Theorem resuppsinopn 42343

Description: The support of sin (df-supp 8149) restricted to the reals is an open set. (Contributed by SN, 7-Oct-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
readvcot.d	⊢ 𝐷 = {𝑦 ∈ ℝ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0}

Assertion

Ref	Expression
resuppsinopn	⊢ 𝐷 ∈ (topGen‘ran (,))

Proof of Theorem resuppsinopn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sincn 26361	. . . . 5 ⊢ sin ∈ (ℂ–cn→ℂ)
2		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
3	2	cncfcn1 24810	. . . . 5 ⊢ (ℂ–cn→ℂ) = ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld))
4	1, 3	eleqtri 2827	. . . 4 ⊢ sin ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld))
5		ax-resscn 11143	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
6		unicntop 24679	. . . . 5 ⊢ ℂ = ∪ (TopOpen‘ℂfld)
7	6	cnrest 23178	. . . 4 ⊢ ((sin ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (sin ↾ ℝ) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
8	4, 5, 7	mp2an 692	. . 3 ⊢ (sin ↾ ℝ) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) Cn (TopOpen‘ℂfld))
9		cnn0opn 24681	. . 3 ⊢ (ℂ ∖ {0}) ∈ (TopOpen‘ℂfld)
10		cnima 23158	. . 3 ⊢ (((sin ↾ ℝ) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ∧ (ℂ ∖ {0}) ∈ (TopOpen‘ℂfld)) → (◡(sin ↾ ℝ) “ (ℂ ∖ {0})) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
11	8, 9, 10	mp2an 692	. 2 ⊢ (◡(sin ↾ ℝ) “ (ℂ ∖ {0})) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
12		resincl 16115	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (sin‘𝑦) ∈ ℝ)
13	12	recnd 11220	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (sin‘𝑦) ∈ ℂ)
14	13	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (sin‘𝑦) ≠ 0) → (sin‘𝑦) ∈ ℂ)
15		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (sin‘𝑦) ≠ 0) → (sin‘𝑦) ≠ 0)
16	14, 15	eldifsnd 4759	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (sin‘𝑦) ≠ 0) → (sin‘𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0}))
17		eldifsni 4762	. . . . . 6 ⊢ ((sin‘𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0}) → (sin‘𝑦) ≠ 0)
18	17	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (sin‘𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0})) → (sin‘𝑦) ≠ 0)
19	16, 18	impbida 800	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ((sin‘𝑦) ≠ 0 ↔ (sin‘𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0})))
20	19	rabbiia 3415	. . 3 ⊢ {𝑦 ∈ ℝ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} = {𝑦 ∈ ℝ ∣ (sin‘𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0})}
21		readvcot.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {𝑦 ∈ ℝ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0}
22		sinf 16099	. . . . . . 7 ⊢ sin:ℂ⟶ℂ
23	22	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → sin:ℂ⟶ℂ)
24	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ℝ ⊆ ℂ)
25	23, 24	feqresmpt 6937	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (sin ↾ ℝ) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘𝑦)))
26	25	mptru 1547	. . . 4 ⊢ (sin ↾ ℝ) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘𝑦))
27	26	mptpreima 6219	. . 3 ⊢ (◡(sin ↾ ℝ) “ (ℂ ∖ {0})) = {𝑦 ∈ ℝ ∣ (sin‘𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0})}
28	20, 21, 27	3eqtr4i 2763	. 2 ⊢ 𝐷 = (◡(sin ↾ ℝ) “ (ℂ ∖ {0}))
29		tgioo4 24699	. 2 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
30	11, 28, 29	3eltr4i 2842	1 ⊢ 𝐷 ∈ (topGen‘ran (,))

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1540  ⊤wtru 1541   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2927  {crab 3411   ∖ cdif 3919   ⊆ wss 3922  {csn 4597   ↦ cmpt 5196  ^◡ccnv 5645  ran crn 5647   ↾ cres 5648   “ cima 5649  ⟶wf 6515  ‘cfv 6519  (class class class)co 7394  ℂcc 11084  ℝcr 11085  0cc0 11086  (,)cioo 13319  sincsin 16036   ↾_t crest 17389  TopOpenctopn 17390  topGenctg 17406  ℂ_fldccnfld 21270   Cn ccn 23117  –cn→ccncf 24775

