Theorem argcj 32711

Description: The argument of the conjugate of a complex number 𝐴. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
efiargd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
efiargd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
arginv.1	⊢ (𝜑 → ¬ -𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
argcj	⊢ (𝜑 → (ℑ‘(log‘(∗‘𝐴))) = -(ℑ‘(log‘𝐴)))

Proof of Theorem argcj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
2		efiargd.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3	2	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ≠ 0)
4		arginv.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ -𝐴 ∈ ℝ+)
5	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ¬ -𝐴 ∈ ℝ+)
6		rpneg 12946	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+))
7	6	biimpar 477	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ+)
8	1, 3, 5, 7	syl21anc 837	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ+)
9	8	relogcld 26549	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
10	9	reim0d 15151	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (ℑ‘(log‘𝐴)) = 0)
11	1	cjred 15152	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (∗‘𝐴) = 𝐴)
12	11	fveq2d 6830	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (log‘(∗‘𝐴)) = (log‘𝐴))
13	12	fveq2d 6830	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (ℑ‘(log‘(∗‘𝐴))) = (ℑ‘(log‘𝐴)))
14	10	negeqd 11376	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → -(ℑ‘(log‘𝐴)) = -0)
15		neg0 11429	. . . 4 ⊢ -0 = 0
16	14, 15	eqtrdi 2780	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → -(ℑ‘(log‘𝐴)) = 0)
17	10, 13, 16	3eqtr4d 2774	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (ℑ‘(log‘(∗‘𝐴))) = -(ℑ‘(log‘𝐴)))
18		efiargd.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
19	18	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
20		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (ℑ‘𝐴) = 0)
21	19, 20	reim0bd 15126	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
22	21	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘𝐴) = 0 → 𝐴 ∈ ℝ))
23	22	necon3bd 2939	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴 ∈ ℝ → (ℑ‘𝐴) ≠ 0))
24	23	imp 406	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) → (ℑ‘𝐴) ≠ 0)
25		logcj 26532	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (log‘(∗‘𝐴)) = (∗‘(log‘𝐴)))
26	18, 24, 25	syl2an2r 685	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) → (log‘(∗‘𝐴)) = (∗‘(log‘𝐴)))
27	26	fveq2d 6830	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) → (ℑ‘(log‘(∗‘𝐴))) = (ℑ‘(∗‘(log‘𝐴))))
28	18	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
29	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ≠ 0)
30	28, 29	logcld 26496	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
31	30	imcjd 15131	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) → (ℑ‘(∗‘(log‘𝐴))) = -(ℑ‘(log‘𝐴)))
32	27, 31	eqtrd 2764	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) → (ℑ‘(log‘(∗‘𝐴))) = -(ℑ‘(log‘𝐴)))
33	17, 32	pm2.61dan 812	1 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘(log‘(∗‘𝐴))) = -(ℑ‘(log‘𝐴)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ‘cfv 6486  ℂcc 11026  ℝcr 11027  0cc0 11028  -cneg 11367  ℝ⁺crp 12912  ∗ccj 15022  ℑcim 15024  logclog 26480

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-inf2 9556  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106  ax-addf 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7617  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8632  df-map 8762  df-pm 8763  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9271  df-fi 9320  df-sup 9351  df-inf 9352  df-oi 9421  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-9 12217  df-n0 12404  df-z 12491  df-dec 12611  df-uz 12755  df-q 12869  df-rp 12913  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13271  df-ioc 13272  df-ico 13273  df-icc 13274  df-fz 13430  df-fzo 13577  df-fl 13715  df-mod 13793  df-seq 13928  df-exp 13988  df-fac 14200  df-bc 14229  df-hash 14257  df-shft 14993  df-cj 15025  df-re 15026  df-im 15027  df-sqrt 15161  df-abs 15162  df-limsup 15397  df-clim 15414  df-rlim 15415  df-sum 15613  df-ef 15993  df-sin 15995  df-cos 15996  df-pi 15998  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17140  df-ress 17161  df-plusg 17193  df-mulr 17194  df-starv 17195  df-sca 17196  df-vsca 17197  df-ip 17198  df-tset 17199  df-ple 17200  df-ds 17202  df-unif 17203  df-hom 17204  df-cco 17205  df-rest 17345  df-topn 17346  df-0g 17364  df-gsum 17365  df-topgen 17366  df-pt 17367  df-prds 17370  df-xrs 17425  df-qtop 17430  df-imas 17431  df-xps 17433  df-mre 17507  df-mrc 17508  df-acs 17510  df-mgm 18533  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18677  df-mulg 18966  df-cntz 19215  df-cmn 19680  df-psmet 21272  df-xmet 21273  df-met 21274  df-bl 21275  df-mopn 21276  df-fbas 21277  df-fg 21278  df-cnfld 21281  df-top 22798  df-topon 22815  df-topsp 22837  df-bases 22850  df-cld 22923  df-ntr 22924  df-cls 22925  df-nei 23002  df-lp 23040  df-perf 23041  df-cn 23131  df-cnp 23132  df-haus 23219  df-tx 23466  df-hmeo 23659  df-fil 23750  df-fm 23842  df-flim 23843  df-flf 23844  df-xms 24225  df-ms 24226  df-tms 24227  df-cncf 24788  df-limc 25784  df-dv 25785  df-log 26482

This theorem is referenced by:  constrinvcl  33759