Theorem finextalg 34208

Description: A finite field extension is algebraic. Proposition 1.1 of [Lang], p. 224. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Jan-2026.)

Hypothesis

Ref	Expression
finextalg.1	⊢ (𝜑 → 𝐸/FinExt𝐹)

Assertion

Ref	Expression
finextalg	⊢ (𝜑 → 𝐸/AlgExt𝐹)

Proof of Theorem finextalg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		finextalg.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸/FinExt𝐹)
2	1	finextfldext 34174	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸/FldExt𝐹)
3		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
4		eqid 2760	. . 3 ⊢ (dim‘((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹))) = (dim‘((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹)))
5		fldextfld1 34157	. . . 4 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → 𝐸 ∈ Field)
6	2, 5	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
7		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
8	7, 2	fldextsdrg 34164	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐹) ∈ (SubDRing‘𝐸))
9		extdgval 34163	. . . . 5 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → (𝐸[:]𝐹) = (dim‘((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹))))
10	2, 9	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸[:]𝐹) = (dim‘((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹))))
11		brfinext 34162	. . . . . 6 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → (𝐸/FinExt𝐹 ↔ (𝐸[:]𝐹) ∈ ℕ0))
12	2, 11	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐸/FinExt𝐹 ↔ (𝐸[:]𝐹) ∈ ℕ0))
13	1, 12	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸[:]𝐹) ∈ ℕ0)
14	10, 13	eqeltrrd 2861	. . 3 ⊢ (𝜑 → (dim‘((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹))) ∈ ℕ0)
15	3, 4, 6, 8, 14	extdgfialg 34204	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸 IntgRing (Base‘𝐹)) = (Base‘𝐸))
16		fldextfld2 34158	. . . 4 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → 𝐹 ∈ Field)
17	2, 16	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Field)
18	3, 7, 6, 17	bralgext 34207	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸/AlgExt𝐹 ↔ (𝐸/FldExt𝐹 ∧ (𝐸 IntgRing (Base‘𝐹)) = (Base‘𝐸))))
19	2, 15, 18	mpbir2and 726	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸/AlgExt𝐹)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  ℕ₀cn0 12528  Basecbs 17301  Fieldcfield 20891  subringAlg csra 21355  dimcldim 34109  /_FldExtcfldext 34148  /_FinExtcfinext 34149  [:]cextdg 34150   IntgRing cirng 34193  /_AlgExtcalgext 34205

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-reg 9564  ax-inf2 9620  ax-ac2 10465  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-addf 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7678  df-ofr 7679  df-rpss 7724  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8159  df-tpos 8224  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-oadd 8459  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-sup 9412  df-oi 9482  df-r1 9746  df-rank 9747  df-scott 9868  df-dju 9906  df-card 9944  df-acn 9947  df-ac 10119  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12529  df-xnn0 12602  df-z 12616  df-dec 12737  df-uz 12888  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-seq 14066  df-hash 14395  df-struct 17239  df-sets 17256  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-ress 17323  df-plusg 17355  df-mulr 17356  df-starv 17357  df-sca 17358  df-vsca 17359  df-ip 17360  df-tset 17361  df-ple 17362  df-ocomp 17363  df-ds 17364  df-unif 17365  df-hom 17366  df-cco 17367  df-0g 17526  df-gsum 17527  df-prds 17532  df-pws 17534  df-mre 17670  df-mrc 17671  df-mri 17672  df-acs 17673  df-proset 18382  df-drs 18383  df-poset 18401  df-ipo 18616  df-mgm 18730  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-mhm 18891  df-submnd 18892  df-grp 19060  df-minusg 19061  df-sbg 19062  df-mulg 19191  df-subg 19246  df-ghm 19341  df-cntz 19444  df-cmn 19909  df-abl 19910  df-mgp 20274  df-rng 20288  df-ur 20321  df-srg 20326  df-ring 20374  df-cring 20375  df-oppr 20478  df-dvdsr 20498  df-unit 20499  df-invr 20529  df-rhm 20613  df-nzr 20673  df-subrng 20708  df-subrg 20732  df-rlreg 20856  df-drng 20892  df-field 20893  df-sdrg 20953  df-lmod 21046  df-lss 21116  df-lsp 21156  df-lmhm 21206  df-lbs 21259  df-lvec 21287  df-sra 21357  df-rgmod 21358  df-cnfld 21586  df-dsmm 21945  df-frlm 21960  df-uvc 21996  df-lindf 22019  df-linds 22020  df-assa 22068  df-asp 22069  df-ascl 22070  df-psr 22124  df-mvr 22125  df-mpl 22126  df-opsr 22128  df-evls 22290  df-evl 22291  df-psr1 22405  df-vr1 22406  df-ply1 22407  df-coe1 22408  df-evls1 22540  df-evl1 22541  df-mdeg 26280  df-deg1 26281  df-mon1 26356  df-uc1p 26357  df-dim 34110  df-fldext 34151  df-extdg 34152  df-finext 34153  df-irng 34194  df-algext 34206

This theorem is used by: (None)