Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourier2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem fourier2 44943
Description: Fourier series convergence, for a piecewise smooth function. Here it is also proven the existence of the left and right limits of 𝐹 at any given point 𝑋. See fourierd 44938 for a comparison. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourier2.f (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
fourier2.t 𝑇 = (2 Β· Ο€)
fourier2.per ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯))
fourier2.g 𝐺 = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€))
fourier2.dmdv (πœ‘ β†’ ((-Ο€(,)Ο€) βˆ– dom 𝐺) ∈ Fin)
fourier2.dvcn (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (dom 𝐺–cnβ†’β„‚))
fourier2.rlim ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((-Ο€[,)Ο€) βˆ– dom 𝐺)) β†’ ((𝐺 β†Ύ (π‘₯(,)+∞)) limβ„‚ π‘₯) β‰  βˆ…)
fourier2.llim ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((-Ο€(,]Ο€) βˆ– dom 𝐺)) β†’ ((𝐺 β†Ύ (-∞(,)π‘₯)) limβ„‚ π‘₯) β‰  βˆ…)
fourier2.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
fourier2.a 𝐴 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (∫(-Ο€(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) dπ‘₯ / Ο€))
fourier2.b 𝐡 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫(-Ο€(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) dπ‘₯ / Ο€))
Assertion
Ref Expression
fourier2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘™ ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋)βˆƒπ‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋)(((π΄β€˜0) / 2) + Σ𝑛 ∈ β„• (((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))) = ((𝑙 + π‘Ÿ) / 2))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐡,𝑛   𝐹,𝑙,𝑛,π‘Ÿ,π‘₯   π‘₯,𝐺   𝑇,𝑛,π‘₯   𝑋,𝑙,𝑛,π‘Ÿ,π‘₯   πœ‘,𝑙,𝑛,π‘Ÿ,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯,π‘Ÿ,𝑙)   𝐡(π‘₯,π‘Ÿ,𝑙)   𝑇(π‘Ÿ,𝑙)   𝐺(𝑛,π‘Ÿ,𝑙)
Proof of Theorem fourier2
StepHypRef Expression
1 fourier2.f . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
2 fourier2.t . . . . . 6 𝑇 = (2 Β· Ο€)
3 fourier2.per . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯))
4 fourier2.g . . . . . 6 𝐺 = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€))
5 fourier2.dmdv . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((-Ο€(,)Ο€) βˆ– dom 𝐺) ∈ Fin)
6 fourier2.dvcn . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (dom 𝐺–cnβ†’β„‚))
7 fourier2.rlim . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((-Ο€[,)Ο€) βˆ– dom 𝐺)) β†’ ((𝐺 β†Ύ (π‘₯(,)+∞)) limβ„‚ π‘₯) β‰  βˆ…)
8 fourier2.llim . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((-Ο€(,]Ο€) βˆ– dom 𝐺)) β†’ ((𝐺 β†Ύ (-∞(,)π‘₯)) limβ„‚ π‘₯) β‰  βˆ…)
9 fourier2.x . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9fourierdlem106 44928 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋) β‰  βˆ… ∧ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋) β‰  βˆ…))
1110simpld 496 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋) β‰  βˆ…)
12 n0 4347 . . . 4 (((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋) β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘™ 𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋))
1311, 12sylib 217 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘™ 𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋))
14 simpr 486 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋)) β†’ 𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋))
1510simprd 497 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋) β‰  βˆ…)
16 n0 4347 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋) β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘Ÿ π‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋))
1715, 16sylib 217 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ÿ π‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋))
1817adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ π‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋))
19 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋)) ∧ π‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋)) β†’ π‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋))
201ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋)) ∧ π‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋)) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
213ad4ant14 751 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋)) ∧ π‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯))
225ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋)) ∧ π‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋)) β†’ ((-Ο€(,)Ο€) βˆ– dom 𝐺) ∈ Fin)
236ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋)) ∧ π‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋)) β†’ 𝐺 ∈ (dom 𝐺–cnβ†’β„‚))
247ad4ant14 751 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋)) ∧ π‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋)) ∧ π‘₯ ∈ ((-Ο€[,)Ο€) βˆ– dom 𝐺)) β†’ ((𝐺 β†Ύ (π‘₯(,)+∞)) limβ„‚ π‘₯) β‰  βˆ…)
258ad4ant14 751 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋)) ∧ π‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋)) ∧ π‘₯ ∈ ((-Ο€(,]Ο€) βˆ– dom 𝐺)) β†’ ((𝐺 β†Ύ (-∞(,)π‘₯)) limβ„‚ π‘₯) β‰  βˆ…)
269ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋)) ∧ π‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋)) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
2714adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋)) ∧ π‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋)) β†’ 𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋))
