Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourier2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem fourier2 45243
Description: Fourier series convergence, for a piecewise smooth function. Here it is also proven the existence of the left and right limits of 𝐹 at any given point 𝑋. See fourierd 45238 for a comparison. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourier2.f (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
fourier2.t 𝑇 = (2 Β· Ο€)
fourier2.per ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯))
fourier2.g 𝐺 = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€))
fourier2.dmdv (πœ‘ β†’ ((-Ο€(,)Ο€) βˆ– dom 𝐺) ∈ Fin)
fourier2.dvcn (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (dom 𝐺–cnβ†’β„‚))
fourier2.rlim ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((-Ο€[,)Ο€) βˆ– dom 𝐺)) β†’ ((𝐺 β†Ύ (π‘₯(,)+∞)) limβ„‚ π‘₯) β‰  βˆ…)
fourier2.llim ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((-Ο€(,]Ο€) βˆ– dom 𝐺)) β†’ ((𝐺 β†Ύ (-∞(,)π‘₯)) limβ„‚ π‘₯) β‰  βˆ…)
fourier2.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
fourier2.a 𝐴 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (∫(-Ο€(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) dπ‘₯ / Ο€))
fourier2.b 𝐡 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫(-Ο€(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) dπ‘₯ / Ο€))
Assertion
Ref Expression
fourier2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘™ ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋)βˆƒπ‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋)(((π΄β€˜0) / 2) + Σ𝑛 ∈ β„• (((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))) = ((𝑙 + π‘Ÿ) / 2))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐡,𝑛   𝐹,𝑙,𝑛,π‘Ÿ,π‘₯   π‘₯,𝐺   𝑇,𝑛,π‘₯   𝑋,𝑙,𝑛,π‘Ÿ,π‘₯   πœ‘,𝑙,𝑛,π‘Ÿ,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯,π‘Ÿ,𝑙)   𝐡(π‘₯,π‘Ÿ,𝑙)   𝑇(π‘Ÿ,𝑙)   𝐺(𝑛,π‘Ÿ,𝑙)
Proof of Theorem fourier2
StepHypRef Expression
1 fourier2.f . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
2 fourier2.t . . . . . 6 𝑇 = (2 Β· Ο€)
3 fourier2.per . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯))
4 fourier2.g . . . . . 6 𝐺 = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€))
5 fourier2.dmdv . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((-Ο€(,)Ο€) βˆ– dom 𝐺) ∈ Fin)
6 fourier2.dvcn . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (dom 𝐺–cnβ†’β„‚))
7 fourier2.rlim . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((-Ο€[,)Ο€) βˆ– dom 𝐺)) β†’ ((𝐺 β†Ύ (π‘₯(,)+∞)) limβ„‚ π‘₯) β‰  βˆ…)
8 fourier2.llim . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((-Ο€(,]Ο€) βˆ– dom 𝐺)) β†’ ((𝐺 β†Ύ (-∞(,)π‘₯)) limβ„‚ π‘₯) β‰  βˆ…)
9 fourier2.x . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9fourierdlem106 45228 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋) β‰  βˆ… ∧ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋) β‰  βˆ…))
1110simpld 494 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋) β‰  βˆ…)
12 n0 4347 . . . 4 (((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋) β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘™ 𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋))
1311, 12sylib 217 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘™ 𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋))
14 simpr 484 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋)) β†’ 𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋))
1510simprd 495 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋) β‰  βˆ…)
16 n0 4347 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋) β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘Ÿ π‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋))
1715, 16sylib 217 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ÿ π‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋))
1817adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ π‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋))
19 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋)) ∧ π‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋)) β†’ π‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋))
201ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋)) ∧ π‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋)) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
213ad4ant14 749 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋)) ∧ π‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯))
225ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋)) ∧ π‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋)) β†’ ((-Ο€(,)Ο€) βˆ– dom 𝐺) ∈ Fin)
236ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋)) ∧ π‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋)) β†’ 𝐺 ∈ (dom 𝐺–cnβ†’β„‚))
247ad4ant14 749 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋)) ∧ π‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋)) ∧ π‘₯ ∈ ((-Ο€[,)Ο€) βˆ– dom 𝐺)) β†’ ((𝐺 β†Ύ (π‘₯(,)+∞)) limβ„‚ π‘₯) β‰  βˆ…)
258ad4ant14 749 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋)) ∧ π‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋)) ∧ π‘₯ ∈ ((-Ο€(,]Ο€) βˆ– dom 𝐺)) β†’ ((𝐺 β†Ύ (-∞(,)π‘₯)) limβ„‚ π‘₯) β‰  βˆ…)
269ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋)) ∧ π‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋)) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
2714adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋)) ∧ π‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋)) β†’ 𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋))
28 fourier2.a . . . . . . . . . . . 12 𝐴 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (∫(-Ο€(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) dπ‘₯ / Ο€))
29 fourier2.b . . . . . . . . . . . 12 𝐡 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫(-Ο€(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) dπ‘₯ / Ο€))
