Theorem readvcot 43103

Description: Real antiderivative of cotangent. (Contributed by SN, 7-Oct-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
readvcot.d	⊢ 𝐷 = {𝑦 ∈ ℝ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0}

Assertion

Ref	Expression
readvcot	⊢ (ℝ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (log‘(abs‘(sin‘𝑥))))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((cos‘𝑥) / (sin‘𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐷   𝑥,𝑦

Allowed substitution hint:   𝐷(𝑦)

Proof of Theorem readvcot

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reelprrecn 11193	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
3		fveq2 6883	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (sin‘𝑦) = (sin‘𝑥))
4	3	neeq1d 3017	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((sin‘𝑦) ≠ 0 ↔ (sin‘𝑥) ≠ 0))
5		readvcot.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = {𝑦 ∈ ℝ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0}
6	4, 5	elrab2 3655	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (sin‘𝑥) ≠ 0))
7		resincl 16197	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (sin‘𝑥) ∈ ℝ)
8	7	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (sin‘𝑥) ≠ 0) → (sin‘𝑥) ∈ ℝ)
9		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (sin‘𝑥) ≠ 0) → (sin‘𝑥) ≠ 0)
10	8, 9	eldifsnd 4756	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (sin‘𝑥) ≠ 0) → (sin‘𝑥) ∈ (ℝ ∖ {0}))
11	6, 10	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (sin‘𝑥) ∈ (ℝ ∖ {0}))
12	11	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (sin‘𝑥) ∈ (ℝ ∖ {0}))
13		fvexd 6898	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (cos‘𝑥) ∈ V)
14		eldifi 4086	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (ℝ ∖ {0}) → 𝑧 ∈ ℝ)
15	14	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑧 ∈ (ℝ ∖ {0})) → 𝑧 ∈ ℝ)
16	15	recnd 11238	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑧 ∈ (ℝ ∖ {0})) → 𝑧 ∈ ℂ)
17	16	abscld 15492	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑧 ∈ (ℝ ∖ {0})) → (abs‘𝑧) ∈ ℝ)
18	17	recnd 11238	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑧 ∈ (ℝ ∖ {0})) → (abs‘𝑧) ∈ ℂ)
19		eldifsni 4759	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ (ℝ ∖ {0}) → 𝑧 ≠ 0)
20	19	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑧 ∈ (ℝ ∖ {0})) → 𝑧 ≠ 0)
21	16, 20	absne0d 15503	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑧 ∈ (ℝ ∖ {0})) → (abs‘𝑧) ≠ 0)
22	18, 21	logcld 26713	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑧 ∈ (ℝ ∖ {0})) → (log‘(abs‘𝑧)) ∈ ℂ)
23		ovexd 7447	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑧 ∈ (ℝ ∖ {0})) → (1 / 𝑧) ∈ V)
24	7	recnd 11238	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
25	24	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
26		fvexd 6898	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (cos‘𝑥) ∈ V)
27		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
28		cnopn 24924	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ∈ (TopOpen‘ℂfld)
29	28	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ℂ ∈ (TopOpen‘ℂfld))
30		ax-resscn 11158	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
31		dfss2 3924	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ ↔ (ℝ ∩ ℂ) = ℝ)
32	30, 31	mpbi 233	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ ∩ ℂ) = ℝ
33	32	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (ℝ ∩ ℂ) = ℝ)
34		sincl 16183	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
35	34	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
36		fvexd 6898	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (cos‘𝑥) ∈ V)
37		dvsin 26122	. . . . . . 7 ⊢ (ℂ D sin) = cos
38		sinf 16181	. . . . . . . . . 10 ⊢ sin:ℂ⟶ℂ
39	38	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → sin:ℂ⟶ℂ)
40	39	feqmptd 6951	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → sin = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (sin‘𝑥)))
41	40	oveq2d 7428	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (ℂ D sin) = (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (sin‘𝑥))))
42		cosf 16182	. . . . . . . . 9 ⊢ cos:ℂ⟶ℂ
43	42	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → cos:ℂ⟶ℂ)
44	43	feqmptd 6951	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → cos = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥)))
45	37, 41, 44	3eqtr3a 2822	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (sin‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥)))
46	27, 2, 29, 33, 35, 36, 45	dvmptres3 26096	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (sin‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (cos‘𝑥)))
47	5	ssrab3 4037	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ⊆ ℝ
48	47	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 𝐷 ⊆ ℝ)
49		tgioo4 24943	. . . . 5 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
50	5	resuppsinopn 43102	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ∈ (topGen‘ran (,))
51	50	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 𝐷 ∈ (topGen‘ran (,)))
52	2, 25, 26, 46, 48, 49, 27, 51	dvmptres 26103	. . . 4 ⊢ (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (sin‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (cos‘𝑥)))
53		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (ℝ ∖ {0}) = (ℝ ∖ {0})
54	53	readvrec 43101	. . . . 5 ⊢ (ℝ D (𝑧 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ (log‘(abs‘𝑧)))) = (𝑧 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))
55	54	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → (ℝ D (𝑧 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ (log‘(abs‘𝑧)))) = (𝑧 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧)))
56		2fveq3 6888	. . . 4 ⊢ (𝑧 = (sin‘𝑥) → (log‘(abs‘𝑧)) = (log‘(abs‘(sin‘𝑥))))
57		oveq2 7420	. . . 4 ⊢ (𝑧 = (sin‘𝑥) → (1 / 𝑧) = (1 / (sin‘𝑥)))
58	2, 2, 12, 13, 22, 23, 52, 55, 56, 57	dvmptco 26112	. . 3 ⊢ (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (log‘(abs‘(sin‘𝑥))))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((1 / (sin‘𝑥)) · (cos‘𝑥))))
59	58	mptru 1577	. 2 ⊢ (ℝ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (log‘(abs‘(sin‘𝑥))))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((1 / (sin‘𝑥)) · (cos‘𝑥)))
60	6	simplbi 501	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ∈ ℝ)
61	60	recoscld 16201	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (cos‘𝑥) ∈ ℝ)
62	61	recnd 11238	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (cos‘𝑥) ∈ ℂ)
63	6, 8	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (sin‘𝑥) ∈ ℝ)
64	63	recnd 11238	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
65	6, 9	sylbi 220	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (sin‘𝑥) ≠ 0)
66	62, 64, 65	divrec2d 11996	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ((cos‘𝑥) / (sin‘𝑥)) = ((1 / (sin‘𝑥)) · (cos‘𝑥)))
67	66	mpteq2ia 5207	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((cos‘𝑥) / (sin‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((1 / (sin‘𝑥)) · (cos‘𝑥)))
68	59, 67	eqtr4i 2789	1 ⊢ (ℝ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (log‘(abs‘(sin‘𝑥))))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((cos‘𝑥) / (sin‘𝑥)))

