Theorem fourierdlem105 42503

Description: A piecewise continuous function is integrable on any closed interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem105.p	⊢ 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝‘𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem105.t	⊢ 𝑇 = (𝐵 − 𝐴)
fourierdlem105.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem105.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀))
fourierdlem105.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
fourierdlem105.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
fourierdlem105.fcn	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem105.r	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖)))
fourierdlem105.l	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
fourierdlem105.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
fourierdlem105.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝐶(,)+∞))

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem105	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐶[,]𝐷) ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ 𝐿1)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑥   𝐴,𝑚,𝑝,𝑖   𝐵,𝑖,𝑥   𝐵,𝑚,𝑝   𝐶,𝑖,𝑥   𝐶,𝑚,𝑝   𝐷,𝑖,𝑥   𝐷,𝑚,𝑝   𝑖,𝐹,𝑥   𝑥,𝐿   𝑖,𝑀,𝑥   𝑚,𝑀,𝑝   𝑄,𝑖,𝑥   𝑄,𝑚,𝑝   𝑥,𝑅   𝑇,𝑖,𝑥   𝑇,𝑚,𝑝   𝜑,𝑖,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑝)   𝑃(𝑥,𝑖,𝑚,𝑝)   𝑅(𝑖,𝑚,𝑝)   𝐹(𝑚,𝑝)   𝐿(𝑖,𝑚,𝑝)

Proof of Theorem fourierdlem105

Dummy variables 𝑓 𝑗 𝑘 𝑤 𝑦 𝑧 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem105.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝‘𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
2		fourierdlem105.t	. 2 ⊢ 𝑇 = (𝐵 − 𝐴)
3		fourierdlem105.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
4		fourierdlem105.q	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀))
5		fourierdlem105.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
6		fourierdlem105.6	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
7		fourierdlem105.fcn	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
8		fourierdlem105.r	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖)))
9		fourierdlem105.l	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
10		fourierdlem105.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
11		fourierdlem105.d	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝐶(,)+∞))
12		eqid 2823	. 2 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐶 ∧ (𝑝‘𝑚) = 𝐷) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))}) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐶 ∧ (𝑝‘𝑚) = 𝐷) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
13		eqid 2823	. 2 ⊢ ((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑤 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1) = ((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑤 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)
14		oveq1 7165	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑤 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑦 + (𝑗 · 𝑇)))
15	14	eleq1d 2899	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → ((𝑤 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ (𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
16	15	rexbidv 3299	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (∃𝑗 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
17		oveq1 7165	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 · 𝑇) = (𝑘 · 𝑇))
18	17	oveq2d 7174	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)))
19	18	eleq1d 2899	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
20	19	cbvrexvw 3452	. . . . 5 ⊢ (∃𝑗 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄)
21	16, 20	syl6bb 289	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (∃𝑗 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
22	21	cbvrabv 3493	. . 3 ⊢ {𝑤 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄} = {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}
23	22	uneq2i 4138	. 2 ⊢ ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑤 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
24		isoeq1 7072	. . 3 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → (𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑤 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑤 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑤 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑤 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))))
25	24	cbviotavw 6324	. 2 ⊢ (℩𝑔𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑤 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑤 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))) = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑤 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑤 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
26		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → 𝑤 = 𝑥)
27		oveq2 7166	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝐵 − 𝑤) = (𝐵 − 𝑥))
28	27	oveq1d 7173	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → ((𝐵 − 𝑤) / 𝑇) = ((𝐵 − 𝑥) / 𝑇))
29	28	fveq2d 6676	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (⌊‘((𝐵 − 𝑤) / 𝑇)) = (⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)))
30	29	oveq1d 7173	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑤) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))
31	26, 30	oveq12d 7176	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
32	31	cbvmptv 5171	. 2 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑤) / 𝑇)) · 𝑇))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
33		eqeq1 2827	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑤 = 𝐵 ↔ 𝑦 = 𝐵))
34		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → 𝑤 = 𝑦)
35	33, 34	ifbieq2d 4494	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤) = if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦))
36	35	cbvmptv 5171	. 2 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤)) = (𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦))
37		fveq2 6672	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑧) = ((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))
38	37	fveq2d 6676	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑧)) = ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥)))
39	38	breq2d 5080	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝑄‘𝑗) ≤ ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑧)) ↔ (𝑄‘𝑗) ≤ ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))))
40	39	rabbidv 3482	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑗) ≤ ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑧))} = {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑗) ≤ ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))})
41		fveq2 6672	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑄‘𝑗) = (𝑄‘𝑖))
42	41	breq1d 5078	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝑄‘𝑗) ≤ ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥)) ↔ (𝑄‘𝑖) ≤ ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))))
43	42	cbvrabv 3493	. . . . 5 ⊢ {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑗) ≤ ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))} = {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))}
44	40, 43	syl6eq 2874	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑗) ≤ ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑧))} = {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))})
45	44	supeq1d 8912	. . 3 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → sup({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑗) ≤ ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑧))}, ℝ, < ) = sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))}, ℝ, < ))
46	45	cbvmptv 5171	. 2 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ ↦ sup({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑗) ≤ ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑧))}, ℝ, < )) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))}, ℝ, < ))
47	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 23, 25, 32, 36, 46	fourierdlem100 42498	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐶[,]𝐷) ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ 𝐿1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∀wral 3140  ∃wrex 3141  {crab 3144   ∪ cun 3936  ifcif 4469  {cpr 4571   class class class wbr 5068   ↦ cmpt 5148  ran crn 5558   ↾ cres 5559  ℩cio 6314  ⟶wf 6353  ‘cfv 6357   Isom wiso 6358  (class class class)co 7158   ↑_m cmap 8408  supcsup 8906  ℂcc 10537  ℝcr 10538  0cc0 10539  1c1 10540   + caddc 10542   · cmul 10544  +∞cpnf 10674   < clt 10677   ≤ cle 10678   − cmin 10872   / cdiv 11299  ℕcn 11640  ℤcz 11984  (,)cioo 12741  (,]cioc 12742  [,]cicc 12744  ...cfz 12895  ..^cfzo 13036  ⌊cfl 13163  ♯chash 13693  –cn→ccncf 23486  𝐿¹cibl 24220   lim_ℂ climc 24462

