Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem105 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem105 45522
Description: A piecewise continuous function is integrable on any closed interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem105.p 𝑃 = (π‘š ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...π‘š)) ∣ (((π‘β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘β€˜π‘š) = 𝐡) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))})
fourierdlem105.t 𝑇 = (𝐡 βˆ’ 𝐴)
fourierdlem105.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
fourierdlem105.q (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€))
fourierdlem105.f (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
fourierdlem105.6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯))
fourierdlem105.fcn ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
fourierdlem105.r ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑅 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
fourierdlem105.l ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐿 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
fourierdlem105.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
fourierdlem105.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (𝐢(,)+∞))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem105 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐢[,]𝐷) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ 𝐿1)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,π‘₯   𝐴,π‘š,𝑝,𝑖   𝐡,𝑖,π‘₯   𝐡,π‘š,𝑝   𝐢,𝑖,π‘₯   𝐢,π‘š,𝑝   𝐷,𝑖,π‘₯   𝐷,π‘š,𝑝   𝑖,𝐹,π‘₯   π‘₯,𝐿   𝑖,𝑀,π‘₯   π‘š,𝑀,𝑝   𝑄,𝑖,π‘₯   𝑄,π‘š,𝑝   π‘₯,𝑅   𝑇,𝑖,π‘₯   𝑇,π‘š,𝑝   πœ‘,𝑖,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘š,𝑝)   𝑃(π‘₯,𝑖,π‘š,𝑝)   𝑅(𝑖,π‘š,𝑝)   𝐹(π‘š,𝑝)   𝐿(𝑖,π‘š,𝑝)

Proof of Theorem fourierdlem105
Dummy variables 𝑓 𝑗 π‘˜ 𝑀 𝑦 𝑧 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem105.p . 2 𝑃 = (π‘š ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...π‘š)) ∣ (((π‘β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘β€˜π‘š) = 𝐡) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))})
2 fourierdlem105.t . 2 𝑇 = (𝐡 βˆ’ 𝐴)
3 fourierdlem105.m . 2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
4 fourierdlem105.q . 2 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€))
5 fourierdlem105.f . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
6 fourierdlem105.6 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯))
7 fourierdlem105.fcn . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
8 fourierdlem105.r . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑅 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
9 fourierdlem105.l . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐿 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
10 fourierdlem105.c . 2 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
11 fourierdlem105.d . 2 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (𝐢(,)+∞))
12 eqid 2727 . 2 (π‘š ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...π‘š)) ∣ (((π‘β€˜0) = 𝐢 ∧ (π‘β€˜π‘š) = 𝐷) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))}) = (π‘š ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...π‘š)) ∣ (((π‘β€˜0) = 𝐢 ∧ (π‘β€˜π‘š) = 𝐷) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))})
