Theorem tan4thpiOLD 26750

Description: Obsolete version of tan4thpi 26749 as of 2-Sep-2025. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Apr-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
tan4thpiOLD	⊢ (tan‘(π / 4)) = 1

Proof of Theorem tan4thpiOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pire 26689	. . . . 5 ⊢ π ∈ ℝ
2		4nn 12351	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ
3		nndivre 12304	. . . . 5 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℕ) → (π / 4) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (π / 4) ∈ ℝ
5	4	recni 11250	. . 3 ⊢ (π / 4) ∈ ℂ
6		sincos4thpi 26748	. . . . 5 ⊢ ((sin‘(π / 4)) = (1 / (√‘2)) ∧ (cos‘(π / 4)) = (1 / (√‘2)))
7	6	simpri 491	. . . 4 ⊢ (cos‘(π / 4)) = (1 / (√‘2))
8		sqrt2re 16342	. . . . . 6 ⊢ (√‘2) ∈ ℝ
9	8	recni 11250	. . . . 5 ⊢ (√‘2) ∈ ℂ
10		2re 12342	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
11		0le2 12370	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 2
12		resqrtth 15344	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) → ((√‘2)↑2) = 2)
13	10, 11, 12	mp2an 705	. . . . . . 7 ⊢ ((√‘2)↑2) = 2
14		2ne0 12374	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 0
15	13, 14	eqnetri 3027	. . . . . 6 ⊢ ((√‘2)↑2) ≠ 0
16		sqne0 14189	. . . . . . 7 ⊢ ((√‘2) ∈ ℂ → (((√‘2)↑2) ≠ 0 ↔ (√‘2) ≠ 0))
17	9, 16	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (((√‘2)↑2) ≠ 0 ↔ (√‘2) ≠ 0)
18	15, 17	mpbi 233	. . . . 5 ⊢ (√‘2) ≠ 0
19		recne0 11912	. . . . 5 ⊢ (((√‘2) ∈ ℂ ∧ (√‘2) ≠ 0) → (1 / (√‘2)) ≠ 0)
20	9, 18, 19	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (1 / (√‘2)) ≠ 0
21	7, 20	eqnetri 3027	. . 3 ⊢ (cos‘(π / 4)) ≠ 0
22		tanval 16220	. . 3 ⊢ (((π / 4) ∈ ℂ ∧ (cos‘(π / 4)) ≠ 0) → (tan‘(π / 4)) = ((sin‘(π / 4)) / (cos‘(π / 4))))
23	5, 21, 22	mp2an 705	. 2 ⊢ (tan‘(π / 4)) = ((sin‘(π / 4)) / (cos‘(π / 4)))
24	6	simpli 489	. . 3 ⊢ (sin‘(π / 4)) = (1 / (√‘2))
25	24, 7	oveq12i 7428	. 2 ⊢ ((sin‘(π / 4)) / (cos‘(π / 4))) = ((1 / (√‘2)) / (1 / (√‘2)))
26	9, 18	reccli 11972	. . 3 ⊢ (1 / (√‘2)) ∈ ℂ
27	26, 20	dividi 11975	. 2 ⊢ ((1 / (√‘2)) / (1 / (√‘2))) = 1
28	23, 25, 27	3eqtri 2789	1 ⊢ (tan‘(π / 4)) = 1

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  ℂcc 11125  ℝcr 11126  0cc0 11127  1c1 11128   ≤ cle 11271   / cdiv 11898  ℕcn 12260  2c2 12322  4c4 12324  ↑cexp 14127  √csqrt 15322  sincsin 16153  cosccos 16154  tanctan 16155  πcpi 16156

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-inf2 9623  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205  ax-addf 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-fi 9384  df-sup 9415  df-inf 9416  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-q 13001  df-rp 13045  df-xneg 13165  df-xadd 13166  df-xmul 13167  df-ioo 13404  df-ioc 13405  df-ico 13406  df-icc 13407  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-fl 13855  df-seq 14068  df-exp 14128  df-fac 14340  df-bc 14369  df-hash 14397  df-shft 15142  df-cj 15188  df-re 15189  df-im 15190  df-sqrt 15324  df-abs 15325  df-limsup 15560  df-clim 15577  df-rlim 15578  df-sum 15776  df-ef 16157  df-sin 16159  df-cos 16160  df-tan 16161  df-pi 16162  df-struct 17243  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-starv 17361  df-sca 17362  df-vsca 17363  df-ip 17364  df-tset 17365  df-ple 17366  df-ds 17368  df-unif 17369  df-hom 17370  df-cco 17371  df-rest 17511  df-topn 17512  df-0g 17530  df-gsum 17531  df-topgen 17532  df-pt 17533  df-prds 17536  df-xrs 17592  df-qtop 17597  df-imas 17598  df-xps 17600  df-mre 17674  df-mrc 17675  df-acs 17677  df-mgm 18734  df-sgrp 18823  df-mnd 18839  df-submnd 18893  df-mulg 19192  df-cntz 19445  df-cmn 19910  df-psmet 21578  df-xmet 21579  df-met 21580  df-bl 21581  df-mopn 21582  df-fbas 21583  df-fg 21584  df-cnfld 21587  df-top 23120  df-topon 23137  df-topsp 23159  df-bases 23172  df-cld 23245  df-ntr 23246  df-cls 23247  df-nei 23324  df-lp 23362  df-perf 23363  df-cn 23453  df-cnp 23454  df-haus 23541  df-tx 23789  df-hmeo 23982  df-fil 24073  df-fm 24165  df-flim 24166  df-flf 24167  df-xms 24547  df-ms 24548  df-tms 24549  df-cncf 25107  df-limc 26095  df-dv 26096

This theorem is used by: (None)