Syntax hints:   ∧ wa 400   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  {crab 3416  Vcvv 3455   ∖ cdif 3903   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  {csn 4590  {cpr 4592   ↦ cmpt 5193  ran crn 5664  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  ℂcc 11099  ℝcr 11100  0cc0 11101  1c1 11102   · cmul 11106   / cdiv 11872  (,)cioo 13373  abscabs 15287  sincsin 16118  cosccos 16119  TopOpenctopn 17475  topGenctg 17491  ℂ_fldccnfld 21503   D cdv 26003  logclog 26697

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-inf2 9611  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179  ax-addf 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8158  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-ixp 8897  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-fsupp 9323  df-fi 9372  df-sup 9403  df-inf 9404  df-oi 9473  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-z 12593  df-dec 12713  df-uz 12864  df-q 12974  df-rp 13018  df-xneg 13138  df-xadd 13139  df-xmul 13140  df-ioo 13377  df-ioc 13378  df-ico 13379  df-icc 13380  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-fl 13827  df-mod 13905  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14312  df-bc 14341  df-hash 14369  df-shft 15106  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-limsup 15524  df-clim 15541  df-rlim 15542  df-sum 15740  df-ef 16122  df-sin 16124  df-cos 16125  df-tan 16126  df-pi 16127  df-struct 17208  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-rest 17476  df-topn 17477  df-0g 17495  df-gsum 17496  df-topgen 17497  df-pt 17498  df-prds 17501  df-xrs 17557  df-qtop 17562  df-imas 17563  df-xps 17565  df-mre 17639  df-mrc 17640  df-acs 17642  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-submnd 18843  df-mulg 19135  df-cntz 19388  df-cmn 19853  df-psmet 21495  df-xmet 21496  df-met 21497  df-bl 21498  df-mopn 21499  df-fbas 21500  df-fg 21501  df-cnfld 21504  df-top 23032  df-topon 23049  df-topsp 23071  df-bases 23084  df-cld 23157  df-ntr 23158  df-cls 23159  df-nei 23236  df-lp 23274  df-perf 23275  df-cn 23365  df-cnp 23366  df-t1 23452  df-haus 23453  df-cmp 23525  df-tx 23700  df-hmeo 23893  df-fil 23984  df-fm 24076  df-flim 24077  df-flf 24078  df-xms 24458  df-ms 24459  df-tms 24460  df-cncf 25018  df-limc 26006  df-dv 26007  df-log 26699

This theorem is referenced by: (None)