13 eqid 2727 . 2 ((β™―β€˜({𝐢, 𝐷} βˆͺ {𝑀 ∈ (𝐢[,]𝐷) ∣ βˆƒπ‘— ∈ β„€ (𝑀 + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) βˆ’ 1) = ((β™―β€˜({𝐢, 𝐷} βˆͺ {𝑀 ∈ (𝐢[,]𝐷) ∣ βˆƒπ‘— ∈ β„€ (𝑀 + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) βˆ’ 1)
14 oveq1 7421 . . . . . . 7 (𝑀 = 𝑦 β†’ (𝑀 + (𝑗 Β· 𝑇)) = (𝑦 + (𝑗 Β· 𝑇)))
1514eleq1d 2813 . . . . . 6 (𝑀 = 𝑦 β†’ ((𝑀 + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ (𝑦 + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
1615rexbidv 3173 . . . . 5 (𝑀 = 𝑦 β†’ (βˆƒπ‘— ∈ β„€ (𝑀 + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ (𝑦 + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
17 oveq1 7421 . . . . . . . 8 (𝑗 = π‘˜ β†’ (𝑗 Β· 𝑇) = (π‘˜ Β· 𝑇))
1817oveq2d 7430 . . . . . . 7 (𝑗 = π‘˜ β†’ (𝑦 + (𝑗 Β· 𝑇)) = (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)))
1918eleq1d 2813 . . . . . 6 (𝑗 = π‘˜ β†’ ((𝑦 + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
2019cbvrexvw 3230 . . . . 5 (βˆƒπ‘— ∈ β„€ (𝑦 + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄)
2116, 20bitrdi 287 . . . 4 (𝑀 = 𝑦 β†’ (βˆƒπ‘— ∈ β„€ (𝑀 + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
2221cbvrabv 3437 . . 3 {𝑀 ∈ (𝐢[,]𝐷) ∣ βˆƒπ‘— ∈ β„€ (𝑀 + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄} = {𝑦 ∈ (𝐢[,]𝐷) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄}
2322uneq2i 4156 . 2 ({𝐢, 𝐷} βˆͺ {𝑀 ∈ (𝐢[,]𝐷) ∣ βˆƒπ‘— ∈ β„€ (𝑀 + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({𝐢, 𝐷} βˆͺ {𝑦 ∈ (𝐢[,]𝐷) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
24 isoeq1 7319 . . 3 (𝑔 = 𝑓 β†’ (𝑔 Isom < , < ((0...((β™―β€˜({𝐢, 𝐷} βˆͺ {𝑀 ∈ (𝐢[,]𝐷) ∣ βˆƒπ‘— ∈ β„€ (𝑀 + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) βˆ’ 1)), ({𝐢, 𝐷} βˆͺ {𝑀 ∈ (𝐢[,]𝐷) ∣ βˆƒπ‘— ∈ β„€ (𝑀 + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...((β™―β€˜({𝐢, 𝐷} βˆͺ {𝑀 ∈ (𝐢[,]𝐷) ∣ βˆƒπ‘— ∈ β„€ (𝑀 + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) βˆ’ 1)), ({𝐢, 𝐷} βˆͺ {𝑀 ∈ (𝐢[,]𝐷) ∣ βˆƒπ‘— ∈ β„€ (𝑀 + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))))
2524cbviotavw 6502 . 2 (℩𝑔𝑔 Isom < , < ((0...((β™―β€˜({𝐢, 𝐷} βˆͺ {𝑀 ∈ (𝐢[,]𝐷) ∣ βˆƒπ‘— ∈ β„€ (𝑀 + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) βˆ’ 1)), ({𝐢, 𝐷} βˆͺ {𝑀 ∈ (𝐢[,]𝐷) ∣ βˆƒπ‘— ∈ β„€ (𝑀 + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))) = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...((β™―β€˜({𝐢, 𝐷} βˆͺ {𝑀 ∈ (𝐢[,]𝐷) ∣ βˆƒπ‘— ∈ β„€ (𝑀 + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) βˆ’ 1)), ({𝐢, 𝐷} βˆͺ {𝑀 ∈ (𝐢[,]𝐷) ∣ βˆƒπ‘— ∈ β„€ (𝑀 + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
26 id 22 . . . 4 (𝑀 = π‘₯ β†’ 𝑀 = π‘₯)
27 oveq2 7422 . . . . . . 7 (𝑀 = π‘₯ β†’ (𝐡 βˆ’ 𝑀) = (𝐡 βˆ’ π‘₯))
2827oveq1d 7429 . . . . . 6 (𝑀 = π‘₯ β†’ ((𝐡 βˆ’ 𝑀) / 𝑇) = ((𝐡 βˆ’ π‘₯) / 𝑇))
2928fveq2d 6895 . . . . 5 (𝑀 = π‘₯ β†’ (βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝑀) / 𝑇)) = (βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ π‘₯) / 𝑇)))
3029oveq1d 7429 . . . 4 (𝑀 = π‘₯ β†’ ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝑀) / 𝑇)) Β· 𝑇) = ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ π‘₯) / 𝑇)) Β· 𝑇))
3126, 30oveq12d 7432 . . 3 (𝑀 = π‘₯ β†’ (𝑀 + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝑀) / 𝑇)) Β· 𝑇)) = (π‘₯ + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ π‘₯) / 𝑇)) Β· 𝑇)))
3231cbvmptv 5255 . 2 (𝑀 ∈ ℝ ↦ (𝑀 + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝑀) / 𝑇)) Β· 𝑇))) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (π‘₯ + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ π‘₯) / 𝑇)) Β· 𝑇)))
