Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourier2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem fourier2 44929
Description: Fourier series convergence, for a piecewise smooth function. Here it is also proven the existence of the left and right limits of 𝐹 at any given point 𝑋. See fourierd 44924 for a comparison. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourier2.f (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
fourier2.t 𝑇 = (2 Β· Ο€)
fourier2.per ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯))
fourier2.g 𝐺 = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€))
fourier2.dmdv (πœ‘ β†’ ((-Ο€(,)Ο€) βˆ– dom 𝐺) ∈ Fin)
fourier2.dvcn (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (dom 𝐺–cnβ†’β„‚))
fourier2.rlim ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((-Ο€[,)Ο€) βˆ– dom 𝐺)) β†’ ((𝐺 β†Ύ (π‘₯(,)+∞)) limβ„‚ π‘₯) β‰  βˆ…)
fourier2.llim ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((-Ο€(,]Ο€) βˆ– dom 𝐺)) β†’ ((𝐺 β†Ύ (-∞(,)π‘₯)) limβ„‚ π‘₯) β‰  βˆ…)
fourier2.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
fourier2.a 𝐴 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (∫(-Ο€(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) dπ‘₯ / Ο€))
fourier2.b 𝐡 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫(-Ο€(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) dπ‘₯ / Ο€))
Assertion
Ref Expression
fourier2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘™ ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋)βˆƒπ‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋)(((π΄β€˜0) / 2) + Σ𝑛 ∈ β„• (((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))) = ((𝑙 + π‘Ÿ) / 2))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐡,𝑛   𝐹,𝑙,𝑛,π‘Ÿ,π‘₯   π‘₯,𝐺   𝑇,𝑛,π‘₯   𝑋,𝑙,𝑛,π‘Ÿ,π‘₯   πœ‘,𝑙,𝑛,π‘Ÿ,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯,π‘Ÿ,𝑙)   𝐡(π‘₯,π‘Ÿ,𝑙)   𝑇(π‘Ÿ,𝑙)   𝐺(𝑛,π‘Ÿ,𝑙)
Proof of Theorem fourier2
StepHypRef Expression
1 fourier2.f . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
2 fourier2.t . . . . . 6 𝑇 = (2 Β· Ο€)
3 fourier2.per . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯))
4 fourier2.g . . . . . 6 𝐺 = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€))
5 fourier2.dmdv . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((-Ο€(,)Ο€) βˆ– dom 𝐺) ∈ Fin)
6 fourier2.dvcn . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (dom 𝐺–cnβ†’β„‚))
7 fourier2.rlim . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((-Ο€[,)Ο€) βˆ– dom 𝐺)) β†’ ((𝐺 β†Ύ (π‘₯(,)+∞)) limβ„‚ π‘₯) β‰  βˆ…)
8 fourier2.llim . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((-Ο€(,]Ο€) βˆ– dom 𝐺)) β†’ ((𝐺 β†Ύ (-∞(,)π‘₯)) limβ„‚ π‘₯) β‰  βˆ…)
9 fourier2.x . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9fourierdlem106 44914 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋) β‰  βˆ… ∧ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋) β‰  βˆ…))
1110simpld 495 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋) β‰  βˆ…)
12 n0 4345 . . . 4 (((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋) β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘™ 𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋))
1311, 12sylib 217 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘™ 𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋))
14 simpr 485 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋)) β†’ 𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋))
1510simprd 496 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋) β‰  βˆ…)
16 n0 4345 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋) β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘Ÿ π‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋))
1715, 16sylib 217 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ÿ π‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋))
1817adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ π‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋))
19 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋)) ∧ π‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋)) β†’ π‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋))
201ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋)) ∧ π‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋)) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
213ad4ant14 750 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋)) ∧ π‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯))
225ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋)) ∧ π‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋)) β†’ ((-Ο€(,)Ο€) βˆ– dom 𝐺) ∈ Fin)
236ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋)) ∧ π‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋)) β†’ 𝐺 ∈ (dom 𝐺–cnβ†’β„‚))
247ad4ant14 750 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋)) ∧ π‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋)) ∧ π‘₯ ∈ ((-Ο€[,)Ο€) βˆ– dom 𝐺)) β†’ ((𝐺 β†Ύ (π‘₯(,)+∞)) limβ„‚ π‘₯) β‰  βˆ…)
258ad4ant14 750 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋)) ∧ π‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋)) ∧ π‘₯ ∈ ((-Ο€(,]Ο€) βˆ– dom 𝐺)) β†’ ((𝐺 β†Ύ (-∞(,)π‘₯)) limβ„‚ π‘₯) β‰  βˆ…)
269ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋)) ∧ π‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋)) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
2714adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋)) ∧ π‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋)) β†’ 𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋))
28 fourier2.a . . . . . . . . . . . 12 𝐴 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (∫(-Ο€(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) dπ‘₯ / Ο€))
