Theorem fourierdlem106 42504

Description: For a piecewise smooth function, the left and the right limits exist at any point. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem106.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem106.t	⊢ 𝑇 = (2 · π)
fourierdlem106.per	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
fourierdlem106.g	⊢ 𝐺 = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
fourierdlem106.dmdv	⊢ (𝜑 → ((-π(,)π) ∖ dom 𝐺) ∈ Fin)
fourierdlem106.dvcn	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (dom 𝐺–cn→ℂ))
fourierdlem106.rlim	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐺)) → ((𝐺 ↾ (𝑥(,)+∞)) limℂ 𝑥) ≠ ∅)
fourierdlem106.llim	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐺)) → ((𝐺 ↾ (-∞(,)𝑥)) limℂ 𝑥) ≠ ∅)
fourierdlem106.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem106	⊢ (𝜑 → (((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋) ≠ ∅ ∧ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ≠ ∅))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝑇   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Proof of Theorem fourierdlem106

Dummy variables 𝑘 𝑧 𝑓 𝑔 𝑤 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem106.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
2		fourierdlem106.t	. 2 ⊢ 𝑇 = (2 · π)
3		fourierdlem106.per	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
4		fourierdlem106.g	. 2 ⊢ 𝐺 = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
5		fourierdlem106.dmdv	. 2 ⊢ (𝜑 → ((-π(,)π) ∖ dom 𝐺) ∈ Fin)
6		fourierdlem106.dvcn	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (dom 𝐺–cn→ℂ))
7		fourierdlem106.rlim	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐺)) → ((𝐺 ↾ (𝑥(,)+∞)) limℂ 𝑥) ≠ ∅)
8		fourierdlem106.llim	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐺)) → ((𝐺 ↾ (-∞(,)𝑥)) limℂ 𝑥) ≠ ∅)
9		fourierdlem106.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
10		eqid 2824	. 2 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑘)) ∣ (((𝑤‘0) = -π ∧ (𝑤‘𝑘) = π) ∧ ∀𝑧 ∈ (0..^𝑘)(𝑤‘𝑧) < (𝑤‘(𝑧 + 1)))}) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑘)) ∣ (((𝑤‘0) = -π ∧ (𝑤‘𝑘) = π) ∧ ∀𝑧 ∈ (0..^𝑘)(𝑤‘𝑧) < (𝑤‘(𝑧 + 1)))})
11		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → 𝑦 = 𝑥)
12		oveq2 7167	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (π − 𝑦) = (π − 𝑥))
13	12	oveq1d 7174	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((π − 𝑦) / 𝑇) = ((π − 𝑥) / 𝑇))
14	13	fveq2d 6677	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) = (⌊‘((π − 𝑥) / 𝑇)))
15	14	oveq1d 7174	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((π − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))
16	11, 15	oveq12d 7177	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑥 + ((⌊‘((π − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
17	16	cbvmptv 5172	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((π − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
18		eqid 2824	. 2 ⊢ ({-π, π, ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺)) = ({-π, π, ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺))
19		eqid 2824	. 2 ⊢ ((♯‘({-π, π, ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺))) − 1) = ((♯‘({-π, π, ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺))) − 1)
20		isoeq1 7073	. . 3 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → (𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({-π, π, ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺))) − 1)), ({-π, π, ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺))) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({-π, π, ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺))) − 1)), ({-π, π, ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺)))))
21	20	cbviotavw 6325	. 2 ⊢ (℩𝑔𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({-π, π, ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺))) − 1)), ({-π, π, ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺)))) = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({-π, π, ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺))) − 1)), ({-π, π, ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺))))
22	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 17, 18, 19, 21	fourierdlem102 42500	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋) ≠ ∅ ∧ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ≠ ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1536   ∈ wcel 2113   ≠ wne 3019  ∀wral 3141  {crab 3145   ∖ cdif 3936   ∪ cun 3937  ∅c0 4294  {ctp 4574   class class class wbr 5069   ↦ cmpt 5149  dom cdm 5558   ↾ cres 5560  ℩cio 6315  ⟶wf 6354  ‘cfv 6358   Isom wiso 6359  (class class class)co 7159   ↑_m cmap 8409  Fincfn 8512  ℂcc 10538  ℝcr 10539  0cc0 10540  1c1 10541   + caddc 10543   · cmul 10545  +∞cpnf 10675  -∞cmnf 10676   < clt 10678   − cmin 10873  -cneg 10874   / cdiv 11300  ℕcn 11641  2c2 11695  (,)cioo 12741  (,]cioc 12742  [,)cico 12743  [,]cicc 12744  ...cfz 12895  ..^cfzo 13036  ⌊cfl 13163  ♯chash 13693  πcpi 15423  –cn→ccncf 23487   lim_ℂ climc 24463   D cdv 24464

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-inf2 9107  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617  ax-pre-sup 10618  ax-addf 10619  ax-mulf 10620

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-iin 4925  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-se 5518  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-isom 6367  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-of 7412  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-supp 7834  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-2o 8106  df-oadd 8109  df-er 8292  df-map 8411  df-pm 8412  df-ixp 8465  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-fin 8516  df-fsupp 8837  df-fi 8878  df-sup 8909  df-inf 8910  df-oi 8977  df-dju 9333  df-card 9371  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-div 11301  df-nn 11642  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-xnn0 11971  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-q 12352  df-rp 12393  df-xneg 12510  df-xadd 12511  df-xmul 12512  df-ioo 12745  df-ioc 12746  df-ico 12747  df-icc 12748  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-fl 13165  df-seq 13373  df-exp 13433  df-fac 13637  df-bc 13666  df-hash 13694  df-shft 14429  df-cj 14461  df-re 14462  df-im 14463  df-sqrt 14597  df-abs 14598  df-limsup 14831  df-clim 14848  df-rlim 14849  df-sum 15046  df-ef 15424  df-sin 15426  df-cos 15427  df-pi 15429  df-struct 16488  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-base 16492  df-sets 16493  df-ress 16494  df-plusg 16581  df-mulr 16582  df-starv 16583  df-sca 16584  df-vsca 16585  df-ip 16586  df-tset 16587  df-ple 16588  df-ds 16590  df-unif 16591  df-hom 16592  df-cco 16593  df-rest 16699  df-topn 16700  df-0g 16718  df-gsum 16719  df-topgen 16720  df-pt 16721  df-prds 16724  df-xrs 16778  df-qtop 16783  df-imas 16784  df-xps 16786  df-mre 16860  df-mrc 16861  df-acs 16863  df-mgm 17855  df-sgrp 17904  df-mnd 17915  df-submnd 17960  df-mulg 18228  df-cntz 18450  df-cmn 18911  df-psmet 20540  df-xmet 20541  df-met 20542  df-bl 20543  df-mopn 20544  df-fbas 20545  df-fg 20546  df-cnfld 20549  df-top 21505  df-topon 21522  df-topsp 21544  df-bases 21557  df-cld 21630  df-ntr 21631  df-cls 21632  df-nei 21709  df-lp 21747  df-perf 21748  df-cn 21838  df-cnp 21839  df-haus 21926  df-cmp 21998  df-tx 22173  df-hmeo 22366  df-fil 22457  df-fm 22549  df-flim 22550  df-flf 22551  df-xms 22933  df-ms 22934  df-tms 22935  df-cncf 23489  df-limc 24467  df-dv 24468

This theorem is referenced by:  fourier2  42519