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-inf2 9106  ax-cc 9859  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617  ax-addf 10618  ax-mulf 10619

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-symdif 4221  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-iin 4924  df-disj 5034  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-se 5517  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-isom 6366  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-of 7411  df-ofr 7412  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-supp 7833  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-2o 8105  df-oadd 8108  df-omul 8109  df-er 8291  df-map 8410  df-pm 8411  df-ixp 8464  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-fsupp 8836  df-fi 8877  df-sup 8908  df-inf 8909  df-oi 8976  df-dju 9332  df-card 9370  df-acn 9373  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-xnn0 11971  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-q 12352  df-rp 12393  df-xneg 12510  df-xadd 12511  df-xmul 12512  df-ioo 12745  df-ioc 12746  df-ico 12747  df-icc 12748  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-fl 13165  df-mod 13241  df-seq 13373  df-exp 13433  df-hash 13694  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-limsup 14830  df-clim 14847  df-rlim 14848  df-sum 15045  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-starv 16582  df-sca 16583  df-vsca 16584  df-ip 16585  df-tset 16586  df-ple 16587  df-ds 16589  df-unif 16590  df-hom 16591  df-cco 16592  df-rest 16698  df-topn 16699  df-0g 16717  df-gsum 16718  df-topgen 16719  df-pt 16720  df-prds 16723  df-xrs 16777  df-qtop 16782  df-imas 16783  df-xps 16785  df-mre 16859  df-mrc 16860  df-acs 16862  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-submnd 17959  df-mulg 18227  df-cntz 18449  df-cmn 18910  df-psmet 20539  df-xmet 20540  df-met 20541  df-bl 20542  df-mopn 20543  df-cnfld 20548  df-top 21504  df-topon 21521  df-topsp 21543  df-bases 21556  df-cld 21629  df-ntr 21630  df-cls 21631  df-nei 21708  df-lp 21746  df-cn 21837  df-cnp 21838  df-cmp 21997  df-tx 22172  df-hmeo 22365  df-xms 22932  df-ms 22933  df-tms 22934  df-cncf 23488  df-ovol 24067  df-vol 24068  df-mbf 24222  df-itg1 24223  df-itg2 24224  df-ibl 24225  df-itg 24226  df-0p 24273  df-limc 24466

This theorem is referenced by:  fourierdlem107  42505  fourierdlem111  42509