33 eqeq1 2731 . . . 4 (𝑀 = 𝑦 β†’ (𝑀 = 𝐡 ↔ 𝑦 = 𝐡))
34 id 22 . . . 4 (𝑀 = 𝑦 β†’ 𝑀 = 𝑦)
3533, 34ifbieq2d 4550 . . 3 (𝑀 = 𝑦 β†’ if(𝑀 = 𝐡, 𝐴, 𝑀) = if(𝑦 = 𝐡, 𝐴, 𝑦))
3635cbvmptv 5255 . 2 (𝑀 ∈ (𝐴(,]𝐡) ↦ if(𝑀 = 𝐡, 𝐴, 𝑀)) = (𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐡) ↦ if(𝑦 = 𝐡, 𝐴, 𝑦))
37 fveq2 6891 . . . . . . . 8 (𝑧 = π‘₯ β†’ ((𝑀 ∈ ℝ ↦ (𝑀 + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝑀) / 𝑇)) Β· 𝑇)))β€˜π‘§) = ((𝑀 ∈ ℝ ↦ (𝑀 + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝑀) / 𝑇)) Β· 𝑇)))β€˜π‘₯))
3837fveq2d 6895 . . . . . . 7 (𝑧 = π‘₯ β†’ ((𝑀 ∈ (𝐴(,]𝐡) ↦ if(𝑀 = 𝐡, 𝐴, 𝑀))β€˜((𝑀 ∈ ℝ ↦ (𝑀 + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝑀) / 𝑇)) Β· 𝑇)))β€˜π‘§)) = ((𝑀 ∈ (𝐴(,]𝐡) ↦ if(𝑀 = 𝐡, 𝐴, 𝑀))β€˜((𝑀 ∈ ℝ ↦ (𝑀 + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝑀) / 𝑇)) Β· 𝑇)))β€˜π‘₯)))
3938breq2d 5154 . . . . . 6 (𝑧 = π‘₯ β†’ ((π‘„β€˜π‘—) ≀ ((𝑀 ∈ (𝐴(,]𝐡) ↦ if(𝑀 = 𝐡, 𝐴, 𝑀))β€˜((𝑀 ∈ ℝ ↦ (𝑀 + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝑀) / 𝑇)) Β· 𝑇)))β€˜π‘§)) ↔ (π‘„β€˜π‘—) ≀ ((𝑀 ∈ (𝐴(,]𝐡) ↦ if(𝑀 = 𝐡, 𝐴, 𝑀))β€˜((𝑀 ∈ ℝ ↦ (𝑀 + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝑀) / 𝑇)) Β· 𝑇)))β€˜π‘₯))))
4039rabbidv 3435 . . . . 5 (𝑧 = π‘₯ β†’ {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘—) ≀ ((𝑀 ∈ (𝐴(,]𝐡) ↦ if(𝑀 = 𝐡, 𝐴, 𝑀))β€˜((𝑀 ∈ ℝ ↦ (𝑀 + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝑀) / 𝑇)) Β· 𝑇)))β€˜π‘§))} = {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘—) ≀ ((𝑀 ∈ (𝐴(,]𝐡) ↦ if(𝑀 = 𝐡, 𝐴, 𝑀))β€˜((𝑀 ∈ ℝ ↦ (𝑀 + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝑀) / 𝑇)) Β· 𝑇)))β€˜π‘₯))})
41 fveq2 6891 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑖 β†’ (π‘„β€˜π‘—) = (π‘„β€˜π‘–))
4241breq1d 5152 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑖 β†’ ((π‘„β€˜π‘—) ≀ ((𝑀 ∈ (𝐴(,]𝐡) ↦ if(𝑀 = 𝐡, 𝐴, 𝑀))β€˜((𝑀 ∈ ℝ ↦ (𝑀 + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝑀) / 𝑇)) Β· 𝑇)))β€˜π‘₯)) ↔ (π‘„β€˜π‘–) ≀ ((𝑀 ∈ (𝐴(,]𝐡) ↦ if(𝑀 = 𝐡, 𝐴, 𝑀))β€˜((𝑀 ∈ ℝ ↦ (𝑀 + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝑀) / 𝑇)) Β· 𝑇)))β€˜π‘₯))))
4342cbvrabv 3437 . . . . 5 {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘—) ≀ ((𝑀 ∈ (𝐴(,]𝐡) ↦ if(𝑀 = 𝐡, 𝐴, 𝑀))β€˜((𝑀 ∈ ℝ ↦ (𝑀 + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝑀) / 𝑇)) Β· 𝑇)))β€˜π‘₯))} = {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘–) ≀ ((𝑀 ∈ (𝐴(,]𝐡) ↦ if(𝑀 = 𝐡, 𝐴, 𝑀))β€˜((𝑀 ∈ ℝ ↦ (𝑀 + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝑀) / 𝑇)) Β· 𝑇)))β€˜π‘₯))}
4440, 43eqtrdi 2783 . . . 4 (𝑧 = π‘₯ β†’ {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘—) ≀ ((𝑀 ∈ (𝐴(,]𝐡) ↦ if(𝑀 = 𝐡, 𝐴, 𝑀))β€˜((𝑀 ∈ ℝ ↦ (𝑀 + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝑀) / 𝑇)) Β· 𝑇)))β€˜π‘§))} = {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘–) ≀ ((𝑀 ∈ (𝐴(,]𝐡) ↦ if(𝑀 = 𝐡, 𝐴, 𝑀))β€˜((𝑀 ∈ ℝ ↦ (𝑀 + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝑀) / 𝑇)) Β· 𝑇)))β€˜π‘₯))})
4544supeq1d 9461 . . 3 (𝑧 = π‘₯ β†’ sup({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘—) ≀ ((𝑀 ∈ (𝐴(,]𝐡) ↦ if(𝑀 = 𝐡, 𝐴, 𝑀))β€˜((𝑀 ∈ ℝ ↦ (𝑀 + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝑀) / 𝑇)) Β· 𝑇)))β€˜π‘§))}, ℝ, < ) = sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘–) ≀ ((𝑀 ∈ (𝐴(,]𝐡) ↦ if(𝑀 = 𝐡, 𝐴, 𝑀))β€˜((𝑀 ∈ ℝ ↦ (𝑀 + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝑀) / 𝑇)) Β· 𝑇)))β€˜π‘₯))}, ℝ, < ))
