Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourier2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem fourier2 45241
Description: Fourier series convergence, for a piecewise smooth function. Here it is also proven the existence of the left and right limits of 𝐹 at any given point 𝑋. See fourierd 45236 for a comparison. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourier2.f (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
fourier2.t 𝑇 = (2 Β· Ο€)
fourier2.per ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯))
fourier2.g 𝐺 = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€))
fourier2.dmdv (πœ‘ β†’ ((-Ο€(,)Ο€) βˆ– dom 𝐺) ∈ Fin)
fourier2.dvcn (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (dom 𝐺–cnβ†’β„‚))
fourier2.rlim ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((-Ο€[,)Ο€) βˆ– dom 𝐺)) β†’ ((𝐺 β†Ύ (π‘₯(,)+∞)) limβ„‚ π‘₯) β‰  βˆ…)
fourier2.llim ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((-Ο€(,]Ο€) βˆ– dom 𝐺)) β†’ ((𝐺 β†Ύ (-∞(,)π‘₯)) limβ„‚ π‘₯) β‰  βˆ…)
fourier2.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
fourier2.a 𝐴 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (∫(-Ο€(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) dπ‘₯ / Ο€))
fourier2.b 𝐡 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫(-Ο€(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) dπ‘₯ / Ο€))
Assertion
Ref Expression
fourier2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘™ ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋)βˆƒπ‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋)(((π΄β€˜0) / 2) + Σ𝑛 ∈ β„• (((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))) = ((𝑙 + π‘Ÿ) / 2))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐡,𝑛   𝐹,𝑙,𝑛,π‘Ÿ,π‘₯   π‘₯,𝐺   𝑇,𝑛,π‘₯   𝑋,𝑙,𝑛,π‘Ÿ,π‘₯   πœ‘,𝑙,𝑛,π‘Ÿ,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯,π‘Ÿ,𝑙)   𝐡(π‘₯,π‘Ÿ,𝑙)   𝑇(π‘Ÿ,𝑙)   𝐺(𝑛,π‘Ÿ,𝑙)
Proof of Theorem fourier2
StepHypRef Expression
1 fourier2.f . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
2 fourier2.t . . . . . 6 𝑇 = (2 Β· Ο€)
3 fourier2.per . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯))
4 fourier2.g . . . . . 6 𝐺 = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€))
5 fourier2.dmdv . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((-Ο€(,)Ο€) βˆ– dom 𝐺) ∈ Fin)
6 fourier2.dvcn . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (dom 𝐺–cnβ†’β„‚))
7 fourier2.rlim . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((-Ο€[,)Ο€) βˆ– dom 𝐺)) β†’ ((𝐺 β†Ύ (π‘₯(,)+∞)) limβ„‚ π‘₯) β‰  βˆ…)
8 fourier2.llim . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((-Ο€(,]Ο€) βˆ– dom 𝐺)) β†’ ((𝐺 β†Ύ (-∞(,)π‘₯)) limβ„‚ π‘₯) β‰  βˆ…)
9 fourier2.x . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9fourierdlem106 45226 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋) β‰  βˆ… ∧ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋) β‰  βˆ…))
1110simpld 493 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋) β‰  βˆ…)
12 n0 4345 . . . 4 (((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋) β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘™ 𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋))
1311, 12sylib 217 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘™ 𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋))
14 simpr 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋)) β†’ 𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋))
1510simprd 494 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋) β‰  βˆ…)
16 n0 4345 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋) β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘Ÿ π‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋))
1715, 16sylib 217 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ÿ π‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋))
1817adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ π‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋))
19 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋)) ∧ π‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋)) β†’ π‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋))
201ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋)) ∧ π‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋)) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
213ad4ant14 748 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋)) ∧ π‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯))
225ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋)) ∧ π‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋)) β†’ ((-Ο€(,)Ο€) βˆ– dom 𝐺) ∈ Fin)
236ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋)) ∧ π‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋)) β†’ 𝐺 ∈ (dom 𝐺–cnβ†’β„‚))
247ad4ant14 748 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋)) ∧ π‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋)) ∧ π‘₯ ∈ ((-Ο€[,)Ο€) βˆ– dom 𝐺)) β†’ ((𝐺 β†Ύ (π‘₯(,)+∞)) limβ„‚ π‘₯) β‰  βˆ…)
258ad4ant14 748 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋)) ∧ π‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋)) ∧ π‘₯ ∈ ((-Ο€(,]Ο€) βˆ– dom 𝐺)) β†’ ((𝐺 β†Ύ (-∞(,)π‘₯)) limβ„‚ π‘₯) β‰  βˆ…)
269ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋)) ∧ π‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋)) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
2714adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋)) ∧ π‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋)) β†’ 𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋))
