Theorem rplogcl 24900

Description: Closure of the logarithm function in the positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rplogcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → (log‘𝐴) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rplogcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 475	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
2		0red 10441	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
3		1red 10438	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
4		0lt1 10961	. . . . . 6 ⊢ 0 < 1
5	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 1)
6		simpr 477	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 1 < 𝐴)
7	2, 3, 1, 5, 6	lttrd 10599	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
8	1, 7	elrpd 12243	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ+)
9		relogcl 24872	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
10	8, 9	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
11		log1 24882	. . 3 ⊢ (log‘1) = 0
12		1rp 12206	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ+
13		logltb 24896	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (1 < 𝐴 ↔ (log‘1) < (log‘𝐴)))
14	12, 8, 13	sylancr 578	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → (1 < 𝐴 ↔ (log‘1) < (log‘𝐴)))
15	6, 14	mpbid 224	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → (log‘1) < (log‘𝐴))
16	11, 15	syl5eqbrr 4961	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 0 < (log‘𝐴))
17	10, 16	elrpd 12243	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → (log‘𝐴) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   ∈ wcel 2050   class class class wbr 4925  ‘cfv 6185  ℝcr 10332  0cc0 10333  1c1 10334   < clt 10472  ℝ⁺crp 12202  logclog 24851

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-inf2 8896  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410  ax-pre-sup 10411  ax-addf 10412  ax-mulf 10413

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-pss 3839  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-int 4746  df-iun 4790  df-iin 4791  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-se 5363  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-isom 6194  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-of 7225  df-om 7395  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-supp 7632  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-1o 7903  df-2o 7904  df-oadd 7907  df-er 8087  df-map 8206  df-pm 8207  df-ixp 8258  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-fin 8308  df-fsupp 8627  df-fi 8668  df-sup 8699  df-inf 8700  df-oi 8767  df-card 9160  df-cda 9386  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-div 11097  df-nn 11438  df-2 11501  df-3 11502  df-4 11503  df-5 11504  df-6 11505  df-7 11506  df-8 11507  df-9 11508  df-n0 11706  df-z 11792  df-dec 11910  df-uz 12057  df-q 12161  df-rp 12203  df-xneg 12322  df-xadd 12323  df-xmul 12324  df-ioo 12556  df-ioc 12557  df-ico 12558  df-icc 12559  df-fz 12707  df-fzo 12848  df-fl 12975  df-mod 13051  df-seq 13183  df-exp 13243  df-fac 13447  df-bc 13476  df-hash 13504  df-shft 14285  df-cj 14317  df-re 14318  df-im 14319  df-sqrt 14453  df-abs 14454  df-limsup 14687  df-clim 14704  df-rlim 14705  df-sum 14902  df-ef 15279  df-sin 15281  df-cos 15282  df-pi 15284  df-struct 16339  df-ndx 16340  df-slot 16341  df-base 16343  df-sets 16344  df-ress 16345  df-plusg 16432  df-mulr 16433  df-starv 16434  df-sca 16435  df-vsca 16436  df-ip 16437  df-tset 16438  df-ple 16439  df-ds 16441  df-unif 16442  df-hom 16443  df-cco 16444  df-rest 16550  df-topn 16551  df-0g 16569  df-gsum 16570  df-topgen 16571  df-pt 16572  df-prds 16575  df-xrs 16629  df-qtop 16634  df-imas 16635  df-xps 16637  df-mre 16727  df-mrc 16728  df-acs 16730  df-mgm 17722  df-sgrp 17764  df-mnd 17775  df-submnd 17816  df-mulg 18024  df-cntz 18230  df-cmn 18680  df-psmet 20251  df-xmet 20252  df-met 20253  df-bl 20254  df-mopn 20255  df-fbas 20256  df-fg 20257  df-cnfld 20260  df-top 21218  df-topon 21235  df-topsp 21257  df-bases 21270  df-cld 21343  df-ntr 21344  df-cls 21345  df-nei 21422  df-lp 21460  df-perf 21461  df-cn 21551  df-cnp 21552  df-haus 21639  df-tx 21886  df-hmeo 22079  df-fil 22170  df-fm 22262  df-flim 22263  df-flf 22264  df-xms 22645  df-ms 22646  df-tms 22647  df-cncf 23201  df-limc 24179  df-dv 24180  df-log 24853

This theorem is referenced by:  rplogcld  24925  cxplt  24990  cxp2limlem  25267  chtrpcl  25466  chtub  25502  chpval2  25508  efexple  25571  bposlem7  25580  bposlem8  25581  chto1ub  25766  pntibndlem3  25882  pntibnd  25883  lighneallem2  43164