28 fourier2.a . . . . . . . . . . . 12 𝐴 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (∫(-Ο€(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) dπ‘₯ / Ο€))
29 fourier2.b . . . . . . . . . . . 12 𝐡 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫(-Ο€(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) dπ‘₯ / Ο€))
3020, 2, 21, 4, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 19, 28, 29fourierd 44938 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋)) ∧ π‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋)) β†’ (((π΄β€˜0) / 2) + Σ𝑛 ∈ β„• (((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))) = ((𝑙 + π‘Ÿ) / 2))
3119, 30jca 513 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋)) ∧ π‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋)) β†’ (π‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋) ∧ (((π΄β€˜0) / 2) + Σ𝑛 ∈ β„• (((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))) = ((𝑙 + π‘Ÿ) / 2)))
3231ex 414 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋)) β†’ (π‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋) β†’ (π‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋) ∧ (((π΄β€˜0) / 2) + Σ𝑛 ∈ β„• (((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))) = ((𝑙 + π‘Ÿ) / 2))))
3332eximdv 1921 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋)) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ π‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋) β†’ βˆƒπ‘Ÿ(π‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋) ∧ (((π΄β€˜0) / 2) + Σ𝑛 ∈ β„• (((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))) = ((𝑙 + π‘Ÿ) / 2))))
3418, 33mpd 15 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ(π‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋) ∧ (((π΄β€˜0) / 2) + Σ𝑛 ∈ β„• (((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))) = ((𝑙 + π‘Ÿ) / 2)))
35 df-rex 3072 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋)(((π΄β€˜0) / 2) + Σ𝑛 ∈ β„• (((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))) = ((𝑙 + π‘Ÿ) / 2) ↔ βˆƒπ‘Ÿ(π‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋) ∧ (((π΄β€˜0) / 2) + Σ𝑛 ∈ β„• (((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))) = ((𝑙 + π‘Ÿ) / 2)))
3634, 35sylibr 233 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋)(((π΄β€˜0) / 2) + Σ𝑛 ∈ β„• (((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))) = ((𝑙 + π‘Ÿ) / 2))
3714, 36jca 513 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋)) β†’ (𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋)(((π΄β€˜0) / 2) + Σ𝑛 ∈ β„• (((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))) = ((𝑙 + π‘Ÿ) / 2)))
3837ex 414 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋) β†’ (𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋)(((π΄β€˜0) / 2) + Σ𝑛 ∈ β„• (((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))) = ((𝑙 + π‘Ÿ) / 2))))
3938eximdv 1921 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘™ 𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋) β†’ βˆƒπ‘™(𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋)(((π΄β€˜0) / 2) + Σ𝑛 ∈ β„• (((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))) = ((𝑙 + π‘Ÿ) / 2))))
4013, 39mpd 15 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘™(𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋)(((π΄β€˜0) / 2) + Σ𝑛 ∈ β„• (((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))) = ((𝑙 + π‘Ÿ) / 2)))
41 df-rex 3072 . 2 (βˆƒπ‘™ ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋)βˆƒπ‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋)(((π΄β€˜0) / 2) + Σ𝑛 ∈ β„• (((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))) = ((𝑙 + π‘Ÿ) / 2) ↔ βˆƒπ‘™(𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋)(((π΄β€˜0) / 2) + Σ𝑛 ∈ β„• (((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))) = ((𝑙 + π‘Ÿ) / 2)))
4240, 41sylibr 233 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘™ ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋)βˆƒπ‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋)(((π΄β€˜0) / 2) + Σ𝑛 ∈ β„• (((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))) = ((𝑙 + π‘Ÿ) / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆƒwrex 3071   βˆ– cdif 3946  βˆ…c0 4323   ↦ cmpt 5232  dom cdm 5677   β†Ύ cres 5679  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Fincfn 8939  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110   + caddc 11113   Β· cmul 11115  +∞cpnf 11245  -∞cmnf 11246  -cneg 11445   / cdiv 11871  β„•cn 12212  2c2 12267  β„•0cn0 12472  (,)cioo 13324  (,]cioc 13325  [,)cico 13326  Ξ£csu 15632  sincsin 16007  cosccos 16008  Ο€cpi 16010  β€“cnβ†’ccncf 24392  βˆ«citg 25135   limβ„‚ climc 25379   D cdv 25380
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cc 10430  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-symdif 4243  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-ofr 7671  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-omul 8471  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-acn 9937  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-ef 16011  df-sin 16013  df-cos 16014  df-pi 16016  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-t1 22818  df-haus 22819  df-cmp 22891  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-ovol 24981  df-vol 24982  df-mbf 25136  df-itg1 25137  df-itg2 25138  df-ibl 25139  df-itg 25140  df-0p 25187  df-ditg 25364  df-limc 25383  df-dv 25384
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator