Theorem lgsqrlem5 27670

Description: Lemma for lgsqr 27671. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsqrlem5	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑃

Proof of Theorem lgsqrlem5

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. 2 ⊢ (ℤ/nℤ‘𝑃) = (ℤ/nℤ‘𝑃)
2		eqid 2761	. 2 ⊢ (Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑃)) = (Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑃))
3		eqid 2761	. 2 ⊢ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑃))) = (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑃)))
4		eqid 2761	. 2 ⊢ (deg1‘(ℤ/nℤ‘𝑃)) = (deg1‘(ℤ/nℤ‘𝑃))
5		eqid 2761	. 2 ⊢ (eval1‘(ℤ/nℤ‘𝑃)) = (eval1‘(ℤ/nℤ‘𝑃))
6		eqid 2761	. 2 ⊢ (.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑃)))) = (.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑃))))
7		eqid 2761	. 2 ⊢ (var1‘(ℤ/nℤ‘𝑃)) = (var1‘(ℤ/nℤ‘𝑃))
8		eqid 2761	. 2 ⊢ (-g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑃))) = (-g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑃)))
9		eqid 2761	. 2 ⊢ (1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑃))) = (1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑃)))
10		eqid 2761	. 2 ⊢ ((((𝑃 − 1) / 2)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑃))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑃)))(-g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑃)))(1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑃)))) = ((((𝑃 − 1) / 2)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑃))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑃)))(-g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑃)))(1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑃))))
11		eqid 2761	. 2 ⊢ (ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑃)) = (ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑃))
12		simp2 1155	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
13		eqid 2761	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ ((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑃))‘(𝑦↑2))) = (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ ((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑃))‘(𝑦↑2)))
14		simp1 1154	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) → 𝐴 ∈ ℤ)
15		simp3 1156	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) → (𝐴 /L 𝑃) = 1)
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15	lgsqrlem4 27669	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3087   ∖ cdif 3896  {csn 4584   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  1c1 11194   − cmin 11534   / cdiv 11966  2c2 12390  ℤcz 12686  ...cfz 13632  ↑cexp 14197   ∥ cdvds 16415  ℙcprime 16839  Basecbs 17380  -_gcsg 19139  ._gcmg 19270  mulGrpcmgp 20353  1_rcur 20400  ℤRHomczrh 21798  ℤ/nℤczn 21801  var₁cv1 22487  Poly₁cpl1 22488  eval₁ce1 22625  deg₁cdg1 26365   /_L clgs 27614

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-pre-sup 11271  ax-addf 11272  ax-mulf 11273

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-of 7691  df-ofr 7692  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8171  df-tpos 8236  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-2o 8470  df-oadd 8473  df-er 8710  df-ec 8712  df-qs 8716  df-map 8842  df-pm 8843  df-ixp 8919  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-fsupp 9347  df-sup 9427  df-inf 9428  df-oi 9497  df-dju 9975  df-card 10013  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-9 12405  df-n0 12600  df-xnn0 12673  df-z 12687  df-dec 12808  df-uz 12959  df-q 13069  df-rp 13114  df-fz 13633  df-fzo 13782  df-fl 13925  df-mod 14003  df-seq 14138  df-exp 14198  df-hash 14468  df-cj 15259  df-re 15260  df-im 15261  df-sqrt 15395  df-abs 15396  df-dvds 16416  df-gcd 16658  df-prm 16840  df-phi 16936  df-pc 17008  df-struct 17318  df-sets 17335  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-ress 17402  df-plusg 17434  df-mulr 17435  df-starv 17436  df-sca 17437  df-vsca 17438  df-ip 17439  df-tset 17440  df-ple 17441  df-ds 17443  df-unif 17444  df-hom 17445  df-cco 17446  df-0g 17605  df-gsum 17606  df-prds 17611  df-pws 17613  df-imas 17673  df-qus 17674  df-mre 17749  df-mrc 17750  df-acs 17752  df-mgm 18809  df-sgrp 18901  df-mnd 18917  df-mhm 18971  df-submnd 18972  df-grp 19140  df-minusg 19141  df-sbg 19142  df-mulg 19271  df-subg 19326  df-nsg 19327  df-eqg 19328  df-ghm 19421  df-cntz 19524  df-cmn 19989  df-abl 19990  df-mgp 20354  df-rng 20368  df-ur 20401  df-srg 20406  df-ring 20454  df-cring 20455  df-oppr 20560  df-dvdsr 20580  df-unit 20581  df-invr 20611  df-dvr 20624  df-rhm 20695  df-nzr 20756  df-subrng 20791  df-subrg 20815  df-rlreg 20939  df-domn 20940  df-idom 20941  df-drng 20975  df-field 20976  df-lmod 21130  df-lss 21200  df-lsp 21240  df-sra 21441  df-rgmod 21442  df-lidl 21479  df-rsp 21480  df-2idl 21536  df-cnfld 21672  df-zring 21746  df-zrh 21802  df-zn 21805  df-assa 22154  df-asp 22155  df-ascl 22156  df-psr 22210  df-mvr 22211  df-mpl 22212  df-opsr 22214  df-evls 22376  df-evl 22377  df-psr1 22491  df-vr1 22492  df-ply1 22493  df-coe1 22494  df-evl1 22627  df-mdeg 26366  df-deg1 26367  df-mon1 26442  df-uc1p 26443  df-q1p 26444  df-r1p 26445  df-lgs 27615

This theorem is used by:  lgsqr  27671