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5242  ax-sep 5259  ax-nul 5269  ax-pow 5328  ax-pr 5395  ax-un 7718  ax-inf2 9612  ax-cnex 11142  ax-resscn 11143  ax-1cn 11144  ax-icn 11145  ax-addcl 11146  ax-addrcl 11147  ax-mulcl 11148  ax-mulrcl 11149  ax-mulcom 11150  ax-addass 11151  ax-mulass 11152  ax-distr 11153  ax-i2m1 11154  ax-1ne0 11155  ax-1rid 11156  ax-rnegex 11157  ax-rrecex 11158  ax-cnre 11159  ax-pre-lttri 11160  ax-pre-lttrn 11161  ax-pre-ltadd 11162  ax-pre-mulgt0 11163  ax-pre-sup 11164  ax-addf 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2880  df-ne 2928  df-nel 3032  df-ral 3047  df-rex 3056  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3412  df-v 3457  df-sbc 3762  df-csb 3871  df-dif 3925  df-un 3927  df-in 3929  df-ss 3939  df-pss 3942  df-nul 4305  df-if 4497  df-pw 4573  df-sn 4598  df-pr 4600  df-tp 4602  df-op 4604  df-uni 4880  df-int 4919  df-iun 4965  df-iin 4966  df-br 5116  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5541  df-eprel 5546  df-po 5554  df-so 5555  df-fr 5599  df-se 5600  df-we 5601  df-xp 5652  df-rel 5653  df-cnv 5654  df-co 5655  df-dm 5656  df-rn 5657  df-res 5658  df-ima 5659  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6472  df-fun 6521  df-fn 6522  df-f 6523  df-f1 6524  df-fo 6525  df-f1o 6526  df-fv 6527  df-isom 6528  df-riota 7351  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-of 7660  df-om 7851  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8349  df-rdg 8387  df-1o 8443  df-2o 8444  df-er 8682  df-map 8805  df-pm 8806  df-ixp 8875  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-fsupp 9331  df-fi 9380  df-sup 9411  df-inf 9412  df-oi 9481  df-card 9910  df-pnf 11228  df-mnf 11229  df-xr 11230  df-ltxr 11231  df-le 11232  df-sub 11425  df-neg 11426  df-div 11852  df-nn 12198  df-2 12260  df-3 12261  df-4 12262  df-5 12263  df-6 12264  df-7 12265  df-8 12266  df-9 12267  df-n0 12459  df-z 12546  df-dec 12666  df-uz 12810  df-q 12922  df-rp 12966  df-xneg 13085  df-xadd 13086  df-xmul 13087  df-ioo 13323  df-ico 13325  df-icc 13326  df-fz 13482  df-fzo 13629  df-fl 13766  df-seq 13977  df-exp 14037  df-fac 14249  df-bc 14278  df-hash 14306  df-shft 15043  df-cj 15075  df-re 15076  df-im 15077  df-sqrt 15211  df-abs 15212  df-limsup 15444  df-clim 15461  df-rlim 15462  df-sum 15660  df-ef 16040  df-sin 16042  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17186  df-ress 17207  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-starv 17241  df-sca 17242  df-vsca 17243  df-ip 17244  df-tset 17245  df-ple 17246  df-ds 17248  df-unif 17249  df-hom 17250  df-cco 17251  df-rest 17391  df-topn 17392  df-0g 17410  df-gsum 17411  df-topgen 17412  df-pt 17413  df-prds 17416  df-xrs 17471  df-qtop 17476  df-imas 17477  df-xps 17479  df-mre 17553  df-mrc 17554  df-acs 17556  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18717  df-mulg 19006  df-cntz 19255  df-cmn 19718  df-psmet 21262  df-xmet 21263  df-met 21264  df-bl 21265  df-mopn 21266  df-fbas 21267  df-fg 21268  df-cnfld 21271  df-top 22787  df-topon 22804  df-topsp 22826  df-bases 22839  df-cld 22912  df-ntr 22913  df-cls 22914  df-nei 22991  df-lp 23029  df-perf 23030  df-cn 23120  df-cnp 23121  df-t1 23207  df-haus 23208  df-tx 23455  df-hmeo 23648  df-fil 23739  df-fm 23831  df-flim 23832  df-flf 23833  df-xms 24214  df-ms 24215  df-tms 24216  df-cncf 24777  df-limc 25774  df-dv 25775

This theorem is referenced by:  readvcot  42344