog2bndlem1  27546  pntrlog2bndlem2  27547  pntrlog2bndlem3  27548  pntrlog2bndlem4  27549  pntrlog2bndlem5  27550  pntrlog2bndlem6  27552  pntrlog2bnd  27553  pntpbnd1a  27554  pntpbnd2  27556  pntibndlem2  27560  pntlemb  27566  pntlemg  27567  pntlemh  27568  pntlemn  27569  pntlemr  27571  pntlemj  27572  pntlemf  27574  pntlemk  27575  pntlemo  27576  ostth2lem4  27605  ostth2  27606  ostth3  27607  argcj  32807  xrge0iifcnv  34069  xrge0iifiso  34071  xrge0iifhom  34073  hgt750lemd  34784  logdivsqrle  34786  hgt750lem  34787  hgt750lemb  34792  hgt750leme  34794  tgoldbachgtde  34796  dvrelogpow2b  42357  aks4d1p1p6  42362  aks4d1p1p7  42363  aks4d1p1p5  42364  aks4d1p6  42370  rxp112d  42637  rxp11d  42640  stirlinglem4  46358  stirlinglem11  46365  stirlinglem12  46366  stirlinglem13  46367  lighneallem2  47889  rege1logbrege0  48841  amgmwlem  50084