Theorem cxpcld 25411

Description: Closure of the complex power function. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
cxp0d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
cxpcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
cxpcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑐𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem cxpcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cxp0d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		cxpcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		cxpcl 25377	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐𝐵) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	syl2anc 587	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑐𝐵) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7156  ℂcc 10586  ↑_𝑐ccxp 25259

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-inf2 9150  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665  ax-pre-sup 10666  ax-addf 10667  ax-mulf 10668

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-iin 4889  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-isom 6349  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7411  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-supp 7842  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-2o 8119  df-er 8305  df-map 8424  df-pm 8425  df-ixp 8493  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-fsupp 8880  df-fi 8921  df-sup 8952  df-inf 8953  df-oi 9020  df-card 9414  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-div 11349  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-4 11752  df-5 11753  df-6 11754  df-7 11755  df-8 11756  df-9 11757  df-n0 11948  df-z 12034  df-dec 12151  df-uz 12296  df-q 12402  df-rp 12444  df-xneg 12561  df-xadd 12562  df-xmul 12563  df-ioo 12796  df-ioc 12797  df-ico 12798  df-icc 12799  df-fz 12953  df-fzo 13096  df-fl 13224  df-mod 13300  df-seq 13432  df-exp 13493  df-fac 13697  df-bc 13726  df-hash 13754  df-shft 14487  df-cj 14519  df-re 14520  df-im 14521  df-sqrt 14655  df-abs 14656  df-limsup 14889  df-clim 14906  df-rlim 14907  df-sum 15104  df-ef 15482  df-sin 15484  df-cos 15485  df-pi 15487  df-struct 16556  df-ndx 16557  df-slot 16558  df-base 16560  df-sets 16561  df-ress 16562  df-plusg 16649  df-mulr 16650  df-starv 16651  df-sca 16652  df-vsca 16653  df-ip 16654  df-tset 16655  df-ple 16656  df-ds 16658  df-unif 16659  df-hom 16660  df-cco 16661  df-rest 16767  df-topn 16768  df-0g 16786  df-gsum 16787  df-topgen 16788  df-pt 16789  df-prds 16792  df-xrs 16846  df-qtop 16851  df-imas 16852  df-xps 16854  df-mre 16928  df-mrc 16929  df-acs 16931  df-mgm 17931  df-sgrp 17980  df-mnd 17991  df-submnd 18036  df-mulg 18305  df-cntz 18527  df-cmn 18988  df-psmet 20171  df-xmet 20172  df-met 20173  df-bl 20174  df-mopn 20175  df-fbas 20176  df-fg 20177  df-cnfld 20180  df-top 21607  df-topon 21624  df-topsp 21646  df-bases 21659  df-cld 21732  df-ntr 21733  df-cls 21734  df-nei 21811  df-lp 21849  df-perf 21850  df-cn 21940  df-cnp 21941  df-haus 22028  df-tx 22275  df-hmeo 22468  df-fil 22559  df-fm 22651  df-flim 22652  df-flf 22653  df-xms 23035  df-ms 23036  df-tms 23037  df-cncf 23592  df-limc 24578  df-dv 24579  df-log 25260  df-cxp 25261

This theorem is referenced by:  dvcxp1  25441  dvcxp2  25442  dvcncxp1  25444  cxpcn3  25449  cxpaddlelem  25452  cxpeq  25458  relogbreexp  25473  efrlim  25667  rlimcxp  25671  o1cxp  25672  cxploglim2  25676  zetacvg  25712  lgamgulmlem4  25729  ftalem4  25773  sgmmul  25897  logdivsqrle  32161  binomcxplemnn0  41461  binomcxplemdvbinom  41465  binomcxplemnotnn0  41468  etransclem18  43295  etransclem23  43300  etransclem46  43323  etransclem48  43325