3020, 2, 21, 4, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 19, 28, 29fourierd 45238 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋)) ∧ π‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋)) β†’ (((π΄β€˜0) / 2) + Σ𝑛 ∈ β„• (((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))) = ((𝑙 + π‘Ÿ) / 2))
3119, 30jca 511 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋)) ∧ π‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋)) β†’ (π‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋) ∧ (((π΄β€˜0) / 2) + Σ𝑛 ∈ β„• (((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))) = ((𝑙 + π‘Ÿ) / 2)))
3231ex 412 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋)) β†’ (π‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋) β†’ (π‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋) ∧ (((π΄β€˜0) / 2) + Σ𝑛 ∈ β„• (((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))) = ((𝑙 + π‘Ÿ) / 2))))
3332eximdv 1919 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋)) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ π‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋) β†’ βˆƒπ‘Ÿ(π‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋) ∧ (((π΄β€˜0) / 2) + Σ𝑛 ∈ β„• (((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))) = ((𝑙 + π‘Ÿ) / 2))))
3418, 33mpd 15 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ(π‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋) ∧ (((π΄β€˜0) / 2) + Σ𝑛 ∈ β„• (((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))) = ((𝑙 + π‘Ÿ) / 2)))
35 df-rex 3070 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋)(((π΄β€˜0) / 2) + Σ𝑛 ∈ β„• (((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))) = ((𝑙 + π‘Ÿ) / 2) ↔ βˆƒπ‘Ÿ(π‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋) ∧ (((π΄β€˜0) / 2) + Σ𝑛 ∈ β„• (((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))) = ((𝑙 + π‘Ÿ) / 2)))
3634, 35sylibr 233 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋)(((π΄β€˜0) / 2) + Σ𝑛 ∈ β„• (((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))) = ((𝑙 + π‘Ÿ) / 2))
3714, 36jca 511 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋)) β†’ (𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋)(((π΄β€˜0) / 2) + Σ𝑛 ∈ β„• (((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))) = ((𝑙 + π‘Ÿ) / 2)))
3837ex 412 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋) β†’ (𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋)(((π΄β€˜0) / 2) + Σ𝑛 ∈ β„• (((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))) = ((𝑙 + π‘Ÿ) / 2))))
3938eximdv 1919 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘™ 𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋) β†’ βˆƒπ‘™(𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋)(((π΄β€˜0) / 2) + Σ𝑛 ∈ β„• (((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))) = ((𝑙 + π‘Ÿ) / 2))))
4013, 39mpd 15 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘™(𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋)(((π΄β€˜0) / 2) + Σ𝑛 ∈ β„• (((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))) = ((𝑙 + π‘Ÿ) / 2)))
41 df-rex 3070 . 2 (βˆƒπ‘™ ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋)βˆƒπ‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋)(((π΄β€˜0) / 2) + Σ𝑛 ∈ β„• (((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))) = ((𝑙 + π‘Ÿ) / 2) ↔ βˆƒπ‘™(𝑙 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋)(((π΄β€˜0) / 2) + Σ𝑛 ∈ β„• (((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))) = ((𝑙 + π‘Ÿ) / 2)))
4240, 41sylibr 233 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘™ ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋)βˆƒπ‘Ÿ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋)(((π΄β€˜0) / 2) + Σ𝑛 ∈ β„• (((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))) = ((𝑙 + π‘Ÿ) / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  βˆƒwex 1780   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆƒwrex 3069   βˆ– cdif 3946  βˆ…c0 4323   ↦ cmpt 5232  dom cdm 5677   β†Ύ cres 5679  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  Fincfn 8942  β„‚cc 11111  β„cr 11112  0cc0 11113   + caddc 11116   Β· cmul 11118  +∞cpnf 11250  -∞cmnf 11251  -cneg 11450   / cdiv 11876  β„•cn 12217  2c2 12272  β„•0cn0 12477  (,)cioo 13329  (,]cioc 13330  [,)cico 13331  Ξ£csu 15637  sincsin 16012  cosccos 16013  Ο€cpi 16015  β€“cnβ†’ccncf 24617  βˆ«citg 25368   limβ„‚ climc 25612   D cdv 25613
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-inf2 9639  ax-cc 10433  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191  ax-addf 11192  ax-mulf 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-symdif 4243  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7673  df-ofr 7674  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-supp 8150  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-2o 8470  df-oadd 8473  df-omul 8474  df-er 8706  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9365  df-fi 9409  df-sup 9440  df-inf 9441  df-oi 9508  df-dju 9899  df-card 9937  df-acn 9940  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-xnn0 12550  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ioc 13334  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15019  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-limsup 15420  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638  df-ef 16016  df-sin 16018  df-cos 16019  df-pi 16021  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-mulg 18988  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-fbas 21142  df-fg 21143  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cld 22744  df-ntr 22745  df-cls 22746  df-nei 22823  df-lp 22861  df-perf 22862  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-t1 23039  df-haus 23040  df-cmp 23112  df-tx 23287  df-hmeo 23480  df-fil 23571  df-fm 23663  df-flim 23664  df-flf 23665  df-xms 24047  df-ms 24048  df-tms 24049  df-cncf 24619  df-ovol 25214  df-vol 25215  df-mbf 25369  df-itg1 25370  df-itg2 25371  df-ibl 25372  df-itg 25373  df-0p 25420  df-ditg 25597  df-limc 25616  df-dv 25617
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator