Theorem lgsqrlem5 27317

Description: Lemma for lgsqr 27318. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsqrlem5	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑃

Proof of Theorem lgsqrlem5

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. 2 ⊢ (ℤ/nℤ‘𝑃) = (ℤ/nℤ‘𝑃)
2		eqid 2736	. 2 ⊢ (Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑃)) = (Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑃))
3		eqid 2736	. 2 ⊢ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑃))) = (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑃)))
4		eqid 2736	. 2 ⊢ (deg1‘(ℤ/nℤ‘𝑃)) = (deg1‘(ℤ/nℤ‘𝑃))
5		eqid 2736	. 2 ⊢ (eval1‘(ℤ/nℤ‘𝑃)) = (eval1‘(ℤ/nℤ‘𝑃))
6		eqid 2736	. 2 ⊢ (.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑃)))) = (.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑃))))
7		eqid 2736	. 2 ⊢ (var1‘(ℤ/nℤ‘𝑃)) = (var1‘(ℤ/nℤ‘𝑃))
8		eqid 2736	. 2 ⊢ (-g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑃))) = (-g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑃)))
9		eqid 2736	. 2 ⊢ (1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑃))) = (1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑃)))
10		eqid 2736	. 2 ⊢ ((((𝑃 − 1) / 2)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑃))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑃)))(-g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑃)))(1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑃)))) = ((((𝑃 − 1) / 2)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑃))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑃)))(-g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑃)))(1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑃))))
11		eqid 2736	. 2 ⊢ (ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑃)) = (ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑃))
12		simp2 1137	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
13		eqid 2736	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ ((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑃))‘(𝑦↑2))) = (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ ((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑃))‘(𝑦↑2)))
14		simp1 1136	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) → 𝐴 ∈ ℤ)
15		simp3 1138	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) → (𝐴 /L 𝑃) = 1)
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15	lgsqrlem4 27316	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3060   ∖ cdif 3898  {csn 4580   class class class wbr 5098   ↦ cmpt 5179  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  1c1 11027   − cmin 11364   / cdiv 11794  2c2 12200  ℤcz 12488  ...cfz 13423  ↑cexp 13984   ∥ cdvds 16179  ℙcprime 16598  Basecbs 17136  -_gcsg 18865  ._gcmg 18997  mulGrpcmgp 20075  1_rcur 20116  ℤRHomczrh 21454  ℤ/nℤczn 21457  var₁cv1 22116  Poly₁cpl1 22117  eval₁ce1 22258  deg₁cdg1 26015   /_L clgs 27261

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104  ax-addf 11105  ax-mulf 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-ofr 7623  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-tpos 8168  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-oadd 8401  df-er 8635  df-ec 8637  df-qs 8641  df-map 8765  df-pm 8766  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-dju 9813  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-xnn0 12475  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-q 12862  df-rp 12906  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-fl 13712  df-mod 13790  df-seq 13925  df-exp 13985  df-hash 14254  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-dvds 16180  df-gcd 16422  df-prm 16599  df-phi 16693  df-pc 16765  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-starv 17192  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-ip 17195  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-unif 17200  df-hom 17201  df-cco 17202  df-0g 17361  df-gsum 17362  df-prds 17367  df-pws 17369  df-imas 17429  df-qus 17430  df-mre 17505  df-mrc 17506  df-acs 17508  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18708  df-submnd 18709  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18998  df-subg 19053  df-nsg 19054  df-eqg 19055  df-ghm 19142  df-cntz 19246  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-rng 20088  df-ur 20117  df-srg 20122  df-ring 20170  df-cring 20171  df-oppr 20273  df-dvdsr 20293  df-unit 20294  df-invr 20324  df-dvr 20337  df-rhm 20408  df-nzr 20446  df-subrng 20479  df-subrg 20503  df-rlreg 20627  df-domn 20628  df-idom 20629  df-drng 20664  df-field 20665  df-lmod 20813  df-lss 20883  df-lsp 20923  df-sra 21125  df-rgmod 21126  df-lidl 21163  df-rsp 21164  df-2idl 21205  df-cnfld 21310  df-zring 21402  df-zrh 21458  df-zn 21461  df-assa 21808  df-asp 21809  df-ascl 21810  df-psr 21865  df-mvr 21866  df-mpl 21867  df-opsr 21869  df-evls 22029  df-evl 22030  df-psr1 22120  df-vr1 22121  df-ply1 22122  df-coe1 22123  df-evl1 22260  df-mdeg 26016  df-deg1 26017  df-mon1 26092  df-uc1p 26093  df-q1p 26094  df-r1p 26095  df-lgs 27262

This theorem is referenced by:  lgsqr  27318