Theorem fourierdlem106 47495

Description: For a piecewise smooth function, the left and the right limits exist at any point. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem106.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem106.t	⊢ 𝑇 = (2 · π)
fourierdlem106.per	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
fourierdlem106.g	⊢ 𝐺 = ((ℝ D 𝐹) ↾ ( -π(,)π))
fourierdlem106.dmdv	⊢ (𝜑 → (( -π(,)π) ∖ dom 𝐺) ∈ Fin)
fourierdlem106.dvcn	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (dom 𝐺–cn→ℂ))
fourierdlem106.rlim	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (( -π[,)π) ∖ dom 𝐺)) → ((𝐺 ↾ (𝑥(,)+∞)) limℂ 𝑥) ≠ ∅)
fourierdlem106.llim	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (( -π(,]π) ∖ dom 𝐺)) → ((𝐺 ↾ (-∞(,)𝑥)) limℂ 𝑥) ≠ ∅)
fourierdlem106.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem106	⊢ (𝜑 → (((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋) ≠ ∅ ∧ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ≠ ∅))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝑇   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Proof of Theorem fourierdlem106

Dummy variables 𝑘 𝑧 𝑓 𝑔 𝑤 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem106.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
2		fourierdlem106.t	. 2 ⊢ 𝑇 = (2 · π)
3		fourierdlem106.per	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
4		fourierdlem106.g	. 2 ⊢ 𝐺 = ((ℝ D 𝐹) ↾ ( -π(,)π))
5		fourierdlem106.dmdv	. 2 ⊢ (𝜑 → (( -π(,)π) ∖ dom 𝐺) ∈ Fin)
6		fourierdlem106.dvcn	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (dom 𝐺–cn→ℂ))
7		fourierdlem106.rlim	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (( -π[,)π) ∖ dom 𝐺)) → ((𝐺 ↾ (𝑥(,)+∞)) limℂ 𝑥) ≠ ∅)
8		fourierdlem106.llim	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (( -π(,]π) ∖ dom 𝐺)) → ((𝐺 ↾ (-∞(,)𝑥)) limℂ 𝑥) ≠ ∅)
9		fourierdlem106.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
10		eqid 2763	. 2 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑘)) ∣ (((𝑤‘0) = -π ∧ (𝑤‘𝑘) = π) ∧ ∀𝑧 ∈ (0..^𝑘)(𝑤‘𝑧) < (𝑤‘(𝑧 + 1)))}) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑘)) ∣ (((𝑤‘0) = -π ∧ (𝑤‘𝑘) = π) ∧ ∀𝑧 ∈ (0..^𝑘)(𝑤‘𝑧) < (𝑤‘(𝑧 + 1)))})
11		id 23	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → 𝑦 = 𝑥)
12		oveq2 7459	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (π − 𝑦) = (π − 𝑥))
13	12	oveq1d 7466	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((π − 𝑦) / 𝑇) = ((π − 𝑥) / 𝑇))
14	13	fveq2d 6920	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) = (⌊‘((π − 𝑥) / 𝑇)))
15	14	oveq1d 7466	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((π − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))
16	11, 15	oveq12d 7469	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑥 + ((⌊‘((π − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
17	16	cbvmptv 5215	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((π − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
18		eqid 2763	. 2 ⊢ ({ -π, π, ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑋)} ∪ (( -π[,]π) ∖ dom 𝐺)) = ({ -π, π, ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑋)} ∪ (( -π[,]π) ∖ dom 𝐺))
19		eqid 2763	. 2 ⊢ ((♯‘({ -π, π, ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑋)} ∪ (( -π[,]π) ∖ dom 𝐺))) − 1) = ((♯‘({ -π, π, ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑋)} ∪ (( -π[,]π) ∖ dom 𝐺))) − 1)
20		isoeq1 7356	. . 3 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → (𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({ -π, π, ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑋)} ∪ (( -π[,]π) ∖ dom 𝐺))) − 1)), ({ -π, π, ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑋)} ∪ (( -π[,]π) ∖ dom 𝐺))) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({ -π, π, ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑋)} ∪ (( -π[,]π) ∖ dom 𝐺))) − 1)), ({ -π, π, ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑋)} ∪ (( -π[,]π) ∖ dom 𝐺)))))
21	20	cbviotavw 6528	. 2 ⊢ (℩𝑔𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({ -π, π, ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑋)} ∪ (( -π[,]π) ∖ dom 𝐺))) − 1)), ({ -π, π, ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑋)} ∪ (( -π[,]π) ∖ dom 𝐺)))) = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({ -π, π, ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑋)} ∪ (( -π[,]π) ∖ dom 𝐺))) − 1)), ({ -π, π, ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑋)} ∪ (( -π[,]π) ∖ dom 𝐺))))
22	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 17, 18, 19, 21	fourierdlem102 47491	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋) ≠ ∅ ∧ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ≠ ∅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  {crab 3416   ∖ cdif 4048   ∪ cun 4152  ∅c0 4281  {ctp 4592   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5192  dom cdm 5658   ↾ cres 5660  ℩cio 6518  ⟶wf 6562  ‘cfv 6566   Isom wiso 6567  (class class class)co 7451   ↑_m cmap 8885  Fincfn 9011  ℂcc 11237  ℝcr 11238  0cc0 11239  1c1 11240   + caddc 11242   · cmul 11244  +∞cpnf 11379  -∞cmnf 11380   < clt 11382   − cmin 11580   -cneg 11581   / cdiv 12013  ℕcn 12375  2c2 12437  (,)cioo 13516  (,]cioc 13517  [,)cico 13518  [,]cicc 13519  ...cfz 13679  ..^cfzo 13828  ⌊cfl 13970  ♯chash 14515  πcpi 16276  –cn→ccncf 25252   lim_ℂ climc 26237   D cdv 26238

