Theorem tannpoly 47004

Description: The tangent function is not a polynomial with complex coefficients, as it is not defined on the whole complex plane. (Contributed by Ender Ting, 10-Dec-2025.)

Assertion

Ref	Expression
tannpoly	⊢ ¬ tan ∈ (Poly‘ℂ)

Proof of Theorem tannpoly

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coshalfpi 26415	. . . . . 6 ⊢ (cos‘(π / 2)) = 0
2		c0ex 11116	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
3	2	snid 4616	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ {0}
4		eleq1 2821	. . . . . . . 8 ⊢ ((cos‘(π / 2)) = 0 → ((cos‘(π / 2)) ∈ {0} ↔ 0 ∈ {0}))
5	4	biimprd 248	. . . . . . 7 ⊢ ((cos‘(π / 2)) = 0 → (0 ∈ {0} → (cos‘(π / 2)) ∈ {0}))
6	3, 5	mpi 20	. . . . . 6 ⊢ ((cos‘(π / 2)) = 0 → (cos‘(π / 2)) ∈ {0})
7	1, 6	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (cos‘(π / 2)) ∈ {0}
8		eldifn 4083	. . . . 5 ⊢ ((cos‘(π / 2)) ∈ (ℂ ∖ {0}) → ¬ (cos‘(π / 2)) ∈ {0})
9	7, 8	mt2 200	. . . 4 ⊢ ¬ (cos‘(π / 2)) ∈ (ℂ ∖ {0})
10		picn 26404	. . . . . . 7 ⊢ π ∈ ℂ
11		halfcl 12357	. . . . . . 7 ⊢ (π ∈ ℂ → (π / 2) ∈ ℂ)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (π / 2) ∈ ℂ
13		cosf 16044	. . . . . . . 8 ⊢ cos:ℂ⟶ℂ
14		fdm 6668	. . . . . . . 8 ⊢ (cos:ℂ⟶ℂ → dom cos = ℂ)
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ dom cos = ℂ
16	15	eleq2i 2825	. . . . . 6 ⊢ ((π / 2) ∈ dom cos ↔ (π / 2) ∈ ℂ)
17	12, 16	mpbir 231	. . . . 5 ⊢ (π / 2) ∈ dom cos
18		ffun 6662	. . . . . . 7 ⊢ (cos:ℂ⟶ℂ → Fun cos)
19	13, 18	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ Fun cos
20		fvimacnv 6995	. . . . . 6 ⊢ ((Fun cos ∧ (π / 2) ∈ dom cos) → ((cos‘(π / 2)) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (π / 2) ∈ (◡cos “ (ℂ ∖ {0}))))
21	19, 20	mpan 690	. . . . 5 ⊢ ((π / 2) ∈ dom cos → ((cos‘(π / 2)) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (π / 2) ∈ (◡cos “ (ℂ ∖ {0}))))
22	17, 21	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((cos‘(π / 2)) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (π / 2) ∈ (◡cos “ (ℂ ∖ {0})))
23	9, 22	mtbi 322	. . 3 ⊢ ¬ (π / 2) ∈ (◡cos “ (ℂ ∖ {0}))
24		df-tan 15988	. . . . 5 ⊢ tan = (𝑥 ∈ (◡cos “ (ℂ ∖ {0})) ↦ ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)))
25	24	dmmptss 6196	. . . 4 ⊢ dom tan ⊆ (◡cos “ (ℂ ∖ {0}))
26	25	sseli 3927	. . 3 ⊢ ((π / 2) ∈ dom tan → (π / 2) ∈ (◡cos “ (ℂ ∖ {0})))
27	23, 26	mto 197	. 2 ⊢ ¬ (π / 2) ∈ dom tan
28		plyf 26140	. . 3 ⊢ (tan ∈ (Poly‘ℂ) → tan:ℂ⟶ℂ)
29		fdm 6668	. . 3 ⊢ (tan:ℂ⟶ℂ → dom tan = ℂ)
30		eleq2 2822	. . . . 5 ⊢ (dom tan = ℂ → ((π / 2) ∈ dom tan ↔ (π / 2) ∈ ℂ))
31	30	biimprd 248	. . . 4 ⊢ (dom tan = ℂ → ((π / 2) ∈ ℂ → (π / 2) ∈ dom tan))
32	12, 31	mpi 20	. . 3 ⊢ (dom tan = ℂ → (π / 2) ∈ dom tan)
33	28, 29, 32	3syl 18	. 2 ⊢ (tan ∈ (Poly‘ℂ) → (π / 2) ∈ dom tan)
34	27, 33	mto 197	1 ⊢ ¬ tan ∈ (Poly‘ℂ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ∖ cdif 3896  {csn 4577  ^◡ccnv 5620  dom cdm 5621   “ cima 5624  Fun wfun 6483  ⟶wf 6485  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  ℂcc 11014  0cc0 11016   / cdiv 11784  2c2 12190  sincsin 15980  cosccos 15981  tanctan 15982  πcpi 15983  Polycply 26126