4645cbvmptv 5255 . 2 (𝑧 ∈ ℝ ↦ sup({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘—) ≀ ((𝑀 ∈ (𝐴(,]𝐡) ↦ if(𝑀 = 𝐡, 𝐴, 𝑀))β€˜((𝑀 ∈ ℝ ↦ (𝑀 + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝑀) / 𝑇)) Β· 𝑇)))β€˜π‘§))}, ℝ, < )) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘–) ≀ ((𝑀 ∈ (𝐴(,]𝐡) ↦ if(𝑀 = 𝐡, 𝐴, 𝑀))β€˜((𝑀 ∈ ℝ ↦ (𝑀 + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝑀) / 𝑇)) Β· 𝑇)))β€˜π‘₯))}, ℝ, < ))
471, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 23, 25, 32, 36, 46fourierdlem100 45517 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐢[,]𝐷) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ 𝐿1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3056  βˆƒwrex 3065  {crab 3427   βˆͺ cun 3942  ifcif 4524  {cpr 4626   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225  ran crn 5673   β†Ύ cres 5674  β„©cio 6492  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542   Isom wiso 6543  (class class class)co 7414   ↑m cmap 8836  supcsup 9455  β„‚cc 11128  β„cr 11129  0cc0 11130  1c1 11131   + caddc 11133   Β· cmul 11135  +∞cpnf 11267   < clt 11270   ≀ cle 11271   βˆ’ cmin 11466   / cdiv 11893  β„•cn 12234  β„€cz 12580  (,)cioo 13348  (,]cioc 13349  [,]cicc 13351  ...cfz 13508  ..^cfzo 13651  βŒŠcfl 13779  β™―chash 14313  β€“cnβ†’ccncf 24783  πΏ1cibl 25533   limβ„‚ climc 25778
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-cc 10450  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208  ax-addf 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-symdif 4238  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5108  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-omul 8485  df-er 8718  df-map 8838  df-pm 8839  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-fi 9426  df-sup 9457  df-inf 9458  df-oi 9525  df-dju 9916  df-card 9954  df-acn 9957  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-xnn0 12567  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-q 12955  df-rp 12999  df-xneg 13116  df-xadd 13117  df-xmul 13118  df-ioo 13352  df-ioc 13353  df-ico 13354  df-icc 13355  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-fl 13781  df-mod 13859  df-seq 13991  df-exp 14051  df-hash 14314  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-limsup 15439  df-clim 15456  df-rlim 15457  df-sum 15657  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-starv 17239  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-unif 17247  df-hom 17248  df-cco 17249  df-rest 17395  df-topn 17396  df-0g 17414  df-gsum 17415  df-topgen 17416  df-pt 17417  df-prds 17420  df-xrs 17475  df-qtop 17480  df-imas 17481  df-xps 17483  df-mre 17557  df-mrc 17558  df-acs 17560  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-submnd 18732  df-mulg 19015  df-cntz 19259  df-cmn 19728  df-psmet 21258  df-xmet 21259  df-met 21260  df-bl 21261  df-mopn 21262  df-cnfld 21267  df-top 22783  df-topon 22800  df-topsp 22822  df-bases 22836  df-cld 22910  df-ntr 22911  df-cls 22912  df-nei 22989  df-lp 23027  df-cn 23118  df-cnp 23119  df-cmp 23278  df-tx 23453  df-hmeo 23646  df-xms 24213  df-ms 24214  df-tms 24215  df-cncf 24785  df-ovol 25380  df-vol 25381  df-mbf 25535  df-itg1 25536  df-itg2 25537  df-ibl 25538  df-itg 25539  df-0p 25586  df-limc 25782
This theorem is referenced by:  fourierdlem107  45524  fourierdlem111  45528
  Copyright terms: Public domain W3C validator