MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxpcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cxpcld 24799
Description: Closure of the complex power function. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cxp0d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
cxpcld.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
cxpcld (𝜑 → (𝐴𝑐𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem cxpcld
StepHypRef Expression
1 cxp0d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 cxpcld.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 cxpcl 24765 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐𝐵) ∈ ℂ)
41, 2, 3syl2anc 580 1 (𝜑 → (𝐴𝑐𝐵) ∈ ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2157  (class class class)co 6882  cc 10226  𝑐ccxp 24647
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2379  ax-ext 2781  ax-rep 4968  ax-sep 4979  ax-nul 4987  ax-pow 5039  ax-pr 5101  ax-un 7187  ax-inf2 8792  ax-cnex 10284  ax-resscn 10285  ax-1cn 10286  ax-icn 10287  ax-addcl 10288  ax-addrcl 10289  ax-mulcl 10290  ax-mulrcl 10291  ax-mulcom 10292  ax-addass 10293  ax-mulass 10294  ax-distr 10295  ax-i2m1 10296  ax-1ne0 10297  ax-1rid 10298  ax-rnegex 10299  ax-rrecex 10300  ax-cnre 10301  ax-pre-lttri 10302  ax-pre-lttrn 10303  ax-pre-ltadd 10304  ax-pre-mulgt0 10305  ax-pre-sup 10306  ax-addf 10307  ax-mulf 10308
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2593  df-eu 2611  df-clab 2790  df-cleq 2796  df-clel 2799  df-nfc 2934  df-ne 2976  df-nel 3079  df-ral 3098  df-rex 3099  df-reu 3100  df-rmo 3101  df-rab 3102  df-v 3391  df-sbc 3638  df-csb 3733  df-dif 3776  df-un 3778  df-in 3780  df-ss 3787  df-pss 3789  df-nul 4120  df-if 4282  df-pw 4355  df-sn 4373  df-pr 4375  df-tp 4377  df-op 4379  df-uni 4633  df-int 4672  df-iun 4716  df-iin 4717  df-br 4848  df-opab 4910  df-mpt 4927  df-tr 4950  df-id 5224  df-eprel 5229  df-po 5237  df-so 5238  df-fr 5275  df-se 5276  df-we 5277  df-xp 5322  df-rel 5323  df-cnv 5324  df-co 5325  df-dm 5326  df-rn 5327  df-res 5328  df-ima 5329  df-pred 5902  df-ord 5948  df-on 5949  df-lim 5950  df-suc 5951  df-iota 6068  df-fun 6107  df-fn 6108  df-f 6109  df-f1 6110  df-fo 6111  df-f1o 6112  df-fv 6113  df-isom 6114  df-riota 6843  df-ov 6885  df-oprab 6886  df-mpt2 6887  df-of 7135  df-om 7304  df-1st 7405  df-2nd 7406  df-supp 7537  df-wrecs 7649  df-recs 7711  df-rdg 7749  df-1o 7803  df-2o 7804  df-oadd 7807  df-er 7986  df-map 8101  df-pm 8102  df-ixp 8153  df-en 8200  df-dom 8201  df-sdom 8202  df-fin 8203  df-fsupp 8522  df-fi 8563  df-sup 8594  df-inf 8595  df-oi 8661  df-card 9055  df-cda 9282  df-pnf 10369  df-mnf 10370  df-xr 10371  df-ltxr 10372  df-le 10373  df-sub 10562  df-neg 10563  df-div 10981  df-nn 11317  df-2 11380  df-3 11381  df-4 11382  df-5 11383  df-6 11384  df-7 11385  df-8 11386  df-9 11387  df-n0 11585  df-z 11671  df-dec 11788  df-uz 11935  df-q 12038  df-rp 12079  df-xneg 12197  df-xadd 12198  df-xmul 12199  df-ioo 12432  df-ioc 12433  df-ico 12434  df-icc 12435  df-fz 12585  df-fzo 12725  df-fl 12852  df-mod 12928  df-seq 13060  df-exp 13119  df-fac 13318  df-bc 13347  df-hash 13375  df-shft 14152  df-cj 14184  df-re 14185  df-im 14186  df-sqrt 14320  df-abs 14321  df-limsup 14547  df-clim 14564  df-rlim 14565  df-sum 14762  df-ef 15138  df-sin 15140  df-cos 15141  df-pi 15143  df-struct 16190  df-ndx 16191  df-slot 16192  df-base 16194  df-sets 16195  df-ress 16196  df-plusg 16284  df-mulr 16285  df-starv 16286  df-sca 16287  df-vsca 16288  df-ip 16289  df-tset 16290  df-ple 16291  df-ds 16293  df-unif 16294  df-hom 16295  df-cco 16296  df-rest 16402  df-topn 16403  df-0g 16421  df-gsum 16422  df-topgen 16423  df-pt 16424  df-prds 16427  df-xrs 16481  df-qtop 16486  df-imas 16487  df-xps 16489  df-mre 16565  df-mrc 16566  df-acs 16568  df-mgm 17561  df-sgrp 17603  df-mnd 17614  df-submnd 17655  df-mulg 17861  df-cntz 18066  df-cmn 18514  df-psmet 20064  df-xmet 20065  df-met 20066  df-bl 20067  df-mopn 20068  df-fbas 20069  df-fg 20070  df-cnfld 20073  df-top 21031  df-topon 21048  df-topsp 21070  df-bases 21083  df-cld 21156  df-ntr 21157  df-cls 21158  df-nei 21235  df-lp 21273  df-perf 21274  df-cn 21364  df-cnp 21365  df-haus 21452  df-tx 21698  df-hmeo 21891  df-fil 21982  df-fm 22074  df-flim 22075  df-flf 22076  df-xms 22457  df-ms 22458  df-tms 22459  df-cncf 23013  df-limc 23975  df-dv 23976  df-log 24648  df-cxp 24649
This theorem is referenced by:  dvcxp1  24829  dvcxp2  24830  dvcncxp1  24832  cxpcn3  24837  cxpaddlelem  24840  cxpeq  24846  relogbreexp  24861  efrlim  25052  rlimcxp  25056  o1cxp  25057  cxploglim2  25061  zetacvg  25097  lgamgulmlem4  25114  ftalem4  25158  sgmmul  25282  logdivsqrle  31252  binomcxplemnn0  39334  binomcxplemdvbinom  39338  binomcxplemnotnn0  39341  etransclem18  41216  etransclem23  41221  etransclem46  41244  etransclem48  41246
  Copyright terms: Public domain W3C validator