Theorem fourierdlem106 46398

Description: For a piecewise smooth function, the left and the right limits exist at any point. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem106.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem106.t	⊢ 𝑇 = (2 · π)
fourierdlem106.per	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
fourierdlem106.g	⊢ 𝐺 = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
fourierdlem106.dmdv	⊢ (𝜑 → ((-π(,)π) ∖ dom 𝐺) ∈ Fin)
fourierdlem106.dvcn	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (dom 𝐺–cn→ℂ))
fourierdlem106.rlim	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐺)) → ((𝐺 ↾ (𝑥(,)+∞)) limℂ 𝑥) ≠ ∅)
fourierdlem106.llim	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐺)) → ((𝐺 ↾ (-∞(,)𝑥)) limℂ 𝑥) ≠ ∅)
fourierdlem106.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem106	⊢ (𝜑 → (((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋) ≠ ∅ ∧ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ≠ ∅))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝑇   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Proof of Theorem fourierdlem106

Dummy variables 𝑘 𝑧 𝑓 𝑔 𝑤 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem106.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
2		fourierdlem106.t	. 2 ⊢ 𝑇 = (2 · π)
3		fourierdlem106.per	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
4		fourierdlem106.g	. 2 ⊢ 𝐺 = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
5		fourierdlem106.dmdv	. 2 ⊢ (𝜑 → ((-π(,)π) ∖ dom 𝐺) ∈ Fin)
6		fourierdlem106.dvcn	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (dom 𝐺–cn→ℂ))
7		fourierdlem106.rlim	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐺)) → ((𝐺 ↾ (𝑥(,)+∞)) limℂ 𝑥) ≠ ∅)
8		fourierdlem106.llim	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐺)) → ((𝐺 ↾ (-∞(,)𝑥)) limℂ 𝑥) ≠ ∅)
9		fourierdlem106.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
10		eqid 2734	. 2 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑘)) ∣ (((𝑤‘0) = -π ∧ (𝑤‘𝑘) = π) ∧ ∀𝑧 ∈ (0..^𝑘)(𝑤‘𝑧) < (𝑤‘(𝑧 + 1)))}) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑘)) ∣ (((𝑤‘0) = -π ∧ (𝑤‘𝑘) = π) ∧ ∀𝑧 ∈ (0..^𝑘)(𝑤‘𝑧) < (𝑤‘(𝑧 + 1)))})
11		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → 𝑦 = 𝑥)
12		oveq2 7364	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (π − 𝑦) = (π − 𝑥))
13	12	oveq1d 7371	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((π − 𝑦) / 𝑇) = ((π − 𝑥) / 𝑇))
14	13	fveq2d 6836	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) = (⌊‘((π − 𝑥) / 𝑇)))
15	14	oveq1d 7371	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((π − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))
16	11, 15	oveq12d 7374	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑥 + ((⌊‘((π − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
17	16	cbvmptv 5200	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((π − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
18		eqid 2734	. 2 ⊢ ({-π, π, ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺)) = ({-π, π, ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺))
19		eqid 2734	. 2 ⊢ ((♯‘({-π, π, ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺))) − 1) = ((♯‘({-π, π, ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺))) − 1)
20		isoeq1 7261	. . 3 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → (𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({-π, π, ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺))) − 1)), ({-π, π, ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺))) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({-π, π, ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺))) − 1)), ({-π, π, ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺)))))
21	20	cbviotavw 6454	. 2 ⊢ (℩𝑔𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({-π, π, ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺))) − 1)), ({-π, π, ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺)))) = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({-π, π, ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺))) − 1)), ({-π, π, ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺))))
22	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 17, 18, 19, 21	fourierdlem102 46394	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋) ≠ ∅ ∧ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ≠ ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  ∀wral 3049  {crab 3397   ∖ cdif 3896   ∪ cun 3897  ∅c0 4283  {ctp 4582   class class class wbr 5096   ↦ cmpt 5177  dom cdm 5622   ↾ cres 5624  ℩cio 6444  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490   Isom wiso 6491  (class class class)co 7356   ↑_m cmap 8761  Fincfn 8881  ℂcc 11022  ℝcr 11023  0cc0 11024  1c1 11025   + caddc 11027   · cmul 11029  +∞cpnf 11161  -∞cmnf 11162   < clt 11164   − cmin 11362  -cneg 11363   / cdiv 11792  ℕcn 12143  2c2 12198  (,)cioo 13259  (,]cioc 13260  [,)cico 13261  [,]cicc 13262  ...cfz 13421  ..^cfzo 13568  ⌊cfl 13708  ♯chash 14251  πcpi 15987  –cn→ccncf 24823   lim_ℂ climc 25817   D cdv 25818

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-inf2 9548  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102  ax-addf 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-er 8633  df-map 8763  df-pm 8764  df-ixp 8834  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-fsupp 9263  df-fi 9312  df-sup 9343  df-inf 9344  df-oi 9413  df-dju 9811  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-n0 12400  df-xnn0 12473  df-z 12487  df-dec 12606  df-uz 12750  df-q 12860  df-rp 12904  df-xneg 13024  df-xadd 13025  df-xmul 13026  df-ioo 13263  df-ioc 13264  df-ico 13265  df-icc 13266  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-fl 13710  df-seq 13923  df-exp 13983  df-fac 14195  df-bc 14224  df-hash 14252  df-shft 14988  df-cj 15020  df-re 15021  df-im 15022  df-sqrt 15156  df-abs 15157  df-limsup 15392  df-clim 15409  df-rlim 15410  df-sum 15608  df-ef 15988  df-sin 15990  df-cos 15991  df-pi 15993  df-struct 17072  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-ress 17156  df-plusg 17188  df-mulr 17189  df-starv 17190  df-sca 17191  df-vsca 17192  df-ip 17193  df-tset 17194  df-ple 17195  df-ds 17197  df-unif 17198  df-hom 17199  df-cco 17200  df-rest 17340  df-topn 17341  df-0g 17359  df-gsum 17360  df-topgen 17361  df-pt 17362  df-prds 17365  df-xrs 17421  df-qtop 17426  df-imas 17427  df-xps 17429  df-mre 17503  df-mrc 17504  df-acs 17506  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-submnd 18707  df-mulg 18996  df-cntz 19244  df-cmn 19709  df-psmet 21299  df-xmet 21300  df-met 21301  df-bl 21302  df-mopn 21303  df-fbas 21304  df-fg 21305  df-cnfld 21308  df-top 22836  df-topon 22853  df-topsp 22875  df-bases 22888  df-cld 22961  df-ntr 22962  df-cls 22963  df-nei 23040  df-lp 23078  df-perf 23079  df-cn 23169  df-cnp 23170  df-haus 23257  df-cmp 23329  df-tx 23504  df-hmeo 23697  df-fil 23788  df-fm 23880  df-flim 23881  df-flf 23882  df-xms 24262  df-ms 24263  df-tms 24264  df-cncf 24825  df-limc 25821  df-dv 25822

This theorem is referenced by:  fourier2  46413