Theorem relogcld 26609

Description: Closure of the natural logarithm function. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
relogcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
relogcld	⊢ (𝜑 → (log‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem relogcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relogcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		relogcl 26561	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2121  ‘cfv 6489  ℝcr 11032  ℝ⁺crp 12937  logclog 26540

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-inf2 9557  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111  ax-addf 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-fi 9318  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-q 12894  df-rp 12938  df-xneg 13058  df-xadd 13059  df-xmul 13060  df-ioo 13297  df-ioc 13298  df-ico 13299  df-icc 13300  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-fl 13746  df-mod 13824  df-seq 13959  df-exp 14019  df-fac 14231  df-bc 14260  df-hash 14288  df-shft 15024  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-limsup 15428  df-clim 15445  df-rlim 15446  df-sum 15644  df-ef 16027  df-sin 16029  df-cos 16030  df-pi 16032  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-starv 17230  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-ip 17233  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-unif 17238  df-hom 17239  df-cco 17240  df-rest 17380  df-topn 17381  df-0g 17399  df-gsum 17400  df-topgen 17401  df-pt 17402  df-prds 17405  df-xrs 17461  df-qtop 17466  df-imas 17467  df-xps 17469  df-mre 17543  df-mrc 17544  df-acs 17546  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18747  df-mulg 19039  df-cntz 19287  df-cmn 19752  df-psmet 21343  df-xmet 21344  df-met 21345  df-bl 21346  df-mopn 21347  df-fbas 21348  df-fg 21349  df-cnfld 21352  df-top 22881  df-topon 22898  df-topsp 22920  df-bases 22933  df-cld 23006  df-ntr 23007  df-cls 23008  df-nei 23085  df-lp 23123  df-perf 23124  df-cn 23214  df-cnp 23215  df-haus 23302  df-tx 23549  df-hmeo 23742  df-fil 23833  df-fm 23925  df-flim 23926  df-flf 23927  df-xms 24307  df-ms 24308  df-tms 24309  df-cncf 24867  df-limc 25855  df-dv 25856  df-log 26542

This theorem is referenced by:  logcnlem3  26630  advlogexp  26641  logccv  26649  recxpcl  26661  cxpsqrt  26689  loglesqrt  26747  logbrec  26768  logbleb  26769  logblt  26770  ang180lem2  26796  isosctrlem2  26805  atanlogaddlem  26899  atantan  26909  birthdaylem2  26938  birthdaylem3  26939  amgmlem  26975  emcllem1  26981  emcllem2  26982  emcllem3  26983  emcllem4  26984  emcllem5  26985  emcllem6  26986  harmonicubnd  26995  fsumharmonic  26997  zetacvg  27000  lgamgulmlem3  27016  lgamgulmlem4  27017  lgamgulmlem5  27018  lgamgulmlem6  27019  lgamgulm2  27021  lgambdd  27022  lgamcvg2  27040  gamcvg  27041  gamcvg2lem  27044  relgamcl  27047  lgam1  27049  chtf  27093  efchtcl  27096  chtge0  27097  vmacl  27103  chtprm  27138  chtdif  27143  efchtdvds  27144  prmorcht  27163  vmalelog  27190  chtleppi  27195  chtublem  27196  fsumvma2  27199  pclogsum  27200  vmasum  27201  chpval2  27203  chpchtsum  27204  chpub  27205  logfacubnd  27206  logfaclbnd  27207  logexprlim  27210  logfacrlim2  27211  bposlem1  27269  bposlem9  27277  chebbnd1lem1  27454  chebbnd1lem2  27455  chebbnd1lem3  27456  chtppilimlem1  27458  chpchtlim  27464  vmadivsum  27467  vmadivsumb  27468  rplogsumlem1  27469  rplogsumlem2  27470  rpvmasumlem  27472  dchrvmasumlem1  27480  dchrvmasum2lem  27481  dchrvmasum2if  27482  dchrvmasumlem2  27483  dchrvmasumiflem1  27486  dchrvmasumiflem2  27487  rplogsum  27512  mulogsumlem  27516  mulogsum  27517  mulog2sumlem1  27519  mulog2sumlem2  27520  mulog2sumlem3  27521  vmalogdivsum2  27523  vmalogdivsum  27524  2vmadivsumlem  27525  logsqvma  27527  logsqvma2  27528  log2sumbnd  27529  selberglem2  27531  selbergb  27534  selberg2lem  27535  selberg2b  27537  chpdifbndlem1  27538  chpdifbndlem2  27539  logdivbnd  27541  selberg3lem1  27542  selberg3lem2  27543  selberg3  27544  selberg4lem1  27545  selberg4  27546  selberg3r  27554  selberg4r  27555  selberg34r  27556  pntsf  27558  pntsval2  27561  pntrlog2bndlem1  27562  pntrlog2bndlem2  27563  pntrlog2bndlem3  27564  pntrlog2bndlem4  27565  pntrlog2bndlem5  27566  pntrlog2bndlem6  27568  pntrlog2bnd  27569  pntpbnd1a  27570  pntpbnd2  27572  pntibndlem2  27576  pntlemb  27582  pntlemg  27583  pntlemh  27584  pntlemn  27585  pntlemr  27587  pntlemj  27588  pntlemf  27590  pntlemk  27591  pntlemo  27592  ostth2lem4  27621  ostth2  27622  ostth3  27623  argcj  32844  xrge0iifcnv  34129  xrge0iifiso  34131  xrge0iifhom  34133  hgt750lemd  34844  logdivsqrle  34846  hgt750lem  34847  hgt750lemb  34852  hgt750leme  34854  tgoldbachgtde  34856  dvrelogpow2b  42568  aks4d1p1p6  42573  aks4d1p1p7  42574  aks4d1p1p5  42575  aks4d1p6  42581  rxp112d  42837  rxp11d  42840  stirlinglem4  46534  stirlinglem11  46541  stirlinglem12  46542  stirlinglem13  46543  lighneallem2  48098  rege1logbrege0  49063  amgmwlem  50306