28 fourier2.a . . . . . . . . . . . 12 𝐴 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (∫(-Ο€(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) dπ‘₯ / Ο€))
29 fourier2.b . . . . . . . . . . . 12 𝐡 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫(-Ο€(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) dπ‘₯ / Ο€))
3020, 2, 21, 4, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 19, 28, 29fourierd 45236 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋)) ∧ π‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋)) β†’ (((π΄β€˜0) / 2) + Σ𝑛 ∈ β„• (((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))) = ((𝑙 + π‘Ÿ) / 2))
3119, 30jca 510 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋)) ∧ π‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋)) β†’ (π‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋) ∧ (((π΄β€˜0) / 2) + Σ𝑛 ∈ β„• (((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))) = ((𝑙 + π‘Ÿ) / 2)))
3231ex 411 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋)) β†’ (π‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋) β†’ (π‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋) ∧ (((π΄β€˜0) / 2) + Σ𝑛 ∈ β„• (((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))) = ((𝑙 + π‘Ÿ) / 2))))
3332eximdv 1918 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋)) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ π‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋) β†’ βˆƒπ‘Ÿ(π‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋) ∧ (((π΄β€˜0) / 2) + Σ𝑛 ∈ β„• (((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))) = ((𝑙 + π‘Ÿ) / 2))))
3418, 33mpd 15 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ(π‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋) ∧ (((π΄β€˜0) / 2) + Σ𝑛 ∈ β„• (((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))) = ((𝑙 + π‘Ÿ) / 2)))
35 df-rex 3069 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋)(((π΄β€˜0) / 2) + Σ𝑛 ∈ β„• (((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))) = ((𝑙 + π‘Ÿ) / 2) ↔ βˆƒπ‘Ÿ(π‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋) ∧ (((π΄β€˜0) / 2) + Σ𝑛 ∈ β„• (((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))) = ((𝑙 + π‘Ÿ) / 2)))
3634, 35sylibr 233 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋)(((π΄β€˜0) / 2) + Σ𝑛 ∈ β„• (((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))) = ((𝑙 + π‘Ÿ) / 2))
3714, 36jca 510 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋)) β†’ (𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋)(((π΄β€˜0) / 2) + Σ𝑛 ∈ β„• (((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))) = ((𝑙 + π‘Ÿ) / 2)))
3837ex 411 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋) β†’ (𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋)(((π΄β€˜0) / 2) + Σ𝑛 ∈ β„• (((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))) = ((𝑙 + π‘Ÿ) / 2))))
3938eximdv 1918 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘™ 𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋) β†’ βˆƒπ‘™(𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋)(((π΄β€˜0) / 2) + Σ𝑛 ∈ β„• (((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))) = ((𝑙 + π‘Ÿ) / 2))))
4013, 39mpd 15 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘™(𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋)(((π΄β€˜0) / 2) + Σ𝑛 ∈ β„• (((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))) = ((𝑙 + π‘Ÿ) / 2)))
41 df-rex 3069 . 2 (βˆƒπ‘™ ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋)βˆƒπ‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋)(((π΄β€˜0) / 2) + Σ𝑛 ∈ β„• (((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))) = ((𝑙 + π‘Ÿ) / 2) ↔ βˆƒπ‘™(𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋)(((π΄β€˜0) / 2) + Σ𝑛 ∈ β„• (((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))) = ((𝑙 + π‘Ÿ) / 2)))
4240, 41sylibr 233 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘™ ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋)βˆƒπ‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋)(((π΄β€˜0) / 2) + Σ𝑛 ∈ β„• (((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))) = ((𝑙 + π‘Ÿ) / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539  βˆƒwex 1779   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  βˆƒwrex 3068   βˆ– cdif 3944  βˆ…c0 4321   ↦ cmpt 5230  dom cdm 5675   β†Ύ cres 5677  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Fincfn 8941  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112   + caddc 11115   Β· cmul 11117  +∞cpnf 11249  -∞cmnf 11250  -cneg 11449   / cdiv 11875  β„•cn 12216  2c2 12271  β„•0cn0 12476  (,)cioo 13328  (,]cioc 13329  [,)cico 13330  Ξ£csu 15636  sincsin 16011  cosccos 16012  Ο€cpi 16014  β€“cnβ†’ccncf 24616  βˆ«citg 25367   limβ„‚ climc 25611   D cdv 25612
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-symdif 4241  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-ofr 7673  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ioc 13333  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-fac 14238  df-bc 14267  df-hash 14295  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-ef 16015  df-sin 16017  df-cos 16018  df-pi 16020  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-lp 22860  df-perf 22861  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-t1 23038  df-haus 23039  df-cmp 23111  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-cncf 24618  df-ovol 25213  df-vol 25214  df-mbf 25368  df-itg1 25369  df-itg2 25370  df-ibl 25371  df-itg 25372  df-0p 25419  df-ditg 25596  df-limc 25615  df-dv 25616
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator