Theorem tannpoly 47172

Description: The tangent function is not a polynomial with complex coefficients, as it is not defined on the whole complex plane. (Contributed by Ender Ting, 10-Dec-2025.)

Assertion

Ref	Expression
tannpoly	⊢ ¬ tan ∈ (Poly‘ℂ)

Proof of Theorem tannpoly

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coshalfpi 26438	. . . . . 6 ⊢ (cos‘(π / 2)) = 0
2		c0ex 11130	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
3	2	snid 4620	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ {0}
4		eleq1 2825	. . . . . . . 8 ⊢ ((cos‘(π / 2)) = 0 → ((cos‘(π / 2)) ∈ {0} ↔ 0 ∈ {0}))
5	4	biimprd 248	. . . . . . 7 ⊢ ((cos‘(π / 2)) = 0 → (0 ∈ {0} → (cos‘(π / 2)) ∈ {0}))
6	3, 5	mpi 20	. . . . . 6 ⊢ ((cos‘(π / 2)) = 0 → (cos‘(π / 2)) ∈ {0})
7	1, 6	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (cos‘(π / 2)) ∈ {0}
8		eldifn 4085	. . . . 5 ⊢ ((cos‘(π / 2)) ∈ (ℂ ∖ {0}) → ¬ (cos‘(π / 2)) ∈ {0})
9	7, 8	mt2 200	. . . 4 ⊢ ¬ (cos‘(π / 2)) ∈ (ℂ ∖ {0})
10		picn 26427	. . . . . . 7 ⊢ π ∈ ℂ
11		halfcl 12371	. . . . . . 7 ⊢ (π ∈ ℂ → (π / 2) ∈ ℂ)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (π / 2) ∈ ℂ
13		cosf 16054	. . . . . . . 8 ⊢ cos:ℂ⟶ℂ
14		fdm 6672	. . . . . . . 8 ⊢ (cos:ℂ⟶ℂ → dom cos = ℂ)
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ dom cos = ℂ
16	15	eleq2i 2829	. . . . . 6 ⊢ ((π / 2) ∈ dom cos ↔ (π / 2) ∈ ℂ)
17	12, 16	mpbir 231	. . . . 5 ⊢ (π / 2) ∈ dom cos
18		ffun 6666	. . . . . . 7 ⊢ (cos:ℂ⟶ℂ → Fun cos)
19	13, 18	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ Fun cos
20		fvimacnv 7000	. . . . . 6 ⊢ ((Fun cos ∧ (π / 2) ∈ dom cos) → ((cos‘(π / 2)) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (π / 2) ∈ (◡cos “ (ℂ ∖ {0}))))
21	19, 20	mpan 691	. . . . 5 ⊢ ((π / 2) ∈ dom cos → ((cos‘(π / 2)) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (π / 2) ∈ (◡cos “ (ℂ ∖ {0}))))
22	17, 21	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((cos‘(π / 2)) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (π / 2) ∈ (◡cos “ (ℂ ∖ {0})))
23	9, 22	mtbi 322	. . 3 ⊢ ¬ (π / 2) ∈ (◡cos “ (ℂ ∖ {0}))
24		df-tan 15998	. . . . 5 ⊢ tan = (𝑥 ∈ (◡cos “ (ℂ ∖ {0})) ↦ ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)))
25	24	dmmptss 6200	. . . 4 ⊢ dom tan ⊆ (◡cos “ (ℂ ∖ {0}))
26	25	sseli 3930	. . 3 ⊢ ((π / 2) ∈ dom tan → (π / 2) ∈ (◡cos “ (ℂ ∖ {0})))
27	23, 26	mto 197	. 2 ⊢ ¬ (π / 2) ∈ dom tan
28		plyf 26163	. . 3 ⊢ (tan ∈ (Poly‘ℂ) → tan:ℂ⟶ℂ)
29		fdm 6672	. . 3 ⊢ (tan:ℂ⟶ℂ → dom tan = ℂ)
30		eleq2 2826	. . . . 5 ⊢ (dom tan = ℂ → ((π / 2) ∈ dom tan ↔ (π / 2) ∈ ℂ))
31	30	biimprd 248	. . . 4 ⊢ (dom tan = ℂ → ((π / 2) ∈ ℂ → (π / 2) ∈ dom tan))
32	12, 31	mpi 20	. . 3 ⊢ (dom tan = ℂ → (π / 2) ∈ dom tan)
33	28, 29, 32	3syl 18	. 2 ⊢ (tan ∈ (Poly‘ℂ) → (π / 2) ∈ dom tan)
34	27, 33	mto 197	1 ⊢ ¬ tan ∈ (Poly‘ℂ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∖ cdif 3899  {csn 4581  ^◡ccnv 5624  dom cdm 5625   “ cima 5628  Fun wfun 6487  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  ℂcc 11028  0cc0 11030   / cdiv 11798  2c2 12204  sincsin 15990  cosccos 15991  tanctan 15992  πcpi 15993  Polycply 26149

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-inf2 9554  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108  ax-addf 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-iin 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-fi 9318  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-card 9855  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12406  df-z 12493  df-dec 12612  df-uz 12756  df-q 12866  df-rp 12910  df-xneg 13030  df-xadd 13031  df-xmul 13032  df-ioo 13269  df-ioc 13270  df-ico 13271  df-icc 13272  df-fz 13428  df-fzo 13575  df-fl 13716  df-seq 13929  df-exp 13989  df-fac 14201  df-bc 14230  df-hash 14258  df-shft 14994  df-cj 15026  df-re 15027  df-im 15028  df-sqrt 15162  df-abs 15163  df-limsup 15398  df-clim 15415  df-rlim 15416  df-sum 15614  df-ef 15994  df-sin 15996  df-cos 15997  df-tan 15998  df-pi 15999  df-struct 17078  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17141  df-ress 17162  df-plusg 17194  df-mulr 17195  df-starv 17196  df-sca 17197  df-vsca 17198  df-ip 17199  df-tset 17200  df-ple 17201  df-ds 17203  df-unif 17204  df-hom 17205  df-cco 17206  df-rest 17346  df-topn 17347  df-0g 17365  df-gsum 17366  df-topgen 17367  df-pt 17368  df-prds 17371  df-xrs 17427  df-qtop 17432  df-imas 17433  df-xps 17435  df-mre 17509  df-mrc 17510  df-acs 17512  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-submnd 18713  df-mulg 19002  df-cntz 19250  df-cmn 19715  df-psmet 21305  df-xmet 21306  df-met 21307  df-bl 21308  df-mopn 21309  df-fbas 21310  df-fg 21311  df-cnfld 21314  df-top 22842  df-topon 22859  df-topsp 22881  df-bases 22894  df-cld 22967  df-ntr 22968  df-cls 22969  df-nei 23046  df-lp 23084  df-perf 23085  df-cn 23175  df-cnp 23176  df-haus 23263  df-tx 23510  df-hmeo 23703  df-fil 23794  df-fm 23886  df-flim 23887  df-flf 23888  df-xms 24268  df-ms 24269  df-tms 24270  df-cncf 24831  df-limc 25827  df-dv 25828  df-ply 26153

This theorem is referenced by: (None)