Theorem resuppsinopn 42338

Description: The support of sin (df-supp 8169) restricted to the reals is an open set. (Contributed by SN, 7-Oct-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
readvcot.d	⊢ 𝐷 = {𝑦 ∈ ℝ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0}

Assertion

Ref	Expression
resuppsinopn	⊢ 𝐷 ∈ (topGen‘ran (,))

Proof of Theorem resuppsinopn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sincn 26443	. . . . 5 ⊢ sin ∈ (ℂ–cn→ℂ)
2		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
3	2	cncfcn1 24892	. . . . 5 ⊢ (ℂ–cn→ℂ) = ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld))
4	1, 3	eleqtri 2831	. . . 4 ⊢ sin ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld))
5		ax-resscn 11195	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
6		unicntop 24761	. . . . 5 ⊢ ℂ = ∪ (TopOpen‘ℂfld)
7	6	cnrest 23258	. . . 4 ⊢ ((sin ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (sin ↾ ℝ) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
8	4, 5, 7	mp2an 692	. . 3 ⊢ (sin ↾ ℝ) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) Cn (TopOpen‘ℂfld))
9		cnn0opn 24763	. . 3 ⊢ (ℂ ∖ {0}) ∈ (TopOpen‘ℂfld)
10		cnima 23238	. . 3 ⊢ (((sin ↾ ℝ) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ∧ (ℂ ∖ {0}) ∈ (TopOpen‘ℂfld)) → (◡(sin ↾ ℝ) “ (ℂ ∖ {0})) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
11	8, 9, 10	mp2an 692	. 2 ⊢ (◡(sin ↾ ℝ) “ (ℂ ∖ {0})) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
12		resincl 16159	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (sin‘𝑦) ∈ ℝ)
13	12	recnd 11272	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (sin‘𝑦) ∈ ℂ)
14	13	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (sin‘𝑦) ≠ 0) → (sin‘𝑦) ∈ ℂ)
15		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (sin‘𝑦) ≠ 0) → (sin‘𝑦) ≠ 0)
16	14, 15	eldifsnd 4769	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (sin‘𝑦) ≠ 0) → (sin‘𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0}))
17		eldifsni 4772	. . . . . 6 ⊢ ((sin‘𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0}) → (sin‘𝑦) ≠ 0)
18	17	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (sin‘𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0})) → (sin‘𝑦) ≠ 0)
19	16, 18	impbida 800	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ((sin‘𝑦) ≠ 0 ↔ (sin‘𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0})))
20	19	rabbiia 3424	. . 3 ⊢ {𝑦 ∈ ℝ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} = {𝑦 ∈ ℝ ∣ (sin‘𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0})}
21		readvcot.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {𝑦 ∈ ℝ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0}
22		sinf 16143	. . . . . . 7 ⊢ sin:ℂ⟶ℂ
23	22	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → sin:ℂ⟶ℂ)
24	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ℝ ⊆ ℂ)
25	23, 24	feqresmpt 6959	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (sin ↾ ℝ) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘𝑦)))
26	25	mptru 1546	. . . 4 ⊢ (sin ↾ ℝ) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘𝑦))
27	26	mptpreima 6240	. . 3 ⊢ (◡(sin ↾ ℝ) “ (ℂ ∖ {0})) = {𝑦 ∈ ℝ ∣ (sin‘𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0})}
28	20, 21, 27	3eqtr4i 2767	. 2 ⊢ 𝐷 = (◡(sin ↾ ℝ) “ (ℂ ∖ {0}))
29		tgioo4 24781	. 2 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
30	11, 28, 29	3eltr4i 2846	1 ⊢ 𝐷 ∈ (topGen‘ran (,))

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1539  ⊤wtru 1540   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2931  {crab 3420   ∖ cdif 3930   ⊆ wss 3933  {csn 4608   ↦ cmpt 5207  ^◡ccnv 5666  ran crn 5668   ↾ cres 5669   “ cima 5670  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  ℂcc 11136  ℝcr 11137  0cc0 11138  (,)cioo 13370  sincsin 16082   ↾_t crest 17441  TopOpenctopn 17442  topGenctg 17458  ℂ_fldccnfld 21331   Cn ccn 23197  –cn→ccncf 24857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5261  ax-sep 5278  ax-nul 5288  ax-pow 5347  ax-pr 5414  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-addf 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3773  df-csb 3882  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3950  df-pss 3953  df-nul 4316  df-if 4508  df-pw 4584  df-sn 4609  df-pr 4611  df-tp 4613  df-op 4615  df-uni 4890  df-int 4929  df-iun 4975  df-iin 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5208  df-tr 5242  df-id 5560  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6303  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7680  df-om 7871  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-supp 8169  df-frecs 8289  df-wrecs 8320  df-recs 8394  df-rdg 8433  df-1o 8489  df-2o 8490  df-er 8728  df-map 8851  df-pm 8852  df-ixp 8921  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-fsupp 9385  df-fi 9434  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11904  df-nn 12250  df-2 12312  df-3 12313  df-4 12314  df-5 12315  df-6 12316  df-7 12317  df-8 12318  df-9 12319  df-n0 12511  df-z 12598  df-dec 12718  df-uz 12862  df-q 12974  df-rp 13018  df-xneg 13137  df-xadd 13138  df-xmul 13139  df-ioo 13374  df-ico 13376  df-icc 13377  df-fz 13531  df-fzo 13678  df-fl 13815  df-seq 14026  df-exp 14086  df-fac 14296  df-bc 14325  df-hash 14353  df-shft 15089  df-cj 15121  df-re 15122  df-im 15123  df-sqrt 15257  df-abs 15258  df-limsup 15490  df-clim 15507  df-rlim 15508  df-sum 15706  df-ef 16086  df-sin 16088  df-struct 17167  df-sets 17184  df-slot 17202  df-ndx 17214  df-base 17231  df-ress 17257  df-plusg 17290  df-mulr 17291  df-starv 17292  df-sca 17293  df-vsca 17294  df-ip 17295  df-tset 17296  df-ple 17297  df-ds 17299  df-unif 17300  df-hom 17301  df-cco 17302  df-rest 17443  df-topn 17444  df-0g 17462  df-gsum 17463  df-topgen 17464  df-pt 17465  df-prds 17468  df-xrs 17523  df-qtop 17528  df-imas 17529  df-xps 17531  df-mre 17605  df-mrc 17606  df-acs 17608  df-mgm 18627  df-sgrp 18706  df-mnd 18722  df-submnd 18771  df-mulg 19060  df-cntz 19309  df-cmn 19773  df-psmet 21323  df-xmet 21324  df-met 21325  df-bl 21326  df-mopn 21327  df-fbas 21328  df-fg 21329  df-cnfld 21332  df-top 22867  df-topon 22884  df-topsp 22906  df-bases 22919  df-cld 22992  df-ntr 22993  df-cls 22994  df-nei 23071  df-lp 23109  df-perf 23110  df-cn 23200  df-cnp 23201  df-t1 23287  df-haus 23288  df-tx 23535  df-hmeo 23728  df-fil 23819  df-fm 23911  df-flim 23912  df-flf 23913  df-xms 24294  df-ms 24295  df-tms 24296  df-cncf 24859  df-limc 25856  df-dv 25857

This theorem is referenced by:  readvcot  42339