29 fourier2.b . . . . . . . . . . . 12 𝐡 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫(-Ο€(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) dπ‘₯ / Ο€))
3020, 2, 21, 4, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 19, 28, 29fourierd 44924 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋)) ∧ π‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋)) β†’ (((π΄β€˜0) / 2) + Σ𝑛 ∈ β„• (((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))) = ((𝑙 + π‘Ÿ) / 2))
3119, 30jca 512 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋)) ∧ π‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋)) β†’ (π‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋) ∧ (((π΄β€˜0) / 2) + Σ𝑛 ∈ β„• (((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))) = ((𝑙 + π‘Ÿ) / 2)))
3231ex 413 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋)) β†’ (π‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋) β†’ (π‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋) ∧ (((π΄β€˜0) / 2) + Σ𝑛 ∈ β„• (((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))) = ((𝑙 + π‘Ÿ) / 2))))
3332eximdv 1920 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋)) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ π‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋) β†’ βˆƒπ‘Ÿ(π‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋) ∧ (((π΄β€˜0) / 2) + Σ𝑛 ∈ β„• (((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))) = ((𝑙 + π‘Ÿ) / 2))))
3418, 33mpd 15 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ(π‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋) ∧ (((π΄β€˜0) / 2) + Σ𝑛 ∈ β„• (((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))) = ((𝑙 + π‘Ÿ) / 2)))
35 df-rex 3071 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋)(((π΄β€˜0) / 2) + Σ𝑛 ∈ β„• (((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))) = ((𝑙 + π‘Ÿ) / 2) ↔ βˆƒπ‘Ÿ(π‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋) ∧ (((π΄β€˜0) / 2) + Σ𝑛 ∈ β„• (((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))) = ((𝑙 + π‘Ÿ) / 2)))
3634, 35sylibr 233 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋)(((π΄β€˜0) / 2) + Σ𝑛 ∈ β„• (((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))) = ((𝑙 + π‘Ÿ) / 2))
3714, 36jca 512 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋)) β†’ (𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋)(((π΄β€˜0) / 2) + Σ𝑛 ∈ β„• (((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))) = ((𝑙 + π‘Ÿ) / 2)))
3837ex 413 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋) β†’ (𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋)(((π΄β€˜0) / 2) + Σ𝑛 ∈ β„• (((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))) = ((𝑙 + π‘Ÿ) / 2))))
3938eximdv 1920 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘™ 𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋) β†’ βˆƒπ‘™(𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋)(((π΄β€˜0) / 2) + Σ𝑛 ∈ β„• (((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))) = ((𝑙 + π‘Ÿ) / 2))))
4013, 39mpd 15 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘™(𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋)(((π΄β€˜0) / 2) + Σ𝑛 ∈ β„• (((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))) = ((𝑙 + π‘Ÿ) / 2)))
41 df-rex 3071 . 2 (βˆƒπ‘™ ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋)βˆƒπ‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋)(((π΄β€˜0) / 2) + Σ𝑛 ∈ β„• (((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))) = ((𝑙 + π‘Ÿ) / 2) ↔ βˆƒπ‘™(𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋)(((π΄β€˜0) / 2) + Σ𝑛 ∈ β„• (((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))) = ((𝑙 + π‘Ÿ) / 2)))
4240, 41sylibr 233 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘™ ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋)βˆƒπ‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋)(((π΄β€˜0) / 2) + Σ𝑛 ∈ β„• (((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))) = ((𝑙 + π‘Ÿ) / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541  βˆƒwex 1781   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070   βˆ– cdif 3944  βˆ…c0 4321   ↦ cmpt 5230  dom cdm 5675   β†Ύ cres 5677  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Fincfn 8935  β„‚cc 11104  β„cr 11105  0cc0 11106   + caddc 11109   Β· cmul 11111  +∞cpnf 11241  -∞cmnf 11242  -cneg 11441   / cdiv 11867  β„•cn 12208  2c2 12263  β„•0cn0 12468  (,)cioo 13320  (,]cioc 13321  [,)cico 13322  Ξ£csu 15628  sincsin 16003  cosccos 16004  Ο€cpi 16006  β€“cnβ†’ccncf 24383  βˆ«citg 25126   limβ„‚ climc 25370   D cdv 25371
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cc 10426  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-symdif 4241  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-acn 9933  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-shft 15010  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-ef 16007  df-sin 16009  df-cos 16010  df-pi 16012  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-cnfld 20937  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-nei 22593  df-lp 22631  df-perf 22632  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-t1 22809  df-haus 22810  df-cmp 22882  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-fil 23341  df-fm 23433  df-flim 23434  df-flf 23435  df-xms 23817  df-ms 23818  df-tms 23819  df-cncf 24385  df-ovol 24972  df-vol 24973  df-mbf 25127  df-itg1 25128  df-itg2 25129  df-ibl 25130  df-itg 25131  df-0p 25178  df-ditg 25355  df-limc 25374  df-dv 25375
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator