Theorem tannpoly 47332

Description: The tangent function is not a polynomial with complex coefficients, as it is not defined on the whole complex plane. (Contributed by Ender Ting, 10-Dec-2025.)

Assertion

Ref	Expression
tannpoly	⊢ ¬ tan ∈ (Poly‘ℂ)

Proof of Theorem tannpoly

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coshalfpi 26433	. . . . . 6 ⊢ (cos‘(π / 2)) = 0
2		c0ex 11138	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
3	2	snid 4607	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ {0}
4		eleq1 2825	. . . . . . . 8 ⊢ ((cos‘(π / 2)) = 0 → ((cos‘(π / 2)) ∈ {0} ↔ 0 ∈ {0}))
5	4	biimprd 248	. . . . . . 7 ⊢ ((cos‘(π / 2)) = 0 → (0 ∈ {0} → (cos‘(π / 2)) ∈ {0}))
6	3, 5	mpi 20	. . . . . 6 ⊢ ((cos‘(π / 2)) = 0 → (cos‘(π / 2)) ∈ {0})
7	1, 6	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (cos‘(π / 2)) ∈ {0}
8		eldifn 4073	. . . . 5 ⊢ ((cos‘(π / 2)) ∈ (ℂ ∖ {0}) → ¬ (cos‘(π / 2)) ∈ {0})
9	7, 8	mt2 200	. . . 4 ⊢ ¬ (cos‘(π / 2)) ∈ (ℂ ∖ {0})
10		picn 26422	. . . . . . 7 ⊢ π ∈ ℂ
11		halfcl 12403	. . . . . . 7 ⊢ (π ∈ ℂ → (π / 2) ∈ ℂ)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (π / 2) ∈ ℂ
13		cosf 16092	. . . . . . . 8 ⊢ cos:ℂ⟶ℂ
14		fdm 6678	. . . . . . . 8 ⊢ (cos:ℂ⟶ℂ → dom cos = ℂ)
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ dom cos = ℂ
16	15	eleq2i 2829	. . . . . 6 ⊢ ((π / 2) ∈ dom cos ↔ (π / 2) ∈ ℂ)
17	12, 16	mpbir 231	. . . . 5 ⊢ (π / 2) ∈ dom cos
18		ffun 6672	. . . . . . 7 ⊢ (cos:ℂ⟶ℂ → Fun cos)
19	13, 18	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ Fun cos
20		fvimacnv 7006	. . . . . 6 ⊢ ((Fun cos ∧ (π / 2) ∈ dom cos) → ((cos‘(π / 2)) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (π / 2) ∈ (◡cos “ (ℂ ∖ {0}))))
21	19, 20	mpan 691	. . . . 5 ⊢ ((π / 2) ∈ dom cos → ((cos‘(π / 2)) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (π / 2) ∈ (◡cos “ (ℂ ∖ {0}))))
22	17, 21	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((cos‘(π / 2)) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (π / 2) ∈ (◡cos “ (ℂ ∖ {0})))
23	9, 22	mtbi 322	. . 3 ⊢ ¬ (π / 2) ∈ (◡cos “ (ℂ ∖ {0}))
24		df-tan 16036	. . . . 5 ⊢ tan = (𝑥 ∈ (◡cos “ (ℂ ∖ {0})) ↦ ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)))
25	24	dmmptss 6206	. . . 4 ⊢ dom tan ⊆ (◡cos “ (ℂ ∖ {0}))
26	25	sseli 3918	. . 3 ⊢ ((π / 2) ∈ dom tan → (π / 2) ∈ (◡cos “ (ℂ ∖ {0})))
27	23, 26	mto 197	. 2 ⊢ ¬ (π / 2) ∈ dom tan
28		plyf 26163	. . 3 ⊢ (tan ∈ (Poly‘ℂ) → tan:ℂ⟶ℂ)
29		fdm 6678	. . 3 ⊢ (tan:ℂ⟶ℂ → dom tan = ℂ)
30		eleq2 2826	. . . . 5 ⊢ (dom tan = ℂ → ((π / 2) ∈ dom tan ↔ (π / 2) ∈ ℂ))
31	30	biimprd 248	. . . 4 ⊢ (dom tan = ℂ → ((π / 2) ∈ ℂ → (π / 2) ∈ dom tan))
32	12, 31	mpi 20	. . 3 ⊢ (dom tan = ℂ → (π / 2) ∈ dom tan)
33	28, 29, 32	3syl 18	. 2 ⊢ (tan ∈ (Poly‘ℂ) → (π / 2) ∈ dom tan)
34	27, 33	mto 197	1 ⊢ ¬ tan ∈ (Poly‘ℂ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∖ cdif 3887  {csn 4568  ^◡ccnv 5630  dom cdm 5631   “ cima 5634  Fun wfun 6493  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  0cc0 11038   / cdiv 11807  2c2 12236  sincsin 16028  cosccos 16029  tanctan 16030  πcpi 16031  Polycply 26149

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-fi 9324  df-sup 9355  df-inf 9356  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-xneg 13063  df-xadd 13064  df-xmul 13065  df-ioo 13302  df-ioc 13303  df-ico 13304  df-icc 13305  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-fl 13751  df-seq 13964  df-exp 14024  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-shft 15029  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-limsup 15433  df-clim 15450  df-rlim 15451  df-sum 15649  df-ef 16032  df-sin 16034  df-cos 16035  df-tan 16036  df-pi 16037  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-rest 17385  df-topn 17386  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-topgen 17406  df-pt 17407  df-prds 17410  df-xrs 17466  df-qtop 17471  df-imas 17472  df-xps 17474  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-acs 17551  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18752  df-mulg 19044  df-cntz 19292  df-cmn 19757  df-psmet 21344  df-xmet 21345  df-met 21346  df-bl 21347  df-mopn 21348  df-fbas 21349  df-fg 21350  df-cnfld 21353  df-top 22859  df-topon 22876  df-topsp 22898  df-bases 22911  df-cld 22984  df-ntr 22985  df-cls 22986  df-nei 23063  df-lp 23101  df-perf 23102  df-cn 23192  df-cnp 23193  df-haus 23280  df-tx 23527  df-hmeo 23720  df-fil 23811  df-fm 23903  df-flim 23904  df-flf 23905  df-xms 24285  df-ms 24286  df-tms 24287  df-cncf 24845  df-limc 25833  df-dv 25834  df-ply 26153

This theorem is referenced by: (None)