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-inf2 9679  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317  ax-addf 11318

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-of 7725  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-supp 8215  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-oadd 8518  df-er 8755  df-map 8887  df-pm 8888  df-ixp 8964  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-fsupp 9392  df-fi 9440  df-sup 9471  df-inf 9472  df-oi 9541  df-dju 10019  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-xnn0 12720  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-q 13116  df-rp 13161  df-xneg 13281  df-xadd 13282  df-xmul 13283  df-ioo 13520  df-ioc 13521  df-ico 13522  df-icc 13523  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-fl 13972  df-seq 14185  df-exp 14245  df-fac 14459  df-bc 14488  df-hash 14516  df-shft 15263  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-limsup 15682  df-clim 15699  df-rlim 15700  df-sum 15898  df-ef 16277  df-sin 16279  df-cos 16280  df-pi 16282  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-starv 17488  df-sca 17489  df-vsca 17490  df-ip 17491  df-tset 17492  df-ple 17493  df-ds 17495  df-unif 17496  df-hom 17497  df-cco 17498  df-euf 17499  df-rest 17643  df-topn 17644  df-0g 17662  df-gsum 17663  df-topgen 17664  df-pt 17665  df-prds 17668  df-xrs 17724  df-qtop 17729  df-imas 17730  df-xps 17732  df-mre 17806  df-mrc 17807  df-acs 17809  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-submnd 19029  df-mulg 19328  df-cntz 19582  df-cmn 20047  df-psmet 21721  df-xmet 21722  df-met 21723  df-bl 21724  df-mopn 21725  df-fbas 21726  df-fg 21727  df-cnfld 21730  df-top 23267  df-topon 23284  df-topsp 23306  df-bases 23319  df-cld 23392  df-ntr 23393  df-cls 23394  df-nei 23471  df-lp 23509  df-perf 23510  df-cn 23600  df-cnp 23601  df-haus 23688  df-cmp 23760  df-tx 23936  df-hmeo 24129  df-fil 24220  df-fm 24312  df-flim 24313  df-flf 24314  df-xms 24694  df-ms 24695  df-tms 24696  df-cncf 25254  df-limc 26241  df-dv 26242

This theorem is used by:  fourier2  47510