Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem105 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem105 40940
Description: A piecewise continuous function is integrable on any closed interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem105.p 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem105.t 𝑇 = (𝐵𝐴)
fourierdlem105.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem105.q (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
fourierdlem105.f (𝜑𝐹:ℝ⟶ℂ)
fourierdlem105.6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
fourierdlem105.fcn ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem105.r ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
fourierdlem105.l ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
fourierdlem105.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
fourierdlem105.d (𝜑𝐷 ∈ (𝐶(,)+∞))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem105 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐶[,]𝐷) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ 𝐿1)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑥   𝐴,𝑚,𝑝,𝑖   𝐵,𝑖,𝑥   𝐵,𝑚,𝑝   𝐶,𝑖,𝑥   𝐶,𝑚,𝑝   𝐷,𝑖,𝑥   𝐷,𝑚,𝑝   𝑖,𝐹,𝑥   𝑥,𝐿   𝑖,𝑀,𝑥   𝑚,𝑀,𝑝   𝑄,𝑖,𝑥   𝑄,𝑚,𝑝   𝑥,𝑅   𝑇,𝑖,𝑥   𝑇,𝑚,𝑝   𝜑,𝑖,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑝)   𝑃(𝑥,𝑖,𝑚,𝑝)   𝑅(𝑖,𝑚,𝑝)   𝐹(𝑚,𝑝)   𝐿(𝑖,𝑚,𝑝)

Proof of Theorem fourierdlem105
Dummy variables 𝑓 𝑗 𝑘 𝑤 𝑦 𝑧 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem105.p . 2 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
2 fourierdlem105.t . 2 𝑇 = (𝐵𝐴)
3 fourierdlem105.m . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
4 fourierdlem105.q . 2 (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
5 fourierdlem105.f . 2 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℂ)
6 fourierdlem105.6 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
7 fourierdlem105.fcn . 2 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
8 fourierdlem105.r . 2 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
9 fourierdlem105.l . 2 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
10 fourierdlem105.c . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
11 fourierdlem105.d . 2 (𝜑𝐷 ∈ (𝐶(,)+∞))
12 eqid 2771 . 2 (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐶 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐷) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))}) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐶 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐷) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
13 eqid 2771 . 2 ((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑤 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1) = ((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑤 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)
14 oveq1 6803 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑦 → (𝑤 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑦 + (𝑗 · 𝑇)))
1514eleq1d 2835 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑦 → ((𝑤 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ (𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
1615rexbidv 3200 . . . . 5 (𝑤 = 𝑦 → (∃𝑗 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
17 oveq1 6803 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 · 𝑇) = (𝑘 · 𝑇))
1817oveq2d 6812 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘 → (𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)))
1918eleq1d 2835 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
2019cbvrexv 3321 . . . . 5 (∃𝑗 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄)
2116, 20syl6bb 276 . . . 4 (𝑤 = 𝑦 → (∃𝑗 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
2221cbvrabv 3349 . . 3 {𝑤 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄} = {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}
2322uneq2i 3915 . 2 ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑤 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
24 isoeq1 6713 . . 3 (𝑔 = 𝑓 → (𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑤 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑤 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑤 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑤 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))))
2524cbviotav 5999 . 2 (℩𝑔𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑤 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑤 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))) = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑤 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑤 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
26 id 22 . . . 4 (𝑤 = 𝑥𝑤 = 𝑥)
27 oveq2 6804 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑥 → (𝐵𝑤) = (𝐵𝑥))
2827oveq1d 6811 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑥 → ((𝐵𝑤) / 𝑇) = ((𝐵𝑥) / 𝑇))
2928fveq2d 6337 . . . . 5 (𝑤 = 𝑥 → (⌊‘((𝐵𝑤) / 𝑇)) = (⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)))
3029oveq1d 6811 . . . 4 (𝑤 = 𝑥 → ((⌊‘((𝐵𝑤) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))
3126, 30oveq12d 6814 . . 3 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 + ((⌊‘((𝐵𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
3231cbvmptv 4885 . 2 (𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵𝑤) / 𝑇)) · 𝑇))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
