Theorem finextalg 33684

Description: A finite field extension is algebraic. Proposition 1.1 of [Lang], p. 224. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Jan-2026.)

Hypothesis

Ref	Expression
finextalg.1	⊢ (𝜑 → 𝐸/FinExt𝐹)

Assertion

Ref	Expression
finextalg	⊢ (𝜑 → 𝐸/AlgExt𝐹)

Proof of Theorem finextalg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		finextalg.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸/FinExt𝐹)
2	1	finextfldext 33650	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸/FldExt𝐹)
3		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
4		eqid 2729	. . 3 ⊢ (dim‘((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹))) = (dim‘((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹)))
5		fldextfld1 33633	. . . 4 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → 𝐸 ∈ Field)
6	2, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
7		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
8	7, 2	fldextsdrg 33640	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐹) ∈ (SubDRing‘𝐸))
9		extdgval 33639	. . . . 5 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → (𝐸[:]𝐹) = (dim‘((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹))))
10	2, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸[:]𝐹) = (dim‘((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹))))
11		brfinext 33638	. . . . . 6 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → (𝐸/FinExt𝐹 ↔ (𝐸[:]𝐹) ∈ ℕ0))
12	2, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐸/FinExt𝐹 ↔ (𝐸[:]𝐹) ∈ ℕ0))
13	1, 12	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸[:]𝐹) ∈ ℕ0)
14	10, 13	eqeltrrd 2829	. . 3 ⊢ (𝜑 → (dim‘((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹))) ∈ ℕ0)
15	3, 4, 6, 8, 14	extdgfialg 33680	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸 IntgRing (Base‘𝐹)) = (Base‘𝐸))
16		fldextfld2 33634	. . . 4 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → 𝐹 ∈ Field)
17	2, 16	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Field)
18	3, 7, 6, 17	bralgext 33683	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸/AlgExt𝐹 ↔ (𝐸/FldExt𝐹 ∧ (𝐸 IntgRing (Base‘𝐹)) = (Base‘𝐸))))
19	2, 15, 18	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸/AlgExt𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5095  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ℕ₀cn0 12403  Basecbs 17139  Fieldcfield 20634  subringAlg csra 21094  dimcldim 33584  /_FldExtcfldext 33624  /_FinExtcfinext 33625  [:]cextdg 33626   IntgRing cirng 33669  /_AlgExtcalgext 33681

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-reg 9503  ax-inf2 9556  ax-ac2 10376  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-addf 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7617  df-ofr 7618  df-rpss 7663  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-er 8632  df-map 8762  df-pm 8763  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9271  df-sup 9351  df-oi 9421  df-r1 9679  df-rank 9680  df-dju 9816  df-card 9854  df-acn 9857  df-ac 10029  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-9 12217  df-n0 12404  df-xnn0 12477  df-z 12491  df-dec 12611  df-uz 12755  df-fz 13430  df-fzo 13577  df-seq 13928  df-hash 14257  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17140  df-ress 17161  df-plusg 17193  df-mulr 17194  df-starv 17195  df-sca 17196  df-vsca 17197  df-ip 17198  df-tset 17199  df-ple 17200  df-ocomp 17201  df-ds 17202  df-unif 17203  df-hom 17204  df-cco 17205  df-0g 17364  df-gsum 17365  df-prds 17370  df-pws 17372  df-mre 17507  df-mrc 17508  df-mri 17509  df-acs 17510  df-proset 18219  df-drs 18220  df-poset 18238  df-ipo 18453  df-mgm 18533  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-mhm 18676  df-submnd 18677  df-grp 18834  df-minusg 18835  df-sbg 18836  df-mulg 18966  df-subg 19021  df-ghm 19111  df-cntz 19215  df-cmn 19680  df-abl 19681  df-mgp 20045  df-rng 20057  df-ur 20086  df-srg 20091  df-ring 20139  df-cring 20140  df-oppr 20241  df-dvdsr 20261  df-unit 20262  df-invr 20292  df-rhm 20376  df-nzr 20417  df-subrng 20450  df-subrg 20474  df-rlreg 20598  df-drng 20635  df-field 20636  df-sdrg 20691  df-lmod 20784  df-lss 20854  df-lsp 20894  df-lmhm 20945  df-lbs 20998  df-lvec 21026  df-sra 21096  df-rgmod 21097  df-cnfld 21281  df-dsmm 21658  df-frlm 21673  df-uvc 21709  df-lindf 21732  df-linds 21733  df-assa 21779  df-asp 21780  df-ascl 21781  df-psr 21835  df-mvr 21836  df-mpl 21837  df-opsr 21839  df-evls 21998  df-evl 21999  df-psr1 22081  df-vr1 22082  df-ply1 22083  df-coe1 22084  df-evls1 22219  df-evl1 22220  df-mdeg 25977  df-deg1 25978  df-mon1 26053  df-uc1p 26054  df-dim 33585  df-fldext 33627  df-extdg 33628  df-finext 33629  df-irng 33670  df-algext 33682

This theorem is referenced by: (None)