Theorem lgsqrlem5 27242

Description: Lemma for lgsqr 27243. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsqrlem5	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑃

Proof of Theorem lgsqrlem5

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. 2 ⊢ (ℤ/nℤ‘𝑃) = (ℤ/nℤ‘𝑃)
2		eqid 2729	. 2 ⊢ (Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑃)) = (Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑃))
3		eqid 2729	. 2 ⊢ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑃))) = (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑃)))
4		eqid 2729	. 2 ⊢ (deg1‘(ℤ/nℤ‘𝑃)) = (deg1‘(ℤ/nℤ‘𝑃))
5		eqid 2729	. 2 ⊢ (eval1‘(ℤ/nℤ‘𝑃)) = (eval1‘(ℤ/nℤ‘𝑃))
6		eqid 2729	. 2 ⊢ (.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑃)))) = (.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑃))))
7		eqid 2729	. 2 ⊢ (var1‘(ℤ/nℤ‘𝑃)) = (var1‘(ℤ/nℤ‘𝑃))
8		eqid 2729	. 2 ⊢ (-g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑃))) = (-g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑃)))
9		eqid 2729	. 2 ⊢ (1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑃))) = (1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑃)))
10		eqid 2729	. 2 ⊢ ((((𝑃 − 1) / 2)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑃))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑃)))(-g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑃)))(1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑃)))) = ((((𝑃 − 1) / 2)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑃))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑃)))(-g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑃)))(1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑃))))
11		eqid 2729	. 2 ⊢ (ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑃)) = (ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑃))
12		simp2 1137	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
13		eqid 2729	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ ((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑃))‘(𝑦↑2))) = (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ ((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑃))‘(𝑦↑2)))
14		simp1 1136	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) → 𝐴 ∈ ℤ)
15		simp3 1138	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) → (𝐴 /L 𝑃) = 1)
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15	lgsqrlem4 27241	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053   ∖ cdif 3896  {csn 4573   class class class wbr 5088   ↦ cmpt 5169  ‘cfv 6476  (class class class)co 7340  1c1 10998   − cmin 11335   / cdiv 11765  2c2 12171  ℤcz 12459  ...cfz 13398  ↑cexp 13956   ∥ cdvds 16150  ℙcprime 16569  Basecbs 17107  -_gcsg 18801  ._gcmg 18933  mulGrpcmgp 20012  1_rcur 20053  ℤRHomczrh 21390  ℤ/nℤczn 21393  var₁cv1 22042  Poly₁cpl1 22043  eval₁ce1 22183  deg₁cdg1 25940   /_L clgs 27186

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5214  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5367  ax-un 7662  ax-cnex 11053  ax-resscn 11054  ax-1cn 11055  ax-icn 11056  ax-addcl 11057  ax-addrcl 11058  ax-mulcl 11059  ax-mulrcl 11060  ax-mulcom 11061  ax-addass 11062  ax-mulass 11063  ax-distr 11064  ax-i2m1 11065  ax-1ne0 11066  ax-1rid 11067  ax-rnegex 11068  ax-rrecex 11069  ax-cnre 11070  ax-pre-lttri 11071  ax-pre-lttrn 11072  ax-pre-ltadd 11073  ax-pre-mulgt0 11074  ax-pre-sup 11075  ax-addf 11076  ax-mulf 11077

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3393  df-v 3435  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4895  df-iun 4940  df-iin 4941  df-br 5089  df-opab 5151  df-mpt 5170  df-tr 5196  df-id 5508  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5566  df-se 5567  df-we 5568  df-xp 5619  df-rel 5620  df-cnv 5621  df-co 5622  df-dm 5623  df-rn 5624  df-res 5625  df-ima 5626  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-isom 6485  df-riota 7297  df-ov 7343  df-oprab 7344  df-mpo 7345  df-of 7604  df-ofr 7605  df-om 7791  df-1st 7915  df-2nd 7916  df-supp 8085  df-tpos 8150  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8285  df-rdg 8323  df-1o 8379  df-2o 8380  df-oadd 8383  df-er 8616  df-ec 8618  df-qs 8622  df-map 8746  df-pm 8747  df-ixp 8816  df-en 8864  df-dom 8865  df-sdom 8866  df-fin 8867  df-fsupp 9240  df-sup 9320  df-inf 9321  df-oi 9390  df-dju 9785  df-card 9823  df-pnf 11139  df-mnf 11140  df-xr 11141  df-ltxr 11142  df-le 11143  df-sub 11337  df-neg 11338  df-div 11766  df-nn 12117  df-2 12179  df-3 12180  df-4 12181  df-5 12182  df-6 12183  df-7 12184  df-8 12185  df-9 12186  df-n0 12373  df-xnn0 12446  df-z 12460  df-dec 12580  df-uz 12724  df-q 12838  df-rp 12882  df-fz 13399  df-fzo 13546  df-fl 13684  df-mod 13762  df-seq 13897  df-exp 13957  df-hash 14226  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-dvds 16151  df-gcd 16393  df-prm 16570  df-phi 16664  df-pc 16736  df-struct 17045  df-sets 17062  df-slot 17080  df-ndx 17092  df-base 17108  df-ress 17129  df-plusg 17161  df-mulr 17162  df-starv 17163  df-sca 17164  df-vsca 17165  df-ip 17166  df-tset 17167  df-ple 17168  df-ds 17170  df-unif 17171  df-hom 17172  df-cco 17173  df-0g 17332  df-gsum 17333  df-prds 17338  df-pws 17340  df-imas 17399  df-qus 17400  df-mre 17475  df-mrc 17476  df-acs 17478  df-mgm 18501  df-sgrp 18580  df-mnd 18596  df-mhm 18644  df-submnd 18645  df-grp 18802  df-minusg 18803  df-sbg 18804  df-mulg 18934  df-subg 18989  df-nsg 18990  df-eqg 18991  df-ghm 19079  df-cntz 19183  df-cmn 19648  df-abl 19649  df-mgp 20013  df-rng 20025  df-ur 20054  df-srg 20059  df-ring 20107  df-cring 20108  df-oppr 20209  df-dvdsr 20229  df-unit 20230  df-invr 20260  df-dvr 20273  df-rhm 20344  df-nzr 20382  df-subrng 20415  df-subrg 20439  df-rlreg 20563  df-domn 20564  df-idom 20565  df-drng 20600  df-field 20601  df-lmod 20749  df-lss 20819  df-lsp 20859  df-sra 21061  df-rgmod 21062  df-lidl 21099  df-rsp 21100  df-2idl 21141  df-cnfld 21246  df-zring 21338  df-zrh 21394  df-zn 21397  df-assa 21744  df-asp 21745  df-ascl 21746  df-psr 21800  df-mvr 21801  df-mpl 21802  df-opsr 21804  df-evls 21963  df-evl 21964  df-psr1 22046  df-vr1 22047  df-ply1 22048  df-coe1 22049  df-evl1 22185  df-mdeg 25941  df-deg1 25942  df-mon1 26017  df-uc1p 26018  df-q1p 26019  df-r1p 26020  df-lgs 27187

This theorem is referenced by:  lgsqr  27243