33 eqeq1 2775 . . . 4 (𝑤 = 𝑦 → (𝑤 = 𝐵𝑦 = 𝐵))
34 id 22 . . . 4 (𝑤 = 𝑦𝑤 = 𝑦)
3533, 34ifbieq2d 4251 . . 3 (𝑤 = 𝑦 → if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤) = if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦))
3635cbvmptv 4885 . 2 (𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤)) = (𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦))
37 fveq2 6333 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑥 → ((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑧) = ((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))
3837fveq2d 6337 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑥 → ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑧)) = ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥)))
3938breq2d 4799 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑥 → ((𝑄𝑗) ≤ ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑧)) ↔ (𝑄𝑗) ≤ ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))))
4039rabbidv 3339 . . . . 5 (𝑧 = 𝑥 → {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑗) ≤ ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑧))} = {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑗) ≤ ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))})
41 fveq2 6333 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑖 → (𝑄𝑗) = (𝑄𝑖))
4241breq1d 4797 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑖 → ((𝑄𝑗) ≤ ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥)) ↔ (𝑄𝑖) ≤ ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))))
4342cbvrabv 3349 . . . . 5 {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑗) ≤ ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))} = {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))}
4440, 43syl6eq 2821 . . . 4 (𝑧 = 𝑥 → {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑗) ≤ ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑧))} = {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))})
4544supeq1d 8512 . . 3 (𝑧 = 𝑥 → sup({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑗) ≤ ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑧))}, ℝ, < ) = sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))}, ℝ, < ))
4645cbvmptv 4885 . 2 (𝑧 ∈ ℝ ↦ sup({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑗) ≤ ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑧))}, ℝ, < )) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))}, ℝ, < ))
471, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 23, 25, 32, 36, 46fourierdlem100 40935 1 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐶[,]𝐷) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ 𝐿1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  wrex 3062  {crab 3065  cun 3721  ifcif 4226  {cpr 4319   class class class wbr 4787  cmpt 4864  ran crn 5251  cres 5252  cio 5991  wf 6026  cfv 6030   Isom wiso 6031  (class class class)co 6796  𝑚 cmap 8013  supcsup 8506  cc 10140  cr 10141  0cc0 10142  1c1 10143   + caddc 10145   · cmul 10147  +∞cpnf 10277   < clt 10280  cle 10281  cmin 10472   / cdiv 10890  cn 11226  cz 11584  (,)cioo 12380  (,]cioc 12381  [,]cicc 12383  ...cfz 12533  ..^cfzo 12673  cfl 12799  chash 13321  cnccncf 22899  𝐿1cibl 23605   lim climc 23846
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-inf2 8706  ax-cc 9463  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220  ax-addf 10221  ax-mulf 10222
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-iin 4658  df-disj 4756  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-of 7048  df-ofr 7049  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-supp 7451  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-2o 7718  df-oadd 7721  df-omul 7722  df-er 7900  df-map 8015  df-pm 8016  df-ixp 8067  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fsupp 8436  df-fi 8477  df-sup 8508  df-inf 8509  df-oi 8575  df-card 8969  df-acn 8972  df-cda 9196  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-5 11288  df-6 11289  df-7 11290  df-8 11291  df-9 11292  df-n0 11500  df-xnn0 11571  df-z 11585  df-dec 11701  df-uz 11894  df-q 11997  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-ioo 12384  df-ioc 12385  df-ico 12386  df-icc 12387  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-limsup 14410  df-clim 14427  df-rlim 14428  df-sum 14625  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-hom 16174  df-cco 16175  df-rest 16291  df-topn 16292  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-topgen 16312  df-pt 16313  df-prds 16316  df-xrs 16370  df-qtop 16375  df-imas 16376  df-xps 16378  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-mulg 17749  df-cntz 17957  df-cmn 18402  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-cnfld 19962  df-top 20919  df-topon 20936  df-topsp 20958  df-bases 20971  df-cld 21044  df-ntr 21045  df-cls 21046  df-nei 21123  df-lp 21161  df-cn 21252  df-cnp 21253  df-cmp 21411  df-tx 21586  df-hmeo 21779  df-xms 22345  df-ms 22346  df-tms 22347  df-cncf 22901  df-ovol 23452  df-vol 23453  df-mbf 23607  df-itg1 23608  df-itg2 23609  df-ibl 23610  df-itg 23611  df-0p 23657  df-limc 23850
This theorem is referenced by:  fourierdlem107  40942  fourierdlem111  40946
  Copyright terms: Public domain W3C validator