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-inf2 9541  ax-cnex 11072  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092  ax-pre-mulgt0 11093  ax-pre-sup 11094  ax-addf 11095

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-iin 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-of 7619  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-supp 8100  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-er 8631  df-map 8761  df-pm 8762  df-ixp 8831  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-fin 8882  df-fsupp 9256  df-fi 9305  df-sup 9336  df-inf 9337  df-oi 9406  df-card 9842  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-xr 11160  df-ltxr 11161  df-le 11162  df-sub 11356  df-neg 11357  df-div 11785  df-nn 12136  df-2 12198  df-3 12199  df-4 12200  df-5 12201  df-6 12202  df-7 12203  df-8 12204  df-9 12205  df-n0 12392  df-z 12479  df-dec 12599  df-uz 12743  df-q 12857  df-rp 12901  df-xneg 13021  df-xadd 13022  df-xmul 13023  df-ioo 13259  df-ioc 13260  df-ico 13261  df-icc 13262  df-fz 13418  df-fzo 13565  df-fl 13706  df-seq 13919  df-exp 13979  df-fac 14191  df-bc 14220  df-hash 14248  df-shft 14984  df-cj 15016  df-re 15017  df-im 15018  df-sqrt 15152  df-abs 15153  df-limsup 15388  df-clim 15405  df-rlim 15406  df-sum 15604  df-ef 15984  df-sin 15986  df-cos 15987  df-tan 15988  df-pi 15989  df-struct 17068  df-sets 17085  df-slot 17103  df-ndx 17115  df-base 17131  df-ress 17152  df-plusg 17184  df-mulr 17185  df-starv 17186  df-sca 17187  df-vsca 17188  df-ip 17189  df-tset 17190  df-ple 17191  df-ds 17193  df-unif 17194  df-hom 17195  df-cco 17196  df-rest 17336  df-topn 17337  df-0g 17355  df-gsum 17356  df-topgen 17357  df-pt 17358  df-prds 17361  df-xrs 17416  df-qtop 17421  df-imas 17422  df-xps 17424  df-mre 17498  df-mrc 17499  df-acs 17501  df-mgm 18558  df-sgrp 18637  df-mnd 18653  df-submnd 18702  df-mulg 18991  df-cntz 19239  df-cmn 19704  df-psmet 21293  df-xmet 21294  df-met 21295  df-bl 21296  df-mopn 21297  df-fbas 21298  df-fg 21299  df-cnfld 21302  df-top 22819  df-topon 22836  df-topsp 22858  df-bases 22871  df-cld 22944  df-ntr 22945  df-cls 22946  df-nei 23023  df-lp 23061  df-perf 23062  df-cn 23152  df-cnp 23153  df-haus 23240  df-tx 23487  df-hmeo 23680  df-fil 23771  df-fm 23863  df-flim 23864  df-flf 23865  df-xms 24245  df-ms 24246  df-tms 24247  df-cncf 24808  df-limc 25804  df-dv 25805  df-ply 26130

This theorem is referenced by: (None)