Theorem lgsqrlem5 27545

Description: Lemma for lgsqr 27546. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsqrlem5	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑃

Proof of Theorem lgsqrlem5

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2765	. 2 ⊢ (ℤ/nℤ‘𝑃) = (ℤ/nℤ‘𝑃)
2		eqid 2765	. 2 ⊢ (Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑃)) = (Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑃))
3		eqid 2765	. 2 ⊢ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑃))) = (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑃)))
4		eqid 2765	. 2 ⊢ (deg1‘(ℤ/nℤ‘𝑃)) = (deg1‘(ℤ/nℤ‘𝑃))
5		eqid 2765	. 2 ⊢ (eval1‘(ℤ/nℤ‘𝑃)) = (eval1‘(ℤ/nℤ‘𝑃))
6		eqid 2765	. 2 ⊢ (.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑃)))) = (.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑃))))
7		eqid 2765	. 2 ⊢ (var1‘(ℤ/nℤ‘𝑃)) = (var1‘(ℤ/nℤ‘𝑃))
8		eqid 2765	. 2 ⊢ (-g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑃))) = (-g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑃)))
9		eqid 2765	. 2 ⊢ (1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑃))) = (1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑃)))
10		eqid 2765	. 2 ⊢ ((((𝑃 − 1) / 2)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑃))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑃)))(-g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑃)))(1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑃)))) = ((((𝑃 − 1) / 2)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑃))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑃)))(-g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑃)))(1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑃))))
11		eqid 2765	. 2 ⊢ (ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑃)) = (ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑃))
12		simp2 1155	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
13		eqid 2765	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ ((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑃))‘(𝑦↑2))) = (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ ((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑃))‘(𝑦↑2)))
14		simp1 1154	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) → 𝐴 ∈ ℤ)
15		simp3 1156	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) → (𝐴 /L 𝑃) = 1)
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15	lgsqrlem4 27544	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∃wrex 3091   ∖ cdif 3903  {csn 4591   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  1c1 11112   − cmin 11452   / cdiv 11882  2c2 12306  ℤcz 12602  ...cfz 13547  ↑cexp 14111   ∥ cdvds 16328  ℙcprime 16747  Basecbs 17287  -_gcsg 19026  ._gcmg 19157  mulGrpcmgp 20240  1_rcur 20287  ℤRHomczrh 21679  ℤ/nℤczn 21682  var₁cv1 22366  Poly₁cpl1 22367  eval₁ce1 22504  deg₁cdg1 26242   /_L clgs 27489

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189  ax-addf 11190  ax-mulf 11191

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7680  df-ofr 7681  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8159  df-tpos 8224  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-oadd 8459  df-er 8696  df-ec 8698  df-qs 8702  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9325  df-sup 9405  df-inf 9406  df-oi 9475  df-dju 9899  df-card 9937  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-7 12319  df-8 12320  df-9 12321  df-n0 12516  df-xnn0 12589  df-z 12603  df-dec 12724  df-uz 12875  df-q 12985  df-rp 13029  df-fz 13548  df-fzo 13696  df-fl 13839  df-mod 13917  df-seq 14052  df-exp 14112  df-hash 14381  df-cj 15170  df-re 15171  df-im 15172  df-sqrt 15306  df-abs 15307  df-dvds 16329  df-gcd 16571  df-prm 16748  df-phi 16843  df-pc 16915  df-struct 17225  df-sets 17242  df-slot 17260  df-ndx 17272  df-base 17288  df-ress 17309  df-plusg 17341  df-mulr 17342  df-starv 17343  df-sca 17344  df-vsca 17345  df-ip 17346  df-tset 17347  df-ple 17348  df-ds 17350  df-unif 17351  df-hom 17352  df-cco 17353  df-0g 17512  df-gsum 17513  df-prds 17518  df-pws 17520  df-imas 17580  df-qus 17581  df-mre 17656  df-mrc 17657  df-acs 17659  df-mgm 18716  df-sgrp 18799  df-mnd 18815  df-mhm 18865  df-submnd 18866  df-grp 19027  df-minusg 19028  df-sbg 19029  df-mulg 19158  df-subg 19213  df-nsg 19214  df-eqg 19215  df-ghm 19308  df-cntz 19411  df-cmn 19876  df-abl 19877  df-mgp 20241  df-rng 20255  df-ur 20288  df-srg 20293  df-ring 20341  df-cring 20342  df-oppr 20445  df-dvdsr 20465  df-unit 20466  df-invr 20496  df-dvr 20509  df-rhm 20580  df-nzr 20640  df-subrng 20675  df-subrg 20699  df-rlreg 20823  df-domn 20824  df-idom 20825  df-drng 20859  df-field 20860  df-lmod 21013  df-lss 21083  df-lsp 21123  df-sra 21324  df-rgmod 21325  df-lidl 21362  df-rsp 21363  df-2idl 21419  df-cnfld 21553  df-zring 21627  df-zrh 21683  df-zn 21686  df-assa 22033  df-asp 22034  df-ascl 22035  df-psr 22089  df-mvr 22090  df-mpl 22091  df-opsr 22093  df-evls 22255  df-evl 22256  df-psr1 22370  df-vr1 22371  df-ply1 22372  df-coe1 22373  df-evl1 22506  df-mdeg 26243  df-deg1 26244  df-mon1 26319  df-uc1p 26320  df-q1p 26321  df-r1p 26322  df-lgs 27490

This theorem is used by:  lgsqr  27546